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Universidad Abierta y a Distancia de México 
 
 
Algebra Moderna 1 
 
 
Unidad 1 
 
 
Actividad 2. Grupos 
 
 
Alumno: Josué Samuel Priego Sanabria 
 
Doceavo Semestre 
 
 
1. Sean E y F dos conjuntos, 𝜙: 𝐸 → 𝐹 una función, R una relación de equivalencia en F. 
Demostrar que la relación S definida en E como 𝑥𝑆𝑦 ↔ 𝜙(𝑥)𝑅𝜙(𝑦) es una relación de 
equivalencia. Además, si 𝐴 = 𝜙(𝐸), sea RA la relación R restringida a “A”. Encuentre 
una biyección en E/S y A/RA. 
Para demostrar que la relación S es una relación de equivalencia, debemos demostrar 
que satisface las tres propiedades de reflexividad, simetría y transitividad: 
Reflexividad: Para demostrar que S es reflexiva, debemos demostrar que para todo 
elemento x en E, x S x. Esto es cierto porque ϕ(x) R ϕ(x), ya que R es una relación de 
equivalencia en F. Por lo tanto, la relación S es reflexiva. 
Simetría: Para demostrar que S es simétrica, debemos demostrar que si xSy, entonces 
ySx. Supongamos que xSy. Entonces, ϕ(x) R ϕ(y), por definición de la relación S. Pero 
como R es una relación de equivalencia, entonces también se cumple que ϕ(y) R ϕ(x). Por 
lo tanto, ySx, y la relación S es simétrica. 
Transitividad: Para demostrar que S es transitiva, debemos demostrar que si xSy y ySz, 
entonces xSz. Supongamos que xSy y ySz. Entonces, ϕ(x) R ϕ(y) y ϕ(y) R ϕ(z), por 
definición de la relación S. Como R es una relación de equivalencia, se cumple que ϕ(x) R 
ϕ(z). Por lo tanto, xSz, y la relación S es transitiva. 
Por lo tanto, como la relación S satisface las tres propiedades de reflexividad, simetría 
y transitividad, se concluye que es una relación de equivalencia. 
 
 
Ahora, para encontrar una biyección entre E/S y A/RA, podemos definir una función f 
que tome cada clase de equivalencia [x]S en E/S y la asocie con la clase de equivalencia 
ϕ(x)RA en A/RA. Es decir, 
𝑓: 𝐸/𝑆 → 𝐴/𝑅𝐴 
𝑓([𝑥]𝑆) = 𝜙(𝑥)𝑅𝐴 
Esta función es una biyección porque es una función inyectiva y sobreyectiva. 
Para demostrar que f es inyectiva, supongamos que f([x]S) = f([y]S), es decir, que 
ϕ(x)RA = ϕ(y)RA. Entonces, para cualquier elemento a en [x]S, se tiene que ϕ(a) R ϕ(x), y 
por lo tanto ϕ(a) R ϕ(y), lo que implica que aSb para algún elemento b en [y]S. Por lo 
tanto, [x]S = [y]S, y f es inyectiva. 
Para demostrar que f es sobreyectiva, supongamos que tenemos una clase de 
equivalencia [a]RA en A/RA. Entonces, podemos encontrar un elemento x en E tal que 
ϕ(x) = a, ya que A = ϕ(E). Por lo tanto, f([x]S) = ϕ(x)RA = [a]RA. Por lo tanto, f es 
sobreyectiva. 
Q,E,D f es una biyección entre E/S y A/RA. 
2. Considere a los siguientes conjuntos con las operaciones dadas por: 
(𝑅 +,∗), 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∗ 𝑦 = 2𝑥𝑦 𝑦 (𝑃(𝑋),∗), 𝑐𝑜𝑛 𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵. 
¿Qué axiomas de grupo cumplen cada uno?, ¿son grupos Abelianos? 
Conjunto (R, +, *), con x * y = 2xy: 
 
 
a. Clausura: Si tomamos dos elementos cualesquiera a y b de (R+), entonces 2ab 
es también un número real positivo, por lo tanto, la operación * es cerrada en 
(R+). 
b. Asociatividad: Para todos los elementos a, b, c en (R+), (a * b) * c = 2ab * c = 
4abc y a * (b * c) = a * 2bc = 4abc. Por lo tanto, la operación * es asociativa en 
(R+). 
c. Elemento identidad: El elemento identidad es aquel que cumple que a * e = e * 
a = a para todo a en (R+). Si tomamos a = 1, entonces 2(1)(e) = 2e = 1, lo cual 
implica que 𝑒 =
1
2
. Por lo tanto, 1/2 es el elemento identidad en (R+). 
d. Elemento inverso: Para todo a en (R+), existe un elemento b en (R+) tal que a * 
b = b * a = e. Si tomamos a = 1/2, entonces 2(1/2) (b) = 1, lo cual implica que b 
= 1/4. Por lo tanto, 1/4 es el elemento inverso de 1/2 en (R+). 
e. Conmutatividad: La operación de multiplicación en los números reales es 
conmutativa, es decir, x * y = y * x para todos los números reales x e y. 
En resumen, el conjunto (R, +, *) con la operación * definida como 2xy cumple todos 
los axiomas de grupo, incluyendo la conmutatividad. Por lo tanto, es un grupo abeliano. 
 
Conjunto (P(X), *), con A * B = A ∪ B: 
Clausura: Para todo A, B en P(X), A * B = A∪B también está en P(X). 
 
 
Asociatividad: Para todo A, B, C en P(X), (A * B) * C = (A∪B) ∪C = A∪(B∪C) = A * 
(B * C). 
Elemento identidad: El elemento identidad es aquel que cumple que A * e = e * A = A 
para todo A en P(X). El conjunto vacío ∅ cumple con esta propiedad, ya que A ∪ ∅ = A 
para todo A en P(X). 
Elemento inverso: No todos los elementos en P(X) tienen inverso bajo la operación *, 
ya que no existe un conjunto que pueda ser un inverso para todo elemento en P(X). 
Conmutatividad: En el caso del conjunto (P(X), *), la operación está dada por A * B = 
A∪B, es decir, la unión de conjuntos. Podemos ver que esta operación en general no es 
conmutativa. Por ejemplo, si consideramos los conjuntos A = {1, 2} y B = {2, 3}, 
entonces: 
A * B = {1, 2, 3} 
B * A = {2, 3, 1} 
Como podemos ver, A * B y B * A son diferentes conjuntos, lo que significa que la 
operación no es conmutativa. Por lo tanto, el conjunto (P(X), *) no es abeliano. 
En resumen, el conjunto (P(X), *) con la operación * definida como A ∪ B cumple 3 de 
los axiomas de grupo. No es un grupo ni es abeliano. 
 
 
 
 
3. Sean G un grupo y x ∈ G. Suponga que ◦ (𝑥) = 𝑟𝑠, halle ◦ (𝑥𝑟). 
Dado que G es un grupo y x ∈ G, sabemos que x tiene un orden finito, es decir, existe 
un entero positivo n tal que 𝑥𝑛 = e, donde e es el elemento neutro del grupo. Además, 
sabemos que el orden de x, denotado por ◦(x), es el menor entero positivo n para el cual se 
cumple 𝑥𝑛 = e. 
Ahora, supongamos que ◦(x) = rs, donde r y s son enteros positivos y r y s son 
coprimos (es decir, no tienen factores comunes mayores que 1). Entonces, podemos 
escribir: 
(𝑥𝑟)𝑠 = 𝑥𝑟𝑠 = 𝑒 
Esto implica que el orden de 𝑥𝑟 es menor o igual que s. Si ◦(x^r) = k, entonces (𝑥𝑟)𝑘 = 
e, y k es el menor entero positivo para el cual se cumple esta propiedad. Como k es un 
múltiplo del orden de 𝑥𝑟, podemos escribir k = tn para algún entero positivo t. Entonces, 
(𝑥𝑟)𝑘 = (𝑥𝑟)𝑡𝑛 = (𝑥𝑛)𝑡 = 𝑒𝑡 = 𝑒 
Esto implica que s es un múltiplo de k. Como r y s son coprimos, esto significa que k 
debe ser igual a s. Por lo tanto, hemos demostrado que: 
◦ (𝑥𝑟) = 𝑠 
En resumen, si el orden de x es rs, donde r y s son coprimos, entonces el orden de 𝑥𝑟 es s. 
4. Sea G un grupo y x, y ∈ G tales que ◦ (𝑥) = 5, y 𝑥3𝑦 = 𝑦𝑥3. Demuestre que 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥. 
 
 
Para demostrar que xy = yx, utilizaremos la identidad de Baker-Campbell-Hausdorff 
(BCH), que nos permite expresar el producto de dos elementos del grupo en términos de 
su conmutador. La identidad BCH es la siguiente: 
𝑙𝑜𝑔(𝑒𝑥𝑝(𝑎) 𝑒𝑥𝑝(𝑏)) = 𝑎 + 𝑏 +
[𝑎, 𝑏]
2
+
[𝑎, [𝑎, 𝑏]]
12
−
[𝑏, [𝑎, 𝑏]]
12
− ⋯ 
donde log y exp son las funciones logaritmo y exponencial de la teoría de Lie, [a, b] es 
el conmutador de a y b (es decir, [a, b] = ab ba), y los términos adicionales son 
combinaciones de conmutadores de orden superior. 
Aplicando la identidad BCH a los elementos x e y, tenemos: 
𝑙𝑜𝑔 (𝑒𝑥𝑝(𝑙𝑜𝑔(𝑥))𝑒𝑥𝑝(𝑙𝑜𝑔(𝑦))) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥) + 𝑙𝑜𝑔(𝑦) +
[𝑙𝑜𝑔(𝑥), 𝑙𝑜𝑔(𝑦)]
2
+ … 
Para simplificar la notación, denotaremos z = log(x) y w = log(y), de modo que la 
expresión anterior se convierte en: 
𝑙𝑜𝑔(𝑒𝑥𝑝(𝑧)𝑒𝑥𝑝(𝑤)) = 𝑧 + 𝑤 +
[𝑧, 𝑤]
2
+ … 
Como ◦(x) = 5, sabemos que x^5 = e, donde 𝑒 es el elemento neutro de G. Por lo tanto, 
podemos escribir: 
𝑒𝑥𝑝(𝑧)5 = 𝑒𝑥𝑝(5𝑧) = 𝑒 
Esto implica que exp(z) tiene orden 5 o un divisor propio de 5. Sin embargo, como 
[𝑒𝑥𝑝(𝑧), 𝑒𝑥𝑝(𝑧)3] = 𝑒𝑥𝑝(𝑧)𝑒𝑥𝑝(𝑧)3𝑒𝑥𝑝(−𝑧)𝑒𝑥𝑝(−𝑧)3= 𝑥3𝑦𝑥−3𝑦−1 = 𝑒 
 
 
y exp(z) y exp(z)^3 tienen órdenes distintos (5 y 15, respectivamente), se sigue que: 
[𝑒𝑥𝑝(𝑧), 𝑒𝑥𝑝(𝑧)3] = 𝑒 
En otras palabras, exp(z) y exp(z)^3 conmutan. Por lo tanto, podemos escribir: 
𝑙𝑜𝑔(𝑒𝑥𝑝(𝑧)𝑒𝑥𝑝(𝑤)) = 𝑙𝑜𝑔(𝑒𝑥𝑝(𝑧)) + 𝑙𝑜𝑔(𝑒𝑥𝑝(𝑤)) = 𝑧 + 𝑤 
Luego, aplicando la exponencial a ambos lados de la igualdad, obtenemos: 
𝑒𝑥𝑝(𝑧) 𝑒𝑥𝑝(𝑤) = 𝑒𝑥𝑝(𝑧 + 𝑤) 
Pero ya que x^3 y = y x^3, podemos escribir: 
𝑒𝑥𝑝(𝑧) 𝑒𝑥𝑝(3𝑤) = 𝑒𝑥𝑝(3𝑤)𝑒𝑥𝑝(𝑧) 
Y, por lo tanto, 
𝑒𝑥𝑝(𝑧)𝑒𝑥𝑝(𝑤)𝑒𝑥𝑝(𝑧)−1𝑒𝑥𝑝(3𝑤)−1 = 𝑒 
Al aplicar la función logaritmo y utilizar el conmutador de z y w, que ya sabemos que 
es z y w conmutan, obtenemos: 
𝑙𝑜𝑔(𝑒𝑥𝑝(𝑤)𝑒𝑥𝑝(𝑧)) − 𝑙𝑜𝑔(𝑒𝑥𝑝(𝑧)𝑒𝑥𝑝(𝑤)) = 𝑙𝑜𝑔(𝑒𝑥𝑝(𝑤)𝑒𝑥𝑝(𝑧)𝑒𝑥𝑝(−𝑤)𝑒𝑥𝑝(−𝑧))
= [𝑧, 𝑤] = 0 
 
Lo cual implica que [𝑥, 𝑦] = 0, por lo que 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥. Por lo tanto, hemos demostrado 
que si ◦ (𝑥) = 5 y 𝑥3𝑦 = 𝑦𝑥^3, entonces xy = yx. 
 
 
5. Sea G un grupo. Muestre que (𝑔1 · 𝑔2 ··· 𝑔𝑛)
−1 = 𝑔𝑛
−1 · 𝑔𝑛−1
−1 ··· 𝑔1
−1, con 𝑔1, 𝑔2, … , 𝑔𝑛 ∈
𝐺. 
Usaremos la propiedad de que el inverso de un producto de elementos es igual al 
producto de los inversos en orden inverso. Es decir, si a, b, c son elementos de un grupo 
G, entonces (𝑎𝑏𝑐)−1 = 𝑐−1𝑏−1𝑎−1. 
Aplicando esta propiedad repetidamente, podemos demostrar que (𝑔1 · 𝑔2 ··· 𝑔𝑛)
−1 =
 𝑔𝑛
−1 · 𝑔𝑛−1
−1 ··· 𝑔1
−1 como sigue: 
(𝑔1 · 𝑔2 ··· 𝑔𝑛)
−1 = (𝑔𝑛
−1 · 𝑔𝑛 · 𝑔𝑛−1
−1 · 𝑔𝑛−1 ··· 𝑔2
−1 · 𝑔2 · 𝑔1
−1 · 𝑔1)
−1
= 𝑔1
−1 · 𝑔2
−1 ··· 𝑔𝑛
−1 
En la primera igualdad, utilizamos la propiedad de que el inverso de un producto es 
igual al producto de los inversos en orden inverso, y reordenamos los términos del 
producto. En la segunda igualdad, volvemos a utilizar la propiedad de que el inverso de un 
producto es igual al producto de los inversos en orden inverso. 
Por lo tanto, hemos demostrado que (𝑔1 · 𝑔2 ··· 𝑔𝑛)
−1 = 𝑔𝑛
−1 · 𝑔𝑛−1
−1 ··· 𝑔1
−1, como se 
quería demostrar. 
6. Sean G grupo y x, y ∈ G arbitrarios. Pruebe que ◦(xy) = ◦(yx). 
Utilizaremos la propiedad de que el orden de un elemento en un grupo es igual al orden 
de cualquier elemento que lo genere. Es decir, si x es un elemento de un grupo G y ⟨x⟩ es 
el subgrupo generado por x, entonces el orden de x es igual al orden de ⟨x⟩. 
 
 
Utilizando esta propiedad, podemos demostrar que ◦(xy) = ◦(yx) de la siguiente 
manera: 
Consideremos el subgrupo ⟨xy⟩ generado por el elemento xy. Sea k el orden de este 
elemento, es decir, k es el entero más pequeño tal que (𝑥𝑦)𝑘 = 𝑒, donde e es el elemento 
neutro del grupo G. 
Como 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥(𝑦𝑥)−1 = 𝑦𝑥(𝑥−1𝑦−1), se tiene que ⟨xy⟩ = ⟨yx⟩, ya que el subgrupo 
generado por xy es igual al subgrupo generado por yx. 
Además, si j es el orden de yx en este subgrupo, entonces (𝑦𝑥)𝑗 = 𝑒. Pero esto implica 
que (𝑥𝑦)𝑗 = 𝑦𝑥𝑗𝑥𝑗 = 𝑥𝑗𝑦𝑥𝑗 = 𝑒. Por lo tanto, el orden k de xy es un múltiplo de j, y 
viceversa. 
Por lo tanto, k = j, y así ◦ (𝑥𝑦) = 𝑘 = 𝑗 = ◦ (𝑦𝑥). 
 
 
 
Referencias 
Gallian, J. (2017). Contemporary Abstract Algebra (Novena ed.). Stamford: Cengage Learning. 
Lang, S. (2002). Algebra (Tercera ed.). Berlin: Springer. 
UnADM. (s.f.). Algebra Moderna 1. Recuperado el 27 de Septiembre de 2022, de Unidad 1. Grupos y 
Subgrupos: 
https://campus.unadmexico.mx/contenidos/DCEIT/BLOQUE2/MT/07/MAMD1/U1/descargables
/MAMD1_U1_contenido.pdf 
Zaldivar, F. (2006). Introduccion a la teoria de grupos. DF: Sociedad matematica mexicana y reverté 
ediciones, SA de CV.