1- Herramientas Matemática - Ing 2021

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F-7 
UNIDAD 1 
HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 
 
INTRODUCCIÓN 
 
En esta unidad se van a repasar los conceptos básicos necesarios para poder desarrollar en forma 
correcta y sin trabas la presente guía de teoría y ejercitación. 
 
TEMAS DE LA UNIDAD 
 
 Potenciación y Radicación 
 Propiedades 
 Exponente fraccionario 
 Ecuación de la recta 
 Ecuación de la parábola 
 Notación científica 
 Trigonometría 
 Razones Trigonométricas 
 Resolución de Triángulos Rectángulos 
 Teorema del seno y del coseno 
 Resolución de ecuaciones 
 Ecuaciones de 1º grado 
 Sistemas de dos ecuaciones de 1º grado con dos incógnitas 
 Factorización de Polinomios 
 Casos de Factoreo 
 Logaritmos 
 Definición 
 Propiedades 
 Logaritmos decimales y naturales 
 Teoría para la resolución de problemas 
 
OBJETIVOS 
 
 Aplicar correctamente los principios de matemática para la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones 
 Usar correctamente notación científica. 
 Aplicar los fundamentos para la resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos. 
 Sistematizar etapas en la resolución de problemas. 
 
QUE REPASAR ANTES DE COMENZAR 
 
Antes de comenzar este curso es necesario que haga un repaso de las principales operaciones matemáticas 
y principios básicos del algebra y la trigonometría. Puesto que serán pilares en el desarrollo de este curso. 
 
PAUTAS PARA LA LECTURA EN LA BIBLIOGRAFÍA 
 
Para comprobar si necesita repasar estos temas resuelva los ejercicios que aparecen a continuación que le 
serán de mucha utilidad. Para ejercitar estos temas puede leer algún texto de tercer ciclo de EGB3 y/o polimodal 
(por ejemplo los de Editorial Santillana, Editorial Puerto de palos, o cualquier otro texto de matemática de nivel 
medio.) 
 
 ESTOS TEMAS NO SERAN DESARROLLADOS EN LAS CLASES TEORICAS O 
TUTORIAS DEL PRESENTE CURSO, PORQUE SE CONSIDERA QUE SON SABERES 
PREVIOS FUNDAMENTALES QUE EL ALUMNO DEBE TENER ADQUIRIDOS. 
 EL DESARROLLO Y MANEJO DE ESTOS TEMAS HAN SIDO TRATADOS A LO 
LARGO DE TODA SU EDUCACIÓN DE NIVEL MEDIO. 
 
 F-8 
 
 POTENCIACION 
 
 
 
 
 PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN 
 
Todo número elevado a la potencia 0 es igual a 1 32 0 = 1 
(–17)0 = 1 
 
Todo número elevado a la potencia 1 es igual a dicho número 7 1 = 7 
(- 9)1 = - 9 
 
Todo número elevado a una potencia par da como resultado 3 2 = 9 
un número positivo (– 4)2 = 16 
 
Todo número elevado a una potencia impar conserva el signo 23 = 8 
de la base (– 3)3 = –27 
 
Potencia de un producto (a . b)n = an . bn (2 . 3)3 = 23 . 33 
 
Potencia de un cociente (a : b)n = an : bn (8 : 4)2 = 82 : 42 
 
Producto de potencias con la misma base am . a n = am + n 24 . 2 3 = 24 + 3 
 
Cociente de potencias con la misma base am : a n = am – n 24 : 2 3 = 24 – 3 
 
Potencia de una potencia (am)n = am . n (32)3 = 32 . 3 
 
Potencia de exponente negativo a– n =
n
a






 1
 3–2 =
9
1
2
3
1








 
 Potencia de exponente fraccionario 
n 
 m an
m
a  
 
 
2 152
1
5  
 
 
 RADICACIÓN 
 
 
Las raíces de índice par tienen solución sólo si el radicando es positivo 
 
2 4 16  reales números los de campo elen solución tieneno 
 4 16-  
 
Las raíces de índice impar siempre tienen solución en el campo de los números reales y estas conservan el 
signo de la base. 
 2
 3 8  2- 
 5 32-  
a b = c
base
exponente
resultado
n
a = b
índice
radicando
resultado
 F-9 
 PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN 
 
Producto de radicales con el mismo índice 
n ba . =
n a . n b 3 278 . =
 3 8 . 3 27 
 
Cociente de radicales con el mismo índice n b a : = n a : n b 4 1664 : =
 4 64 : 4 16 
 
Raíz de una raíz
 
n m a = mn a . 
 2 3 64 = 32 64 . 
 
Potencia de un radical  n m a = m na  3 2 4 = 2 34 
 
Exponente fraccionario n
c
n c aa  3
5
3 5 22  
 
 
 
PRACTICAS DE APRENDIZAJE 
 
 Teniendo en cuenta las propiedades de las distintas operaciones que involucran potenciación y radicación 
resuelva los siguientes ejercicios: 
 
 
1.1 Escriba la solución de: 
a) 22. 23. 2-5 
b) (1/2)3. (1/2)-2: (1/2)4. (1/2)2 
c) [(32)]-3 
d) [(1/3)-1]2: 1/3. (1/3)4 
e) 31/2 
 
1.2 Escriba el resultado de la siguiente operación y expréselo en la forma de exponente fraccionario 
a) √(𝑥3. 𝑥−5)−1
6
 = 
b) (√𝑥. 𝑥2
4
: √𝑥−2
4
)
−1
 = 
c) √2. (√𝑎 + √𝑏) = 
 
1.3 Resuelve los siguientes ejercicios combinados: 
a) (√𝑥 + √𝑦). (√𝑥 − √𝑦) = 
b)  322 aba2abba3 . 
c) 
1
3
. √25𝑎2. (𝑏 + 1) − 5. √𝑎. (𝑎𝑏 + 𝑎) = 
d)  a1a44 
e)  5y4
y
x23
xyx 
 
 
 F-10 
 FUNCIÓN LINEAL: ECUACION DE LA RECTA 
 
La ecuación explícita de la recta está dada por: 
 
Donde: 
 y es la variable dependiente o función. 
 x es la variable independiente o simplemente variable. 
 m es la pendiente de la recta (es constante por 
definición de recta). Indica la inclinación de la recta 
respecto del eje horizontal x. En toda la recta se 
verifica que su pendiente o inclinación es constante, 
por lo tanto m es constante. 
 b es el término independiente u ordenada al origen. 
Punto donde la recta corta al eje de ordenadas. 
 
 
y
(ordenadas)
x
(abcisas)O (0,0)
B 
y = m
.x + 
b
 
 
 
El punto O de coordenadas (0,0) es el origen del par de ejes de coordenadas cartesianas rectangulares en 
el plano. 
 
El segmento OB es la ordenada al origen (b) indica el desplazamiento vertical de la recta respecto del 
origen (punto de coordenadas 0,0). Si b es cero la recta siempre pasa por el origen de coordenadas, independiente 
del valor de su pendiente. 
 
Para su trazado procedemos así: 
Si la recta es: 2
2
3
 xy 
 
 
 Marcamos la ordenada al origen (a) 
 
 De la pendiente tomamos el numerador y 
lo colocamos a continuación de la 
ordenada al origen sobre el eje y (b). 
 
 A partir de (b) corremos horizontalmente 
el denominador de la pendiente (c) 
 
 Los puntos (a) y (c) pertenecen a la recta, 
de modo que trazamos la recta para que 
pase por ellos. 
 
Si m es cero la recta carece de pendiente, por lo tanto será paralela al eje x. 
 
 
Por ejemplo: 1y 
 
 
 
 
y = m.x + b
variable
dependiente
pendiente
variable
independiente
ordenada
al origen
1
x
y
-2
1
3
2
2
1
2
3
x
y
x
x x
y
y y
(a)
(a)
(a) (a)
(b)
(b) (c) (c)
 F-11 
PRACTICAS DE APRENDIZAJE 
 
 Teniendo en cuenta el concepto de función lineal resuelva: 
 
1.4 Escriba la ecuación que corresponde a las funciones representadas en la gráfica: 
a) b) 
 
c) d) 
 
 
1.5 Grafica las ecuaciones de las siguientes rectas empleando escalas convenientes: 
 
a) y = 3.x - 2 b) y = -1/2.x + 5 c) y = 2.x – 0,5 d) y = -3.x + 4 
 
 e) y = 2.x f) y = -3 g) y = 0,5.x h) y = 1/3.x 
 
 
 
 FUNCIÓN CUADRÁTICA (PARÁBOLA) 
 
Si es una ecuación cuadrática, la solución se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado por sus 
raíces: 
 
a.x2 + b.x + c = 0 
 
 
Cuyas raíces o ceros de la ecuación se calculan por: 
a2
ca4bb
x
2
1,2
.
..
 Donde a, b, y c son los 
coeficientes numéricos de la ecuación. 
 
Por ejemplo: Dada la ecuación x2 – 3.x + 2 = 0 
 
Donde a = 1, b = –3 y c = 2 Resulta 
 
 
12
24(-3)(-3)
x
2
1,2
.
..1
 = 
2
8 9 3 
 
2
13 
  2
2
13
x1 

 ; 1
2
13
x2 

F-12 
 
La ecuación de segundo grado tiene como gráfica una parábola. 
 
 Cuando a es positivo (hacia arriba) Cuando a es negativo (hacia abajo) 
 
 
 
 
PRACTICAS DE APRENDIZAJE 
 
1.6 Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas. 
 
a) 53)32.(  xxxx b) 
1
1
2
32




x
xx c) 
x
xx 2
2
1
3
2 

 
 
 
d) 72
3
1
)2.(
2
1
 xxx e) 2 xx f) 1252  xx 
 
 
 
 NOTACIÓN CIENTIFICA 
 
Expresa un número muy grande o muy pequeño en forma abreviada. 
 
Un número está escrito en notación científica cuando está expresado como producto entre un número cuyo 
valor absoluto es mayor o igual que 1 y menor que 10 y una potencia de 10. Que puede ser una potencia positiva o 
negativa. 
 
El volumen del Sol es 14 100 000 000 000 000 000 000 000 000 m3. Es muy molesto escribir este número 
cada 5 minutos si por ejemplo estamos escribiendo una monografía acerca del Sol. En cambio en Notación Científica 
se escribiría: 1,41 . 10
28
 m3. 
 
Para números muy chicos, esta notación también es muy cómoda. Ejemplo: el peso de un átomo de 
hidrógeno es 0, 000 000 000 000 000 000 000 001 66 gramos. En Notación Científica se escribiría: 1,6.10
-24 g. 
 
Los exponentes positivos en la Notación Científica se usan para escribir números muy grandes. Mientras 
que los exponentes negativos se usan para escribir números muy chicos. 
 
¿Cómo pasar un número de Notación Decimal (la que ya conocemos) a Notación Científica? 
 
1. Hay que escribir el primer número distinto de cero que aparezca en la notación común, luego hay que 
escribir la coma y todos los demás números que estaban después del que pusimos antes de la coma. 
 
2. Hay que escribir un 10 elevado a la potencia que representa la cantidad de lugares que se corrió la coma 
entre el número original y el que escribimos en el paso anterior. 
 
 F-13 
3. El Signo del exponente: Si el número es mayor que 1 el exponente queda positivo, y si es menor que 1 (o 
sea cero coma "algo”) el exponente queda negativo. 
Ejemplo: 
 7 324 000 000 000 000 = 7,324 x 1015 
 15 lugares 
 
 
0,000 000 000 000 543 = 5,43 x 10–13 
 
 13 lugares ó 13 ceros 
 
PRACTICAS DE APRENDIZAJE 
 
 Teniendo en cuenta el concepto de notación científica resuelva: 
 
1.7 La densidad del mercurio es 13 600 kg/m3, exprésela en notación científica. 
 
1.8 El tiempo que tarda la Tierra en realizar una rotación completa girando sobre su eje es de 1 día y su traslación 
alrededor del Sol es aproximadamente de 365 días, exprese en notación científica. 
a) Su rotación en horas 
b) Su rotación en segundos. 
c) Su traslación en horas 
d) Su traslación en minutos 
e) Su traslación en segundos 
 
1.9 En las siguientes opciones indicar cuál corresponde a la expresión en notación científica de 0,000 83 g/L: 
a) 8,3 . 103 g/L 
b) 8,3 . 10-5 g/L 
c) 8,3 . 10-4 g/L 
d) 8,3 . 104 g/L 
e) 8,3 . 106 g/L 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
 
La trigonometría surge de la resolución de triángulos rectángulos. 
 
En todo triangulo rectángulo tenemos que: 
 
El lado que se opone al ángulo de 90º se llama HIPOTENUSA. 
 
Los lados que forman el ángulo de 90º se llaman CATETOS. 
 
El cateto que forma el ángulo agudo junto con la hipotenusa se llama cateto 
adyacente; el otro cateto se llama cateto opuesto. 
 
En los triángulos rectángulos se cumplen las siguientes propiedades: 
 
(Hipotenusa)2 = (Cateto 1)2 + (Cateto 2)2 Teorema de Pitágoras 
 
 α+ β + 90º = 180º La suma de los ángulos interiores vale 180º 
 
También se cumplen las siguientes relaciones entre ángulos y lados (razones trigonométricas): 
Seno ángulo = 
hipotenusa
opuesto cateto
 
Coseno ángulo = 
hipotenusa
adyacente cateto
 
Tangente ángulo = 
adyacente cateto
opuesto cateto
 
 
90º 
 A 
 B 
C 
 
 
 F-14 
Las funciones trigonométricas se usan para los ángulos agudos del triángulo rectángulo. 
 
Una relación muy importante es la identidad pitagórica, que surge del teorema de Pitágoras. 
 
(Hipotenusa)2 = (Cateto 1)2 + (Cateto 2)2 
 
Dividiendo ambos miembros por la hipotenusa al cuadrado queda: 
 
(𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2
(𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2
 = 
(𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 1)2
(𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2
 + 
(𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 2)2
(𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2
 
 
Que, expresándolo de otro modo se transforma en: 
 
1 = (
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 1
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
)
2
+ (
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 2
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
)
2
 
 
Reemplazando el resultado es: 
(𝑠𝑒𝑛 𝛼)2 + (𝑐𝑜𝑠 𝛼)2 = 1 
Que es la identidad pitagórica. 
 
Con estas relaciones podemos resolver cualquier triángulo rectángulo. 
 
Tomando el triángulo del ejemplo resulta: 
 
sen α = 
A
C
 cos α = 
A
B
 tg α = 
B
C
 
sen β = 
A
B
 cos β = 
A
C
 tg β = 
C
B
 
 
 
 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
 
Resolver un triángulo rectángulo significa averiguar el valor o medida de cada uno de sus ángulos agudos 
y cada uno de sus lados. 
Para esto se utilizan las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras. 
 
 
Ejemplo: Datos Incógnitas 
 
 
 36 C
64 - 100 C
8 10 C
B - A C
C B A
22
22
222
cm 6 C 




 
 '48' 7' 53º β 



0,8arcsen β
0,8 
 cm 10
cm 8
 βsen 
 
A
B
 βsen 
 
 
 
 
'12' 52' 36º α 



'48' 7' 53º - 90º α
90º α β
α β 90º 180º
 
 
 
 
 
A = 10 cm; 
B = 8 cm 
Lado C = 
áng.  = 
áng  
 
90º 
 A 
 B 
C 
 
 
 F-15 
PRACTICAS DE APRENDIZAJE 
 
 
1.10 Resuelve los siguientes triángulos rectángulos 
 
a) {
𝐴 = 10 𝑐𝑚
∝= 35º
 
 
b) {
𝐴 = 30 𝑐𝑚
𝐵 = 12 𝑐𝑚
 
 
c) {
𝐵 = 15 𝑐𝑚
𝛽 = 28º
 
 
 
 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUANGULOS 
 
La mayoría de los triángulos que se forman para resolver problemas no 
son rectángulos. 
 
Para resolverlos podemos dividir a dicho triángulo en dos triángulos 
rectángulos, como en el gráfico. 
 
Como se observa, el triángulo abc puede dividirse en dos triángulos 
rectángulos, el abn y el bcn, ambos rectos en n. 
 
Otra forma más sencilla para resolver estos triángulos oblicuángulos es 
por medio de los teoremas del seno y del coseno. 
 
 
 TEOREMA DEL SENO 
 
“La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto a dicho lado se 
mantiene constante” 
 
 
χ sen
CB
α sen
A

sen
 
 
Este teorema se utiliza cuando se conocen dos ángulos y un lado, o 
dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos. 
 
 
 TEOREMA DEL COSENO 
 
“Un lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble producto 
de esos mismos lados por el coseno del ángulo formado por ellos” 
 
 α 2.B.C.cosCBA 222  
 β2.A.C.cosCAB 222  
 χ 2.B.A.cosABC 222  
 
Estas tres expresiones del teorema del coseno se utilizan cuando se conocen los tres lados del triángulo, o 
bien dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. 
 
 
 
 
 
 
 
a
b
c
n
A B
C


 
90º 
 A 
 B 
C 
 
 
 F-16 
PRACTICAS DE APRENDIZAJE 
 
1.11 Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos 
 
a) {
 𝐴 = 10 𝑐𝑚
𝐶 = 15 𝑐𝑚
∝= 35º 
 
 
b) {
 𝐵 = 15 𝑐𝑚
 𝐶 = 11 𝑐𝑚
∝= 28º
 
 
c) {
 𝐴 = 30 𝑐𝑚
𝐵 = 12 𝑐𝑚
𝐶 = 23 𝑐𝑚
 
 
d) {
𝐵 = 18 𝑐𝑚
∝= 123º
𝛽 = 47º
 
 
 
 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 
 
 ECUACIONES DE 1º GRADO 
 
Resolver una ecuación consiste en despejar la incógnita, dejándola sola en uno de los miembros de la 
ecuación. 
 
Cuando se despeja, debe “pasarse” al otro miembro lo que acompaña a la incógnita. 
 
Las reglas para el “pasaje” son las siguientes: 
 
 ecuación despejando 
Lo que está sumando pasa restando𝑥 + 𝑎 = 𝑏 𝑥 = 𝑏 − 𝑎 
Lo que está restando pasa sumando 𝑥 − 𝑎 = 𝑏 𝑥 = 𝑏 + 𝑎 
Lo que multiplica pasa dividiendo 𝑥. 𝑎 = 𝑏 𝑥 = 𝑏 ÷ 𝑎 
Lo que divide pasa multiplicando 𝑥 ÷ 𝑎 = 𝑏 𝑥 = 𝑏. 𝑎 
El exponente pasa como índice de la raíz 𝑥𝑎 = 𝑏 𝑥 = √𝑏
𝑎
 
El índice de la raíz pasa como exponente √𝑥
𝑎
= 𝑏 𝑥 = 𝑏𝑎 
 
 
PRACTICAS DE APRENDIZAJE 
 
1.12 En Dada la expresión de la velocidad xa.vv i  .2
22
f encuentre la fórmula para calcular: 
a) iv 
b) a 
c) Δx 
 
1.13 En el teorema de Bernoulli, 2
2
221
2
11 hgv
2
1
Prhgv
2
1
Pr  encuentre la fórmula para 
calcular: 
a) 1h 
b) 2v 
c) 
2Pr 
A B
C


 F-17 
1.14 En la expresión de la impedancia se utiliza 
2
2
Cf2
1
Lf2RZ 







 
Calcula: 
a) R 
b) L 
c) C 
 
 
 SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON 2 INCOGNITAS 
 
 2. x – y = 3 
x +2.y = 4 
 
 MÉTODO DE IGUALACIÓN 
 
De las dos ecuaciones despejamos una de las variables, por ejemplo x, quedando: 
 
2
y3
x

 y 2.y-4x  
Como hemos despejado de las dos ecuaciones la misma variable, se cumple que: 
 xx  
 
Por lo tanto nos queda: 
 2.y-4
2
y3


 
  2.y-42.y3  
 4.y-8y3  
 3-8y.5  
 1y  
Luego, de alguna de las dos ecuaciones despejadas de x, calculamos x. 
 
 2.y-4x  
 2.1-4x  
 2x  
 
 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 
 
Despejamos de una de las ecuaciones una de las variables: 
42.yx  ↔ 2.y-4x  
Ese valor lo reemplazamos en la otra ecuación: 
 3y-x.2  Quedando: 3y-y).24.(2  
 
-55.y-
8-35.y-
35.y-8
3y-y.48




 
 1y  
Luego calculamos x, como en la forma anterior. 
2.y-4x  
 2.1-4x  
 2x  
 
 MÉTODO DE SUMAS Y RESTAS 
 
Se colocan ambas ecuaciones una debajo de la otra, ordenadas en columnas de tal forma que se ubiquen 
primero las x, luego las y igualadas a los números: 
 
2. x – y = 3 
 F-18 
 x + 2.y = 4 
Observamos los coeficientes de una de las variables, por ejemplo x. Como los valores son 2 para la 
primera y 1 para la segunda. Multiplicamos a la primera ecuación por 1 y la segunda ecuación por 2. 
 
1. (2.x – y) = 1.3 
2. ( x + 2.y) = 2.4 
 
Resuelvo, aplicando propiedad distributiva: 
 
2.x – y = 3 
2.x + 4.y = 8 
 
Si resto las ecuaciones los términos que tienen x se cancelan: 
 
2.x – y = 3 
2.x + 4.y = 8 
Quedándonos: - 5.y = -5 
 
Despejando y: 1y  y calculando x: 2x  
 
 MÉTODO POR DETERMINANTES 
 
Se ordenan las ecuaciones: 2.x – y = 3 
 x + 2.y = 4 
 
Y se calculan los determinantes: , x yy. 
 
Cálculo de un determinante = 
dc
ba
 = a.d – b.c 
 
 
21
12 


Para calcular x reemplazamos la columna de las x por la columna de los resultados. 
 
 x = 
24
13 
 = 3.2 – (-1).4 = 6 + 4 = 10 
 
Para calcular y reemplazamos la columna de las y por la columna de los resultados. 
 
 y = 
41
32
 = 2.4 – 3.1 = 8 – 3 = 5 
 
 2
5
10x
x 


 1
5
5y
y 


 
 
 
 MÉTODO GRÁFICO. 
 
De cada ecuación despejamos la variable y quedándonos la ecuación de una recta. 
 
 y = 2.x – 3 y = 4 – x 
 2 
 
Luego graficamos ambas rectas y el punto de intersección P(x , y) es la solución. 
 
 
 F-19 
 
 
 
Aclaración: Observa que todos los resultados con los distintos métodos dan lo mismo: 
 x = 2 y = 1 
 
 
 
PRACTICAS DE APRENDIZAJE 
 
 
1.15 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones de las 5 formas conocidas. 
 
a) 
 
x + 2y = 12 
3x – y = 1 
b) 
 
3x – 2y = –12 
5x + 4y = 2 
c) 
 
5x – 3y = 22 
2x + y = 0 
d) 
 
3x – 5y = 19 
2x + y = 4 
 
 
 
e) 
 
x – 10y = 50 
6.x – 3y = 72 
f) 
 
x – y = 2 
x + y = 0 
g) 
 
x – 3 y = –9 
–8x – y = 22 
h) 
 
4x – y = –19 
3x + 5y = –20 
 
 
1.16 Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelos por el método que desees. 
 
a) La suma de dos números es 360 y su diferencia 50. ¿Cuáles son los dos números? 
 
b) Dos ángulos son suplementarios. El cociente entre ellos es de 5/4. ¿cuántos grados mide cada ángulo? 
 
c) El perímetro del triángulo es 30 cm y la base es 3 cm más corta que cada uno de los lados, sabiendo que 
el triángulo es isósceles determina cuánto mide cada uno de los lados 
 
 
 
 FACTORIZACION DE POLINOMIOS 
 
 CASOS DE FACTOREO 
 
Los “casos de factoreo” son propiedades matemáticas ya vistas. 
 
 FACTOR COMÚN. 
 
Ya vimos la propiedad distributiva: 
xxxxxxxxxxx 21061.25.23..2)153(.2 2322  
 
Resumida queda así xxxxxx 2106)153(.2 232  
 
 
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
 F-20 
Si ahora invertimos la igualdad queda: 
)153(.21.25.23..22106 2223  xxxxxxxxxxx 
)153(.22106 223  xxxxxx Que es el factor común. 
 
 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. 
 
Este caso de factoreo proviene del desarrollo del cuadrado de un binomio. 
 
Recordemos que     bababa  .2 y aplicando distributiva queda 
 
     222 ..2...... bbaabbabbaaabababa  
 
Resumida queda así:   222 ..2 bbaaba  
 
Si esta igualdad la invertimos tendremos el factoreo del trinomio cuadrado perfecto. 
 222 ..2 babbaa  
 
Un ejemplo numérico es:  22 39.6  xxx 
 
 CUATRINOMIO CUADRADO PERFECTO. 
 
Este caso de factoreo proviene del desarrollo del cubo de un binomio. 
      32233 ..3..3.. bbabaababababa  
 
Si esta igualdad la invertimos tendremos el factoreo del cuatrinomio cubo perfecto 
 33223 ..3..3 babbabaa  
 
Un ejemplo numérico es:  323 28.12.6  xxxx 
 
 
 DIFERENCIA DE CUADRADOS 
 
Resulta de aplicar la propiedad distributiva a dos binomios conjugados (uno sumando y el otro restando) 
   22..... yxyyyxxyxxyxyx  
 
Resumida queda así    22. yxyxyx  
 
Si esta igualdad la invertimos tendremos el factoreo de la diferencia de cuadrados 
  yxyxyx  .22 
 
 
 CASO GENERAL 
Se resuelve con la ecuación de segundo grado: 0.. 2  cxbxa 
a
cabb
x
.2
..42
2,1

 
   21
2 .... xxxxacxbxa  
 
Un ejemplo numérico es: 04.32  xx donde 11 x y 42 x 
La solución es:   4.14.32  xxxx 
 
 
 F-21 
 
PRACTICAS DE APRENDIZAJE 
 
 1.17 Extraer factor común 
 
a) x5 - 12 x4 + 18 x3 = 
b) 77 x5 - 44 x = 
c) a2b - a b2c + 4 a b c3 = 
1.18 Descomponer en factores primos los siguientes trinomios cuadrados y cuatrinomios cubos perfectos 
 
a) 1 + 24 m3 + 144 m6 
b) 4x2 +1+ 4x 
c) m3 + 15 m2 + 75 m + 125 
d) x3 – 3 x2 + 3 x – 1 
 
1.19 Descomponer en factores aplicando diferencia de cuadrados y el caso general 
 
a) 144.m6 – 121.x8.y4 
b) 36x8 – 9 
c) x2 + 2,5 x + 1,5 
d) x2 – x – 6 
 
 LOGARITMOS 
 
Se llama función logarítmica en base b de un número x toda función de la forma y = logb x . Es la función 
inversa de la función exponencial. 
 
 DEFINICIÓN 
 Sean a y b dos números reales positivos, siendo b  1, existe un único numero x tal que bx = a. Este numero 
x se llama logaritmo en base b del número a y se indica Logb a = x 
 
Luego 
 
 
 
Ejemplo: Hallar los siguientes logaritmos. 
 
a) 27 = 128 log2 128 = 7  27 = 128 
b) 81/3 = 2 log8 2 = 
3
1
  81/3 = 2 
 
 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 
 
1.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores 
 
2.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. 
 
 
 
 
 
Logb a = x  bx = a 
logb (s . p) = logb s + logb p 
Logb 





p
s
 = Logb (s : p)= loga s – loga p 
 
 F-22 
3.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base 
 
 
 
 
4.- El logaritmo deuna raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz. 
 
 
 
 
Observemos los siguientes hechos importantes: 
 
5.- El logaritmo de la base es siempre 1 loga a = 1 porque a1 = a 
 
 
6.- El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base loga 1 = 0 porque a0 = 1 
 
 
Ejemplos: Calcular: 
 
a) log2 (8 . 4) log2 (8 . 4) = log2 8 + log2 4 = 3 + 2 = 5 
 
b) log4 
64
1
 log4 
64
1
 = log4 1 – log4 64 = 0 – 3 = –3 
 
 
 LOGARITMOS DECIMALES Y LOGARITMOS NATURALES 
 
De las posibles bases que se pueden tomar para los logaritmos, las más usadas son la base 10 y la base e. 
 
Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de 
Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sin necesidad de especificar la base: 
 
log10 X = log X 
 
Las calculadoras solamente sacan logaritmos naturales y logaritmos decimales 
 
Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales: 
 
log 1 = 0; puesto que 100 = 1 log 10 000 = 4; puesto que 104 = 10 000 
log 10 = 1; puesto que 101 = 10 log 0,1 = -1; puesto que 10-1 = 0,1 
 
Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para simbolizarlos se 
escribe ln: loge X = ln X 
Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son: 
 
ln 1 = 0; puesto que e0 = 1 
ln e2 = 2; puesto que e2 = e2 
ln e-1 = -1; puesto que e-1 = e-1 
 
El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional (no es cociente de dos números 
enteros) y su valor, con seis cifras decimales, es: e = 2,718281... 
 
 
logb (an) = n . logb a 
 
Logb n a = 
n
alogb 
 
 F-23 
 
PRACTICAS DE APRENDIZAJE 
 
1.20 Resolver aplicando la definición de logaritmo. 
a) 16log2 
b) 4log
2
1
 
c) 
9
16
log
3
4 
d) 27log
3
1
 
1.21 Resolver aplicando propiedades de los logaritmos 
 
a)  3:27log3 
b)  125.5log5 
c)   4
10
100log 
d) 
15
3 27 log = 
 
 
 
 ESTRATEGIA PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 
 
El siguiente curso de física quiere que el estudiante aprenda a desarrollar su habilidad en la solución de 
problemas; por ello los exámenes suelen incluir problemas que prueban esa habilidad. Aquí se presentan algunas 
sugerencias útiles que ayudarán a aumentar el éxito en la solución de problemas. Mejorarán la comprensión de los 
conceptos físicos y eliminarán la falta de dirección al plantear un problema. 
 
Al enfrentar un problema de Física es importante tener en cuenta dos cosas. 
 
Primero: casi todos los problemas que vas a encontrar en un curso de física pueden ser representados por 
un dibujo. La mayor parte de las veces, este dibujo contendrá o sugerirá la solución del problema. 
 
Segundo: El texto de física y los apuntes de clases contendrán muchas ecuaciones (fórmulas), pero tú debes 
tratar de entender las Leyes Naturales más amplias para poder adquirir la visión general de la física. La mayor parte 
de las ecuaciones de la física son combinaciones de leyes generales. 
 
La siguiente, es una aproximación a receta para enfrentar la resolución de un problema de física. Aunque 
ésta es tan solo una de las formas posibles de encarar la solución de problemas, algunos de sus elementos te podrían 
ser de utilidad. 
 
- Lee el problema. Debes leer el problema incluso antes de haber leído el capítulo o sección del libro a la 
que el problema pertenece o los apuntes de clase donde está el tema relacionado al problema. Busca el significado 
de los términos que no conoces. Si no entiendes el significado de un término... ¿esperas, realmente, entender el 
problema? 
 
- Haz un dibujo del problema. Incluso un dibujo simple y rudimentario puede ser de gran ayuda. Un dibujo 
realmente bueno debería incluir lo siguiente: 
Un título que identifica la cantidad o incógnita que estás buscando en este problema. 
 
Títulos que identifican los parámetros o variables de las cuales depende la incógnita que estás tratando de 
encontrar y que son dadas como datos. Anota los valores de estos parámetros o variables en el dibujo. 
 
 F-24 
Identifica y anota cualquier parámetro o variable desconocido que debas calcular en el camino, u obtener 
de otra manera del texto, para poder calcular tu incógnita final. 
 
Siempre anota las unidades de medida de todas las cantidades que usarás en el problema. Si el dibujo es 
un gráfico, asegúrate de anotar las unidades y la escala (marcas) en ambos ejes. 
 
- Encuentra la (o las) ecuación que relaciona los distintos parámetros y variables del problema con las 
incógnitas que estás tratando de encontrar. En general, el diagrama va a sugerir cuales son ecuaciones que debes 
aplicar. 
 
En algunos casos, puede ser necesario extraer información adicional del enunciado del problema antes de 
definir las ecuaciones (fórmulas) apropiadas. Esto es generalmente cierto en aquellos casos en que la solución del 
problema debe ser encontrada indirectamente a partir de los datos dados. 
 
- Cuando tengas claridad de las ecuaciones que vas a utilizar: ¡anótalas ¡ aunque te parezca innecesario. 
Si las registras en cada problema que resuelves....... terminarás aprendiéndolas sin tener que recurrir a apuntes cada 
vez que las necesites. 
 
- Calcula la solución haciendo todos los pasos posibles sin reemplazar las variables y parámetros por sus 
valores numéricos. Este camino se llama el método formal, o algebraico. Se sugiere, fuertemente, para problemas 
sencillos y es el más indicado para problemas largos y complicados. 
 
- Repite el cálculo usando los valores numéricos desde el principio, de manera que los diferentes pasos te 
irán proporcionando valores numéricos intermedios. Este método tiene como desventaja que, dada la mayor cantidad 
de cálculos involucrados, es más probable que se cometan errores numéricos, provenientes de posibles 
aproximaciones que habrás hecho. Tiene la ventaja de que verás como la parte numérica del problema progresa en 
los diferentes pasos, y como los órdenes de magnitud se combinan para llegar a la respuesta final. A veces, es más 
fácil encontrar dónde se puede haber cometido un error siguiendo este método, cuando números inverosímiles 
aparecen en algún paso. 
- Haz una crítica de tu solución para ver si tiene sentido. Compara ésta solución con la de otros problemas 
similares que puedas haber resuelto, o pueda haber como ejemplos en el texto o los apuntes de clase. Muchas veces 
es posible hacer un control independiente simplemente haciendo un cálculo aproximado. Un cálculo aproximado 
debe dar una respuesta similar a la del cálculo más preciso. Si las respuestas difieren obviamente, esto será 
indicación de que hay un error en alguno de los caminos. 
 
- Controla las unidades del resultado. Esto es fundamental. Las unidades del resultado, luego de combinar 
todas las variables, parámetros y constantes que entren en las ecuaciones, tienen que ser las que se espera que la 
incógnita posea. Este control te ayudará a desarrollar tu intuición física acerca de lo que es una solución correcta. 
Esta intuición te será extremadamente útil en otros problemas y, en particular, en los exámenes. Por ejemplo: Si 
estás calculando una distancia, el resultado tiene que estar en unidades de longitud. No podría darse en unidades de 
tiempo o masa o cualquier otra. 
 
- Interpreta el resultado. Redacta la respuesta del problema de tal forma que cualquier persona 
(especialmente tú mismo) pueda encontrar la coherencia existente entre el enunciado del problema y su solución. 
 
- Si tienes tiempo, repite la solución haciéndola más rápido. En las pruebas o exámenes vas a tener que 
resolver problemas con la presión de tener un límite de tiempo. Esta clasede "entrenamiento" podría ser de utilidad 
para mejorar tus calificaciones. 
 
 Un excelente ejercicio es volver a revisar las soluciones de los problemas luego de un cierto tiempo (unos 
pocos días). Debería serte posible leer la solución y entenderla sin hacer ninguna referencia al texto o los apuntes 
de clases. Por lo tanto, la solución debería incluir una descripción de los pasos, los objetivos buscados con cada uno 
de ellos y los principios que se aplicaron. Estas notas y explicaciones, que podrían ser incluso substancialmente más 
extensas que las propias ecuaciones y derivaciones estrictamente necesarias para la resolución del problema, te 
serán de mucha utilidad en el momento de repasar el material para una prueba o examen. Más importante todavía, 
el proceso de elaboración de las explicaciones al problema te dará la seguridad de que no has pasado por alto 
ninguna información esencial para comprender el problema. 
 
 F-25 
Todo esto lo podemos resumir en los siguientes pasos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo resuelto: 
 
El papá de su amigo Rigoberto, ha adquirido un nuevo automóvil de 800 kg de masa y necesita conocer que fuerza 
en Newton le requiere aplicar al auto para cambiar de 0 a 90 km/h en 12 s. 
 
1. Se realiza un esquema de la situación 
 
 
2. Obtener datos: ti = 0s vi = 0 m/s 
 tf = 12s vf = 90 km/h 
 m = 800kg 
 F = ¿? 
 
3. Se observa que los datos no están todos en unidades de SI como requiere la respuesta (la consigna pregunta 
fuerza en N). Por lo tanto debe transformarse los km/h a m/s 
25m/s
3600s
1h
x
1km
1000m
x
h
km
90  
 
4. Se plantea las ecuación/es necesarias: para calcular la fuerza se utiliza la ecuación de la 2º Ley de Newton, 
pero desconocemos la aceleración; por lo cual primero debemos calcular la aceleración del movimiento para 
luego reemplazar el valor en la ecuación del cálculo de fuerza 
itf
t
iv



f
v
aya.mF 
5. Se susutituyen valores en las ecuaciones 
N6641F 








2
08,2.800.
2
/08,2
012
/0/25f
v
a
s
m
kgamF
sm
ss
smsm
itf
t
iv
 
Se debe comprobar que las unidades de la respuesta sean las correspondientes a la magnitud calculada 
 
6. Interpretación de la respuesta: La fuerza que se requiere aplicar al auto para cambiar de 0 a 90 km/h en 
12 s es de 1 664 N 
Lectura y comprensión del problema 
Sustituciones y procedimientos con unidades de medida 
Determinar los pasos a seguir 
Trazar un diagrama 
Incógnitas, con sus variables y unidades de medida requeridas 
Datos, con sus variables y unidades de medida 
Las fórmulas 
Resultado. 
Interpretación de los resultados obtenidos con unidades de medida. 
 F-26 
 
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS QUE TIENEN RESPUESTAS NUMERICAS Y DE 
LAS AUTOEVALUACIONES TIPO MÚLTIPLE OPCIÓN 
 
 
1.1 a) 2º b) 
1
2
1







 c) 
6
3
1






 d) 
3
1 e) 33 2
1
 
 
1.2 a) 3 x b) 
4
4
5
1
xx
x



 c) ba 22  
1.3 a) x-y b) abab c) 1
3
10
 ba d) a1 e) yxy3 
1.4 a) 3
5
3
 xy b) xy
2
1
 c) 
2
7
y d)
2
3
4
3
 xy 
 
1.6 a) x1= 1,85 x2= -1,35 b) x1= 3,35 x2= 0,15 c) Sin solución en R 
 d) x1= 4,96 x2= -2,96 e) x1= 2x2= -1 f) Sin solución en R 
 
1.7 1,36 104 kg/m3 
 
1.8 a) 2, 4 101 h b) 8,64 104 s c) 8,76 103 h d) 5,26 105 min e) 3,15 107 s 
 
1.9 c) 8,3 . 10-4 g/L 
 
1.10 a) B= 8,19 cm C= 5,74 cm = 55º 
 b) C= 27,5 cm = 66,5º = 23,5º 
 c) A= 32 cm C= 28,2 cm = 62º 
 
1.11 a) B= 17,4 cm = 85,6º = 59,4º 
 b) A= 7,39 cm = 72,32º = 79,68º 
 c) = 114,28º = 21,38º = 44,33º 
 d) A= 20,6 cm C= 4,3 cm = 10º 
 
1.15 a) {x = 2 ; y = 5} b) {x = -2 ; y = 3} c) {x = 2 ; y = -4} d) {x = 3 ; y = -2} 
 e) {x = 10 ; y = -4} f) {x = 1 ; y = -1} g) {x = -3 ; y = 2} h) {x = -5 ; y = -1} 
 
1.16 a) Los números son 205 y 155 
 b) Los ángulos miden 100º y 80º 
 c) Cada lado mide 9 cm y la base mide 6 cm. 
 
1.17 a) x3 (x2 – 12 x + 18) b) 11x. (7x4 – 4) c) a.b.(a-bc-4c3) 
1.18 a) (1 + 12m3)2 b) ( 2x + 1 )2 c) ( m +5 )3 d) ( x – 1 )3 
 
1.19 a) (12 m3)2 – (11 x4 y2)2 b) (6x4)2 – 32 c) ( x + 1 ) . ( x + 1,5 ) d) (x – 3) . (x + 2) 
 
1.20 a) 4 b) -2 c) 2 d) -3 
 
1.21 a) 2 b) 4 c) 8 d) 1/5