Álgebra_7_MIRIAM_ARELY_PEREZ_VILLEGAS

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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN Y SUPERACIÓN DOCENTE 
DEPARTAMENTO DE ESCUELAS NORMALES 
ESCUELA NORMAL SUPERIOR PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
TEOREMA EL RESIDUO Y DEL FACTOR 
ÁLGEBRA Y FUNCIONES 
MIRIAM ARELY PEREZ VILLEGAS 
Propósitos de la sesión 
 Enuncia los teoremas del residuo y del factor, reconoce las relaciones que involucran y el sistema 
axiomático para su demostración. 
 Utiliza los algoritmos que permiten resolver problemas que involucren los teoremas del residuo y del 
factor 
 
Teorema del residuo 
 
Nociones previas 
Al dividir dos cantidades enteras pueden suceder dos casos: 
1. Que la división sea exacta es decir que su residuo sea cero 
2. O que la división sea inexacta es decir que tenga residuo distinto de cero 
 
Ejemplos 
 
 
 
 
 
Como se puede observar, las dos primeras divisiones son inexactas por lo tanto tiene residuo distinto de cero 
y la tercera división es exacta por lo tanto su residuo es igual a cero 
 
Cuando el residuo en una división es cero el dividendo se puede escribir como un producto de dos factores 
60 = (12)(5) 
 
Al dividir un polinomio 𝑝(𝑥) entre 𝑥 − 𝑎, la división puede ser exacta o inexacta propongamos los siguientes 
ejemplos 
 
 
 
 
 
 
En el primer caso, la división es inexacta y su residuo es 42, en el segundo caso, la división es exacta y su 
residuo es cero 
𝑥2 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 8)( 𝑥 + 5) + 42 
 
3𝑥3 − 16𝑥2 − 45𝑥 + 70 = (𝑥 − 7)(3𝑥2 + 5𝑥 − 10) 
 
Ahora indaguemos que pasa si evaluamos cada uno de los polinomios por 𝑎 es decir por (-5) y (7) 
respectivamente: 
 
𝑝(−5) = (−5)2 − 3(−5) + 2 = 25 + 15 + 2 = 42 
 
𝑝(7) = 3( 7 )3 − 16(7 )2 − 45(7 ) + 70 = 1029 − 784 − 315 + 70 = 0 
 
¿Qué observas en ambos casos? 
Que el resultado corresponde al residuo de la división. 
 
¿Qué puedes deducir al dividir 𝑝(𝑥) entre 𝑥 − 𝑎? 
Que puedo conocer mi residuo incluso antes de efectuar mi división 
¿Cómo se puede obtener el residuo sin efectuar la división? 
Al evaluar p(a) de esa manera sabré cual es mi residuo 
 
¿Cómo puedes indagar si la división del polinomio 𝑝(𝑥) es divisible entre 𝑥 − 𝑎 (es decir la división es 
exacta)? 
Evaluando el polinomio p (a), si el resultado es 0 significará que es exacta. 
 
 
 
Teorema de residuo. Si un polinomio 𝑝(𝑥) se divide entre 𝑥 − 𝑎 entonces 𝑝(𝑎) = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 o simplemente 
𝑝(𝑎) = 𝑟 
 
Nota: 
 
 Si el divisor es x + a, como x + a = x - (- a), el residuo de la división del polinomio 𝑝(𝑥) entre x + a 
se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la x por –a 
 Si el divisor es x - a, como x - a = x - (+ a), el residuo de la división del polinomio 𝑝(𝑥) entre x - a se 
obtiene sustituyendo en el polinomio dado, la x por a 
 Si el divisor es de la forma 𝑏𝑥 ± 𝑎, el residuo de la división del polinomio 𝑝(𝑥) entre 𝑏𝑥 ± 𝑎 se obtiene 
sustituyendo la x por −
𝑏
𝑎
 o 
𝑏
𝑎
 respectivamente 
 
Actividad 1. Aplicación del teorema del residuo 
 
Halla el residuo de las siguientes divisiones de polinomios: 
 
1. 𝑝(𝑥) = −𝑥4 + 2𝑥3 − 2𝑥2 − 1 entre 𝑥 − 1 
 
𝑝(𝑥) = −(1)4 + 2(1)3 − 2(1)2 − 1 = −6 
 
2. 𝑝(𝑥) = 2𝑥2 − 2𝑥 + 3 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 − 1 
 𝑝(1) = 2(1)2 − 2(1) + 3 = 2 − 2 + 3 = 3 
 
3. 𝑝(𝑥) = −𝑥4 − 𝑥3 + 5 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 − 2 
 
 𝑝(2) = −(2)4 − (2)3 + 5 = −16 − 8 + 5 = −19 
 
 
4. 𝑝(𝑥) = 𝑥5 + 3𝑥4 − 2𝑥3 + 4𝑥2 − 2𝑥 + 2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 + 3 
 
 𝑝(𝑥) = (−3)5 + 3(−3)4 − 2(−3)3 + 4(−3)2 − 2(−3) + 2 = −243 + 243 + 54 + 36 + 6 + 2 = 98 
 
 
 
5. 𝑝(𝑥) = 5𝑥4 − 12𝑥3 + 9𝑥2 − 22𝑥 + 21 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 5𝑥 − 2 
 𝑝(𝑥) = 5(
2
5
)4 − 12(
2
5
)3 + 9 (
2
5
)
2
− 22(
2
5
) + 21 = 0.128 − 0.768 + 1.44 − 8.8 + 21 = 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 𝑝(𝑥) = 6𝑥5 + 2𝑥4 − 3𝑥3 − 𝑥2 − 3𝑥 + 3 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 3𝑥 + 1 
 
Solución: 
Como el divisor es de la forma 𝑏𝑥 + 𝑎 para obtener el residuo se sustituye x por −
1
3
 
 
𝑝 (−
1
3
) = 6 (−
1
3
)
5
+ 2 (−
1
3
)
4
− 3 (−
1
3
)
3
− (−
1
3
)
2
− 3 (−
1
3
) + 3 = 
 
= 6 (−
1
243
) + 2 (
1
81
) − 3 (−
1
27
) − (
1
9
) + 1 + 3 
 
=−
2
81
+
2
81
+
1
9
−
1
9
+ 1 + 3 = 4 
 
 
 
Teorema del factor. Un polinomio 𝑝(𝑥) tiene un factor 𝑥 − 𝑎 si y solo si 𝑝(𝑎) = 0 
 
Como puedes observar este teorema tiene como antecedente el teorema del residuo. 
 
Este teorema es muy importante porqué combinado con otros teoremas se pueden obtener las raíces de un 
polinomio y los ceros correspondientes 
 
¿Qué significa que 𝑥 − 𝑎 sea un factor de 𝑝(𝑥)? La respuesta es que lo divide exactamente, esto significa 
que su residuo es igual a cero 
 
Actividad 2. Aplicación del teorema del factor 
 
Verifica sin efectuar la división, si son exactas las siguientes divisiones: 
1. 𝑝(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 − 3 
 𝑝(3) = (3)2 − (3) − 6 = 9 − 9 = 0 
Si es división exacta porque el residuo es cero x-3 es un factor de p(x) 
2. 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 − 10 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 + 2 
 
𝑝(−2) = (−2)3 + 4(−2)2 − (−2) − 10 = −8 + 16 + 2 − 10 = 0 
Si es exacta, x+2 es un factor de p(x) 
 
3. 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 − 5𝑥3 + 7𝑥2 − 9𝑥 + 3 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 − 1 
 𝑝(1) = 2(1)4 − 5(1)3 + 7(1)2 − 9(1) + 3 = 2 − 5 + 7 − 9 + 3 = −2 
No es división exacta porque el residuo es -2, x-1 no, es un factor de p(x) 
4. 𝑝(𝑥) = 𝑥5 + 𝑥4 − 5𝑥3 − 7𝑥 + 8 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 + 3 
𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏. 𝑝(−3) = (−3)5 + (−3)4 − 5(−3)3 − 7(−3) + 8 = −243 + 81 + 135 + 21 + 8 = 2 
No es exacta tiene residuo igual a 2 
5. 𝑝(𝑥) = 4𝑥3 − 8𝑥2 + 11𝑥 − 4 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 2𝑥 − 1 
𝑝 (
1
2
) = 4(
1
2
)3 − 8(
1
2
)2 + 11(
1
2
) − 4 = 0.5 − 2 + 5.5 − 4 = 0 
Si es división exacta porque el residuo es cero 2x-1 es un factor de p(x) 
 
 
Verifica si 𝑥 − 𝑎 es un factor de 𝑝(𝑥) 
𝑝(𝑥) 𝑥 − 𝑎 Sustitución Gráfica 
 
 
 
 
𝑝(𝑥) = 𝑎3 − 2𝑎2 + 2𝑎 + 5 
 
 
 
 
𝑎 + 1 
 
 
 
𝒑(−𝟏) = (−𝟏)𝟑 − 𝟐(−𝟏)𝟐 + 𝟐(−𝟏) + 𝟓
= 𝟎 
Si es factor 
 
 
 
 
 
 
 
𝑝(𝑥) = 𝑥5 − 6𝑥4 + 6𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥 − 10 
 
 
 
 
𝑥 − 5 
 
𝑝(5) = (5)5 − 6(5)4 + 6(5)3 − 5(5)2
+ 2(5) − 10
= 3125 − 3750
+ 750 − 125 + 10
− 10 = 0 
Si es factor 
 
 
 
 
 
𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥 + 16 
 
 
 
 
𝑥 − 5 
𝑝(5) = 2(5)3 − 2(5)2 − 4(5)
+ 16
= 250 − 50
− 20 + 16
= 196 
No es factor 
 
 
 
 
 
 
𝑝(𝑥) = 𝑥4 + 5𝑥 − 6 
 
 
 
 
𝑥 − 1 
𝑝(1) = (1)4 + 5(1) − 6 = 0 
Sí es factor 
 
 
 
 
 
𝑝(𝑥) = 16𝑥4 − 24𝑥3 + 37𝑥2 − 24𝑥 + 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥 −
1
4
 
 
 
 
𝒑(𝒙) = 𝟏𝟔 (
𝟏
𝟒
)
𝟒
− 𝟐𝟒 (
𝟏
𝟒
)
𝟑
+ 𝟑𝟕 (
𝟏
𝟒
)
𝟐
− 𝟐𝟒 (
𝟏
𝟒
) + 𝟒 = 𝟎 
Si es factor 
 
 
Actividad 3. Aplicaciones del teorema del factor para factorizar un polinomio 
1. Analizar con el teorema del factor si el polinomio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 3 tiene como factores los 
siguientes binomios de la forma 𝑥 − 𝑎: 
a) 
𝑥 + 1 𝑝(−1) = (−1)3 + 3(−1)2 − (−1) − 3 = 0 Como su residuo es 0 x+1 es un factor p(x) 
𝑥 − 1 𝑝(1) = (1)3 + 3(1)2 − (1) − 3 = 0 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑥 − 1 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝(𝑥) 
𝑥 + 3 𝑝(−3) = (−3)3 + 3(−3)2 − (−3) − 3 = 0 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑥 + 3 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝(𝑥) 
b) Escribe la factorización de 𝑝(𝑥) 
(X+1)(X-1)(X+3) 
c) Halla las raíces de 𝑝(𝑥) 
(X+1)(X-1)(X+3) 
X+1=0 x-1=0 x+3=0 
𝑥1 = −1 𝑥2 = 1 𝑥3 = −3 
Los ceros del polinomio son los siguientes puntos 
 (−1, 0), ( 1,0), (−3,0) 
d) Dibuja su gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Analizar con el teorema del factor si el polinomio 𝑝(𝑥) = 3𝑥4 − 10𝑥3 − 15𝑥2 + 30𝑥 − 8 tiene como 
factores los siguientes binomios de la forma 𝑥 − 𝑎: 
a) 
𝑥 + 2 
3𝑥 − 1 
b) Escribe la factorización de 𝑝(𝑥) 
c) Halla las raíces y ceros de 𝑝(𝑥) 
d) Dibuja su gráficaSolución: 
 
Para 𝑥 + 2 𝑝(𝑥) = 3(−2)4 − 10(−2)3 − 15(−2)2 + 30(−2) − 8 = 48 + 80 − 60 − 60 − 8 = 0 
Como su residuo es 0 entonces 𝑥 + 2 es un factor de p(x) 
 
 
Para 3x-1 𝑝(𝑥) = 3 (
1
3
)
4
− 10 (
1
3
)
3
− 15 (
1
3
)
2
+ 30 (
1
3
) − 8 = 3 (
1
81
) − 10 (
1
27
) − 15 (
1
9
) + 30 (
1
3
) − 8 = 0 
Como su residuo es 0 entonces 3x-1 es un factor de p(x) 
 
e) Halla los otros factores de 𝒑(𝒙) factorizando 
 
Solución: 
 
No es tan directo encontrar la factorización pero como x+2 y 3x-1 son factores de p(x) entonces se puede 
hacer la división sintética de p(x) entre el producto de los factores ya conocidos y hallar el otro producto ok y 
después si se puede, factorizarlo. 
 
Producto (𝑥 + 2)(3𝑥 − 1) = 3𝑥2 − 𝑥 + 6𝑥 − 2 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟐 
 
Dividiendo a p(x) entre 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟐 
 
 
 
 
 
 
Como se puede observar la división tiene residuo cero por lo tanto 𝑥2 − 5𝑥 + 4 es un factor de p(x) 
 
Factorizando 𝑥2 − 5𝑥 + 4 = (𝑥 − 4)(𝑥 − 1) 
 
Como 𝑥 + 2, 3𝑥 − 1, 𝑥 − 4, 𝑥 − 1 son factores de p(x) entonces su factorización completa queda 
 
𝑝(𝑥) = (𝑥 + 2)(3𝑥 − 1)(𝑥 − 4)(𝑥 − 1) 
 
f) Halla las raíces y ceros de 𝒑(𝒙) 
 
Solución: 
 
Para hallar las raíces solo se igualan cada uno de los factores a cero y se despeja x: 
 
𝑥 + 2 = 0, 3𝑥 − 1 = 0, 𝑥 − 4 = 0, 𝑥 − 1 = 0 
 
𝑥1 = −2, 𝑥2 =
1
3
, 𝑥3 = 4, 𝑥4 = 1 
 
Los ceros del polinomio son los siguientes puntos 
 (−2, 0), ( 
1
3
, 0), (4,0), (1,0) 
 
 
 
 
 
 
g) Dibuja su gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Analizar con el teorema del factor si el polinomio 𝑝(𝑥) = 𝑥5 − 2𝑥4 + 4𝑥3 − 12𝑥2 − 45𝑥 + 54 tiene 
como factores los siguientes binomios de la forma 𝑥 − 𝑎: 
a) 
𝑥 + 2 𝑝(−2) = (−2)5 − 2(−2)4 + 4(−2)3 − 12(−2)2 − 45(−2) + 54 = 0 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜 
 𝑥 + 2 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝(𝑥) 
𝑥 − 3 𝑝(3) = (3)5 − 2(3)4 + 4(3)3 − 12(3)2 − 45(3) + 54 =0 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜 
𝑥 − 3 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝(𝑥) 
𝑥 − 1 𝑝(1) = (1)5 − 2(1)4 + 4(1)3 − 12(1)2 − 45(1) + 54 = 0 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜 
𝑥 − 1 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝(𝑥) 
 
b) Halla el otro factor dividiendo 𝑝(𝑥) 
(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) 
c) Halla las raíces y ceros de 𝑝(𝑥) 
 
(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) 
𝑥 + 2 = 0 𝑥 − 3 = 0 𝑥 − 1 = 0 
𝑥1 = −2 𝑥2 = 3 𝑥3 = 1 
(-2,0) (3,0) (1,0) 
d) Dibuja su gráfica 
 
Solución: