SL1_UNIDAD_3_H

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DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEÑAL 
La técnica de reducción de diagramas de bloques usando el reconocimiento y la inspección visual 
de estructuras clásicas es sencilla pero tediosa y larga, porque depende de la habilidad del analista 
para la inspección, y también del redibujo los esquemas resultantes. Esa técnica es recomendable 
para cuando los esquemas de control son sencillos y medianamente complicados. No obstante 
cuando los sistemas son más grandes y complicados ese método se hace muy laborioso. 
Alternativamente existe un procedimiento más efectivo para encontrar la relación entre las 
variables de un sistema de control complicado. Ese método fue desarrollado por S.J. Mason y está 
basado en el concepto de “Gráfico de Flujo de Señal”. 
 
Gráfico de Flujo de Señal 
Es un diagrama que representa a un conjunto de ecuaciones algebraícas, lineales y simultáneas. El 
gráfico de flujo de señal consiste en una red en la cual los nodos están conectados por ramas con 
dirección y sentido. 
Enseguida se presentan algunas definiciones importantes para la comprensión del método: 
Nodo. Es un punto que representa a una variable o señal. 
Transmitancia. Es la ganancia entre dos nodos. 
Rama. Es un segmento de línea con dirección y sentido que une a dos nodos. 
Nodo Fuente. Es un nodo que solamente tiene ramas que salen. 
Nodo de Salida. Es un nodo que solo tiene ramas de entrada. 
Camino o Trayecto. Es un recorrido de ramas, conectado en el sentido de las flechas de las ramas. 
Si el trayecto no cruza ningún nodo más de una vez, el trayecto es abierto. Si el trayecto finaliza en 
el mismo nodo del que partió, entonces el trayecto es cerrado. 
Lazo. Es un trayecto cerrado. 
 Ganancia de Lazo. Es el producto de las ganancias o transmitancias de las ramas de un lazo. 
Lazos Disjuntos. Lazos que no tienen nodos comunes. 
Trayecto Directo. Es el trayecto del nodo de entrada al de salida, que no cruza ningún nodo más de 
una vez. 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
Considere el siguiente Diagrama De Flujo De Señal, encuentre a) Los nodos de entrada; b) Los nodos 
de salida; c) número de lazos y ganancias de cada lazo; d) Trayectos directos y sus ganancia; e) Las 
ecuaciones que representa el gráfico de flujo de señal: 
 
X1
X2 X3
X4
a
b
1
c
X5
d
 
Solución: 
a) En el gráfico X1 y X4 son nodos de entrada 
b) X5 es un nodo de salida. 
c) Se observa un lazo L1 con ganancia b×c 
d) Existen dos trayectos directos P1 de x1 a x5, con ganancia a×b×1 y P2 de x4 a x5 con ganancia 
d×1 
e) Las ecuaciones que representa el gráfico son: 
X2=aX1+cX3 
X3=bx2+dX4 
X5=X3 
 
 
Las propiedades de los Gráficos De Flujo De Señal son las siguientes: 
1. Una rama indica la dependencia funcional de una señal con respecto a otra. La señal se 
desplaza únicamente en la dirección y sentido de la rama. 
2. Un nodo suma las señales de entrada y transmite esa suma competa a todas las ramas de 
salida. 
3. Un nodo mixto, que tiene señales de entrada y señales de salida puede ser considerado 
como nodo de salida añadiendo una rama de salida con ganancia unitaria. 
4. Para un sistema dado, el diagrama de flujo de selñal no es único. 
 
 
Enseguida se presenta una figura del álgebra de Los Gráficos De Flujo De Señal : 
 
a) 
X2= ax1X1 X2
a
 
b) 
X1
X2
a
x3
b
= X1 X3
ab
 
c) 
a
b
X1 X2 = X1 X2
a+b
 
d) 
=
X4
c
X3
X4
 
e) 
X1 X3
ab/1-bc
X3
a
b
c
X1
X2
=
 
 
Ejemplo: 
Representar en un Gráfico De Flujo De Señal el siguiente conjunto de ecuaciones lineales y simultáneas: 
X1=a11X1+a12X2+a13X3+b1U1 
X2=a21X1+a22X2+a23X3+b2U2 
X3=a31X1+a32X2+a33X3 
U’s= variables de entrada 
X’s= variables de salida 
 
Solución: 
b1 1 a23
1
U1
1
x1
a11
x1 x2
x3
x3
x2
1
a32
a13
a31
a22
a33
a12
a21
U2
b2
 
 
Gráficos De Flujo De Señal De Sistemas Control, A Partir De Su Diagrama De Bloques 
Se puede realizar un gráfico de flujo de señal a partir de un diagrama de bloques funcionales, 
considerando las siguientes reglas: 
a) Es un nodo cada punto suma 
b) Es un nodo cada señal de salida de bloque de función 
c) La ganancia o transmitancia de la rama correspondiente será igual a la ganancia del bloque 
analizado. 
 
 
Ejemplo: 
Obtener el Gráfico de Flujo de Señal del siguiente diagrama de bloques. 
 
G1 G2
H
+
-
+
-
R(S)
C(S)
N(S)
 
Solución: 
S1
R
1 G1 1
N
1
S2
1 G2
C
-H
Primer punto 
suma
Salida de bloque 
de función
segundo punto 
suma
Salida de bloque 
de función
Nodo 
entrada
Nodo 
entrada
Nodo 
salida
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmula De Ganancia De Mason Para Gráficos De Flujo De Señal 
La ganancia o transmitancia entre un nodo de entrada y uno de salida es la ganancia o transmitancia 
total del sistema y está dada por la fórmula de Mason siguiente: 
𝑃(𝑆) =
𝐶(𝑆)
𝑅(𝑆)
=
1

∑𝑃𝐾𝐾
𝐾
 
Donde: 
K= Número de trayectos directos diferentes entre la entrada y la salida del sistema 
PK= Ganancia del k-ésimo trayecto directo 
= Determinante del gráfico 
= 1-(Suma de todas las ganancias de lazo distintas) + (Suma de productos de las ganancias de 
todas las combinaciones posibles de dos lazos no adjuntos) - (Suma de productos de las 
ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos no adjuntos) +  
 = 1 −∑𝐿𝑎
𝑎
+∑𝐿𝑏𝐿𝑐
𝑏,𝑐
− ∑ 𝐿𝑑𝐿𝑒𝐿𝑓
𝑑,𝑒,𝑓
 
K= Cofactor del determinante del k-ésimo trayecto directo con los lazos adjuntos del k-ésimo 
trayecto directo quitados. 
Ejemplo: 
Usando un Gráfico De Flujo De Señal y la fórmula de Mason, encontrar la función de transferencia 
o ganancia total, del siguiente sistema de control. 
 
G1 G2
H
++
+-R(S) C(S)G3
H2
+-
 
 
 
Solución: 
Aplicando las reglas de conversión, el Gráfico De Flujo De Señal correspondiente es el siguiente. 
Notar que el signo de la ganancia de retroalimentación depende del signo de entrada al punto 
suma o diferencia: 
 
R
1 1 G1 G2 G3 1
C
-1
H1
-H2
S1 S2
S3
P1
 
En el esquema siguiente, que es el mismo que el anterior, podemos distinguir, con una línea azul 
punteada, al único trayecto directo P1, que une a la entrada y a la salida del sistema, así K=1; 
también se pueden distinguir tres lazos diferentes que se indican con líneas punteadas rojas. 
R
1 1 G1 G2 G3 1
C
-1
H1
-H2
S1 S2
S3
P1
L1
L2
L3
 
 Para el único trayecto P1 la ganancia es igual al producto de las ganancias del trayecto: 
P1=G1G2G3 
 Existen tres lazos distintos con ganancias: 
 L1=-G1G2G3 
L2=G1G2H1 
L3=-G2G3H2 
 No existen lazos disjuntos, porque todos los lazos se tocan entre sí, en algún punto. 
 El determinante del gráfico de flujo de señal es: 
 
=1-(L1+L2+L3) 
=1-(-G1G2G3 + G1G2H1 - G2G3H2) 
=1+ G1G2G3 - G1G2H1 + G2G3H2 
 
 Como K=1, entonces se tendrá sólo un cofactor del gráfico, 1 , el cual se obtiene del 
determinante anterior  quitando de la expresión las correspondientes ganancias de lazo 
que toquen al trayecto directo P1. En este caso se quitarán las ganancia L1, L2 y L3 porque 
los tres lazos tocan al trayecto P1, así 1=1 . 
 Entonces, finalmente aplicamos la fórmula de Mason para encontrar la Función de 
transferencia: 
𝑃(𝑆) =
𝐶(𝑆)
𝑅(𝑆)
=
1

∑𝑃𝐾𝐾
𝐾
=
1
𝟏+𝑮𝟏𝑮𝟐𝑮𝟑−𝑮𝟏𝑮𝟐𝑯𝟏+𝑮𝟐𝑮𝟑𝑯𝟐
(𝑃11) 
 
𝑃(𝑆) =
1
𝟏+𝑮𝟏𝑮𝟐𝑮𝟑−𝑮𝟏𝑮𝟐𝑯𝟏+𝑮𝟐𝑮𝟑𝑯𝟐
(𝑮𝟏𝑮𝟐𝑮𝟑)(𝟏) 
 
 La función transferencia completa es: 
 
𝑷(𝑺) =
𝑮𝟏𝑮𝟐𝑮𝟑
𝟏+𝑮𝟏𝑮𝟐𝑮𝟑−𝑮𝟏𝑮𝟐𝑯𝟏+𝑮𝟐𝑮𝟑𝑯𝟐
 
 
Se invita al estudiante a que aplique el método de reducción de bloques funcionales para 
que compruebe el resultado anterior y compare la efectividad y simpleza del método de 
S.J. Mason. 
Otro ejemplo: 
Usando un Gráfico De Flujo De Señal y la fórmula de Mason, encontrar la función de transferencia 
del siguiente sistema de control. 
C(S)
G2
G4 +-
+
+R(S) G5
H2
+- G1
G3
 
 
 
Solución: 
Aplicando las reglas de conversión, se obtiene el Gráfico de Flujo de Señal siguiente, 
1
1
G1
G2
G3
1
C
-1
S1
-H2
G4S2G5
R
1
1
S3
 
 Aunque el esquema siguiente, es el mismo que el anterior, podemos distinguir, dos 
trayectos directos que unen la entrada con la salida en el sistema. Con una línea azul 
punteada, al trayecto P1 y con una línea roja punteada al trayecto P2, así K=2. 
 
1
1
G1
G2
G3
1
C
-1
S1
-H2
G4S2
G5
R
1
1
S3
P1
P2
 
 Trayectos directos: 
P1=G1G2G4G5 
P2=G1G3G4G5 
 También se pueden distinguir tres lazos cerrados diferentes, cuyas ganancias son el 
producto de las transmitancias de sus trayectorias: 
L1=-G1G2G4G5 
L2=-G1G3G4G5 
L3=-G5H2 
Pudiera confundirse que existe un lazo en el circuito de las ganancias G2 y G3, pero eso no 
aplica por el sentido de las ramas. 
 
 Como los tres lazos distintos se tocan en al menos un punto, entonces no existen lazos 
disjuntos. 
 En tal caso el determinante del grafico es: 
 
=1-(L1+L2+L3) 
=1-(-G1G2G4G5-G1G3G4G5-G5H2) 
=1+G1G2G4G5+G1G3G4G5+G5H2 
 
 Como K=2, entonces se tendrán dos cofactores del gráfico, 1 y 2 , los cuales se obtienen 
del determinante anterior , quitando de la expresión las correspondientes ganancias de 
lazo que toquen a cada trayecto directo. En este caso se quitarán de la fórmula del 
determinante las ganancias L1, L2 y L3 en cada caso, para 1 y 2 porque los tres lazos tocan 
a ambos trayectos, así 1=1 y 2=1. 
 Entonces, finalmente aplicamos la fórmula de Mason para encontrar la Función de 
transferencia: 
𝑃(𝑆) =
𝐶(𝑆)
𝑅(𝑆)
=
1

∑𝑃𝐾𝐾
𝐾
 
 
=
1
𝟏−𝑮𝟏𝑮𝟐𝑯𝟏+𝑮𝟐𝑮𝟑𝑯𝟐 +𝑮𝟏𝑮𝟐𝑮𝟑
(𝑃11 + 𝑃22) 
 
 La función transferencia completa es: 
 
𝑷(𝑺) =
(𝑮
𝟏
𝑮𝟐𝑮𝟒𝑮𝟓)(𝟏) + (𝑮𝟏𝑮𝟑𝑮𝟒𝑮𝟓)(𝟏)
𝟏+𝑮𝟏𝑮𝟐𝑮𝟒𝑮𝟓+𝑮𝟏𝑮𝟑𝑮𝟒𝑮𝟓 +𝑮𝟓𝑯𝟐
 
 
𝑷(𝑺) =
𝑮𝟏𝑮𝟐𝑮𝟒𝑮𝟓+𝑮𝟏𝑮𝟑𝑮𝟒𝑮𝟓
𝟏+𝑮𝟏𝑮𝟐𝑮𝟒𝑮𝟓+𝑮𝟏𝑮𝟑𝑮𝟒𝑮𝟓 +𝑮𝟓𝑯𝟐
 
 
 
Nuevamente se invita al estudiante a que aplique el método de reducción de bloques 
funcionales para que compruebe el resultado anterior y compare la efectividad y simpleza 
del método de S.J. Mason. 
 
 
Otro ejemplo más: 
Para el siguiente gráfico de flujo de señal, encuentre la ganancia o transmitancia total. 
 
G1 G2
G7
G3
C
G4
R
-H1
G5
G6
-H2
 
 En siguiente esquema podemos distinguir, tres trayectos directos que unen la entrada con 
la salida del sistema, entonces K=3. La línea punteada verde corresponde al primer trayecto 
P1 ; la línea punteada roja corresponde al segundo trayecto P2. La línea punteada morada 
indica el tercer trayecto directo P3. También se señala la ubicación del primer lazo y las líneas 
punteadas amarilla, azul y marrón para los lazos L2, L3 Y L4, 
 
G1 G2
G7
G3
C
G4
R
-H1
G5
G6
-H2
P1
P2
P3L1
L2
L3
L4
 
 Las ganancias de los Trayectos directos: 
P1=G1G2G3G4G5 
P2=G1G2G7 
P3=G1G6G4G5 
 
 También se pueden distinguir cuatro lazos diferentes, 
L1=-G4H1 
L2=-G2G3G4G5H2 
L3=-G2G7H2 
L4=-G6G4G5H2 
 Existen dos lazos disjuntos, que no se tocan y son L1 y L3 
 En tal caso el determinante del grafico es: 
 
=1-(L1+L2+L3+L4)+(L1L3) 
=1-(-G4H1-G2G3G4G5H2-G2G7H2-G6G4G5H2)+( -G4H1)( -G2G7H2) 
=1+G4H1+G2G3G4G5H2+G2G7H2+G6G4G5H2+ G2G4G7H1H2 
 
 Como K=3, entonces se tendrán tres cofactores del gráfico, 1, 2 y 3, los cuales se 
obtienen del determinante , quitando de la expresión las correspondientes ganancias de 
lazo que toquen a cada trayecto directo. En este caso 1=1, ya que todos los trayectos tocan 
a P1 en algún punto. 2=1+G4H1 porque el segundo trayecto es tocado por L2, L3 Y L4. 
También 3=1 porque todos los lazos tocan al tercer trayecto. 
 Ahora aplicamos la fórmula de Mason para encontrar la Función de transferencia: 
𝑃(𝑆) =
𝐶(𝑆)
𝑅(𝑆)
=
1

∑𝑃𝐾𝐾
𝐾
 
=
1(𝑃11 + 𝑃22 + 𝑃33)
𝟏 + 𝑮𝟒𝑯𝟏 + 𝑮𝟐𝑮𝟑𝑮𝟒𝑮𝟓𝑯𝟐 + 𝑮𝟐𝑮𝟕𝑯𝟐 + 𝑮𝟔𝑮𝟒𝑮𝟓𝑯𝟐 + 𝑮𝟐𝑮𝟒𝑮𝟕𝑯𝟏𝑯𝟐
 
 
=
(𝑮𝟏𝑮𝟐𝑮𝟑𝑮𝟒𝑮𝟓)(1) + (𝑮𝟏𝑮𝟐𝑮𝟕)(1 + 𝑮𝟒𝑯𝟏) + (𝑮𝟏𝑮𝟔𝑮𝟒𝑮𝟓)(𝟏)
𝟏 + 𝑮𝟒𝑯𝟏 + 𝑮𝟐𝑮𝟑𝑮𝟒𝑮𝟓𝑯𝟐 + 𝑮𝟐𝑮𝟕𝑯𝟐 + 𝑮𝟔𝑮𝟒𝑮𝟓𝑯𝟐 + 𝑮𝟐𝑮𝟒𝑮𝟕𝑯𝟏𝑯𝟐
 
 
 La función transferencia completa es: 
 
𝑃(𝑆) =
𝑮𝟏𝑮𝟐𝑮𝟑𝑮𝟒𝑮𝟓 + 𝑮𝟏𝑮𝟐𝑮𝟕 + 𝑮𝟏𝑮𝟐𝑮𝟒𝑮𝟕𝑯𝟏 + 𝑮𝟏𝑮𝟔𝑮𝟒𝑮𝟓
𝟏 + 𝑮𝟒𝑯𝟏 + 𝑮𝟐𝑮𝟑𝑮𝟒𝑮𝟓𝑯𝟐 + 𝑮𝟐𝑮𝟕𝑯𝟐 + 𝑮𝟔𝑮𝟒𝑮𝟓𝑯𝟐 + 𝑮𝟐𝑮𝟒𝑮𝟕𝑯𝟏𝑯𝟐