Metodos numericos

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Métodos Numéricos 
 
 
Actividad - Unidad 4 - 2021 I 
 
 
 
 
Presentado por: 
Roosevelt Daniel Santos Vanegas 
Camilo Andrés Pérez Córdoba 
 
 
 
Presentado a: 
JUAN MUSKUS MUSKUS 
 
 
 
Universidad de Córdoba 
Facultad de ingeniería 
 
 
 
 
Montería - 2021 
 
 
 
Ejercicio 1- Polinomio de Taylor de 4 grado, alrededor Xₒ=0 de: 
 
Ahora teniendo la ecuación tenemos que evaluarla en Xₒ=0 
𝑓(0) =
𝑒0
2 − 𝑒0
= 1 
Teniendo la función ya evaluada, proseguimos a realizar las posteriores derivadas correspondientes 
al grado de este. 
𝑓(𝑥)′ = 
𝑒𝑥
2 − 𝑒𝑥
 
Utilizamos la regla del cociente 
 
𝑓(𝑥)′ = 
(𝑒𝑥)′(2 − 𝑒𝑥) − (2 − 𝑒𝑥)′𝑒𝑥
(2 − 𝑒𝑥)2
 
𝑓(𝑥)′ = 
𝑒𝑥(2 − 𝑒𝑥) − (−𝑒𝑥)𝑒𝑥
(2 − 𝑒𝑥)2
 
Simplificamos 
𝑓(𝑥)′ = 
2𝑒𝑥
(2 − 𝑒𝑥)2
 
Evaluamos la función en Xₒ=0 dándonos como resultado f(x)’=2 
𝑓(0)′′ =
2𝑒0
(2 − 𝑒0)2
= 2 
Aquí tendríamos f(x)’ que seria nuestra primera derivada, procederemos realizar la segunda. 
𝑓(𝑥)′′ = 2 (
𝑒𝑥
(2 − 𝑒𝑥)2
) 
Sacamos la constante y derivamos lo que nos queda utilizando la regla del cociente nuevamente. 
𝑓(𝑥)′′ = 2 (
(𝑒𝑥)′(2 − 𝑒𝑥)2 − ((2 − 𝑒𝑥)2)𝑒𝑥
((2 − 𝑒𝑥)2)2
) 
Realizamos las derivadas correspondientes 
𝑓(𝑥)′′ = 2 (
𝑒𝑥(2 − 𝑒𝑥)2 − (−2𝑒𝑥(2 − 𝑒𝑥))𝑒𝑥
((2 − 𝑒𝑥)2)2
) 
Simplificamos esta expresión 
𝑓(𝑥)′′ =
2𝑒𝑥(𝑒𝑥 + 2)
(2 − 𝑒𝑥)3
 
Evaluamos la función en Xₒ=0 dándonos como resultado f(x)’’=6 
𝑓(0)′′ =
2𝑒0(𝑒0 + 2)
(2 − 𝑒0)3
= 6 
Aquí tendríamos f(x)’’ que sería nuestra segunda derivada, procederemos realizar la tercera. 
𝑓(𝑥)′′′ =
2𝑒𝑥(𝑒𝑥 + 2)
(2 − 𝑒𝑥)3
 
Sacamos la constante y derivamos lo demás. 
𝑓(𝑥)′′′ = 2 (
𝑒𝑥(𝑒𝑥 + 2)
(2 − 𝑒𝑥)3
) 
𝑓(𝑥)′′′ = 2 (
𝑒𝑥(𝑒𝑥 + 2)′(2 − 𝑒𝑥)3 − ((2 − 𝑒𝑥)3)(𝑒𝑥(𝑒𝑥 + 2))
((2 − 𝑒𝑥)3)2
) 
Simplificamos esta expresión 
𝑓(𝑥)′′′ = 2 (
(2𝑒𝑥 + 2𝑒2𝑥)(2 − 𝑒𝑥)3 − (−3𝑒𝑥(2 − 𝑒𝑥)2)(𝑒𝑥(𝑒𝑥 + 2))
((2 − 𝑒𝑥)3)2
) 
Simplificamos esta expresión para obtener f(x)’’’ que sería nuestra tercera derivada 
𝑓(𝑥)′′′ =
2𝑒𝑥(8𝑒𝑥 + 𝑒2𝑥 + 4)
(2 − 𝑒𝑥)4
 
Evaluamos la función en Xₒ=0 dándonos como resultado f(x)’’’=26 
𝑓(0)′′′ =
2𝑒0(8𝑒0 + 𝑒2(0) + 4)
(2 − 𝑒0)4
= 26 
Aquí tendríamos f(x)’’’ que sería nuestra tercera derivada, procederemos realizar la cuarta. 
𝑓(𝑥)′′′′ =
2𝑒𝑥(8𝑒𝑥 + 𝑒2𝑥 + 4)
(2 − 𝑒𝑥)4
 
Utilizamos la regla del cociente 
 
𝑓(𝑥)′′′′ = 2
(𝑒𝑥(8𝑒𝑥 + 𝑒2𝑥 + 4))
′
(2 − 𝑒𝑥)4 − ((2 − 𝑒𝑥)4)′(𝑒𝑥(8𝑒𝑥 + 𝑒2𝑥 + 4))
((2 − 𝑒𝑥)4)2
 
Realizamos las respectivas derivadas que nos indica la regla del cociente 
𝑓(𝑥)′′′′ = 2
(4𝑒𝑥 + 16𝑒2𝑥 + 3𝑒3𝑥)(2 − 𝑒𝑥)4 − (−4𝑒𝑥(2 − 𝑒𝑥)3)(𝑒𝑥(8𝑒𝑥 + 𝑒2𝑥 + 4))
((2 − 𝑒𝑥)4)2
 
Simplificamos la expresión 
𝑓(𝑥)′′′′ =
2𝑒𝑥(44𝑒𝑥 + 𝑒3𝑥 + 22𝑒2𝑥 + 8)
(2 − 𝑒𝑥)5
 
Evaluamos la función en Xₒ=0 dándonos como resultado f(x)’’’’=150 
𝑓(0)′′′′ =
2𝑒0(44𝑒0 + 𝑒3(0) + 22𝑒2(0) + 8)
(2 − 𝑒0)5
= 150 
Teniendo f(x)’, f(x)’’, f(x)’’’ y f(x)’’’’ procedemos a sustituirlo en la ecuación general del polinomio 
de Taylor. 
 
𝑓(𝑥) = 1 + 2(𝑥 − 𝑥ₒ) + 6
(𝑥 − 𝑥ₒ)2
2!
+ 26
(𝑥 − 𝑥ₒ)3
3!
+ 150
(𝑥 − 𝑥ₒ)4
4!
 
Simplificamos. 
𝑓(𝑥) = 1 + 2(𝑥) + 6
𝑥2
2
+ 26
𝑥3
6
+ 150
𝑥4
24
 
Simplificamos la ecuación final del polinomio de Taylor de 4to grado. 
𝑓(𝑥) = 1 + 2𝑥 +
𝑥2
12
+
𝑥3
156
+
𝑥4
3600
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine el Polinomio de Interpolación de Lagrange para la siguiente tabla. 
 
𝑃 = 𝑦ₒ
(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂)(𝑥 − 𝑥₃)
(𝑥ₒ − 𝑥₁)(𝑥ₒ − 𝑥₂)(𝑥ₒ − 𝑥₃)
+ 𝑦₁
(𝑥 − 𝑥ₒ)(𝑥 − 𝑥₂)(𝑥 − 𝑥₃)
(𝑥₁ − 𝑥ₒ)(𝑥₁ − 𝑥₂)(𝑥₁ − 𝑥₃)
+ 𝑦₂
(𝑥 − 𝑥ₒ)(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₃)
(𝑥₂ − 𝑥ₒ)(𝑥ₒ − 𝑥₁)(𝑥ₒ − 𝑥₃)
+ 𝑦₃
(𝑥 − 𝑥ₒ)(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂)
(𝑥₃ − 𝑥ₒ)(𝑥ₒ − 𝑥₁)(𝑥ₒ − 𝑥₂)
 
Reemplazamos en esta ecuación con los datos de la tabla que nos proporcionan. 
𝑃 = 𝑦ₒ
(𝑥 − 3)(𝑥 − 5)(𝑥 − 7)
(1 − 3)(1 − 5)(1 − 7)
+ 𝑦₁
(𝑥 − 1)(𝑥 − 5)(𝑥 − 7)
(3 − 1)(3 − 5)(3 − 7)
+ 𝑦₂
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)
(5 − 1)(5 − 3)(5 − 7)
+ 𝑦₃
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 5)
(7 − 1)(7 − 3)(7 − 5)
 
Simplificamos esta expresión para deshacernos de los paréntesis y términos semejantes. 
𝑃 = 𝑦ₒ
𝑥3 − 15𝑥2 + 71𝑥 − 105
(−2)(−4)(−6)
+ 𝑦₁
𝑥3 − 13𝑥2 + 47𝑥 − 35
(2)(−2)(−4)
+ 𝑦₂
𝑥2 − 11𝑥2 + 31𝑥 − 21
(4)(2)(−2)
+ 𝑦₃
𝑥3 − 9𝑥2 + 23𝑥 − 15
(6)(4)(2)
 
Simplificamos nuevamente la expresión resultante. 
𝑃 = 𝑦ₒ
𝑥3 − 15𝑥2 + 71𝑥 − 105
24
+ 𝑦₁
𝑥3 − 13𝑥2 + 47𝑥 − 35
16
+ 𝑦₂
𝑥2 − 11𝑥2 + 31𝑥 − 21
−8
+ 𝑦₃
𝑥3 − 9𝑥2 + 23𝑥 − 15
−16
 
Unimos todos estas fracciones. 
𝑃 =
𝑥3
24
−
15𝑥2
24
+
71𝑥
24
−
105
24
+
𝑥3
16
−
132
16
+
47𝑥
16
−
35
16
−
𝑥3
8
+
11𝑥2
8
−
31𝑥
8
+
21
8
−
𝑥3
16
+
9𝑥2
16
−
23𝑥
16
−
15
16
 
Los agrupamos según su grado. 
𝑃 = 𝑥3 (
1
24
+
1
16
−
1
8
−
1
16
) + 𝑥2 (−
15
24
−
13
16
+
11
8
+
9
16
) + 𝑥 (
71
24
+
47
16
−
31
8
−
23
16
)
+ (−
105
24
−
25
16
+
21
8
+
15
16
) 
Realizamos las operaciones contenidas en estos paréntesis dándonos como resultado la ecuación 
de interpolación. 
𝑃 = −
1
12
𝑥3 +
1
2
𝑥2 +
7
12
𝑥 − 3 
3. Encuentre el mismo polinomio, pero esta vez mediante las diferencias divididas de Newton. 
Tenemos los puntos: 
 
Recordemos la formula general para los polinomios n-ésimos de Newton: 
𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1 (𝑥 − 𝑥0 ) + ⋯ + 𝑏𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )… (𝑥 − 𝑥𝑛−1) 
 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 
Tenemos en cuenta los siguientes puntos: (1, −2), (3,1), (5,2), (7, −3) 
Sabiendo que son 4 puntos, nuestro polinomio será de grado 3: 
Luego tenemos lo siguiente: 
𝑏ₒ = 𝑓(𝑥ₒ ) = −2 
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 12. 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑏1 = 𝑓[𝑥1, 𝑥0 ] =
 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 )
𝑥1 − 𝑥0
 
 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑏2 = 𝑓[𝑥2, 𝑥1, 𝑥0 ] = 
𝑓[𝑥2, 𝑥1 ] − 𝑓[𝑥1, 𝑥0]
 𝑥2 − 𝑥0 
= 
𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1)
 𝑥2 − 𝑥1
 −
 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0)
 𝑥1 − 𝑥0
𝑥2 − 𝑥0
 
𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑏3 = 𝑓[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0 ] = 
𝑓[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1 ] − 𝑓[𝑥2, 𝑥1, 𝑥0]
𝑥3 − 𝑥0
 
=
𝑓[𝑥3, 𝑥2 ] − −𝑓[𝑥2, 𝑥1 ]
𝑥3 − 𝑥1 − 
𝑓[𝑥2, 𝑥1 ] − 𝑓[𝑥1, 𝑥0 ] 
𝑥2 − 𝑥0 
𝑥3 − 𝑥0
= 
𝑓(𝑥3 ) − 𝑓(𝑥2)
 𝑥3 − 𝑥2 −
 𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1 
𝑥3 − 𝑥1 − 
𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1 − 
𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
 𝑥2 − 𝑥0 
𝑥3 − 𝑥0
 
𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
Ahora reemplazamos valores para determinar los coeficientes: 
Reemplazamos en Ecu. Polinomio de Lagrange 
𝑏1 = 
𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 )
 𝑥1 − 𝑥0 
= 
𝑓(3) − 𝑓(1)
3 − 1
 =
 1 − (−2)
2
 = 
3
2 
 
Ahora en: 
 𝑏2 = 
𝑓(5) − 𝑓(3)
5 − 3 
 − 
𝑓(3) − 𝑓(1)
 3 − 1 
5 − 1 
= 
2 − 1
5 − 3
 −
 1 − (−2)
3 − 1
 5 − 1 
= 
1
 2 − 
3
2 
4
 = −
1 
4
 
Finalmente, en 
 𝑏3 = 
𝑓(7) − 𝑓(5)
7 − 5
 − 
𝑓(5) − 𝑓(3)
5 − 3
7 − 3 −
 𝑓(5) − 𝑓(3)
5 − 3
 − 
𝑓(3) − 𝑓(1)
3 − 1
 5 − 1
7 − 1
 
= 
−3 − 2 
7 − 5 
−
 2 − 1
 5 − 3
 
7 − 3
− 
2 − 1 
 5 − 3
−
 1 − (−2) 
3 − 1
 
5 − 1
 7 − 1
 = 
−5
2 −
 1 
2
4 
 − 
1
2 − 
3
2 
4
 
6
 
= −
 1
 2 
6 
= − 
1 
12 
 
Ahora aplicamos en el polinomio de Lagrange: 
 𝑓3 (𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑏2 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑏3(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
𝑓3 (𝑥) = −2 +
 3
2
 (𝑥 − 1) − 
1
4
 (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) − 
1 
 12
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 5) 
 𝑓3 (𝑥) = −2 + 
3
2 
 𝑥 − 
3 
2 
− 
𝑥2
4
 + 𝑥 −
3
 4
 − 
𝑥3
12
 + 
3𝑥2
4
 − 
23𝑥
12
 + 
5
4 
 
Simplificamos: 
𝑓3 (𝑥) = 
− 𝑥3 − 6𝑥2 − 7𝑥 + 36 
12
 
𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜n