ejercicio de fisica propuestos (8)

Vista previa del material en texto

TEMA N° 2; ALGEBRA VECTORIAL
1.- a) Para los vectores del plano A, B y C, 
representados en la figura adjunta, evaluar 
cuáles serán sus componentes según los 
sistemas cartesianos XY y X'Y', y según el 
sistema de coordenadas polares (o cilindri­
cas).
b) Represente gráficamente el conjunto de 
coordenadas (-2,3) primero suponiendo que 
esas coordenadas están referidas al sistema de 
referencia cartesiano XY, y después que lo 
están respecto al sistema de referencia cartesiano X 'Y ¿Define ese conjunto a un mismo 
vector? ¿Representa algún vector en el sistema de coordenadas polares?
a) Empecemos evaluando las componentes de los tres vectores respecto al sistema de referencia sin prima XY.Según podemos observar en la figura, las componentes del vector A serán: (A*, Ay) = (2,2) ya que las proyecciones del vector sobre los ejes x e y coinciden con dichos valores. De aquí podemos deducir que el ángulo de giro del sistema X'Y' respecto al XY es 45°, ya que taga = 2/2=1 -a=45°.Por otro lado, el vector B, razonando de igual manera, tendrá como componentes: (Bx, By) = (-3,-1).De la figura concluimos que el módulo del vector C será igual a 3 (|C|=3). Entonces, las componentes de este vector serán: (Cx, Cy) = (3-cos45°, - 3-cos45°) = (3>/2/2 , -372/2) “ (2'12,-2'12).Evaluemos ahora las componentes respecto al sistema de referencia con prima X'Y'.El vector A tiene un módulo, | A | =(22 + 22)1/2 = 78 = 272. Entonces, las componentes del vector serán ahora: (Ax-, Ay ) = (272,0).Para conocer las componentes del vector B, tendremos que proyectar sobre los ejes x'e y'. El ángulo que forma el vector con el eje negativo de la x será tal que: tagó= |By|/|Bx| = = |-11/| -31 = 1/3 -»5 = 18'43°. Por tanto, el ángulo que forma B con el eje y' positivo será: 450+5= 63 '43 °. Y como el módulo de B es igual a ((-3)2+ (-1 )2)1/2 = 710, las componentes serán: (Bx., By.) = (- 710- sen (63'43°) , 710- cos(63'43°))- (-2'83 , 1'41).
13
Las componentes del vector C pueden obtenerse de forma directa: (Cx., Cy) = (0 , -3).
Veamos las componentes de los vectores respecto al sistema de referencia en coordenadas polares.En polares, los vectores se expresan dando su módulo, y el ángulo que forman con la dirección positiva del eje x. El origen de ángulo es por tanto el eje x positivo y el criterio de signo se expresa en la figura: ángulos positivos serán los tomadosen el sentido & fihorario, y negativos los tomados en sentido horario. Si llamamos a, 0 y y a los ángulos que forman A, B, y C (tal como indica la figura anterior), tendremos que las componentes en polares serán:
A Ia L 2^/2 45o
® I® 1(3 - 198 '43°
C “ । । Y " -45’ ~ 3(360-45)» “ 3315 =
Donde se ha determinado el valor de 0 a partir del valor 5 calculado con anterioridad, dado que 0=18O°+5=18O°+18'43°= 198'43°. Igualmente, se ha considerado que el ángulo negativo y= - 45° equivale al ángulo positivo 360°- 45°= 315°, pues son realmente el mismo ángulo.
Como conclusión a este apartado, podemos decir que un mismo vector tendrá diferentes componentes según el sistema de referencia que se elija. Por tanto, es muy importante indicar claramente respecto a qué sistema de referencia se tomarán componentes.Note que, sin embargo, el módulo de un vector es independiente del sistema de referencia, por lo que se dice que es un invariante.
A B CSist. ref. XY (2, 2) (-3,-1) (3/2/2, -3/2/2)Sist. ref. X Y (2^2,0) (-2'83,1'41) (0, -3)Sist. ref.Coord Polares (2/2,45) (710, 198'43) (2,-45)
14
b) Si dibujamos ese conjunto de coordenadas (-2,3) según ambos sistemas de referencia cartesianos, se obtiene lo siguiente:
Donde podemos observar que los vectores que representa dicho conjunto en los diferentes sis­temas de referencia (Dy D ) son distintos. Esto nos hace pensar nuevamente que es fundamental indicar respecto a qué sistema de referencia están expresados las componentes de un vector.
Respecto a si dichas coordenadas representan algún vector en el sistema de referencia en coordenadas polares, la respuesta es negativa, dado que la primera coordenada debe ser el módulo del vector (que en este caso coincidiría con -2); pero esto no sería posible pues el módulo de un vector es siempre positivo (por definición).
2.- Un ciclista que se halla en la ciudad A, 
desea ir a la ciudad E situada al otro lado de 
una montaña muy abrupta y de difícil acceso 
(zona sombreada). Por tanto, decide bordearla, 
realizando los siguientes desplazamientos: de A 
a B recorre lOKm; de B a C 15 Km; de C a D 
11 Km; y de D a E 24 Km. Dichos despla­
zamientos se realizan según se indica en el mapa 
adjunto. Determine cuál es la posición de la 
ciudadE respecto a la A.
El desplazamiento de A a E, se puede concebir como la suma de los desplazamientos AB, BC, CD y DE. Cada uno de estos desplazamientos pueden representarse como un vector que une los puntos. Así, los desplazamientos que realiza el ciclista (referidos al sistema de referencia de la figura) vienen dados por los vectores:
- í? [?AB = (10 • cos45°, 10 • sen45°) = (10^,10-^) = (5^2,5^)
BC = (15•cos20°, 15•sen20° ) - (14'10,5'13)
CD = ( - 11 • sen40°, 11 • cos40°) “ (-1'07, 8'43)
DE = (-24 , 0)
15