ejercicio de fisica propuestos (15)

Vista previa del material en texto

cada punto, recurrimos al concepto de derivada (local)1. La derivada de T respecto a x enel punto x=x', viene dada por:
dT 
dx
= 15 • 3 • x '2 = 45 x '2
Por tanto su valor depende del punto que consideremos (x'). Las unidades de dT/dx serán °C/m.Evaluemos entonces el cambio de temperatura por unidad de longitud en los puntos solicitados. — = 0 °C / m
dT
k ^X> x '= 0 '50
= 45-0 '502 = 11 '25°C /m
dT
k ^X7 x'=0 '75
= 45-0 '752 - 25 '31 °C /m
k dx / x'= 0 '90
45 • 0 '902 = 36 '45 °C /m
Vemos cómo los resultados concuerdan con lo observado con anterioridad en la repre­sentación gráfica. Así, los cambios en la temperatura son cada vez mayores conforme nos acercamos a x=l
c) La aproximación que se indica en el enunciado nos lleva al siguiente resultado:
T (x=l) “ 26 '33°C + 25'31 — • Q'25m - 32 '66°C 
m
Recuerde que la derivada de una función T respecto a la variable x (de la que depende) en el punto x=x', se calcula como el límite:
dT , , T(x ' + Ax) - T(x ')---- = lim -------------------------------
k dx) x=x. Ax-o &xEs decir es el límite, cuando Ax tiende a cero, del cociente del cambio que se produce en la función cuando se cambia x de x' al valor x'+Ax, entre el valor del cambio en x (Ax). En definitiva representa el cambio que se produce en la magnitud T por unidad de cambio en la variable x, en el punto x'.
34
Donde se ha considerado que,
T (x '= 0 '75) = 20 + 15 • 0 '753 “ 26 '33 °C
/ 
dT
< > x'= 0 '75
25 '31 °C/m
kx = 1 - 0 '75 = 0 '25 m
Entonces, el error que se comete en la estimación de T(x=l) será:
T (x=l) - T (x=l)est “ 35 - 32 '66 = 2 '34°C
La causa de que el valor estimado (32'66 °C) no coincida con el valor, tomado como exacto (35°C), se debe a que el cambio de temperatura por unidad de longitud no se mantiene constante desde el punto x = x' = 0'75, hasta el extremo derecho de la barra, sino que va aumentando.Eso hace que el cálculo anterior sea una infravaloración del valor real.
Si la dependencia de T con x fuera lineal (del tipo T(x)=ax+b, con a y b constantes) la estimación hubiera sido exacta, ya que dT/dx no dependería del punto y se cumpliría que T(x) = T(x)est = T(x') + (dT/dx)x- (x-x').Esto puede observarse claramente en la gráfica adjunta. En ella, x' = 0'75, x = 1, y por tanto Ax = x - x' = 0'25.
El punto estimado se ha representado mediante un círculo blanco y el exacto mediante uno negro.Evidentemente la estimación será tanto más buena cuanto más nos acerquemos al extremo derecho. Así, si en lugar de considerar el punto x'=0'75, consideramos el punto x'=0'90, la estimación de T(x=l) siguiendo el proceso anterior, resulta de T(x=l)est - 34'58 °C.
35
2 .- La cantidad de carga que por segundo circula por la resistencia de un circuito 
eléctrico viene dada por la expresión: I(t) = 1/2 +t - 5^/2. Esta expresión es válida desde 
el instante t=0, hasta que ya no circula carga (1=0). Si t se introduce en segundos, I 
resulta en coulombios por segundo (C/s). Evalúe la cantidad total de carga (en C) que 
pasa a través de la resistencia.
En primer lugar, vamos a determinar hasta cuándo circulará carga. Para ello, igualamos 1=0.Las soluciones de esta ecuación de segundo grado nos darán los instantes en que 1=0. Resolviendo se llega a lo siguiente.1 512— + t - --------2 2 0 — 5 t2-2 t-1 = 0 - t = 10La solución negativa carece de sentido físico, por lo que el tiempo buscado será,
Determinemos a continuación la carga total que circula en el intervalo de tiempo [0 , 0'69],
Si analizamos la expresión de la cantidad de carga que circula por segundo (I(t)), vemos que no es constante.De hecho, si representamos la función I(t) frente al tiempo t, observamos que I aumenta desde 0 hasta 0'2 segundos, y a partir de ahí disminuye. En definitiva, dependiendo del instante de tiempo en que nos encontremos, así será la cantidad de carga que por segundo circule a través de la resistencia. Por ejemplo, para t=0 circulan 0'5 coulombios por segundo, para t=0'2 circulan 0'6 coulombios por segundo y así sucesivamente.
Note que I(t') (valor de I en el instante t ) representará realmente a la derivada de Q respecto de t, en el instante t=t'. Efectivamente, si llamamos Q(t') a la cantidad de carga que ha circulado por la resistencia desde 0 hasta t' (función que no es conocida en principio), el cociente (dQ/dt)t=t representará la carga que circula por segundo en el instante t'. Como hemos dicho antes, este valor depende del instante (t ) considerado. O sea, esa rapidez de paso de carga no es la misma a lo largo de un cierto intervalo finito de tiempo △t.
Entonces, sólo podremos evaluar de manera exacta la carga que pasa en intervalos muy
36