ejercicio de fisica propuestos (16)

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pequeños de tiempo; o sea, haremos tender At a cero (At“dt),
= de = nJ
At- 0 At- 0 \ At
At dQ
< t=t
dt = I( t ') dt
La suma de esas cantidades de carga (dQ) a lo largo del intervalo total de tiempo ([0 , 0'69]), nos dará la carga neta (Q) que ha circulado por la resistencia.
Sustituyendo en la expresión anterior, la carga que pasará desde t' hasta t'+dt, será:
dQ = I(t ') • dt = ( — + t ' - — t'2) dt2 2
Esta cantidad depende del instante t' considerado. Así, si consideramos el mismo intervalo de tiempo (dt) pero en un instante posterior la carga será diferente (observeel área de cada rectángulo).La carga total (Q) será la suma (integral) de todas las cantidades dQ:
ir — + t '- — t '2) dt =2 2 0 '69 0 '31 Ct ' t'2___ +--------2 2
Entonces el área que la curva I(t) subtiende sobre el eje de abcisas (t) será de 0'31 (Q).Note que si la cantidad de carga que por segundo circula por el circuito fuese constante (I *I(t)), la carga total que circula en un cierto intervalo se evaluaría como el producto de la cantidad de carga que pasa cada segundo (que se mantiene constante) por el tiempo considerado. Es decir, Q = I- At.
Q = [ dQ = f^Idt = I f^dt =
JQ JO Jo
Ht)
Ibt
Ya que al ser I constante, puede salir fuera de la integral.
Observe que cuando evaluamos una integral, lo que en realidad estamos haciendo es una suma de muchos sumandos ("muy pequeños", es decir, diferenciales). Si todos los sumandos son iguales, el cálculo de la suma se reduce, como se ha comentado antes, a una simple multiplicación.
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3 .- Un vector r (x, y) tiene sus componentes expresadas enfunción del tiempo, de la forma: 
x(t) = 2t2 + 2 ; y(t) = t + 1, de modo que al sustituir t en segundos, se obtienen las 
componentes en metros. Determinar:
a) El cambio que experimenta r entre los instantes t = 1, y t = 2.
b) El cambio que experimenta r entre los instantes t = 1, y t = 1 01.
c) Calcular el cambio que se produce por unidad de tiempo (por segundo) en cada uno de 
los intervalos anteriores.
d) Calcular el cambio por unidad de tiempo de forma "exacta".
a) Tal y como se expresa en el enunciado, el vector r podría corresponder al vector de posición que localiza a un punto material en movimiento, en cualquier instante de tiempo 
tlxll
Los cambios que experimenta cualquier mag­nitud física se expresan matemáticamente a través de la resta. Así, a través de la resta se efectúa una comparación de la magnitud, de forma que si el resultado de la resta es cero, entonces la magnitud no habrá cambiado. Este procedimiento será aplicable tanto a magnitudes escalares como a vectoriales.
Entonces, en nuestro caso se tendrá que,r (t = 1) = r (1) = (4,2)r (t = 2) = r (2) = (10 , 3)
De la figura vemos claramente que r(l) * r(2), por lo que el punto material se ha movido. Y ahora, ¿cómo cuantifícamos el cambio?. Pues con la resta. Para restar vectores (expresados en componentes cartesianas) restamos sus componentes,△r = r (2) - r (1) = (10-4, 3-2) = (6, 1) (m )
Gráficamente es fácil ver que Ar debe ser tal que sumado con r(l) resulte r(2).
b) Ahora se pide calcular el cambio que se produce en un intervalo muy pequeño de tiempo. Obviamente, el procedimiento será el mismo, y resultará entonces,△r = (0 '0402 , 0 '0100} (m }
c) Para evaluar los cambios que se producen por unidad de tiempo, habrá que efectuar una 
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división. Así, si llamamos Ar al cambio que se produce en un tiempo At, el cambio que se producirá por unidad de tiempo será igual al cociente Ar/At.Entonces, en el caso a) se tendrá que el cambio que se produce en r por segundo es,△r (6,1) , , , * , / \— = -— = (6 , 1) (m/s)△ t 1
Ya que At = 2 - 1 = 1 s.Y para el caso b),
— - ..94O.L_!.. 0 01 = (4 '02 , 1 '00) (m/s)
At 0 '01
Puesto que At = 1'01 - 1 = 0'01 s.Los cocientes evaluados nos dan una idea "aproximada" de cómo son los cambios que por segundo se producen en el vector r, en el instante t = 1.
Estos cambios por unidad de tiempo deben ser interpretados como un promedio, pues en la comparación se utilizan los vectores de posición en dos instantes concretos. Los cambios que se hayan podido producir en tiempos intermedios al intervalo considerado, no se han tenido en cuenta.Además, el cociente dependerá de cuál es el valor del intervalo. Si en lugar de 0'01 s, dejamos pasar sólo una milésima de segundo (At = 0'001 s), se llega entonces a que Ar/At “(0'004002,0'001000) / 0'001 = (4'002 , 1 '000) (m/s), que es ligeramente diferente a lo obtenido antes.Lo que si es evidente es que cuanto menor sea el intervalo de tiempo considerado, más rigurosa será la medida del cambio en r por unidad de tiempo. Pero, ¿cuánto de pequeño tendrá que ser?.
d) Para obtener una medida exacta del cambio que por segundo sufre el vector de posición, en un instante dado, tendremos que hacer tender el intervalo de tiempo a cero (At - 0) y evaluar entonces el valor del cociente Ar/At.
Ello sólo será posible si trabajamos con funciones, en lugar de con valores discretos. Lo que hacemos entonces es comparar r(t) con r(t+At) cuando At tiende a cero. De este modo, lo que buscamos es,, , r (t + At) - r (t) r (t + dt) - r (t) dr ( dx dy at-o At dt . dt dt dt ,
En el caso que estamos tratando, se tendrá que,
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