ejercicio de fisica propuestos (21)

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nulo; esto es, d4>=0. Lo que equivale a que V<|)p- dr=0.Esto indica que V4>p es un vector perpendicular a dr. Pero dr es un vector tangente a la superficie equiescalar que pasa por el punto P, por lo que el vector V<t>P, es decir, el vector gradiente en el punto P, es normal (perpendicular) a la superficie en dicho punto.
Observemos ahora la figura de la derecha donde en esta ocasión nos desplazaremos fuera de la superficie equies­calar.
Supongamos que queremos evaluar la variación que por unidad de longitud sufre la función $ en una determinada dirección (especificada por el vector unitario ur), a partir delpunto P.Si hacemos un desplazamiento en esa dirección y de valor dr (módulo del vector dr), el cambio que por unidad de longitud se producirá en (}) vendrá dado por,T^T - = v<>, • = VOp • ur - i^$pl • cose| dr| dr dr
donde 6 es el ángulo que forma el vector gradiente con el vector ur.
Podemos deducir entonces que la máxima variación de la magnitud por unidad de longitud se producirá en la dirección del gradiente, pues en tal caso 6=0 =» cos6 =1, y el producto | V4>p| • cos0 será máximo. Es decir, la máxima variación de (J) en el punto P se presenta en la dirección de V(|)P, que es la normal a la superficie equiescalar en el punto P Igualmente se deduce que el módulo del vector gradiente será esa máxima variación.
dr, , / max |Vq>p| • eos 0o = |V<pp|
Hemos visto cuál es la dirección y el módulo del vector, ¿cuál será su sentido?. Hemos visto que si me desplazo (dr) en la dirección y sentido del gradiente (6=0), la variación en 4> será máxima, y por tanto positiva, por lo que el sentido de V<j> será el de crecimiento (máximo) de <|)
Ya hemos determinado el vector gradiente de la magnitud escalar cf) en el punto P, pues hemos definido cuáles son su módulo, dirección y sentido.
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Resolución del ejercicio planteadoPara resolver la cuestión propuesta en este ejercicio, basta entonces con calcular el vector gradiente en el punto considerado (2,1,-1), pues en su dirección se dará la más fuerte variación de la función.
Vcp = — i + — j + — k = 9x2y2z i + 6x3yz j + 3x3y2 k 
dx dy dzV0p = V<|>(2fl = 36 i - 48 j + 24 k
El vector unitario que indica la dirección de máxima variación de c|) en P será:V$ 36 . 48 . 24’ = _______ = __________ i - ----------- j + -----------|V0| ^4176 /4176 /4T76
11 .- La temperatura de un horno viene dada por la expresión: T(x,y,z) = 750 - 2X2 - óy2 - 
6^ (°C). Hallar VT en el punto P(3,-l,4).
¿ Cuál será el cambio temperatura que se producirá por unidad de longitud en la dirección 
del vector (1,2,0), a partir del punto P?.
Determinemos en primer lugar el gradiente de temperatura.
VT = = (-4x,-10y,-12z)
dx dy dz )Esta es la expresión (en cartesianas) del vector gradiente en un punto cualquiera (x,y,z) del espacio. Las componentes vendrán dadas en °C/m.Entonces en el punto considerado el valor de VT será,Vrl(3,-i,4) = (-12,10,-48)
De esta forma, el máximo crecimiento de temperatura por unidad de longitud, a partir del punto P, tendrá lugar en la dirección del vector calculado. Además el valor de ese máximo crecimiento tendrá un valor igual a,|VT|3.,.J ■ 50 -48"C/m
Si decidimos por ejemplo desplazarnos, desde cada punto, en la dirección y sentido del vector gradiente, nos dirigiríamos, por el camino más corto, a las zonas de mayor temperatura del horno. Y, desplazándonos en sentido opuesto al del gradiente, nos diri­giríamos a las zonas más frías del homo.
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Vamos a evaluar a continuación el cambio de temperatura que por unidad de longitud se produce en la dirección dada por el vector (1,2,0), partiendo del punto anterior (3,-1,4). Sabemos que el cambio que se produce en la temperatura del punto P, cuando realizamos un desplazamiento dr, puede expresarse como,
dT = VTp- dr = VTp- {dr - uj
Donde dr es el módulo del vector dr, y ur un vector unitario en la dirección y sentido del desplazamiento dr. Entonces, el cambio de temperatura que por unidad de longitud se producirá en la dirección del vector ur (que es la misma que la del desplazamiento dr) vendrá dado por el cociente,
dT 
dr
En nuestro caso, el vector unitario ur será:ur = (1, 2, 0) / |(1, 2, 0)| = (1, 2, 0) / 75.Entonces nos queda,
— = (-12,10,-48) 
dr
(1,2,0) /5 ° C- 3'58 — m
Que es sensiblemente menor que la variación de temperatura que se produce por unidad de longitud en la dirección del gradiente.
Esto nos indica que siguiendo la dirección del vector (1,2,0) nos desviaríamos de la zona de altas temperaturas del homo (partiendo del punto P considerado). En definitiva, lo que se ha hecho para evaluar la variación en la dirección de dr, es proyectar el gradiente en dicha dirección.
Por último, hemos visto que a través del vector gradiente podremos calcular el cambio que por unidad de desplazamiento se produce en una magnitud escalar cualquiera, y en la dirección que se desee (dirección que irá especificada por el vector unitario ur). Esto se conoce como derivada direccional.
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