ejercicio de fisica propuestos (25)

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SOLUCIONES
16. - a) Recta que pasa por los puntos (0,20) y (1,35)
b) 15°C/m
c) Nulo.
17. - Aproximadamente 777 litros.
18. - dr/dt = -15 sen (0'25 t) i + 15 eos (0'25 t) j (m/s).Sólo el módulo (60 m) permanece constante.19. - v (2'5) = 25>/3 i (m/s).
20. - a) pg (U. Presión / m); en la dirección del vector k.b) pg / \/5 (U. Presión / m).
22 .- |dA/dt|=275 y d|A| / dt = 24 / \/33 , ambas en t=2.
23 .- a)12J.b) 12 J
c) U(x,y,z) = x + y + z + xyz + cte.
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TEMA N° 4: CINEMÁTICA DEL PUNTO
1 .- El vector de posición de un proyectil, con respecto a un cierto sistema de referencia, 
viene dado por las ecuaciones r = 2000 t + 250 ; tp = - (n/8) t + 2n/3 , en coordenadas 
polares (unidades S.I.). Determinar:
a) Su trayectoria, de forma aproximada.
b) Su distancia respecto al origen del sistema de referencia, en el instante t = 6 s.
c) En qué instante se encontrará por primera vez sobre la vertical de ese punto (origen del 
sistema).
d) Con qué velocidad se acerca o se aleja de él en el momento en que su vector de posición 
forme 30° con la horizontal.
e) El vector velocidad en el instante t = 2 s, dando sus componentes en la dirección del 
vector de posición (uj y en la perpendicular (uf, y en componentes cartesianas. Explique 
razonadamente, el significado de cada una de las componentes..
a) Para hacemos una idea de la trayectoria que sigue el proyectil, estudiaremos el vector de posición del mismo. Así, vemos que en t = 0 el proyectil se halla en un punto situado a 250 metros del origen del sistema de referencia (pues r(0) = | r(0) | = 250), y formando un ángulo de <p(0) = 2tc/3 rad = 120°, con respecto al sentido positivo del eje x. A partir de ese instante, su distancia al origen aumenta (a 2000 m cada segundo), mientras el ángulo<p disminuye a razón de k/8 rad (= 22'5°) proyectil es una espiral, y la recorre en sentido horario.
b) La distancia del proyectil al origen del sistema de referencia (punto O) en el instante t = 6 segundos, será de valor, r(6) = 2000- 6 + 250= 12250 m= 12'25 Km.
Además, <p(6) = 6 (-it/8) + 2tt/3 = - tt/12 rad = - 15°.
por segundo. Por tanto, la trayectoria del
c) El proyectil se hallará sobre la vertical del origen (O) cuando el ángulo que forma el vector de posición con la dirección positiva del eje x (ángulo (p) sea de 90° (k/2 rad). Esto tendrá lugar en un instante t tal que,
<P(0 = y
7t 2k 7T— t + ---- = —8 3 2 - t = - - 1'3 5 6
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La trayectoria del proyectil, y los instantes t = 0, t » 1'3 y t = 6, se han representado en la figura anterior.
d) La rapidez con la que se aleja o acerca el proyectil del origen, será igual a la rapidez con la que cambie el módulo del vector de posición (es decir dr/dt, donde r = | r|).Como r = 2000 t +250, se tendrá que,
— = r = 2000 mis 
dt
Es decir, el proyectil se aleja 2000 metros cada segundo. Y esta rapidez es, como vemos, independiente del tiempo, por lo que cuando el vector de posición forme 30° con la horizontal también será de 2000 m/s. Si hubiera dependencia con t, habría que evaluar el instante en que <p = 30° = z/6 rad, y determinar dr/dt para el instante calculado.
e) El vector de posición (r(t)) puede expresarse como el producto de su módulo (r) por un vector unitario en su misma dirección y sentido (llamémosle ur). Es decir, r(t) = r ur. De esta forma se hallan expresadas las características del vector: su módulo, a través de r, y su dirección y sentido, a través del vector unitario ur. En nuestro caso, se tendrá que,
r = 2000 t + 250
h * 8 3Ur = coscpí + sentpj = eos i + sen 7T 2k'— t + —8 3 J
La velocidad (v) es la rapidez con la que cambia el vector de posición. Así, si dejo pasar un cierto tiempo dt, el vector de posición habrá cambiado una cantidad dr Entonces, el cociente dr/dt, me dará el cambio que por segundo se produce en el vector de posición. El vector v se evalúa entonces como la derivada, v = dr/dt. Esta derivada será cero, si no cambia ninguna de las características que definen al vector; y será diferente de cero si cambia alguna de ellas. Además v será un vector tangente a la trayectoria del móvil, por serlo el vector dr.Pero, evaluemos esa derivada,
dr 
dt
dr— u 
dt
v
dur
+ r----- 
dtDado que, como hemos comentado antes, v representa la variación temporal del vector de posición, en esta expresión se hallan resumidas esas posibles variaciones.
Así, el primer término, dr/dt ur, es proporcional a dr/dt, por lo que pone de manifiesto cuáles son los cambios en el módulo del vector de posición. Si r no cambia, este término 
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