teoria y problemas fisica (9)

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Igual que en el caso anterior, supongamos que la camioneta O’ parte 
del reposo con una aceleración constante a. Para el observador fijo 
O, el cuerpo en reposo sobre la mesa de la camioneta permanecerá 
en reposo respecto al sistema inercial O, pero no permanecerá en 
reposo respecto de la mesa. Para el observador O’ en la camioneta 
acelerada, apoyado sobre la mesa no permanecerá en reposo sino 
que iniciará un movimiento uniformemente acelerado, esta 
aceleración es de la misma magnitud pero de sentido contrario a la 
aceleración de la camioneta. 
2.2.6.	VARIABLES	CINEMÁTICAS	
 
La cinemática presenta variables que se denominan variables 
cinemáticas; estas son: posición, velocidad y aceleración. Definamos 
cada una de ellas. 
POSICIÓN ( ) 
La posición que tiene una partícula es un punto referenciado donde 
se encuentra dicha partícula La posición se define como el vector que 
une el punto donde se encuentra una partícula con el origen de un 
sistema de referencia.El vector posición 𝑟consta de tres 
componentes, por tanto𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧). Debe aclararse que pueden 
existir posiciones negativas, esto se da cuando el objeto se encuentra 
en el eje negativo de un sistema de referencia, por ejemplo: 
 
 
 
 
 
En la figura 2.26, si definimos como positiva la dirección hacía la 
derecha, el estudiante A se encuentra a 2.0[m] del origen del sistema 
de referencia, en tanto que, el estudiante B estará en una posición de 
–1.5[m] respecto a dicho origen. Las unidades de la posición son 
unidades de longitud. En el SI será el [m]. 
 
DESPLAZAMIENTO @𝑫..⃗ A 
Se define el desplazamiento como el cambio de posición de una 
partícula. En la figura 2.27 se observa la partícula que se encuentra 
en la posición 𝑟U, si ésta se desplaza hasta la posición �⃗�U, ha 
cambiado de posición. El desplazamiento resulta de la resta vectorial 
entre�⃗�U y 𝑟C, y. Entonces, el vector desplazamiento ∆𝑟será 
expresado como: 
∆𝑟 = 𝑟C − �⃗�U 
 
 
Si una partícula se encuentra en el punto A y se desplaza hasta el 
punto B, como muestra la figura 2.28.a. El vector desplazamiento 
será la unión de los puntos AB, mediante un vector. 
El movimiento de una partícula se describe en su totalidad mediante 
una gráfica que relacione la posición con el tiempo. Tomemos el 
tiempo en el eje de abcisas y la posición en el eje de ordenadas y 
procedemos a graficar cada posición en función del tiempo. Si la 
partícula se mueve desde la posición x1 hasta la posición x, el 
r!
 
 
desplazamiento de la misma es ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥U, sin importar cual fue 
la trayectoria. 
 
 
Por ejemplo, si la variación de la posición en el tiempo está dada por 
la siguiente expresión: 
𝑥 = 2𝑡C − 3𝑡 
Se puede realizar la gráfica posición tiempo, para lo cual daremos 
valores a t y calcularemos x: 
n t[s] x[m] 
1 0 0 
2 1 -1 
3 2 2 
4 3 9 
5 4 20 
 
Podemos calcular también el desplazamiento en cada uno de los 
intervalos de tiempo de 1[s]. 
∆𝑥\vU = 𝑥U − 𝑥\ = −1 − 0 = −1[𝑚] 
∆𝑥UvC = 𝑥C − 𝑥U = 2 − (−1) = 3[𝑚] 
∆𝑥Cvw = 𝑥w − 𝑥C = 9 − 2 = 7[𝑚] 
∆𝑥wvx = 𝑥x − 𝑥w = 20 − 12 = 8[𝑚] 
 
VELOCIDAD ( ) 
La velocidad es la variación de la posición en el tiempo. Si un cuerpo 
se encuentra inicialmente en una posición xo en el tiempo to y, 
transcurrido un tiempo t, la nueva posición de la partícula es x, como 
se muestra en la figura, significa que la partícula se ha movido de su 
posición original, es decir, ha adquirido velocidad, ha variado su 
posición en el tiempo. Muchas veces escuchaste la palabra 
“rapidez” y quizá pensaste que se trataba de velocidad, por ejemplo 
se dice que el jugador Ronaldinho del Brasil es muy rápido o muy 
veloz. Ambos términos no significan lo mismo.La rapidez es la tasa 
entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en esa distancia, se 
trata de un escalar. En otras palabras la rapidez es la magnitud de la 
velocidad. 
La velocidad media (promedio de todas las velocidades de un cuerpo 
en su desplazamiento) puede ser calculada de las siguientes formas: 
v!
 
 
𝑣y =
∆T⃗
∆z
= TvT{
zvz{
																																	3.1.a 
𝑣y =
|.⃗ }v|.⃗ {
C
																																													3.1.b 
 
 
Sin embargo, generalmente se desea conocer la velocidad en un 
determinado punto, es decir, en un instante de tiempo particular y no 
en un intervalo. A la velocidad en esas condiciones se le llama 
velocidad instantánea. 
 
La figura 2.31 muestrala gráfica posición- tiempo, la curva representa 
a la velocidad, para conocer la velocidad instantánea en el punto P, 
se toma un intervalo Dt, al que le corresponde un intervalo Dx; si se 
tratara de un triángulo, los catetos serían Dt y Dx, pero ¡no es un 
triángulo! porque la hipotenusa es curva, para tener un verdadero 
triángulo, se debe llegaral punto P donde Dt tiende a cero, puesto que 
Dt se ha minimizado, también lo ha hecho Dx, entonces, en el punto 
P se tiene un diminuto triangulo verdadero cuya tangente representa 
a la velocidad, es decir, la velocidad es la tangente de una curva en 
un punto. Para determinarla y, puesto que la velocidad, al igual que la 
derivada es la tangente de una curva en un punto, (ver Apéndice 1) 
se tendrá: 
𝒗..⃗ = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
∆𝒙..⃗
∆𝒕
= 𝒅𝒙..⃗
𝒅𝒕
																																						(2.6) 
Las unidades de la velocidad en el SI son [m/s]. 
ACELERACIÓN ( ) 
La aceleración es la variación de la velocidad en el tiempo. Si el 
automóvil del ejemplo ha cambiado de velocidad al transcurrir el 
tiempo, (figura 2.32), se dice que ha adquirido aceleración, la que 
puede ser positiva (aumento develocidad) o negativa (disminución de 
velocidad). 
La aceleración media, (promedio de todas las aceleraciones que tuvo 
el objeto en movimiento durante toda su trayectoria), puede ser 
calculada mediante la siguiente ecuación: 
�⃗�y =
∆|.⃗
∆z
= |v|{
zvz{
 (2.7) 
 
Análogamente a lo que hicimos en la sección anterior, graficamos la 
velocidad en función del tiempo (figura 2.33), la curva es la 
aceleración. Para conocer la aceleración instantánea en el punto P, 
utilizaremos el mismo razonamiento que para la velocidad, haciendo 
que Dt tienda a cero. En el punto P se tendrá la aceleración 
instantánea en el punto B. 
 
Para determinarla usamos la ecuación 6 del Apéndice 1. 
𝒂..⃗ = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
∆𝒗..⃗
∆𝒕
= 𝒅𝒗..⃗
𝒅𝒕
																																(2.8) 
La unidad de la aceleración en el SI es [m/s2]. 
a!