teoria y problemas fisica (18)

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Ejemplo 2.27. Marcos patea una pelota con una velocidad de 20[m/s] 
formando un ángulo de 30º con la horizontal. Determinar: (a) el 
tiempo que tarda en llegar a la altura máxima; (b) el tiempo de vuelo 
de la pelota; (c) la altura máxima a la que llega la pelota; (d) su 
recorrido horizontal máximo y; (e) para que tiempos se encontrará a 
una altura de 1.5[m] del suelo. 
Estrategia de Resolución. Para determinar el tiempo de subida y la 
altura máxima, debe tenerse en cuenta que la velocidad con que llega 
a ese punto en el eje y vale cero. El tiempo de vuelo, es decir, el 
tiempo que la pelota se encuentra en el aire, será el doble del tiempo 
de subida; en tanto que, el recorrido horizontal máximo será la 
distancia total recorrida por la pelota en el eje x (MRU). Para calcular 
todo lo que se pide se utilizarán las ecuaciones del movimiento del 
proyectil. 
 
1. Cálculo del tiempo de subida: 
𝑣 = 𝑣\𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔𝑡 
0 = 𝑣\𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔𝑡¦ 
𝑡¦ =
𝑣\𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑔 
𝑡¦ =
20𝑠𝑒𝑛30
10 = 1
[𝑠] 
2. Cálculo del tiempo de vuelo: 
𝑡| = 2𝑡¦ = 2[𝑠] 
3. Cálculo de la altura máxima: 
𝑣C = 𝑣\C𝑠𝑒𝑛C𝜑 − 2𝑔𝑦 
0 = 𝑣\C𝑠𝑒𝑛C𝜑 − 2𝑔𝐻y¥T 
𝐻y¥T =
𝑣\C𝑠𝑒𝑛C𝜑
2𝑔 =
(20)C(0.5)C
20 
𝐻y¥T = 5[𝑚] 
4. Cálculo del recorrido horizontal máximo (Rmax): 
𝑅y¥T = (𝑣\𝑐𝑜𝑠𝜑)𝑡| = (20𝑐𝑜𝑠30)(2) 
𝑅y¥T = 34.64[𝑚] 
5. Cálculo de t para h = 1.5[m], tomando en cuenta que pasará dos 
veces por ese punto: 
ℎ = (𝑣\𝑠𝑒𝑛𝜑)𝑡 −
1
2𝑔𝑡
C 
1.5 = 10𝑡 − 5𝑡C 
𝑡U = 0.16[𝑠];								𝑡C = 1.84[𝑠] 
Ejemplo 2.28. Walter, un docente en su moto se acerca a una rampa 
inclinada a 30º con una velocidad de 25[m/s], como se muestra en la 
figura. Calcular: A qué altura máxima llega. Cuánto tiempo está en el 
aire y a que distancia de la rampa cae. 
 
Estrategia de resolución: Si se elige la dirección del movimiento 
como positiva, entonces el origen del sistema de referencia será el 
punto donde se inicia el movimiento, es decir, donde se encuentra la 
moto inicialmente y la velocidad será positiva. 
a) 1. Se descompone la vo en vox y voy, como muestra la figura. 
 
 
 
3. Se calcula vox y voy: 
𝑣\T = 𝑣\𝑐𝑜𝑠30 = 25𝑐𝑜𝑠30 
𝑣\T = 21.65[𝑚 𝑠⁄ ] 
𝑣\S = 𝑣\𝑠𝑒𝑛30 = 25𝑠𝑒𝑛30 
𝑣\S = 12.50[𝑚 𝑠⁄ ] 
En el eje x la sombra de la moto tiene MRU. La velocidad de este 
movimiento es constante y vale vox = 21.65[m/s]. En el eje y, la 
sombra de la moto se mueve haciendo un tiro vertical de voy = 
12.50[m/s]. 
Las ecuaciones de movimiento son: 
En el eje X: 
𝑥 = 21.65𝑡 
En el eje Y: 
𝑦 = 12.5𝑡 +
1
2
(−10)𝑡C 
𝑣S = 12.5 + (−10)𝑡 
4.Cuando el motociclista llega a la altura máxima, la sombra sobre el 
eje Y ya no sigue subiendo, es decir, que en esemomento la 
velocidad en Y es CERO.Reemplazando vy = 0, se tiene el tiempo 
en que llega a la altura máxima: 
0 = 12.5 + (−10)𝑡 
𝑡 =
12.5
10 = 1.25
[𝑠] 
Reemplazando en la ec. (2): 
𝑦 = 12.5(1.25) − 5(1.25)C = 7.80[𝑚] 
a) Para determinar cuánto tiempo está en el aire, se debe tomar en 
cuentaque el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada. El 
tiempo será: 
𝑡z-z = 2𝑡 = 2(1.25) = 2.50[𝑠] 
Esto se puede comprobar de otra manera. Cuando la moto toca al 
suelo, la posición de la sombra sobre el eje Y es y = 0. 
Reemplazando y por cero, se tiene: 
0 = 12.5𝑡 − 5𝑡C 
𝑡 =
12.5
5 = 2.50
[𝑠] ⟹ 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 
b) El tiempo total que la moto tardaen bajar es 2.50[s]. Para 
calcular en qué lugar cae, lo que se tiene que ver es el 
desplazamiento de la sombra sobre el eje X en ese tiempo. La 
ecuación de desplazamiento dela sombra sobre el eje X es: 
𝑥�¥²�¥ = 21.65(2.50) = 55[𝑚] 
Ejemplo 2.29. Carlos patea la pelota con una velocidad inicial de 
28[m/s] formando un ángulo de elevación de 68º. Miguel que se 
encuentra frente al primero ubicado a una distancia D del primero, 
empieza a correr partiendo del reposo con una aceleración de 
3[m/s2] interceptando la pelota justo cuando ésta llega al suelo. (a) 
Determinar la distancia horizontal recorrida por la pelota; (b) 
Encontrar la distancia que recorrió Miguel en el momento de agarrar 
la pelota; (c) Hallar la distancia D que separaba inicialmente a ambos 
jugadores. 
Estrategia de resolución. Se debe tener en cuenta que el tiempo 
que tarda la pelota en realizar una trayectoria parabólica completa es 
el mismo tiempo que emplea el segundo jugador en desplazarse 
desde su posición original hasta el punto donde llega la pelota. Se 
encontrará el desplazamiento de la pelota que es su recorrido 
horizontal máximo y el desplazamiento del jugador (negativo 
respecto al nivel de referencia) para luego hallar D. 
1. Relacionar tiempos 
 
 
t = tp = tj 
2. Calcular el tiempo en que la pelota sube a su altura máxima para 
luego hallar el tiempo que tarda en llegar al suelo, sabiendo que 
el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada: 
𝑣S = 	𝑣- sen𝜑 − 𝑔𝑡¦ ⟹ 0 =𝑣- sen𝜑 − 𝑔𝑡¦ 
𝑡¦ =
𝑣- sen𝜑
𝑔 =
(28𝑠𝑒𝑛68º)
10 = 0.26
[𝑠] 
𝑡 = 2𝑡¦ = 0.52[𝑠] 
3. Determinar la distancia recorrida por la pelota utilizando la 
ecuación para determinar Rmax (x1): 
𝑅.⃗ y¥T = 	𝑣- cos𝜑𝑡 = (28 cos 68º)(0.52) = 5.45[𝑚] 
4. Calcular (x2), es decir, el desplazamiento del segundo jugador: 
𝑥C = 	
1
2 �⃗�𝑡
C =
1
2
(3)(0.52)C = 0.41[𝑚] 
5. Hallar la distancia D de separación inicial: 
𝐷..⃗ − �⃗�C = �⃗�U 
𝐷 = 5.45 + 0.41 = 5.86[𝑚] 
Ejemplo 2.30. ¡Trata de resolver! Otro ejemplo de tiro oblicuo es el 
siguiente. El pequeño misil de juguete de la figura es lanzado, 
formando un ángulo f =30º con la horizontal, con una velocidad inicial 
de 8[m/s]. En el momento en que el pequeño misil es lanzado, sale 
con velocidad constante el cochecito a cuerda que está a 8[m] del 
misil y se mueve formando un ángulo j = 45º. ¿A qué velocidad 
tendría que moverse el cochecito para que el misil le pegue? 
 
Estrategia de resolución: Inclinaremos los ejes de tal manera que 
coincidan con el plano inclinado y su perpendicular, esto para facilitar 
la solución del problema, sin que por ello dejemos de emplear el 
principio de independencia de movimientos. El vector gravedad se 
descompone en una gravedad en x, gx y una gravedad en y, gy, por 
tanto, ambos movimientos serán acelerados. La sombra del misil en 
el eje x inicia su movimiento con una velocidad v0cosf y su 
aceleración es gx = gsenj, en tanto que su sombra en el eje y tiene 
una velocidad inicial v= v0senf y una aceleración gcosj. Se ha 
tomado el sistema de referencia en el punto donde se inicia el 
movimiento del misil. Nota que la gravedad en x está en el sentido del 
movimiento, por tanto, será positiva. 
 Calcular el tiempo que tarda el misil en llegar al punto más alto. 
Para ello se utiliza la ecuación de la velocidad vy en el punto más 
alto ya que vY = 0. 
𝑣S = 𝑣\𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔(𝑐𝑜𝑠𝜑)𝑡 
0 = 8𝑠𝑒𝑛30 − 10𝑐𝑜𝑠45 
𝑡 =
8𝑠𝑒𝑛30
10𝑐𝑜𝑠45 = 0.57
[𝑠] 
Hallar el lugar donde toca el piso, utilizando la ecuación 
correspondiente: 
 𝑥� = 𝑣\(𝑐𝑜𝑠𝜑)𝑡 +
U
C
𝑔𝑠𝑒𝑛𝜑𝑡C 
𝑥� = 8𝑐𝑜𝑠30(0.57) + 5𝑠𝑒𝑛45(0.57)C = 5.1[𝑚]