teoria y problemas fisica (20)

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𝑡 =
𝑥
𝑣 =
120
40 = 3
[𝑠] 
2. Puesto que la velocidad de la lata conrespecto a tierra 
es igual a la velocidaddel carrito: 
𝑣T = 𝑣\𝑐𝑜𝑠𝜑 
𝑣T = 40[𝑚 𝑠⁄ ] 
3. Cálculo del tiempo de subida 
0 = 𝑣\𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔𝑡¦ 
𝑡¦ =
𝑡
2 = 1.5
[𝑠] =
𝑣\𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑔 
𝑣\𝑠𝑒𝑛𝜑 = (1.5)(10) = 15[𝑚 𝑠⁄ ] 
4. La velocidad inicial será: 
𝑣\ = `(40)C + (15)C = 42.7[𝑚 𝑠⁄ ] 
5. Cálculo del ángulo: 
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝑋
42.7𝑡 =
120
42.7(3) = 0.93 
𝜑 = 21.09\ 
Ejemplo 2.35. ¡Trata de resolver! Un jugador de raqueta se 
encuentra a 10[m] del frontón, responde una pelota a 50[cm] sobre el 
suelo, formando un ángulo Φ con la horizontal. Si la pelota impacta 
contra el frontón al cabo de 0.6[s] y a 5.5[m] de altura sobre el piso; 
a) qué velocidad le impartió el jugador?; b) ¿cuánto vale el ángulo 
Φ? 
Estrategia de Resolución. Se dibujará el modelo del problema para 
luego plantear las ecuaciones de movimiento y, combinándolas se 
encontrará lo solicitado. 
 Establecer la altura y: 
𝑌 = 5.5 − 0,5 = 5.0[𝑚] 
 Plantear las ecuaciones de x e y: 
𝑋 = 𝑣\𝑐𝑜𝑠𝜑𝑡 
−𝑌 = 𝑣\𝑠𝑒𝑛𝜑𝑡 −
1
2𝑔𝑡
C 
 Reemplazar valores 
10 = 6(𝑣\𝑐𝑜𝑠𝜑) 
−5 = 0.6(𝑣\𝑠𝑒𝑛𝜑) − 5(6)C 
𝑣\𝑐𝑜𝑠𝜑 = 1.7 
𝑣\𝑠𝑒𝑛𝜑 = 29.1 
 Dividir las dos últimas ecuaciones: 
𝑡𝑎𝑛𝜑 =
29.1
1.7 
𝜑 = 86.7\ 
 Calcular la velocidad inicial 
𝑣\ =
𝑋
𝑡𝑐𝑜𝑠𝜑 =
10
6𝑐𝑜𝑠86.7\ = 5.56
[𝑚 𝑠⁄ ] 
Ejemplo 2.36. ¡Trata de resolver!En un determinado instante se 
dispara un proyectil con una velocidad inicial de 12[m/s] en el plano 
yz y una inclinación de 30º con la horizontal ¿cuánto tiempo después 
se debe soltar un blanco desde la posición 0�̂� + 9𝚥̂ + 3𝑘¹ para que 
el proyectil de en el blanco? 
Estrategia de Resolución. A partir del planteamiento de las 
ecuaciones de movimiento, se hallará el tiempo de cada uno, la 
diferencia será el tiempo pedido. 
 
 Plantear las ecuaciones para el proyectil 
 
 
𝑌 = 𝑣-(𝑐𝑜𝑠𝜑)𝑡C 
9 = 12(𝑐𝑜𝑠30)𝑡C 
𝑍C = 12(𝑠𝑒𝑛𝜑)𝑡 −
1
2𝑔𝑡C
C 
𝑍C = 12(𝑠𝑒𝑛𝜑)𝑡C − 5𝑡CC 
 Plantear las ecuaciones para el blanco 
−𝑍U = −
1
2𝑔𝑡U
C 
3 = 5𝑡UC 
 Calcular los tiempos a partir de las ecuaciones 
Tiempo del proyectil: 
𝑡C =
9
12𝑐𝑜𝑠30 = 0.86
[𝑠] 
Tiempo del blanco 
𝑡U = �
3
5 = 0.77
[𝑠] 
𝑡 = 𝑡C − 𝑡U = 0.86 − 0.77 = 0.09[𝑠] 
En conclusión, puesto que el tiempo del proyectil es mayor al tiempo 
del blanco, el proyectil se disparó 0.09[s] antes del blanco. 
Ejemplo 2.37. ¡Trata de resolver!Una estudiante de biología, en su 
trabajo de campo, pretende saltar de A a B salvando un precipicio. 
Hallar el mínimo valor de la velocidad de la muchacha y el ángulo a 
para que pueda llegar a B. 
Estrategia de Resolución. Para mayor facilidad de resolución, se 
realizará el modelo geométrico, pasando la trayectoria a un sistema 
de ejes coordenados, en el cual se anotarán todas las 
características, posteriormente se escribirán las ecuaciones de 
movimiento para encontrar los valores solicitados. 
 Dibujar el modelo 
 
 
 
 
 Escribir las ecuaciones para ambos ejes 
𝑋 = 𝑣-(𝑐𝑜𝑠𝜑)𝑡 
𝑡 =
𝑋
𝑣-𝑐𝑜𝑠𝜑
 
𝑌 = 𝑣-(𝑠𝑒𝑛𝜑)𝑡 −
1
2𝑔𝑡
C 
 Reemplazar t en la segunda ecuación 
𝑌 =
𝑣-𝑠𝑒𝑛𝜑𝑋
𝑣-𝑐𝑜𝑠𝜑
− 5
𝑋C
𝑣\C𝑐𝑜𝑠C𝜑
 
 Reemplazar valores 
−1.4 = 1.8𝑡𝑎𝑛𝜑 −
16.2
𝑣\C𝑐𝑜𝑠C𝜑
 
 Despejar 𝒗𝟎𝟐 
𝑣\C =
16.2𝑠𝑒𝑐C𝜑
1.8𝑡𝑎𝑛𝜑 + 1.4 
 
 
 Puesto que 𝒗𝒐debe ser mínima, derivar 𝒗𝒐respecto de 𝜑 e 
igualar a cero 
16.2(2𝑠𝑒𝑐C𝜑)𝑡𝑎𝑛𝜑(1.8𝑡𝑎𝑛𝜑 + 1.4) − 16.2(𝑠𝑒𝑐C𝜑)(1.8)𝑠𝑒𝑐C𝜑
(1.8𝑡𝑎𝑛𝜑 + 1.4)C = 0 
 Haciendo 𝒔𝒆𝒄𝟐𝝋 = 𝟏, 𝒍𝒂𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏𝒔𝒆𝒓𝒆𝒅𝒖𝒄𝒆𝒂: 
𝑡𝑎𝑛C𝜑 + 1.6𝑡𝑎𝑛𝜑 − 1 = 0 
 Resolviendo la ecuación de segundo grado: 
𝜑 = 26\ 
 Calcular la velocidad 
𝑣\C =
16.2𝑠𝑒𝑐C26
1.8𝑡𝑎𝑛26 + 1.4 
𝑣- = 3.0[𝑚 𝑠⁄ ] 
Ejemplo 2.38. ¡Trata de resolver! Una pelota y una flecha son 
lanzadas al mismo tiempo, la pelota se lanza con 𝑣\É formando un 
ángulo de 450 
con 𝑣\� formando un ángulo 𝜃, si la flecha revienta a la pelota a la 
misma altura y a una distancia 2x del punto de partida de la flecha, 
determinar el ángulo con el que fue disparada la flecha. 
 
Estrategia de Resolución. Plantear las ecuaciones para ambos 
cuerpos tanto en X como en Y. 
 Escribir las ecuaciones para ambos ejes 
Para la pelota 
3𝑋 = 𝑣-É(𝑐𝑜𝑠45)𝑡 
𝑌 = 𝑣-É(𝑠𝑒𝑛45)𝑡 −
1
2𝑔𝑡
C 
Para la flecha 
2𝑋 = 𝑣-�(𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑡 
𝑌 = 𝑣-�(𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑡 −
1
2𝑔𝑡
C 
 Igualar Y 
𝑣-É(𝑠𝑒𝑛45) = 𝑣-�(𝑠𝑒𝑛𝜃) 
 Despejar X e igualar 
2𝑣-É(𝑐𝑜𝑠45) = 3𝑣-�(𝑠𝑒𝑛𝜃) 
 Dividir las dos últimas ecuaciones: 
𝑣-É(𝑠𝑒𝑛45)
2𝑣-É(𝑐𝑜𝑠45)
=
𝑣-�(𝑠𝑒𝑛𝜃)
3𝑣-�(𝑠𝑒𝑛𝜃)
 
De donde se obtiene: 
𝑡𝑎𝑛𝜃 = 1.5𝑡𝑎𝑛45 = 1.5 
𝜃 = 28.2\ 
Ejemplo 2.39. ¡Trata de resolver!Si lanzaste una piedra desde la 
terraza de un edificio de 40[m] de altura con una velocidad inicial de 
30[m/s], y tu contrincante se encuentra a una altura h = 10[m] sobre la 
rampa, ¿le pegará la piedra? 
Estrategia de Resolución. Plantear las ecuaciones tanto en X como 
en Y, teniendo en cuenta que la piedra le pegará al contrincante si 
llega a una altura menor o igual a 10[m]