teoria y problemas fisica (49)

Vista previa del material en texto

5.7.2.Energía	Potencial	Elástica	(EPR)	
 
Se define para la fuerza elástica del resorte (fuerza conservativa). 
Supongamos un sistema como el que muestra la figura: 
 
En el punto (1), el resorte va ha empezar a comprimirse, en el mismo 
se tiene una EP1 y una posición X = 0, puesto que el resorte todavía 
no se ha movido. En el punto (2) se tiene una EP2con una distancia x 
de compresión del resorte. Aplicando límites de integración a la 
ecuación 4.12: 
−l 𝑑𝐸­¥
«¬¯|
«¬¯n
= −𝐾𝑥l 𝑑𝑥
m
_
 
Integrando la ecuación y reemplazando límites: 
𝐸­¥, − 𝐸­¥) =
1
2𝐾𝑥
, 
Si EP1 = 0, la energía potencial elástica será: 
𝐸­¥ =
)
,
𝐾𝑥, (4.15) 
4.8.	CONSERVACIÓN	DE	LA	
ENERGÍA	MECANICA	(E)	
 
Se conoce como energía mecánica a la suma de energía cinética y 
energía potencial en un determinado punto de un sistema, es decir: 
𝐸 = 𝐸¡ + 𝐸­ (4.16) 
 
La energía mecánica se conserva en un sistema donde las fuerzas 
son conservativas. 
El Principio de Conservación de la Energía Mecánica es 
enunciado de la siguiente manera “La energía mecánica de un 
sistema que se desplaza en un campo de fuerzas conservativo, 
es constante a lo largo de una trayectoria”. Si utilizamos los dos 
últimos conceptos, podemos inducir que, puesto que la energía 
mecánica no cambia, la energía cinética puede convertirse en 
energía potencial y viceversa. 
Para deducir el principio de conservación de la energía mecánica 
vamos a remitirnos a las ecuaciones 4.10 y 4.14. 
𝑊 = 𝐸¡, − 𝐸¡) 
Igualando las dos últimas ecuaciones, obtenemos: 
𝐸¡, − 𝐸¡) = 𝐸­) − 𝐸­, 
Ordenando la ecuación: 
𝐸¡) + 𝐸­) = 𝐸¡, + 𝐸­, (4.17) 
Pero, debido a que: 
𝐸) = 𝐸¡) + 𝐸­) 
𝐸, = 𝐸¡, + 𝐸­, 
Se tiene: 
𝐸) = 𝐸, (4.18) 
 
Suponiendo que se lanza una pelota hacía arriba con una velocidad 
inicial, subirá una altura H hasta detenerse (v = 0), la única fuerza 
que actúa es el peso (fuerza conservativa). Tomando el origen del 
sistema de referencia en el punto de lanzamiento (1), vemos que en 
élno hay energía potencial ¿por qué? pues porque no hay altura, 
entonces, como en el punto se tiene una velocidad máxima, se 
 
 
 
tendrá también una energía cinética máxima, digamos 200[J]. A 
medida que la pelota sube va perdiendo velocidad, por tanto energía 
cinética, pero aumentasu altura ganando energía potencial, de tal 
manera que, en el punto (2) habrá una energía cinética y una energía 
potencial que, al sumarse deben dar el valor de 200[J]. Finalmente, 
en el punto (3) se perdió toda la velocidad, lo que significa que en 
este punto no habrá energía cinética, sin embargo, la pelota llegó a 
la altura máxima en la cual se tendrá una energía potencial 
máxima que debe valer 200[J]. Es decir, la energía cinética se 
transforma en energía potencia y viceversa. 
 
Guía para la Resolución de Problemas 
1. Fijar el nivel de referencia, generalmente en el punto más bajo 
del movimiento a objeto de evitar alturas negativas. 
 
2. Cerciorarse de que todas las fuerzas que actúan son 
conservativas. 
3. Fijar dos puntos de conservación, el primero de ellos, en general, 
donde se inicia el movimiento y el segundo a conveniencia. 
4. Plantear la ecuación de conservación de la energía mecánica. 
5. Obtener, a partir de (4), los resultados requeridos en el problema. 
Ejemplo 4.10. Un cuerpo es soltado desde una altura h. Determinar la 
altura mínima a la que se encuentra el cuerpo de masa M si se quiere 
que el mismo dé una vuelta completa alrededor del rizo de 0.5[m] de 
radio. Te aclaro que el ejemplo es conocidísimo, pero desde mi punto 
de vista es el que mejor explica la resolución de problemas de 
conservación de la energía mecánica. 
 
Estrategia de resolución. Para que el cuerpo dé una vuelta 
completa alrededor del rizo deberá llegar al punto superior casi 
desprendiéndose de éste. Ahora bien, si ha llegado a ese punto (2), 
va ha tener una velocidad tangente a la trayectoria, puesto que, de no 
haber velocidad, el cuerpo caería libremente; la mencionada 
velocidad será calculada utilizando los conceptos de dinámica del 
movimiento circular. 
1. La única fuerza que actúa es el peso, es decir, una fuerza 
conservativa, por tanto, se conserva la energía mecánica. 
2. El origen del sistema de referencia estará en la parte inferior, 
como se muestra en la figura: 
 
3. Los puntos de conservación elegidos también se muestran en la 
figura. 
4. Plantear el principio de conservación de la energía mecánica: 
	𝐸) = 𝐸, 
𝐸¡) + 𝐸­) = 𝐸¡, + 𝐸­, 
5. En el punto (1) no hay energía cinética puesto que el cuerpo 
parte del reposo, la ecuación será entonces: 
𝐸­) = 𝐸¡, + 𝐸­, 
𝑀𝑔ℎ =
1
2𝑀𝑣,
, +𝑀𝑔(2𝑅) 
6. La fuerza que actúa en el punto (2) es sólo el peso, pues como el 
cuerpo se está desprendiendo N = 0. 
 
 
 
 
7. Hacer el DCL: 
 
8. La ecuación será: 
𝐹c = 𝑀𝑎c ⟹ 𝑀𝑔 = 𝑀
𝑣,,
𝑅 
9. Calcular v22: 
𝑣,, = 𝑔𝑅 
10. Sustituyendo (2) en la ecuación (1): 
𝑔ℎ =
1
2𝑔𝑅 + 2𝑔𝑅 ⟹ ℎ =
1
2𝑅 + 2𝑅 
11. Calcular h: 
ℎ =
5
2𝑅 =
5
2
(0.5) = 1.25[𝑚] 
 
Observaciones. Aunque el bloque se esté a punto de desprender (N 
= 0) sigue su movimiento por inercia. ¿Por qué hallé v22 en lugar de 
v2?, simplemente porque en la ecuación (1) debe reemplazarse v22. 
Ejemplo 4.11.¡Tratar de resolver! Casi al borde del techo de un 
edificio de 12[m] de altura, un estudiante golpea con el pie un balón 
con una velocidad inicial v1 = 16[m/s] y un ángulo de tiro de 60º por 
encima de la horizontal. Despreciando la resistencia del aire, 
determinar: (a) La altura por encima del edificio que alcanza el balón 
y; (b) su velocidad justo antes de chocar contra el suelo. 
 
Estrategia de resolución. La única fuerza que realiza trabajo es el 
peso, por tanto, se conserva la energía mecánica. Se deberá definir 
el origen del sistema de referencia en el punto donde se inicia el 
movimiento y tomar dos puntos de conservación (1) y (2). En la parte 
más alta de su trayectoria, el balón se mueve horizontalmente con su 
velocidad inicial horizontal, entonces, la velocidad en el punto más 
alto es v2 = v1cos60º. En este caso vamos a elegir el origen del 
sistema de referencia en la parte más alta del edificio. 
 1. La conservación de la energía mecánica relaciona la altura h 
con la velocidadinicial v1 en el punto más alto de su trayectoria. 
Plantear la conservación de la energía mecánica: 
	𝐸) = 𝐸, 
	𝐸¡) + 𝐸­) = 𝐸¡, + 𝐸­, 
1
2𝑚𝑣)
, =
1
2𝑚𝑣,
, +𝑚𝑔ℎ 
 2. Despejar h: 
ℎ =
𝑣), − 𝑣,,
2𝑔 
 1. La velocidad en el punto más alto es igual a su velocidad 
inicial horizontal. Escribir la ecuación y calcular v2: La 
velocidad en el punto más alto es igual a su velocidad inicial 
horizontal. Escribir la ecuación y calcular v2: 
𝑣, = 𝑣,𝑐𝑜𝑠𝜃 = 16𝑐𝑜𝑠60 = 8[𝑚 𝑠⁄ ] 
 2.Reemplazando valores en h: