Ecuación Matricial

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ÍNDICE 
 
 
1. Información de la unidad / Tema de la semana 
 
2. Información de los subtemas 
 
 
2.1 Ecuación Matricial Ax=b 
 
3. Bibliografía 
3 
4
3 
9 
4
3 
 3 
 
1. Informacio n de la unidad 
Tema de la semana: 
 
 
» Objetivo: 
 
Resolver un sistema de ecuaciones lineales, por medio de la ecuación matricial, 
aplicando la matriz inversa. 
 
» Tema: 
Ecuación Matricial 
» Subtemas: 
 
1. Ecuación Matricial Ax=b 
 
» Unidad: 
 
Sistemas de ecuaciones lineales y Matrices 
 
» Total de horas de la asignatura: 
9 H 
 
 
 
 
 
Sistemas de ecuaciones lineales y Matrices / Ecuación matricial Ax=b 
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2. Informacio n de los subtemas 
 
2.1 Ecuación Matricial Ax=b 
Matrices y Sistema de Ecuaciones lineales. 
Si se tiene un sistema de 𝑛 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas (sistema cuadrado), 
dado por: 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
 ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
 
 
Al sistema de ecuaciones lineales se lo puede representar mediante una ecuación 
matricial (𝐴 𝐱 = 𝐛). 
(
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋮
𝑎𝑛1
⋮
𝑎𝑛2
𝑎13 ⋯
𝑎23 ⋯
⋮
𝑎𝑛3
⋱
⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑛𝑛
) (
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
) = (
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
) 
 𝐴 𝐱 = 𝐛 
Donde: 
» 𝐴 es la matriz de coeficientes, de dimensión 𝑛𝑥𝑛. 
» 𝐱, es la matriz columna que representa a las incógnitas, de dimensión 𝑛𝑥1. 
» 𝐛, es la matriz columna de términos independientes, de dimensión 𝑛𝑥1. 
 
Una alternativa para resolver un sistema de ecuaciones lineales, es emplear la 
ecuación matricial. Considerando que la matriz A es invertible. El objetivo es calcular la 
matriz 𝐱 de incógnitas, por lo tanto se tiene que despejar 𝐱 de dicha ecuación 
matricial. Para la resolución de la ecuación matricial tenemos: 
 
 
 
Sistemas de ecuaciones lineales y Matrices / Ecuación matricial Ax=b 
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» 𝐴 𝐱 = 𝐛 Ecuación matricial del Sistema de ecuaciones lineales. 
» 𝐴−1𝐴 𝐱 = 𝐴−1𝐛 Multiplicación por izquierda de la inversa 𝐴−1 
» 𝐼 𝐱 = 𝐴−1𝐛 Propiedad de la Inversa 
» 𝐱 = 𝐴−1𝐛 Solución del sistema de ecuaciones lineales. 
 
Para obtener la solución del sistema, se tiene que multiplicar la inversa de la matriz de 
coeficientes (𝐴−1) por la matriz de términos independientes (𝐛). 
De esta manera se puede calcular 𝐱, que representa la solución única del sistema de 
ecuaciones lineales. 
Por lo tanto, en un sistema cuadrado, cuya matriz de coeficientes 𝐴 es invertible, la 
solución del sistema se puede representar por: 𝐱 = 𝐴−1𝐛 
Considerar: Si 𝐴 no posee inversa, no podemos despejar 𝐱 y el sistema no se puede 
resolver de esta manera. 
Ejemplo 1. 
Encuentre la solución del sistema 𝐴 𝒙 = 𝒃, conociendo 𝐶 = (
−
1
4
1
4
3
8
1
8
) , donde 𝐶 =
𝐴−1. 
(
−1 2
3 2
)(
𝑥1
𝑥2
) = (
2
−1
) 
Se puede reconocer que: 
𝐴 = (
−1 2
3 2
); 𝐱 = (
𝑥1
𝑥2
) ; 𝐛 = (
2
−1
) 
 
Para comprobar que la matriz 𝐶 cumple como inversa de la matriz 𝐴, verificar 𝐶 𝐴 = 𝐼 
𝐴−1𝐴 = 𝐼 
𝐶 𝐴 = 𝐼 
(
−
1
4
1
4
3
8
1
8
)(
−1 2
3 2
) = (
1 0
0 1
) 
 
Confirmando 𝐶 = 𝐴−1, se puede plantear: 𝐱 = 𝐶 𝐛 = 𝐴−1𝐛, como solución del sistema 
lineal. 
𝐱 = (
𝑥1
𝑥2
) = (
−
1
4
1
4
3
8
1
8
)(
2
−1
) 
Realizando la multiplicación matricial: 
Sistemas de ecuaciones lineales y Matrices / Ecuación matricial Ax=b 
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𝐱 = (
𝑥1
𝑥2
) = (
(−
1
4
) (2) + (
1
4
) (−1)
(
3
8
) (2) + (
1
8
) (−1)
) = (
−
1
2
−
1
4
3
4
−
1
8
) 
La solución del sistema está dada por: 
𝐱 = (
𝑥1
𝑥2
) = (
−
3
4
5
8
) 
Es decir 𝑥1 = −
3
4
; 𝑥2 =
5
8
 ; representan la solución única del sistema lineal. 
 
Ejemplo 2. 
Resolver el sistema de ecuaciones lineales, mediante ecuación matricial. 
{
 2𝑥1 + 4𝑥2 + 3𝑥3 = 6
 𝑥2 − 𝑥3 = −4
 3𝑥1 + 5𝑥2 + 7𝑥3 = 7
 
Escribiendo el sistema lineal en representación matricial tenemos: 
(
2 4 3
0 1 −1
3 5 7
) . (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (
6
−4
7
) 
Donde: 
𝐴 = (
2 4 3
0 1 −1
3 5 7
) ; 𝐱 = (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) ; 𝐛 = (
6
−4
7
) 
Para poder emplear la ecuación : 𝐱 = 𝐴−1𝐛 , primero calcular 𝐴−1, posteriormente 
multiplicarla por 𝐛. 
Para encontrar 𝐴−1, planteamos la matriz aumentada (𝐴|𝐼), y continuamos con 
operaciones de reducción de filas hasta llevar 𝐴 hasta su forma escalonada reducida 𝐼. 
(𝐴|𝐼) 
(
2 4 3
0 1 −1
3 5 7
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 𝑓1 → (
1
2
) 𝑓1 
(
1 2
3
2
0 1 −1
3 5 7
|
1
2
0 0
0 1 0
0 0 1
) 𝑓3 → 𝑓3 − 3𝑓1 
(
1 2
3
2
0 1 −1
0 −1
5
2
|
1
2
0 0
0 1 0
−
3
2
0 1
) 𝑓3 → 𝑓3 + 𝑓1 
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(
1 2
3
2
0 1 −1
0 0
3
2
|
1
2
0 0
0 1 0
−
3
2
1 1
) 𝑓3 → (
2
3
) 𝑓3 
(
1 2
3
2
0 1 −1
0 0 1
|
1
2
0 0
0 1 0
−1
2
3
2
3
) 𝑓2 → 𝑓2 + 𝑓3 
(
 
 1 2
3
2
0 1 0
0 0 1
|
|
1
2
0 0
−1
5
3
2
3
−1
2
3
2
3)
 
 
 𝑓1 → 𝑓1 −
3
2
𝑓3 
(
1 2 0
0 1 0
0 0 1
|
2 −1 −1
−1
5
3
2
3
−1
2
3
2
3
) 𝑓1 → 𝑓1 − 2𝑓2 
(
 
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
|
4 −
13
3
−
7
3
−1 
5
3
 
2
3
−1 
2
3
 
2
3)
 
 
 , recordando (𝐼|𝐴−1) 
𝐴 si es invertible ya que se transformó a una matriz escalonada reducida 𝐼. Por lo 
tanto, tenemos que la inversa de 𝐴 esta dada por: 
𝐴−1 =
(
 
 
 
4 −
13
3
−
7
3
−1 
5
3
 
2
3
−1 
2
3
 
2
3)
 
 
 
 
La solución del sistema se la puede representar como: x = (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = 𝐴−1b 
x = (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = 𝐴−1b =
(
 
 
 
4 −
13
3
−
7
3
−1 
5
3
 
2
3
−1 
2
3
 
2
3)
 
 
 
(
6
−4
7
) 
Realizando la multiplicación matricial: 
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x =
(
 
 
 
(4)(6) + (−
13
3
) (−4) + (−
7
3
) (7)
(−1)(6) + (
5
3
) (−4) + (
2
3
) (7)
(−1)(6) + (
2
3
) (−4) + (
2
3
) (7) )
 
 
 
=
(
 
 
 
24 +
52
3
−
49
3
−6 −
20
3
+
14
3
−6 −
8
3
+
14
3 )
 
 
 
 
La solución del sistema está dada por: 
x = (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (
25
−8
−4
) 
Es decir 𝑥1 = 25; 𝑥2 = −8 ; 𝑥3 = −4, representan la solución única del sistema lineal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Bibliografí a 
 
» Grossman Stanley, (2008). Álgebra Lineal, sexta edición, Editorial McGraw Hill.