CODEX ALGEBRA LINEAL Solucionario 3re Parcial

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ALGEBRA LINEAL Y 
TEORÍA MATRICIAL
J&J PAYE Hnos.
CODEX
2019
SOLUCIONARIO
TERCER PARCIAL
JOSUE PAYE CHIPANA 1 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
SOLUCIONARIO DE EXÁMENES DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL 
 
EXAMEN:I-2019 
 
PROBLEMA 1 
Para una transformación lineal 
2 2
2:
XT R P→ de la cual se conocen las siguientes imágenes: 
 
2
2 1
2 6 4
1 1
T t t
− 
= + + 
− 
; 
2
1 1
1
1 2
T t
 
= + 
− 
;
2
1 1
2 5 7
2 1
T t t
− 
= + + 
 
;
2
1 2
2 1
1 1
T t t
 
= − + 
− 
 
Se pide: a) hallar la fórmula de transformación lineal, b) bases para el núcleo, imagen y verificar el 
teorema de la dimensión, c) hallar la representación matricial respecto de las bases: 
1 1 1 1 1 1 1 1
, , ,
1 1 1 1 1 1 1 1
B
 − − − − − −        
=         
− − − − − −        
 y  2 2 21, ,C t t t t t= + + + y d) con la anterior matriz 
hallar la imagen de 
2 1
1 2
 
 
 
 
Solución: 
a) Para calcular la fórmula de transformación: 
1 2 3 4
2 1 1 1 1 1 1 2
1 1 1 2 2 1 1 1
a b
c d
   
− −         
= + + +         
− − −         
 (1) 
Calculamos los valores de las constantes: 
1 2 3 4 2 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
2 2
2 2
a b
c d
       
       
+ − + − + − +  
=    − + − − + + +   
 
1 2 3 4 1
2 2 3 4 2
1 2 3 4 3
1 2 3 4 4
2 2 1 1 1
2 1 1 1 2
2 1 1 2 1
2 1 2 1 1
a a
b b
c c
d d
    
    
    
    
+ − + =     
     − + − + = − −      =
    − + − = − −
    − + + + = −    
 
Resolviendo: 
( ) ( ) ( )
( )
1 2 3
4
1 1 1
6 3 3 3 ; 3 9 9 6 ; 3 8 3 ;
15 15 15
1
12 7 3
15
a b c d a b c d a b c d
a b c d
  

= − − − = − − + = − + + +
= + + −
 
En (1) aplicamos T( ): 
1 2 3 4
2 1 1 1 1 1 1 2
1 1 1 2 2 1 1 1
a b
T T T T T
c d
   
− −         
= + + +         
− − −         
 
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
2 2 2
2
1 1 1
6 3 3 3 2 6 4 3 9 9 6 1 3 8 3 2 5 7
15 15 15
1
12 7 3 2 1
15
a b
T a b c d t t a b c d t a b c d t t
c d
a b c d t t
 
= − − − + + + − − + + + − + + + + + + 
 
+ + + − − +
 
Simplificando: 
( ) ( ) ( )2
1
2 7 4 14 4
5
a b
T a b c t a b c t a b c d
c d
 
= + + + − + + + + + 
 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 2 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
b) Para hallar bases para el núcleo debemos hacer cumplir ( ) 0T x = 
( ) ( ) ( )2 2
1
2 7 4 14 4 0 0 0
5
a b
T a b c t a b c t a b c d t t
c d
 
= + + + − + + + + + =  +  + 
 
 
( )
0 1 1 1 0 0
2 0 2 1 1 0 0
1 7 4 14 4 0
7 4 14 4 0
5
a
a b c
b
a b c
c
a b c d d
  
 + + =     
     − + =  − =              + + + =  
 
Resolviendo: 
2 1
; ; 2
3 3
a c b c d c= − = − = − 
Reemplazando en 
a b
c d
 
 
 
: 
2 1
2 1
3 3
3 63
2
a b c c c
c d
c c
 
− −− −    = =      −   − 
 ( )
2 1
3 6
TB N
 − −  
=   
−  
 ;  ( ) 1TDim N = 
Para hallar bases de la imagen primero calculamos 
TA 
De la fórmula de transformación lineal: 
71 2
5
1 1 1 0 1 1 1 0 41 1
5
2 1 1 0 2 1 1 0
141 1
7 74 14 4 4 14 4 5
5 5 5 5 5 5 5 5
40 0
5
T
A
a
a b b
T A A
c d c
d
 
     
   −          = −  = −  =        
           
  
 
Escalonando 
TA : 
71 2
5
0 0 0
70 1
5
0 0 1
TA
 
 
 
=  
− 
 
  
 ( )  2
7 7
2 ; ; 1
5 5
T
B I t t t
 
= + + − + + 
 
 ;   ( )( ) 3TTDim I A= = 
El teorema de la dimensión indica que:      2 2( ) ( ) 1 3 4 4 4XT TDim N Dim I Dim R+ =  + =  = , 
entonces se demuestra el teorema de dimensión. 
 
c) La matriz ( )
C
BMat T esta dada por: 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
( )CBMat T
   
   
   
 
 
=
 
  
 
 
( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 3
1 1
2 3 1
1 1
T t t t t t t t  
− 
= − + − = + + + + + 
− − 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 3 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 3
1 1 21
4 1
1 1 5
T t t t t t t t  
− 
= − − − = + + + + + 
− − 
 
( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 3
1 1 1
1
1 1 5
T t t t t t t  
− − 
= − − = + + + + + 
− 
 
( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 3
1 1 21
3 2 1
1 1 5
T t t t t t t t  
− − 
= − − − = + + + + + 
− 
 
Generamos el siguiente sistema: 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 3
1 1 0 2 4 0 2
1 0 0 3 21 5 1 5 21 5
   
   
   
− − − −     
     
= − −
     
     − − − −     
 
Resolviendo: 
1 1 1 1 1 1 3 1 0 0 3 21 5 1 5 21 5
1 1 0 2 4 0 2 0 1 0 5 1/ 5 1 5 11 5
1 0 0 3 21 5 1 5 21 5 0 0 1 3 3 1 1
− − − − − − − −
− − 
− − − − − − −
 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
3 21 5 1 5 21 5
5 1/ 5 1 5 11 5
3 3 1 1
   
   
   
− − − −   
   
=
   
   − − −   
 
Entonces: 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
( )CBMat T
   
   
   
 
 
=
 
  

15 21 1 21
1
( ) 25 1 1 11
5
15 15 5 5
C
BMat T
− − − − 
 
=
 
 − − − 
 
d) 
2 1 2 1
( )
1 2 1 2
C
B
C B
T Mat T
      
=       
      
 
Calculamos 
2 1
1 2
B
  
  
  
: 
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
   
− − − − − −         
= + + +         
− − − − − −         
 
Generamos: 
1 1 1 1 2
1 1 1 1 1
1 1 1 1 2
1 1 1 1 1




− − −     
     
− − −
     =
     − − −
     
− − −     
 
Resolviendo: 
1/ 2 1
1 2 1 21
1 1 2 22
1/ 2 1
B




− −     
     
−   −      =  =       − −  
     
− −     
 
JOSUE PAYE CHIPANA 4 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
1
15 21 1 21 80
2 1 2 1 21 1 1
( ) 25 1 1 11 40
1 2 1 2 25 2 10
15 15 5 5 0
1
C
B
C B
T Mat T
− 
− − − −    
    −        =  =  = −           −          − − −     
− 
 
8
2 1
4
1 2
0C
T
 
    
 = −    
     
 
Pero: 
2 1 2 1
1 2 1 2
C
C
T Mat T
    
 =     
    
 
De la base C de dato: 
 2 2 2
1 1 1
1, , 1 1 0
1 0 0
CC t t t t t Mat
 
 
= + + +  =
 
  
 
1 1 1 8 4
2 1
1 1 0 4 4
1 2
1 0 0 0 8
T
     
       
 =  − =       
            
 
2
2 1
4 4 8
1 2
T t t
 
= + + 
 
 
 
PROBLEMA 2 
Sea la transformación lineal 
3 3:T R R→ definida por 
( ) ( )( ), , 4 2 2 ,2 4 ( 1) , 3 1 2 4T a b c a b c c b k a k a b c= + + + + + − + + hallar el valor de k de manera que 
la matriz estándar de T sea diagonalizable ortogonalmente. Luego halle 
Ate . 
Solución: 
Llevamos la fórmula de transformación a su forma matricial: 
4 2 2
1 4 2
3 1 2 4
a a
T b k b
c k c
      
      
= +      
      −      
, donde 
4 2 2
1 4 2
3 1 2 4
A k
k
 
 
= +
 
 − 
 es la matriz estándar de T. 
Para que A sea diagonalizable ortogonalmente esta debe ser simétrica,entonces se cumple que: 
1 2
3 1 2
k
k
+ =

− =
 1k = 
 
4 2 2
2 4 2
2 2 4
A
 
 
 =
 
  
 
JOSUE PAYE CHIPANA 5 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
Cálculo de autovalores 0A I−  = : 
( )( ) 3 1
3 2
4 / 24 2 2 0 0 4 2 2
2 4 2 0 0 0 2 4 2 0
2 2 4 0 0 2 2 4
f f
f f
 
 
 
− − +−   
    − =  − = − +
   
    −   
 
( )
( )( ) ( ) ( )
2
2
1
0 2 4 2
2
1
0 2 2 0 2 2 2 2 4 2 0
2
2 2 4
 
     

− − − +
  
 − − + =  − − + − − − − + =  
  
−
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 21 12 2 4 2 0 2 8 5 0 2 10 16 0
2 2
        
   
 − − + − − + =  − − + − =  − − + =   
   
 
( )( )( ) 1,2
3
2
2 2 8 0
8

  

=
 − − − =  
=
 
Para 
Ate se sabe que: ( )
1At De P e P
−
 =   , pero como A es una matriz que diagonalizable 
ortogonalmente se cumple que: ( ) ( )
1 T
P P
−
 = , entonces: ( )
TAt De P e P =   
Cálculo de autovectores  iA I X −  = : 
Para 1,2 2 = : 
2 2 2 0
2 2 2 0
2 2 2 0
x
y
z
     
     
 =
     
          
 resolviendo: 
1 2
1 3
2 2 2 0 2 2 2 0
2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2 0
2 2 2 0 0 0 0 0
f f x y z x y z
f f
− +   + + =  = − −
− +
 
Reemplazando en 
1 2
1 2
1 1 1 1
1 0 1 ; 0
0 1 0 1
x x
x y z
y y y z x x
z z
− − − − − −           
           
 = +  = =
           
                      
 
Como A es diagonalizable ortogonalmente debemos ortonormalizar los autovectores: 
( )
( )
( )
1
1 1 1
2 2 21
1,1,0 1
1,1,0
21 1 0
x
x x x
x
−  =  =  = −
− + +
 
JOSUE PAYE CHIPANA 6 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 1 1
2 1 2
2 2 1 1
1 1
1,0,1 1,0,1 , 1,1,0 1,1,0,
12 2
1, 1,2
1 1 6
, 1,0,1 1,0,1 , 1,1,0 1,1,0
2 2
x x x x
x x x
x x x x
  − − − − −−
  =  =  = − −
 − − − − − −
 
Para 3 8 = : 
4 2 2 0
2 4 2 0
2 2 4 0
x
y
z
−     
     
 − =
     
     −     
 resolviendo: 
3 1 2 1
3 2
2 3
4 2 2 0 2 0 6 6 0 0 1 1 0 0 0 0 0
2 4 2 0 0 6 6 0 0 1 1 0 0 1 1 0
2 2 4 0 2 2 4 0 1 1 2 0 1 0 1 0
f f f f
f f
f f
 − + − − +
 − − +  −  −   −
− − − + −
 
0
0
y z y z
x z x z
− + = = 
  
− = = 
 
Reemplazando en 
3
3
1 1
1 1
1 1
x
x z
y z z x
z z
       
       
 =  =
       
              
 
Ortonormalizando: 
( )
( )
3
3 3 1
2 2 2
3
1,1,1 1
1,1,1
31 1 1
x
x x x
x
  =  =  =
+ +
 
Calculo de la matriz de paso: 
1 2 3
1 1 1
2 6 3
1 1 1
2 6 3
2 1
0
6 3
P x x x P
− − 
 
 
−      =  =   
   
 
 
 
 
Se cumple que ( ) ( )
1 T
P P
−
 = 
JOSUE PAYE CHIPANA 7 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
( )
1 1
0
2 2
1 1 2
6 6 6
1 1 1
3 3 3
T
P
− 
 
 
− − 
 =  
 
 
 
 
 
La matriz diagonal estará dad por: 
2
1
2
2
8
3
0 0 2 0 0 0 0
0 0 0 2 0 0 0
0 0 0 0 8 0 0
t
Dt t
t
e
D D e e
e



    
    
=  =  =     
         
 
Para ( )
TAt At De e P e P  =   
2
2
8
1 1 1 1 1
0
2 6 3 2 2
0 0
1 1 1 1 1 2
0 0
2 6 3 6 6 6
0 0
2 1 1 1 1
0
6 3 3 3 3
t
At t
t
e
e e
e
− − −   
   
    
− − −    
=      
    
    
   
   
 
2 2 8
2 2 8
2 8
1 1
0
2 6 3 2 2
1 1 2
2 6 3 6 6 6
1 1 12
0
3 3 36 3
t t t
t t t
At
t t
e e e
e e e
e
e e
 − − − 
   
   
 − − − 
=     
   
   
   
  
2 8 2 8 2 8
2 8 2 8 2 8
2 8 2 8 2 8
2
3 3 3
2
3 3 3
2
3 3 3
t t t t t t
t t t t t t
At
t t t t t t
e e e e e e
e e e e e e
e
e e e e e e
 + − + − +
 
 
− + + − + 
=  
 
− + − + + 
 
 
 
 
PROBLEMA 3 
Dada la matriz: 
2
1 1
1
A
a
 
=  
− 
 se pide: a) El valor de la constante “a” sabiendo que uno de sus 
valores propios es igual a 1+3i, b) diagonalize la matriz A y su matriz inversa por Hamilton Cayley, 
c) halle 
nA . 
Solución: 
a) Uno de los autovalores es 1 1 3i = + , entonces se cumple que: 1 0A I−  = : 
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2
1
1 1 1 3 0 3 1
0 0 3 0 9 0 9 0
1 0 1 3 3
i i
i a i a a
a i a i
−
+ −   
− =  =  − − − =  + =  − =   
− + − −   
 
( )( )3 3 0a a − + = de donde se obtiene: 3 ; 3a a= − = 
JOSUE PAYE CHIPANA 8 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
b) La matriz A estará dada por: 
1 1
9 1
A
 
=  
− 
 
Cálculo de autovalores: 
Como un autovalor es 1 1 3i = + entones el otro autovalor será 2 1 3i = − 
Cálculo de autovectores  iA I X −  = 
Para 1 1 3i = + : 
3 1 0
9 3 0
i x
i y
−     
=     
− −     
, resolviendo: 
1 2
3 1 0 3 1 0
3 0 3
39 3 0 0 0 0
i i
ix y y ix
i f fi
− −
  − + =  =
 +− −
 
Reemplazando en: 1
1 1
3 3 3
x x
x x
y ix i i
       
= =  =       
       
 
Para 2 1 3i = − : 
3 1 0
9 3 0
i x
i y
     
=     
−     
, resolviendo: 
1 2
3 1 0 3 1 0
3 0 3
39 3 0 0 0 0
i i
ix y y ix
i f fi
  + =  = −
−  +−
 
Reemplazando en: 2
1 1
3 3 3
x x
x x
y ix i i
       
= =  =       
− − −       
 
Cálculo de la matriz de paso: 
1 1
1 2
1 1 3 1 31 1
3 3 3 1 36 6
i i
P x x P P P
i i i ii
− −
− − −     
 =  =  =  = −       − −−     
 
Cálculo de la matriz diagonal: 
1D P A P−=   
3 1 1 1 11
3 9 1 3 36
i
D
i i i
−     
= −      
− −     
1 3 0
0 1 3
i
D
i
+ 
=  
− 
 
Para el cálculo de matriz inversa 1A− por Hamilton Cayley partimos del polinomio característico: 
( )
2 2 2 1 1( ) 1 9 0 2 10 2 10 / / 2 10P A A I A A I A      − −= − + =  − + =  − +  =   −  + = 
 1 1
2 0 1 11 1
2
0 2 9 110 10
A I A A− −
    
 =  −  = −     
−    
1
1 11
9 110
A−
− 
=  
 
 
Para 
1n n nA A P D P− =   : 
( )
( )
1 3 01 3 0
0 1 3 0 1 3
n
n
n
ii
D D
i i
 ++ 
 =  = 
−  −   
 
JOSUE PAYE CHIPANA 9 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1 3 0 1 3 1 31 1 3 31 1
3 3 3 36 60 1 3 3 1 3 3 1 3
n n n
n n
n n n
i i ii i
A P D P
i i i ii i i i i
−
   + + −− −      
   =   =   − = −       
−     − + − −        
 
( ) ( )
( ) ( )
1 3 1 3 31
36 3 1 3 3 1 3
n n
n
n n
i i i
A
ii i i i
 + − − 
 = −   
 + − −   
 
Multiplicando y simplificando obtenemos: 
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
3 1 3 1 3 1 3 1 3
1
6 9 1 3 1 3 3 1 3 1 3
n n n n
n
n n n n
i i i i i i
A
i i i i i
 + + − − + + −
 = −
 
+ − − + + −  
 
PROBLEMA 4 
En el espacio vectorial 
2R se tiene la recta " "y kx= y el operador lineal “L” que transforma todo 
vector “a” en el vector “b”, simétrico al primero respecto de la recta indicada. Hallar la matriz del 
operador lineal L. 
Solución: 
El operadorlineal será de la siguiente forma:
( ) ( )1 2 1 2, ,T a a b b= 
Del gráfico: 
:l y kx m k= → = 
( ) ( )1 0 1 0 1 2 1 1: :l y y m x x l y a m x a− = −  − = − (1) 
Como 1 1 1
1 1
l l m m
m k
⊥  = −  = − 
En (1): ( ) ( )1 2 1 2 1
1 1
:l y a x a y a x a
k k
− = − −  = − − 
La intersección de las dos rectas 
( )2 1
1
y kx
y a x a
k
=


= − −

 genera las coordenadas del punto M, 
resolviendo el sistema obtenemos 
( )1 21 2
2 21 1
k a kaa ka
x y
k k
++
=  =
+ +
, entonces 
( )1 21 2
2 2
,
1 1
k a kaa ka
M
k k
+ +
=  
+ + 
 
Por otra parte, el punto medio M esta dado por: 
( ) ( )
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2
, ,
, 2 ,
2
a a b b
M b b M a a
+
=  = − 
JOSUE PAYE CHIPANA 10 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
( )1 2,b b ( )
( )
( )
1 2
1 21 2
1 22 2,
2 , ,
1 1T a a
k a kaa ka
a a
k k
+ +
= − 
+ + 
( )
2 2
1 2 1 2 1 22 2 2 2
1 2 2 1
, ,
1 1 1 1
k k k k
T a a a a a a
k k k k
 − −
 = + + 
+ + + + 
 
2
2 2
1 1
2
2 2
2 2
1 2
1 1
2 1
1 1
k k
a ak k
T
a ak k
k k
 −
     + +
  =     
−     
 + + 
2
2 2
1 21
1 2 1
k k
A
k k k
 −
=  
+ − 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 11 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
EXAMEN:II-2018 
PROBLEMA 1 
Dada la transformación lineal: 
2 3:T P R→ , que tiene como imágenes para los polinomios de la 
base  2 2 21, ,B t t t t t= + + + las siguientes imágenes: ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1,2,3 ; 1,2,4T t t T t t+ + = + = y 
( ) ( )2 2,2,2T t = . 
a) Hallar la representación matricial de T respecto de las bases canónicas de 2P y 
3R . 
b) Hallar núcleo y rango, así como sus respectivas bases y dimensiones. 
c) Verificar el teorema de la dimensión. 
Solución: 
a) Para calcular la fórmula de transformación: 
( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 31at bt c t t t t t  + + = + + + + + (1) 
Calculamos los valores de las constantes: 
1
2
3
1 1 2
2 2 2
3 4 2
a
b
c



     
     
 =
     
          
 
Resolviendo: 
1
2
3
c
b c
a b



=
= −
= −
 
En (1) aplicamos T( ): 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 31T at bt c T t t T t t T t  + + = + + + + + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21T at bt c cT t t b c T t t a b T t + + = + + + − + + − 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 1,2,3 1,2,4 2,2,2T at bt c c b c a b + + = + − + − 
( ) ( )2 2 ,2 ,2 2T at bt c a b a a b c + + = − + − 
Llevando la formula a su forma matricial: 
2 1 0
2 0 0
2 2 1
a a
T b b
c c
  −     
      
 =      
      −      
 
Entonces la representación matricial de T respecto de las bases canónicas de 2P y 
3R será: 
2 1 0
2 0 0
2 2 1
A
− 
 
=
 
 − 
 
 
b) Para el núcleo: ( ) 0T x = 
( ) ( ) ( ) 2 2 2/TN at bt c P T at bt c = + +  + + = 
2 1 0 2 1 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0 0
2 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0
2 2 1 2 2 1 0 2 2 1 0 0 0 1 0 0
a a a
T b b b
c c c

  − − − =          
           
 = =  =    =          
          − − − =           
 
JOSUE PAYE CHIPANA 12 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
Por tanto, el núcleo será: ( ) ( ) 2 2 / 0TN at bt c P a b c= + +  = = = 
Para generar las bases del núcleo reemplazamos las condiciones en 
2 20 0 0 0at bt c t t+ + = + + = 
 ( )   TB N =  
La dimensión del núcleo es:  ( ) 0TDim N = 
Para hallar el rango primero calculamos 
TA 
De la fórmula de transformación lineal: 
2 1 0 2 2 2
2 0 0 1 0 2
2 2 1 0 0 1
TA A
−   
   
=  = −
   
   − −   
 
Escalonando 
TA : 
1 0 2
0 2 6
0 0 1
TA
− 
 
=
 
 − 
 ( )  ( ) ( ) ( ) 1,0, 2 ; 0, 2,6 ; 0,0, 1TB I = − − 
La dimensión de la imagen o rango será: 
  ( )( ) TTDim I A=   ( ) 3TDim I = 
 
c) El teorema de la dimensión indica que:      2 ( ) ( ) 3 0 3 3 3T TDim P Dim N Dim I= +  = +  =
, entonces se comprueba el teorema de dimensión. 
 
PROBLEMA 2 
Dada la transformación lineal 
3 3:T R R→ , donde ( ) ( ), , 2 3 , ,2 2T x y z x y z x y z x y= + + + + − . 
a) Hallar A la representación matricial en base canónica. 
b) Hallar los autovalores y autovectores. 
c) Evaluar 
Ae . 
Solución: 
a) Llevando la fórmula de transformación lineal a su forma matricial: 
 
1 2 3
1 1 1
2 2 0
x x
T y y
z z
      
      
=      
      −      
, entonces la representación matricial en base canónica será: 
1 2 3
1 1 1
2 2 0
A
 
 
=
 
 − 
 
b) 
Cálculo de autovalores 0A I−  = : 
( ) 2 1
2 3
11 2 3 0 0 1 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 1 0
2 2 0 0 0 2 2 2
f f
f f
 
 
 
− − +−   
   
− =  − =
   
   − − − − +   
 
JOSUE PAYE CHIPANA 13 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
( )
( )( )( ) ( )( )
2
2
0 2 1 2
1 1 1 0 2 1 2 4 2 2 0
0 4 2 2
 
    
 
− − +
 − =  − − − − − − + + =
− + − −
 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )2 22 2 1 4 2 0 2 4 3 0 2 1 3 0         + − − − + =  + − + =  + − − = 
1
2
3
2
1
3



= −
=
=
 
Cálculo de autovectores  iA I X −  = : 
Para 1 2 = − : 
3 2 3 0
1 3 1 0
2 2 2 0
x
y
z
     
     
 =
     
     −     
 resolviendo: 
2 1
1 2
2 3 1 3
3 2 3 0 3 0 7 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
31 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 0 1 0 1 0 0,
2 2 2 0 2 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
f f
f f y x z
f f f f
− + −
− +     = = −
 − − + − − +
 
Reemplazando en 
1
1
1 1
0 0 0
1 1
x
x z
y z x
z z
− − −       
       
 =  =
       
              
 
Para 2 1 = : 
0 2 3 0
1 0 1 0
2 2 1 0
x
y
z
     
     
 =
     
     − −     
 resolviendo: 
2 3 1 3
0 2 3 0 0 2 3 0 0 2 3 0
3
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ,
2
2 2 1 0 2 0 2 3 0 0 0 0 0
y z x z
f f f f
    = − = −
 − − − + − − +
 
Reemplazando en 
2
2
2 2
3
3 3
2 2
2 2
x
z
x
z
y z x
z
z
− 
      
       − = −  =
      
     − −      
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 14 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
Para 3 3 = : 
2 2 3 0
1 2 1 0
2 2 3 0
x
y
z
−     
     
 − =
     
     − −     
 resolviendo: 
( )
2 1
1 2
1 3
2 2 3 0 2 2 3 0 2 0 8 02
5
1/ 21 2 1 0 0 1 5 / 2 0 0 1 5 / 2 0 4 ,
2
2 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
f f
f f x z y z
f f
− − −+
+ −  −  −  = =
− − +
 
Reemplazando en 
3
3
4
8 8
5
5 5
2 2
2 2
x
z
x
z
y z x
z
z
 
      
       =  =
      
           
 
 
Por tanto, los autovectores serán los siguientes: 
1 2 3
1 2 8
0 ; 3 ; 5
1 2 2
x x x
−     
     
= = =
     
     −     
 
c) Para evaluar 
Ae primero calculamos la matriz de paso. 
Cálculo de la matriz de paso: 
1 2 3
1 2 8
0 3 5
1 2 2
P x x x P
− 
  =  =
  
 − 
 
Entonces la matriz inversa de P será: 
1
16 20 14
1
5 10 5
30
3 0 3
P−
− 
 
= − −
   
 
La matriz diagonal estará dad por: 
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
3 3
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
f
D f D f
f
 
 
 
  
  
=  =   
     
 
En nuestro caso 
2
3
2 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 3 0 0
t
Dt t
t
e
D e e
e
− − 
  
 =  =   
     
2
3
0 0
1 0 0
0 0
t
e
t e e
e
− 
 
=  =  
 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 15 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
Para ( ) ( ) 1 1At At Dte f A P f D P e P e P− − =    =   con 11 A Dt e P e P−=  =   
2
3
1 2 8 0 0 16 20 14
1
0 3 5 0 0 5 10 5
30
1 2 2 0 0 3 0 3
At
e
e e
e
− − −   
    
=   − −    
    −    
 
Multiplicando: 
3 2 2 3 2
3 3
3 2 2 3 2
24 10 16 20 20 24 10 14
1
15 15 30 15 15
30
6 10 16 20 20 6 10 14
A
e e e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e e e
− − −
− − −
 − + − − −
 
= − − 
 + − − + + + 
 
 
PROBLEMA 3 
Dada la transformación 
3:T R R→ , donde ( ), , 2 3T x y z x y z= + + . 
a) Hallar la representación matricial de T respecto de las bases ( ) ( ) ( ) 1,0,0 , 1,1,0 , 1,1,1B = y 
 1C = . 
b) Hallar núcleo, rango y verificar el teorema de la dimensión. 
Solución: 
a) 
La matriz ( )
C
BMat T está dada por: 
 ( )CBMat T   = 
Entonces: 
( ) ( )1,0,0 1 1 1T  = =  = 
( ) ( )1,1,0 3 1 3T  = =  = 
( ) ( )1,1,1 6 1 6T  = =  = 
Generamos ( )
C
BMat T : 
 ( ) 1 3 6CBMat T = 
 
b) Llevando la formula de transformación a su forma matricial obtenemos: 
 1 2 3
x x
T y y
z z
    
    
=    
        
 
Para el núcleo: ( ) 0T x = 
( ) ( ) ( ) 
3, , / , ,
T
N x y z R T x y z =  = 
     1 2 3 1 2 3 0 2 3 0
x
y x y z
z

 
 
 =  =  + + =
 
  
 
JOSUE PAYE CHIPANA 16 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
Por tanto, el núcleo será: ( ) ( ) 
3, , / 2 3 0
T
N x y z R x y z=  + + = 
Para generar las bases del núcleo reemplazamos la condición en 
( ) ( ) ( ) ( ), , 2 3 , , 2,1,0 3,0,1x y z y z y z y z − −  − + −  ( )  ( ) ( ) 2,1,0 , 3,0,1TB N = − − 
La dimensión del núcleo es:  ( ) 2TDim N = 
Para hallar el rango primero calculamos 
TA 
De la fórmula de transformación lineal: 
  1 2
1 3
1 1
1 2 3 2 2 0
3 3 0
T TA A f f A
f f
   
   =  = − +  = 
   
   − +   
( )   1TB I = 
La dimensión de la imagen o rango será: 
  ( )( ) TTDim I A=   ( ) 1TDim I = 
 
El teorema de la dimensión indica que:      3 ( ) ( ) 3 2 1 3 3T TDim R Dim N Dim I= +  = +  = , 
entonces se comprueba el teorema de dimensión. 
 
PROBLEMA 4 
Si 
1 1:T P P→ , si el núcleo está compuesto por múltiplos de ( )2t + y el rango esta generado por 
 2 1t + , hallar la representación matricial de T respecto de la base  1,B t t= + . 
Solución: 
Para hallar la representación matricial debemos obtener la fórmula de transformación. 
El enunciado del problema indica que: “el núcleo está compuesto por múltiplos de ( )2t + ”, para que 
cumpla esta condición la fórmula de transformación deberá ser la siguiente: 
( ) ( )2
2
b
T at b a b t a
 
+ = − + − 
 
 
Comprobamos con ( )2t + y sus múltiplos: 
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 1 2 1 0
2
t T t t
 
+  + =  − + − = 
 
 
( ) ( ) ( )
4
2 4 2 4 2 2 4 2 0
2
t T t t
 
+  + =  − + − = 
 
 
( ) ( ) ( )
6
3 6 3 6 2 3 6 3 0
2
t T t t
 
+  + =  − + − = 
  
Se puede observar que la fórmula si cumple con la condición para generar el núcleo. 
Por otra parte, el enunciado indica que el rango esta generado por la base  2 1t + entonces 
comprobamos esto: 
Llevamos la fórmula de transformación a su forma matricial: 
2 1 2 1
1 1/ 2 1 1/ 2
A
a a
T A
b b
  − −       
=  =        
− −        
 
JOSUE PAYE CHIPANA 17 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
 
2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
21 1/ 2 1 1/ 2 2 1 0 0
T T TA A A A B t
f f f
−       
=  =  =  =  = +        +− − − − −       
 
Se puede observar que si cumple. 
La representación matricial de T respecto de la base  1,B t t= + está dada por: 
1 1
2 2
( )BMat T
 
 
 
=  
 
 
Ahora calculamos las constantes: 
( ) ( ) ( )1 2
1
1 1
2
T t t t t + = + = + + 
( ) ( ) ( )1 22 1 1T t t t t = + = + + 
Generamos el siguiente sistema: 
1 1
2 2
1 1 1 2
1 0 1/ 2 1
 
 
    
=    
    
 
Resolviendo: 
1 1
2 2
1/ 2 1
1/ 2 1
 
 
   
=   
  
 
Y la respuesta será: 
1/ 2 1
( )
1/ 2 1
BMat T
 
=  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 18 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
EXAMEN: I-2018 
PROBLEMA 1 
Para una transformación lineal 
3 3:T R R→ definida como la proyección de un vector sobre el 
plano 2 3 0x y z− + = . 
Se pide hallar: a) la fórmula de transformación lineal, b) bases para el núcleo, imagen y verificar el 
teorema de la dimensión, c) la matriz de la transformación lineal con respecto a la base 
( ) ( ) ( ) 1,1,1 , 1,1,0 , 1,0,0B = 
Solución: 
a) La fórmula de transformación estará dada por una proyección ortogonal, siendo la misma: 
( ) ' 1 1 2 2, , Pr , ' ' , ' 'BT x y z oy v v u u v u u= = + 
donde: ( ), ,v x y z= es el vector que se proyectara sobre el plano. 
  1 2' ' , 'B u u= es una base ortonormalizada del plano. 
Cálculo de la base B del plano: 
Del plano 2 3 0 2 3x y z x y z− + =  = − reemplazamos en 
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
, , 2 3 , , 2,1,0 3,0,1
u u
x y z y z y z y z= − = + − , obteniendo la base 
  ( ) ( ) 1 2, 2,1,0 , 3,0,1B u u B=  = − . 
Cálculo de la base ortonormalizada 'B del plano: 
Esta base será  1 2' ' , 'B u u= 
Orto normalizamos los vectores: 
( )
( )
( )
1
1 1 1
2 2 21
2,1,0 1
2,1,0
52 1 0
u
u u u
u
  =  =  =
+ +
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 1 1
2 2 2
2 2 1 1
1 1
3,0,1 3,0,1 , 2,1,0 2,1,0,
15 5
3,6,5
1 1 70
, 3,0,1 3,0,1 , 2,1,0 2,1,0
5 5
u u u u
u u u
u u u u
  − − −−
  =  =  = −
 − − − −
 
La base ortonormalizada será:   ( ) ( )1 2
1 1
' ' , ' ' 2,1,0 , 3,6,5
5 70
B u u B
 
=  = − 
 
 
Cálculo de la fórmula de transformación: 
( ) ' 1 1 2 2, , Pr , ' ' , ' 'BT x y z oy v v u u v u u= = + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
, , , , , 2,1,0 2,1,0 , , , 3,6,5 3,6,5
5 5 70 70
T x y z x y z x y z = + − − 
Realizando operaciones se obtiene: 
( )
13 2 3 2 10 6 3 6 5
, , , ,
14 14 14
x y z x y z x y z
T x y z
+ − + + − + + 
=  
 
 
 
b) Llevamos la formula a la forma matricial: 
JOSUE PAYE CHIPANA 19 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
( )
13 2 3
13 2 3 2 10 6 3 6 5 1
, , , , 2 10 6
14 14 14 14
3 6 5
A
x x
x y z x y z x y z
T x y z T y y
z z
  −     
+ − + + − + +         
=  =                −      
 
Para el núcleo: ( ) 0T x = 
( ) ( ) ( ) 
3, , / , ,
T
N x y z R T x y z =  = 
13 2 3 0
1
2 10 6 0
14
3 6 5 0
x x
T y y
z z
  −       
        
= =        
       −        
 
( )
( )
2 1 3 1
3 2
2 3 3
13 2 3 0 13 ' 0 63 42 0 3 ' 0 0 0 0
1 5 3 0 1 5 3 0 1 5 3 0 5 / 3 '
3 6 5 0 3 ' 0 21 14 0 1/ 7 ' 0 3 2 0
f f f f
f f
f f f
− − + − − +
  − +
− +
 
0 0 0 0
2
1 0 1/ 3 0 ,
3 3
0 3 2 0
z
x y z −  = = − 
Reemplazando en ( ) ( )
2
, , , , 1, 2,3
3 3 3
z z
x y z z z
 
 −  − 
 
 ( )  ( ) 1, 2,3TB N = − 
La dimensión del núcleo es:  ( ) 1TDim N = 
 
Para hallar la base de la imagen calculamos 
TA . 
Como la matriz A es simétrica entonces la matriz transpuesta será la misma 
TA A= : 
13 2 3
1
2 10 6
14
3 6 5
TA
− 
 
=
 
 − 
 
Para la base de la imagen bastara con escalonar la matriz 
TA . 
( )
( )
1 2 1 3 1
2
3 2 3 3
13 2 3 14 ' 13 2 3 13 ' 0 63 42 3 '
1
2 10 6 14 / 2 ' 1 5 3 1 5 3
14
3 6 5 14 ' 3 6 5 3 ' 0 21 14 1/ 7 '
T
f f f f f
A f
f f f f
− − − + − − +     
     
=  
     
     − − +     
 
0 0 0
1 5 3
0 3 2
 
 
 
 
  
 ( )  ( ) ( ) 1,5,3 , 0,3, 2TB I = 
La dimensión de la imagen es:  ( ) 2TDim I = 
 
El teorema de la dimensión indica que:      3 ( ) ( ) 3 1 2 3 3T TDim R Dim N Dim I= +  = +  = , 
entonces se comprueba el teorema de dimensión. 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 20 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
c) La matriz ( )BMat T está dada por: 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
( )BMat T
  
  
  
 
 
=
 
  
 
Calculamos las constantes: 
( ) ( ) ( ) 1,1,1 , 1,1,0 , 1,0,0B = 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3
6 9 4
1,1,1 , , 1,1,1 1,1,0 1,0,0
7 7 7
T   
 
= = + + 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3
15 6 3
1,1,0 , , 1,1,1 1,1,0 1,0,0
14 7 14
T   
 
= = + + 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3
13 1 3
1,0,0 , , 1,1,1 1,1,0 1,0,0
14 7 14
T   
− 
= = + + 
 
 
Generamos el siguiente sistema: 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1 6 / 7 15 /14 13 /14
1 1 0 9 / 7 6 / 7 1/ 7
1 0 0 4 / 7 3 /14 3 /14
  
  
  
     
     
=
     
     −     
 
Resolviendo: 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 / 7 3 /14 3 /14
5 / 7 9 /14 5 /14
3 / 7 3 /14 11/14
  
  
  
−   
   
=
   
   −   
 
Entonces: 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
( )BMat T
   
   
   
 
 
=
 
  

4 / 7 3 /14 3 /14
( ) 5 / 7 9 /14 5 /14
3 / 7 3 /14 11/14
BMat T
− 
 
=
 
 − 
 
 
 
PROBLEMA 2 
Dada la matriz 
3 0
3 1
2 0
a
A b
c
 
 
= −
 
 − 
 se pide: a) hallar los valores de las constantes a, b y c de forma 
que ( )2,0, 1
t
− sea un autovector cuyo autovalor correspondiente es 1 = − , b) halle los demás 
autovalores y autovectores, c) de ser posible diagonalice la matriz A y si no lo fuera encuentra su 
forma Jordan. 
Solución: 
Tenemos de dato: 1 1 = − , 1
2
0
1
x
 
 
=
 
 − 
 
a) Para hallar las constantes hacemos uso del autovector de dato.   11A I x − = 
JOSUE PAYE CHIPANA 21 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
3 0 1 0 0 2 0 4 0 2 0 8 0
3 1 0 1 0 0 0 3 0 0 0 6 0
2 0 0 0 1 1 0 2 0 1 1 0 5 0
a a a
b b b
c c c
 −  −                 
                  
− − − =  =  − =                  
                  − − − − + − − −                  
 
De la igualdad de matrices obtenemos: 8 , 6 , c 5a b= = = − 
b) 
Cálculo de autovalores 0A I−  = : 
La matriz A será: 
3 0 8
3 1 6
2 0 5
A
 
 
= −
 
 − − 
 
( )( ) 2 13 0 8 0 0 3 0 8 1/ 2 3 '
3 1 6 0 0 0 3 1 6 0
2 0 5 0 0 2 0 5
f f  
 
 
− − +   
   
− − =  − − =
   
   − − − − −   
 
( )( )
( ) ( )( )
1
0 0 3 5 8
2
1
3 1 6 0 2 0 1 3 5 8 0
2
2 0 5
 
   

− − − +
  
 − − =  − − − − − − − + =  
  
− − −
 
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
321 3 5 16 0 1 2 1 0 1 0       + − + + =  + + + =  + =  1,2,3 1 = − 
Cálculo de autovectores  iA I X −  = : 
Para 1,2,3 1 = − : 
3 0 8 1 0 0 0 4 0 8 0
3 1 6 0 1 0 0 3 0 6 0
2 0 5 0 0 1 0 2 0 4 0
x x
y y
z z
 −              
              
− − − =  =              
              − − − − −              
 resolviendo: 
( )
( )
( )
1
2 1 2
1 33
1/ 44 0 8 0 1 0 2 0 1 0 2 0
1/ 33 0 6 0 1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2
2 0 4 0 1 0 2 0 0 0 0 01/ 2
f
f f f x z x z
f ff

 − +    + =  = −
− − − +−
 
Reemplazando en 
1 2
2 0 2
1 0
0 1
x x
x z
y y y z
z z
− −       
       
 = + 
       
              
1 2
0 2
1 ; 0
0 1
x x =
−   
   
=
   
      
 
JOSUE PAYE CHIPANA 22 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
Como tenemos 3 autovalores debemos generar 3 autovectores, pero se observa que no es así y para 
generar el tercer autovector trabajamos con el autovector 1x y el sistema: 
( )
( )
( )
1
2 1 2
1 33
1/ 44 0 8 0 4 0 8 0 1 0 2 0 1 0 2 0
1/ 33 0 6 1 3 0 6 1 1 0 2 1/ 3 0 0 0 1/ 3
2 0 4 0 2 0 4 0 1 0 2 0 0 0 0 01/ 2
fx
f f fy
z f ff
     
       − +=   
     
      − − − − − +−     
 
El sistema es inconsistente, entonces no se podrá hallar el tercer autovector, tampoco se podrá 
diagonalizar ni llevar a la forma de Jordan. 
PROBLEMA 3 
De una transformación lineal 
2 2:T P P→ definida por: 
( ) ( ) ( ) ( )2 25 2 2 2 2T ax bx c a b c x am b mc x am bn cm+ + = + + + + − + + + 
Si se conoce que ( )1,2,2
t
− es un autovector para el autovalor 3 = − . Sepide: a) hallar los 
valores de m y n, b) diagonalice la matriz A , c) halle la matriz 
nA , d) halle 1A− por Hamilton 
Cayley. 
Solución: 
a) Primero llevamos la formula de transformación a la forma matricial: 
5 2 2
2 2
a a
T b m m b
c m n m c
      
      
= −      
            
 
Tenemos de dato: 1 3 = − , 1
1
2
2
x
− 
 
=
 
  
 
Para hallar las constantes hacemos uso del autovector de dato.   11A I x − = 
5 2 2 3 0 0 1 0 8 2 2 1 0 0 0
2 2 0 3 0 2 0 5 2 2 0 5 10 0
0 0 3 2 0 3 2 0 2 6 0
m m m m m
m n m m n m m n
 −  − −                 
                  
− − − =  − =  − + =                  
                  − + + +                  
 
De la igualdad de matrices obtenemos: 
5 10 0
2 6 0
m
m n
− + =

+ + =
2 , 4m n= = − 
b) La matriz A que se daiagonalizara es: 
5 2 2
2 2 4
2 4 2
A
 
 
= −
 
 − 
 
 
Como se puede observar la matriz A es simétrica por lo tanto se procederá con la diagonalizacion 
ortogonal: ( ) ( )
1
' ' ' '
t
D P A P D P A P
−
=    =   
JOSUE PAYE CHIPANA 23 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
Cálculo de autovalores 0A I−  = : 
 
( )( ) 3 2
3 2
5 2 2 0 0 5 2 2 1/ 2 5 '
2 2 4 0 0 0 2 2 4 0 '
2 4 2 0 0 2 4 2
f f
f f
  
 
 
− − − +   
   
− − =  − − = − +
   
   − − −   
 
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )
( )
0 2 2 5 2 1/ 2 2 5 1
2 6 2 2 5
0 6 6 0 2 02
6 62 4 2
  
  
 
 
+ − − − −
− − − − −
 − − + =  =
− − −− −
 
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
1
2 2 2 5 1
6 0 6 2 6 2 2 5 02
2
1 6
 
    

− − −   
 − − =  − − − − − − − =  
  −
 
( )( ) ( ) ( )
22
1 1,26 3 18 0 6 3 0 3 , 6       − − − =  − + =  = = 
Cálculo de autovectores  iA I X −  = : 
Para 1 3 = − : 
1
1
2
2
x
− 
 
=
 
  
 
Para 2,3 6 = : 
5 2 2 6 0 0 0 1 2 2 0
2 2 4 0 6 0 0 2 4 4 0
2 4 2 0 0 6 0 2 4 4 0
x x
y y
z z
  −             
              
− − =  − − =              
              − − −              
 resolviendo: 
1 2
1 3
1 2 2 0 1 2 2 0
22 4 4 0 0 0 0 0 2 2 0 2 2
2 4 4 0 0 0 0 02
f f x y z x y z
f f
− −
+− −   − + + =  = +
− − +
 
Reemplazando en 
2 3
2 2 2 2
1 0
0 1
x x
x y z
y y y z
z z
+       
       
 = + 
       
              
2 3
2 2
1 ; 0
0 1
x x =
   
   
=
   
      
 
Ortonormalizacion de los autovectores: 
JOSUE PAYE CHIPANA 24 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
Para 1x
 : 
( )
( )
( )
1
1 1 1
2 2 21
1,2,2 1
1,2,2
31 2 2
x
x x x
x
−  =  =  = −
− + +
 
Para 2x
 y 3x
 : 
( )
( )
2
2 2 2
2 2 2
2
2,1,0 1
2,1,0
52 1 0
x
x x x
x
  =  =  =
+ +
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 3 2 2
3 3 3
3 3 2 2
1 1
2,0,1 2,0,1 , 2,1,0 2,1,0,
15 5
2, 4,5
1 1 45
, 2,0,1 2,0,1 , 2,1,0 2,1,0
5 5
x x x x
x x x
x x x x
  −−
  =  =  = −
 − −
 
Calculo de la matriz de paso ortonormalizada: 
( )1 2 3
1 2 2 1 2 2
3 5 45 3 3 3
2 1 4 2 1
0
3 5 45 5 5
2 5 2 4 5
0
3 45 45 45 45
t
P x x x P P
−   −
   
   
         =  = −  =     
     
   
−   
   
 
Para diagonalizar reemplazamos en ( )' '
t
D P A P=   : 
1 2 21 2 2
3 5 453 3 3 5 2 2
2 1 2 1 4
0 2 2 4
35 5 5 45
2 4 2
2 4 5 2 5
0
345 45 45 45
D
−   −
   
    
    
=  −  −    
    − 
   
−   
   
 
1 2 2
1 2 2 3 5 45
12 6 2 1 4
0
35 5 5 45
4 8 10 2 5
0
35 5 5 45
D
−   
   − −
   
   
=  −    
   
   
−   
   
3 0 0
0 6 0
0 0 6
D
− 
 
=
 
  
 
c) 
Para ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' '
t tn n nA f A P f D P A P D P =    =   
JOSUE PAYE CHIPANA 25 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
Reemplazando: 
( )
1 2 2 1 2 2
3 5 45 3 3 33 0 0
2 1 4 2 1
0 6 0 0
3 5 45 5 5
0 0 6
2 5 2 4 5
0
3 45 45 45 45
n
n n
n
A
−   −
   
    −
    
= −      
    
    
−   
   
 
( )
( )
( )
3 2 6 2 6
1 2 2
3 5 45 3 3 3
2 3 6 4 6 2 1
0
3 5 45 5 5
2 4 52 3 5 6
0
45 45 453 45
n n n
n n n
n
n n
A
 −    −− 
  
  
 −     = −    
  
  −   −    
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2 3 2 34 6 4 6 2 6 8 6 10 6
9 5 45 9 5 45 9 45
2 3 4 3 4 32 6 8 6 6 16 6 20 6
9 5 45 9 5 45 9 45
2 3 4 3 4 310 6 20 6 25 6
9 45 9 45 9 45
n n nn n n n n
n n nn n n n n
n
n n nn n n
A
 − − −    
+ + − + − − + 
 
 − − −   
  = − + − + + −
 
 
− − −   − + − +
 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 8 6 2 3 2 6 2 3 2 6
9 9 9
2 3 2 6 4 3 5 6 4 3 4 6
9 9 9
2 3 2 6 4 3 4 6 4 3 5 6
9 9 9
n n nn n n
n n nn n n
n
n n nn n n
A
 − +  − − +  − − + 
 
 
 − − +  − +  − + 
  =
 
 
− − +  − −  − +  
 
 
 
Simplificando: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 8 6 2 3 2 6 2 3 2 6
1
2 3 2 6 4 3 5 6 4 3 4 6
9
2 3 2 6 4 3 4 6 4 3 5 6
n n nn n n
n n nn n n n
n n nn n n
A
 − +  − − +  − − + 
 
 = − − +  − +  − + 
 
− − +  − −  − +   
 
d) 
Para el cálculo de matriz inversa 1A− por Hamilton Cayley partimos del polinomio característico: 
JOSUE PAYE CHIPANA 26 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
( ) ( ) ( )( )
2 2 3 2 3 2 1( ) 6 3 6 3 18 9 108 0 9 108 0 / /P A A I A        −= − + = − − − = − + =  − + =  
( )3 2 1 2 1 1 2
1
9 108 / / 9 108 9
108
A A I A A A A A A A − − − − + =   − + =  = − 
2
1
5 2 2 5 2 2
1
9 2 2 4 2 2 4
108
2 4 2 2 4 2
A−
    
    
= − − −     
    − −    
1
2 2 2
1
2 1 4
18
2 4 1
A−
 
 
= − −
 
 − − 
 
PROBLEMA 4 
Sea la transformación lineal 
2 2
2:
XT P R→ de la cual se conocen que la representación matricial 
respecto a las bases  21,1 ,1B t t t= + + + y 
1 1 1 1 1 1 1 0
, , ,
1 1 1 0 0 0 0 0
C
        
=         
        
 que es la matriz 
1 1 2
1 3 1
2 0 3
2 1 2
A
 
 
− −
 =
 
 
− − 
 . Se pide hallar: a) la fórmula de transformación, b) con ayuda de la matriz A halle 
la imagen de 
21 2 3t t+ + , c) verifique el teorema de la dimensión. 
Solución: 
a) La formula de transformacion lineal será hallada mediante: 
( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1a bt ct t t t  + + = + + + + + (1) 
Ahora calculamos los escalares: 
2 1
3 2
1 1 1 1 1 1 ´ 1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0 1 1 ´ 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
a a f f a b a b
b b b f f b c
c c c c



− + − −     
     
=   − +  −
     
          
 
, , a b b c c  = − = − = 
Reemplazando en (1): 
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 21 1 1 / /a bt ct a b b c t c t t T+ + = − + − + + + + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1T a bt ct a b T b c T t cT t t+ + = − + − + + + + (2) 
Se puede observar que nos hacen falta las imágenes de ( ) ( ) ( )21 , 1 , 1T T t T t t+ + + .Para poder hallar 
dichas imágenes trabajaremos con la representación matricial respecto a las bases B y C: 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
1 1 2
1 3 1
( )
2 0 3
2 1 2
C
BA Mat T
  
  
  
  
  
  
− −
  = = =
  
  
− −   
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
1 2 3 4 1 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1,1,1,1 1,1,1,0 1,1,0,0 1,0,0,0
1 1 1 0 0 0 0 0
0 2
1 1 1,1,1,1 1 1,1,1,0 2 1,1,0,0 2 1,0,0,0 0,2,0,1 1
0 1
T
T T
       
       
= + + + = + + +       
       
 
 = + − + + − =  =  
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 27 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
1 2 3 4 1 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1,1,1,1 1,1,1,0 1,1,0,0 1,0,0,0
1 1 1 0 0 0 0 0
3 4
1 1 1,1,1,1 3 1,1,1,0 0 1,1,0,0 1 1,0,0,0 3,4,4,1 1
4 1
T t
T t T t
       
       
+ = + + + = + + +       
       
 
 + = + + + − =  + =  
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1 2 3 4 1 2 3 4
2 2
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1,1,1,1 1,1,1,0 1,1,0,0 1,0,0,0
1 1 1 0 0 0 0 0
6 4
1 2 1,1,1,1 1 1,1,1,0 3 1,1,0,0 2 1,0,0,0 6,4,1,2 1
1 2
T t t
T t t T t t
       
       
+ + = + + + = + + +       
       
 
 + + = + − + + =  + + =  
 
 
Como ya se tienen las imágenes deseadas las reemplazamos en (2): 
( ) ( ) ( )2
0 2 3 4 6 4
0 1 4 1 1 2
T a bt ct a b b c c
     
+ + = − + − +     
     
 
Finalmente la formula de transformacion será: 
( )2
3 3 2 2
4 3
b c a b
T a bt ct
b c a c
+ + 
+ + =  
− + 
 
 
b) Para calcular ( )21 2 3T tt+ + trabajamos con: 
( )( ) ( )2 21 2 3 1 2 3
BC
T t t A t t+ + =  + + (3) 
Calculamos ( )21 2 3
B
t t+ + que esta dado por ( )
1
2
2
3
1 2 3
B
t t



 
 
+ + =
 
  
. 
( ) ( ) ( )2 21 2 31 2 3 1 1 1t t t t t  + + = + + + + + 
Ahora calculamos los escalares: 
1 2 1
2 3 2
3
1 1 1 1 1 1 1 1 ´ 1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 ´ 0 1 0 1
0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3
f f
f f



− + − −     
     
=   − +  −
     
          
 
1 2 31, 1, 3  = − = − = 
( ) ( )
1
2 2
2
3
1
1 2 3 1 2 3 1
3
B B
t t t t



−   
   
+ + =  + + = −
   
      
 
Reemplazando en (3): 
( )( ) ( ) ( )( )2 2 2
1 1 2
1
1 3 1
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1
2 0 3
3
2 1 2
BC C
T t t A t t T t t
 
−  
− −   + + =  + +  + + = −
  
    
− − 
 
( )( )2
4
5
1 2 3
7
9
C
T t t
 
 
−
  + + =
 
 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 28 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
Por ultimo usamos: 
( ) ( )( )2 21 2 3 1 2 3C
C
T t t Mat T t t+ + =  + + (4) 
De la base C de dato: 
1 1 1 1 1 1 1 0
, , ,
1 1 1 0 0 0 0 0
C
        
=         
        
1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 0 0
1 0 0 0
CMat
 
 
  =
 
 
 
 
Reemplazando en (4): 
( ) ( )( ) ( )2 2 2
1 1 1 1 4 15
1 1 1 0 5 6
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 0 0 7 1
1 0 0 0 9 4
C
C
T t t Mat T t t T t t
     
     
−
     + + =  + +  + + =  =
     −
     
     
 
Finalmente podemos anotar esta imagen como: 
( )2
15 6
1 2 3
1 4
T t t
 
+ + =  
− 
 
 
c) Para el núcleo: ( ) 0T x = 
( ) ( ) ( ) 2 22 /TN a bt ct P T at bt c = + +  + + = 
Llevamos la formula de transformacion a su forma matricial: 
( )2
3 3 0 3 3
3 3 2 2 2 2 2 2 0
4 3 4 3 0 4 3
1 0 1
b c
a a a
b c a b a b
T a bt ct T b T b b
b c a c b c
c c c
a c
+   
           
+ + +             + + =  =  =             − + − −                     +   
 
4 2
0 3 3 0 3 3 0 0 3 3 0
2 2 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 '
0 4 3 0 4 3 0 0 4 3 0
1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0
a a
f f
T b b
c c

     
         
− +          = =  =          − − −             
     
 
( )
( )
3 12 1
3 22
2 3
3 4
6 '0 3 3 0 0 0 6 0 0 0 0 03 / 2 '
0
'0 2 2 0 0 1 1 0 0 1 0 01/ 2 '
0
0 4 3 0 0 0 1 0 0 0 1 02 '
0
'1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0
f ff f
a
f ff
b
f f
c
f f
− +− +
=
+− − 
    =
− − +  =
− +
 
Para generar las bases del núcleo reemplazamos las condiciones en 
2 20 0 0 0a bt ct a t t+ + = + + = 
 ( )   TB N =  
La dimensión del núcleo es:  ( ) 0TDim N = 
Para hallar el rango primero calculamos 
TA de la formula de transformacion: 
JOSUE PAYE CHIPANA 29 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
0 3 3
0 2 0 1
2 2 0
3 2 4 0
0 4 3
3 0 3 1
1 0 1
t
A
a a
T b b A
c c
 
       
       =  =       −      −       
 
 
Escalonando 
tA : 
3 2 1 2
0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1
3 2 4 0 ' 0 2 7 1 ' 0 0 7 2
3 0 3 1 3 0 3 1 3 0 3 1
t t tA f f A f f A
     
     
= − +  = − − +  = −
     
     − − −     
 
( )  ( ) ( ) ( ) 0, 2,0,1 , 0,0,7, 2 3,0, 3.1TB I = − −  ( ) 
0 2 0 0 3 0
, ,
0 1 7 2 3 1
T
B I
      
=       
− −      
 
La dimensión de la imagen o rango será: 
  ( )( ) tTDim I A=   ( ) 3TDim I = 
El teorema de la dimensión indica que:      2 ( ) ( ) 3 0 3 3 3T TDim P Dim N Dim I= +  = +  = , 
entonces queda comprobado el teorema de dimensión. 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 30 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
EXAMEN: II-2017 
PROBLEMA 1 
Dados los autovalores  3,3,3− y autovectores ( ) ( ) , 1,1,0 , ,0,v k k− de una matriz A, donde v
corresponde al auto valor no repetido, se pide: 
a) Hallar el valor de k y el vector v para que A sea simétrica. 
b) Halle la matriz A. 
c) Halle la matriz inversa de A por Cayley-Hamilton. 
Solución: 
a) 
Cálculo del valor de k : 
El autovalor 3 = genera los autovectores ( ) ( )1 21,1,0 , ,0,v v k k= = − , entonces se cumple que: 
( ) ( )
1 2 1 2
1 1 1 1 2
1 1 1
1 0 1 0 1,0,1
0 0 1
v v v v
x k x
y y k v
z k z
   
− −           
           
= +  = +  = −
           
                      
 comparando con ( )2 ,0,v k k= − 
Se obtiene 1k = 
 
Cálculo del valor del autovector v : 
Los autovecores serán ( ) ( )  ( ) ( ) ( )1 2, 1,1,0 , 1,0,1 , , ; 1,1,0 , 1,0,1v v a b c v v−  = = = − 
Por otra parte para que A sea simétrica los autovectoes deben estar ortonormalizados. 
( )
( )
2 2 2
, ,
, , ' '
a b cv
v a b c v v
v a b c
=  =  =
+ +
 
( )
( )
( )11 1 1
2 2 2
1
1,1,0 1
1,1,0 ' ' 1,1,0
21 1 0
v
v v v
v
=  = =  =
+ +
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )2 2 1 12 2 2
2 2 1 1
1 1
1,0,1 1,0,1 , 1,1,0 1,1,0
, ' ' 12 2
1,0,1 ' ' 1,1,2
, ' ' 1 1 6
1,0,1 1,0,1 , 1,1,0 1,1,0
2 2
v v v v
v v v
v v v v
− − −
−
= −  = =  = −
−
− − −
 
Como A es simétrica 'v es ortogonal a 1 'v y 2 'v : 
1', ' 0v v = 
( )
( )
2 2 2
, , 1
, 1,1,0 0 0
2
a b c
a b b a
a b c
=  + =  = −
+ +
 (1) 
2', ' 0v v = 
( )
( )
2 2 2
, , 1
, 1,1,2 0 2 0
6
a b c
a b c
a b c
− =  − + + =
+ +
 (2) 
( )
2
1
', ' ' ' cos 0 'v v v v v= = 
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
, , , , , ,
,
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
=
+ + + + + +
 
( )
2
2 2 22 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
a b ca b c
a b c
a b c a b c
+ ++ +
 =  + + =
+ + + +
 (3) 
(2) en (1): 2 0a a c c a− − + =  = (4) 
(1) y (4) en (3): ( )
22 2 11
3
a a a a+ − + =  =  
JOSUE PAYE CHIPANA 31 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
En (1): 
1
3
b
 
= −  
 
 
En (4): 
1
3
c =  
Reemplazando en ( ) ( )
1 1 1 1
, , , , 1, 1,1
3 3 3 3
v a b c v v
  
=  =  −    =  −  
  
 
Finalmente ( )1, 1,1v = − ( )
1
' 1, 1,1
3
v = − 
b) 
Para hallar A trabajamos con ( ) ( )
1
' ' ' '
t
A P D P A P D P
−
=    =   
Cálculo de 'P y ( )'
t
P : 
( )1 2
1 1 1 1 1 1
3 2 6 3 3 3
1 1 1 1 1
' ' ' 0
3 2 6 2 2
1 1 21 2
0
6 6 63 6
t
P v v v P P
   
− −   
   
   
  =    = −  =     
   
   
−   
  
 
 
Cálculo de matriz diagonal: 
Conociendo  3,3,3− tenemos 
3 0 0
0 3 0
0 0 3
D
− 
 
=
 
  
 
Reemplazando en ( )' '
t
A P D P=   : 
1 1 1 1 1 1
3 2 6 3 3 3
3 0 0
1 1 1 1 1
0 3 0 0
3 2 6 2 2
0 0 3
1 1 21 2
0
6 6 63 6
A
   
− −   
   − 
    
= −      
     
   
−   
  
 
Multiplicando: 
1 2 2
2 1 2
2 2 1
A
− 
 
=
 
 − 
 
c) 
Cálculo de la matriz inversa 1A− por Hamilton Cayley: 
Partimos del polinomio característico: 
JOSUE PAYE CHIPANA 32 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
( ) ( )
2 3 2 3 2 1() 3 3 3 9 27 0 3 9 27 0 / /P A A A I A      −= − + = − − + =  − − +  =  
( )2 1 1 2
1
3 9 27 0 3 9
27
A A I A A A A I− − − −  +  =  = − + +  
Reemplazando: 
2
1
1 2 2 1 2 2 1 0 0
1
2 1 2 3 2 1 2 9 0 1 0
27
2 2 1 2 2 1 0 0 1
A−
 − −     
      
= − + +       
      − −      
 
Operando: 
1 2 2
1
2 1 2
9
2 2 1
A
− 
 
=
 
 − 
 
PROBLEMA 2 
Sea una transformación lineal 
3 3:T R R→ definida como la proyección de un vector sobre el plano 
3 0x y z− + = . 
Se pide hallar: a) la fórmula de transformación lineal, b) verificar el teorema de la dimensión, c) la 
matriz de la transformación con respecto a la base ( ) ( ) ( ) 1,1, 1 , 1, 1,2 , 1,0,1B = − − , d) con ayuda 
de la anterior matriz la imagen del vector ( )3,4, 1− . 
Solución: 
a) La fórmula de transformación estará dada por una proyección ortogonal, siendo la misma: 
( ) ' 1 1 2 2, , Pr , ' ' , ' 'BT x y z oy v v u u v u u= = + 
donde: ( ), ,v x y z= es el vector que se proyectara sobre el plano. 
  1 2' ' , 'B u u= es una base ortonormalizada del plano. 
Cálculo de la base B del plano: 
Del plano 3 0 3x y z x y z− + =  = − reemplazamos en ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
, , 3 , , 1,1,0 3,0,1
u u
x y z y z y z y z= − = + −
obteniendo la base   ( ) ( ) 1 2, 1,1,0 , 3,0,1B u u B=  = − . 
Cálculo de la base ortonormalizada 'B del plano: 
Esta base será  1 2' ' , 'B u u= 
Orto normalizamos los vectores: 
( )
( )
1
1 1 1
2 2 2
1
1,1,0 1
1,1,0
21 1 0
u
u u u
u
  =  =  =
+ +
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 1 1
2 2 2
2 2 1 1
1 1
3,0,1 3,0,1 , 1,1,0 1,1,0,
12 2
3,3,2
1 1 22
, 3,0,1 3,0,1 , 1,1,0 1,1,0
2 2
u u u u
u u u
u u u u
  − − −−
  =  =  = −
 − − − −
 
JOSUE PAYE CHIPANA 33 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
La base ortonormalizada será:   ( ) ( )1 2
1 1
' ' , ' ' 1,1,0 , 3,3,2
2 22
B u u B
 
=  = − 
 
 
Cálculo de la fórmula de transformación: 
( ) ' 1 1 2 2, , Pr , ' ' , ' 'BT x y z oy v v u u v u u= = + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
, , , , , 1,1,0 1,1,0 , , , 3,3,2 3,3,2
2 2 22 22
T x y z x y z x y z = + − − 
Realizando operaciones se obtiene: 
( )
10 3 10 3 3 3 2
, , , ,
11 11 11
x y z x y z x y z
T x y z
+ − + + − + + 
=  
 
 
 
b) Llevamos la fórmula a la forma matricial: 
( )
10 1 3
10 3 10 3 3 3 2 1
, , , , 1 10 3
11 11 11 11
3 3 2
A
x x
x y z x y z x y z
T x y z T y y
z z
  −     
+ − + + − + +         
=  =                −      
 
Para el núcleo: ( ) 0T x = 
( ) ( ) ( ) 
3, , / , ,
T
N x y z R T x y z =  = 
10 1 3 0
1
1 10 3 0
11
3 3 2 0
x x
T y y
z z
  −       
        
= =        
        −        
 
( )
( )
2 1 3 1
3 2
2 3 3
10 1 3 0 10 ' 0 99 33 0 3 ' 0 0 0 0
1 10 3 0 1 10 3 0 1 10 3 0 10 / 3 '
3 3 2 0 3 ' 0 33 11 0 1/11 ' 0 3 1 0
f f f f
f f
f f f
− − + − − +
  − +
− +
 
0 0 0 0
1 0 1/ 3 0 ,
3 3
0 3 1 0
z z
x y −  = = − 
Reemplazando en ( ) ( ), , , , 1, 1,3
3 3 3
z z z
x y z z
 
 −  − 
 
 ( )  ( ) 1, 1,3TB N = − 
La dimensión del núcleo es:  ( ) 1TDim N = 
 
Para hallar la base de la imagen calculamos 
TA . 
Como la matriz A es simétrica entonces la matriz transpuesta será la misma 
TA A= : 
10 1 3
1
1 10 3
11
3 3 2
TA
− 
 
=
 
 − 
 
Para la base de la imagen bastara con escalonar la matriz 
TA . 
JOSUE PAYE CHIPANA 34 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
1
2
3
10 1 3 11 ' 10 1 3
1
1 10 3 11 ' 1 10 3
11
3 3 2 11 ' 3 3 2
T T
f
A f A
f
− −   
   
=  =
   
   − −   
 
Escalonando 
0 0 0
3 0 1
0 3 1
TA
 
 
= − 
 
  
( )  ( ) ( ) 3,0, 1 , 0,3,1TB I = − 
La dimensión de la imagen es:  ( ) 2TDim I = 
 
El teorema de la dimensión indica que:      3 ( ) ( ) 3 1 2 3 3T TDim R Dim N Dim I= +  = +  = , 
entonces se comprueba el teorema de dimensión. 
c) 
La matriz ( )BMat T está dada por: 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
( )BBMat T
  
  
  
 
 
=
 
  
 
Calculamos los escalares: 
( ) ( ) ( ) 1,1, 1 , 1, 1,2 , 1,0,1B = − − 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
14 8 2
1,1, 1 , , 1,1, 1 1, 1,2 1,0,1
11 11 11
3 3 2
1, 1,2 , , 1,1, 1 1, 1,2 1,0,1
11 11 11
7 4 1
1,0,1 , , 1,1, 1 1, 1,2 1,0,1
11 11 11
T
T
T
  
  
  
− 
− = = − + − + 
 
− − 
− = = − + − + 
 
− 
= = − + − + 
 
 
Generamos el siguiente sistema: 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1 14 /11 3 /11 7 /11
1 1 0 8 /11 3 /11 4 /11
1 2 1 2 /11 2 /11 1/11
  
  
  
     
     
− = −
     
     − − − −     
 
Resolviendo: 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
8 /11 8 /11 4 /11
0 1 0
6 /11 16 /11 3 /11
  
  
  
   
   
=
   
   −   
 
Entonces: 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
( )BBMat T
  
  
  
 
 
=
 
  

8 8 4
1
( ) 0 11 0
11
6 16 3
B
BMat T
 
 
=
 
 − 
 
 
 
d) 
Para calcular ( )3,4, 1T −   trabajamos con: 
JOSUE PAYE CHIPANA 35 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
( )( ) ( )3, 4, 1 ( ) 3, 4, 1BB BBT Mat T− =  −       (3) 
Calculamos ( )3,4, 1
B
−   que esta dado por ( )
1
2
3
3,4, 1
B



 
 
− =    
  
. 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 33,4, 1 1,1, 1 1, 1,2 1,0,1  − = − + − + 
Ahora calculamos los escalares: 
( )
( )
1 2 1
2 1 2
3 1 3 2 1
1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1/ 2 '
1 1 0 4 1 1 0 4 ' 0 2 1 1
1 2 1 1 1 2 1 1 ' 0 3 2 2 3 / 2 '
f f
f f
f f f f



+     
     
− =  − − +  − −
     
     − − − − + +     
 
( )
3 1
3 2 1
3
1 0 1/ 2 7 / 2 ' 1 0 0 0 1 0 0 0
0 2 1 1 2 ' 0 2 0 8 1/ 2 ' 0 1 0 4
0 0 1/ 2 7 / 2 0 0 1/ 2 7 / 2 2 ' 0 0 1 7
f f
f f f
f
− +
 − − +  − −  − 
1 2 30, 4, 7  = = − = 
( ) ( )
1
2
3
0
3,4, 1 3,4, 1 4
7
B B



   
   
− =  − = −         
      
 
Reemplazando en (3): 
( )( ) ( ) ( )( )
8 8 4 0
1
3,4, 1 ( ) 3,4, 1 3,4, 1 0 11 0 4
11
6 16 3 7
B
B BB B
T Mat T T
   
   
− =  −  − = −              
   −   
 
( )( ) ( )( )
8 8 4 0 4
1 1
3,4, 1 0 11 0 4 3,4, 1 44
11 11
6 16 3 7 85
B B
T T
−     
     
 − = −  − = −           
     −     
 
Por ultimo usamos: 
( ) ( )( )3, 4, 1 3, 4, 1B
B
T Mat T− =  −       (4) 
De la base B de dato: 
( ) ( ) ( ) 1,1, 1 , 1, 1,2 , 1,0,1B = − −
1 1 1
1 1 0
1 2 1
BMat
 
 
 = −
 
 − 
 
Reemplazando en (4): 
( ) ( )( ) ( )
1 1 1 4 37
1 1
3,4, 1 3,4, 1 3,4, 1 1 1 0 44 40
11 11
1 2 1 85 1
B
B
T Mat T T
−     
     
− =  −  − = −  − =                
     −     
 
Finalmente podemos anotar esta imagen como: 
( ) ( )
1
3,4, 1 37,40,1
11
T − =   
 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 36 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
PROBLEMA 3 
Para una transformación lineal 
2 2:T P P→ de la cual se conoce la matriz estándar 
2 1 1
3 2
3 4
A a
b
 
 
=
 
  
. 
Si se conoce que uno de sus autovaloreses 7 = y que uno de sus autovectores es ( )1,0,1
t
− . 
Con estos datos determinar: a) la fórmula de la transformación lineal, b) halle nA y 
Ate , c) la base 
en 
2P cuya representación matricial sea una matriz diagonal. 
Solución: 
a) 
Primero calcularemos los valores de las constantes a y b . 
Hacemos cumplir  iA I X −  = con el autovalor 7 = y el autovector ( )1,0,1
t
− 
2 1 1 7 0 0 1 0 5 1 1 1 0 6 0
3 2 0 7 0 0 0 4 2 0 0 2 0
3 4 0 0 7 1 0 3 3 1 0 3 0
a a a
b b b
  − − −                 
                  
− =  − =  − + =                  
                  − − −                  
 como 6 0 el 
autovector ( )1,0,1
t
− no corresponde al autovalor 7 = 
Entonces calculamos otro autovalor 
Calculo de autovalroes: 0A I−  = 
( )
3 2
3 1
2 1 1 0 0 2 1 1 '
3 2 0 0 0 3 2 0 2 '
3 4 0 0 3 4
c c
a a c c
b b
 
  
 
− − +   
   
− =  − = − − +
   
    −   
 
( )
( )( )
( )
( )( )
0 0 1
2 2 1
2 2 1 2 0 0
4 2 1
4 2 1 4
a
a
b
b
 
 
  
   
− − −
 − − − =  =
− − − −
− − − − −
 
 
 
( )
( )
2
2
1
1 8 12 0 (1)
8 12 0
a b
a b

  
 
=
  − − + − − =    − + − + =
 
Ahora hacemos cumplir  iA I X −  = con el autovalor 1 = y el autovector ( )1,0,1
t
− 
2 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0
3 2 0 1 0 0 0 2 2 0 0 2 0
3 4 0 0 1 1 0 3 3 1 0 3 0
a a a
b b b
  − −                 
                  
− =  =  − + =                  
                  − +                  
 Entonces el autovalor 
1 = corresponde al autovector ( )1,0,1
t
− , entonces: 
( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )
2 2 1
1 0 1 2 2 4 2 0
4 2 1
a
a b
b

    
 
− − −
 − =  − − − + − − − =  − − −
JOSUE PAYE CHIPANA 37 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
0 0
2 0 2
2 0
3 0 3
3 0
a a
a
b b
b
   
− + =  =   
− + =      − + =  =   − +   
 
Verificamos estos valores con: 
27 8 12 0 5 2 3 5 5 5a b a b  =  − + + + =  + =  + =  = Si cumple 
Entonces la matriz A será: 
2 1 1
2 3 2
3 3 4
A
 
 
=
 
  
 
Ahora calculamos la formula de transformación: 
2 1 1
2 3 2
3 3 4
a a
T b b
c c
      
      
=      
            
 
( ) ( ) ( ) ( )2 22 3 2 3 3 4T at bt c a b c t a b c t a b c+ + = + + + + + + + + 
b) 
Calculo de 
nA : 
Usamos 
1n nA P D P−=   (2) 
Cálculo de autovalores 
De (1): 
( )
( )2 22
5
1
8 12 0 8 7 0
8 12 0
a b
a b

   
 
=
 − + − + =  − + =
− + − + =
 
( )( )7 1 0 1; 7    − − =  = = 
Entonces los autovalores seran: 
1,2 31; 7 = = 
Cálculo de autovectores  iA I X −  = : 
Para 1,2 1 = : 
2 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0
2 3 2 0 1 0 0 2 2 2 0
3 3 4 0 0 1 0 3 3 3 0
x x
y y
z z
              
              
− =  =              
                            
 resolviendo: 
JOSUE PAYE CHIPANA 38 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
1 2
1 3
1 1 1 0 1 1 1 0
22 2 2 0 0 0 0 0 0
3 3 3 0 0 0 0 03
f f x y z x y z
f f
− +   + + =  = − −
− +
 
Reemplazando en 
1 2
1 1
1 0
0 1
x x
x y z
y y y z
z z
− − − −       
       
 = + 
       
              
1 2
1 1
1 ; 0
0 1
x x =
− −   
   
=
   
      
 
Para 3 7 = : 
2 1 1 7 0 0 0 5 1 1 0
2 3 2 0 7 0 0 2 4 2 0
3 3 4 0 0 7 0 3 3 3 0
x x
y y
z z
  −             
              
− =  − =              
              −              
 resolviendo: 
5 1 1 0 3 0 1 0
3
2 4 2 0 0 3 2 0
2
3 3 3 0 0 0 0 0
3
z
x
z
y
− − =
−  −  
 =−

 
Reemplazando en 
3
3
3 1 1
2
2 2
3 3
3 3
x
z
x
z z
y x
z
z
 
 
      
       =  =
      
           
 
  
 
Calculo de la matriz de paso: 
1
1 2 3
1 1 1 2 4 2
1
1 0 2 3 3 3
6
0 1 3 1 1 1
P x x x P P−
− − − −   
    =  =  = − −
    
      
 
Calculo de 
nD : 
1
2
3
0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 0 0 7 0 0 7
n
n n
n
D D D



    
    
=  =  =     
         
 
Sustiyendo en (2): 
1
1 1 1 1 0 0 2 4 2
1
1 0 2 0 1 0 3 3 3
6
0 1 3 0 0 7 1 1 1
n
n n n n
n
A P D P A−
 − − − −   
    
=    = − −    
        
 
JOSUE PAYE CHIPANA 39 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX 
Multiplicando: 
7 5 7 1 7 1
1
2 7 2 2 7 4 2 7 2
6
3 7 3 3 7 3 3 7 3
n n n
n n n n
n n n
A
 + − −
 
=  −  +  − 
  −  −  + 
 
Calculo de 
Ate : 
( ) ( ) 1 1At Dtf A P f D P e P e P− −=    =   (3) 
Calculo de 
De : 
1
2
3
1
2
7
3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
t t
tDt D t
t t
e e
D e e e e
e e






    
    
=  =  =    
        
 
Reemplazamos en (3): 
1
7
1 1 1 0 0 2 4 2
1
1 0 2 0 0 3 3 3
6
0 1 3 0 0 1 1 1
t
At Dt At t
t
e
e P e P e e
e
−
 − − − −   
    
=    = − −    
        
 
Multiplicando: 
7 7 7
7 7 7
7 7 7
5
1
2 2 2 4 2 2
6
3 3 3 3 3 3
t t t t t t
At t t t t t t
t t t t t t
e e e e e e
e e e e e e e
e e e e e e
 + − −
 
= − + − 
 − − + 
 
c) 
La base en 
2P cuya representación matricial sea una matriz diagonal la obtenemos con los 
autovectores 1 2 3
1 1 1
1 ; 0 ; 2
0 1 3
x x x=
− −     
     
= =
     
          
 entonces la base será: 
 2 2 2; 1; 2 3B t t t t t= − + − + + + 
	TAPA DE LINEAL CODEX 2019 tomo 3.pdf (p.1)
	PARTE 1 CUERPO 3p.pdf (p.2-40)