P3 - MAT103 - I2022

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES 
FACULTAD DE INGENIERIA – CURSO BASICO 
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL – MAT 103 
GRUPO A – GESTION I/2022 
DOC.: MSC. ING. MOISES ARTEAGA MIRANDA 
AUX.: UNIV. IVAN CARLOS HUAYTA CHAVEZ 
AUX. IVAN CARLOS HUAYTA CHAVEZ ~ 1 ~ 
PRACTICA TERCER PARCIAL 
1. Para la transformación lineal: 3 2: →ℝ ℝL definida por: 
( ) ( )3 2 3 2x,y,z x y z , x y z= + − + −L 
Hallar bases para el núcleo, imagen y verificar el teorema de la dimensión. 
2. Para 3 3:T →ℝ ℝ definida por: 2
2
a a b c
T b a b c
c a b c
   + −   
   = − +   
   − +      
 
Hallar a) Núcleo. b) Imagen c) Verificar el teorema de la dimensión. 
3. Sea 4 3:T →ℝ ℝ la transformación lineal definida por: 
1 2
1 2 4
1 3
2 4
3
1 3
4
3
2
x x
x x x
x x
T x x
x
x x
x
 +    − −    −      = −         +    
. Se pide: 
a) Demuestre que T es transformación lineal. 
b) Encuentre la matriz estándar de T . 
c) Determine las expresiones para el núcleo y la imagen. 
d) Determine bases para el núcleo y la imagen. 
e) Compruebe que se verifica el teorema de la dimensión. 
4. Sea la transformación lineal 3 3:T →ℝ ℝ definida por: 
( ) ( )2 2 3 2T x z , x y ,y z x y , x y z , y z+ − − − = + + + − − 
Se pide hallar: a) bases para el núcleo e imagen. b) verificar el teorema de la dimensión. c) las imágenes 
de la base canónica. 
5. Para la transformación lineal: 3 2:T →ℝ P , de la cual se conocen las imágenes: 
( ) 21 2 1 2T , , t t− = + ; ( ) 21 1 2 2 1T , , t− = − ; ( ) 22 1 1 1T , , t t= + + 
Se pide: 
a) Hallar la fórmula de la transformación, 
b) Verificar el teorema de la dimensión. 
6. Sea una transformación lineal 3:T W→ℝ la proyección ortogonal de un vector de 3ℝ sobre el plano 
que tiene la ecuación 2 0x y z+ − = , se pide encontrar: a) bases para el núcleo, imagen y verificar el 
teorema de la dimensión. b) la imagen del vector ( )1 2 1, ,− . Utilizar el producto interior dado por: 
1 1 2 2 3 32x,y x y x y x y= + +
� �
 
7. Dada la transformación 3 4:T →ℝ ℝ , donde ( ) ( )1 0 0 1 3 4 5T , , , , ,= y ( ) ( )0 0 1 1 2 3 4T , , , , ,= ; además el núcleo 
de la transformación se halla generado por ( )8 2 12, ,− − . a) Hallar la fórmula de la transformación. b) 
bases para el núcleo e imagen. c) verificar el teorema de la dimensión. 
8. De un operador lineal 3 3:T →ℝ ℝ se conoce: 
( ) ( )2T x,y,z x y z , x y az , x y a z= + + + + + +
ALGEBRA LINEAL MAT - 103 CURSO BASICO 
AUX. IVAN CARLOS HUAYTA CHAVEZ ~ 2 ~ 
a) Hallar el valor de “a ” para que el núcleo de la transformación tenga dimensión 2. 
b) Con el valor de “a ” obtenido en el anterior inciso hallar una base para el núcleo e imagen y verifique 
el teorema de la dimensión. 
9. La matriz A es la matriz de transición de la base 1B a la base desconocida 2B , siendo 
{ }2 2 21 1; 1; 2 3 2B t t t t t= − + + − + y la matriz 
3 1 1
1 2 1
2 3 2
A
 − 
 =  
 −  
. Se pide hallar. 
a) la matriz de transición de la base 2B a la base 1B . b) la base desconocida 2B . 
10. Para una transformación lineal 2 2 2:T
× →ℝ P de la cual se conocen las siguientes imágenes: 
22 1 2 6 4
1 1
T t t
 −  = + + − 
; 2
1 1
1
1 2
T t
 
  = + − 
; 2
1 1
2 5 7
2 1
T t t
 −  = + + 
 
; 2
1 2
2 1
1 1
T t t
 
  = − + − 
 
Se pide hallar: a) hallar la fórmula de la transformación lineal. b) bases para el núcleo, imagen y verificar 
el teorema de la dimensión. c) hallar la representación matricial respecto de las bases: 
1 1 1 1 1 1 1 1
; ; ;
1 1 1 1 1 1 1 1
B
         − − − − − −        =          − − − − − −         
 y { }2 2 21; ;C t t t t t= + + + d) Con la anterior matriz 
hallar la imagen de 
2 1
1 2
 
 
 
 
. 
11. Dada la transformación lineal 3 3:T →ℝ ℝ , que tiene como imágenes para los vectores de la base
( ) ( ) ( ){ }1 1 1 ; 0 1 1 : 0 0 1B , , , , , ,= las siguientes imágenes: 
( ) ( )1 0 1 0 0 0T , , , ,= ; ( ) ( )1 1 0 0 1 2T , , , ,= ; ( ) ( )1 0 0 1 1 1T , , , ,= − − − 
Se pide: a) hallar la representación matricial de la transformación respecto de la base canónica. b) hallar 
núcleo y rango, así como sus respectivas bases. c) hallar sus autovalores. (3P - 2020) 
12. Diagonalizar la matriz sabiendo que uno de sus autovalores es igual a 3. 
5 2 2
4 3 4
4 6
A
a
 − 
 = − 
 −  
 
13. Dada la matriz A hallar: a) autovalores b) autovectores c) Hallar 35A 
0 1
1 0
A
 − =  
 
 
14. Dada la matriz hallar los valores de a , b y c , de modo que sea diagonalizable ortogonalmente. Luego 
hallar autovalores y autovectores. Probar que tD P AP= 
2 0
1 2 1
2
a
A
b c
 
 
 =  
 
  
 
15. Para la matriz 
2 2 1
1 3 1
1 2 2
A
 
 
 =  
 
  
se pide: a) 100A b) Ate c) 1A− por Cayley Hamilton. 
16. Si la matriz A posee autovectores 
1 1 0
1 ; 0 ; 1
0 2 1
B
       −             =              −             
, siendo: 
1
2
1
a x
A b y
c z
 
 
 =  
 −  
 
ALGEBRA LINEAL MAT - 103 CURSO BASICO 
AUX. IVAN CARLOS HUAYTA CHAVEZ ~ 3 ~ 
Se pide: 
a) Hallar la matriz A . 
b) Hallar los respectivos autovalores. 
c) El polinomio característico. 
d) Hallar la inversa de la matriz A utilizando el teorema de Hamilton Cayley. 
17. Dada la matriz 
1 2 2
2 4 4
2 4 1
A
a
 − 
 = − 
 − − +  
, diagonalice la matriz ortogonalmente y halle nA sabiendo que uno 
de sus autovalores es 9. 
18. Encontrar la matriz P , que diagonalice la matriz 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
A
 − − 
 = − − 
 − −  
 y encuentre 30A . 
19. Dada la matriz: 
10 0
6 0
2 7
y x
A x
z x
 + 
 =  
 −  
. Diagonalizar ortogonalmente la matriz A , con el producto 
euclidiano interior y encuentre 50A . 
20. Dada la matriz 
3 0
3 1
2 0
a
A b
c
 
 
 = − 
 −  
. 
Se pide: 
a) Hallar los valores de las constantes a ,b yc de forma que ( )2 0 1
t
, ,− sea un autovector cuyo autovalor 
correspondiente es λ 1= − . 
b) Halle los demás autovalores y autovectores. 
c) De ser posible diagonalice la matriz A y si no lo fuera encuentra su forma Jordan. 
 
 
 
PRESENTACION DE LA PRACTICA: 
 Se deberán resolver como mínimo 12 ejercicios. 
 El tamaño y tipo de hoja es libre, cuidando siempre la presentación. 
 La presentación de la práctica debe contar con un carimbo, este será de diseño libre. 
 Solo se aceptarán ejercicios de la presente práctica. 
 El documento PDF a ser presentado debe ser lo más legible posible. 
 El nombre del archivo PDF subido a Classroom debe tener el siguiente formato: 
3P - MAT103 - Apellido Paterno Apellido Materno Nombres 
 Ejemplo: 3P – MAT103 – Huayta Chavez Ivan Carlos 
 
 
2
3 334 44
6 668 88
   
   =   
   