Regla de Cramer , inversa de una matriz

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ÍNDICE 
 
 
1. Información de la unidad / Tema de la semana 
 
2. Información de los subtemas 
 
2.1 Introducción a los determinantes 
2.2 Propiedades de los determinantes 
 
 
3. Bibliografía 
3 
4
3 
24 
4
3 
18 
 3 
 
1. Informacio n de la unidad 
Tema de la semana: 
 
 
» Objetivo: 
 
Analizar la teoría de determinantes, sus operaciones, y propiedades para la 
resolución de problemas. 
 
» Tema: 
Determinante de una matriz 
» Subtemas: 
 
1. Introducción a los determinantes 
2. Propiedades de los determinantes 
 
» Unidad: 
 
Determinantes 
 
» Total de horas de la asignatura: 
9 H 
 
 
 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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2. Informacio n de los subtemas 
 
2.1 Introducción a los determinantes 
Toda matriz cuadrada puede ser asociada con un número real llamado determinante. 
El determinante de una matriz cuadrada A, el cual se denota por 𝑑𝑒𝑡 (𝐴) o |𝐴|, es un 
valor escalar que constituye una aplicación del concepto de funciones. 
Determinante de una matriz de 2x2 
Sea 𝐴2𝑥2 = (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
) un matriz de dimensión 2x2 su determinante está dada por: 
 𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
) = (𝑎11)(𝑎22) − (𝑎21)(𝑎12) 
 
En donde el determinante se halla mediante la diferencia de su diagonal principal y su 
diagonal secundaria teniendo muy en cuenta el orden. 
Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor) 
1. Determinante de una matriz de 2x2 
𝐴 = (
−5 2
4 5
) 
Sea 𝐴2𝑥2 = (
−5 2
4 5
) un matriz de dimensión 2x2 su determinante está dada por: 
 𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = (
−5 2
4 5
) = (−5)(5) − (4)(2) 
 
 𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = −33 
2. Determinante de una matriz de 2x2 
𝐵 = (
2 4
−1 3
) 
 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = (2)(3) − (−1)(4) = 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 10 
3. Determinante de una matriz de 2x2 
𝐵 = (
−1 7
2 3
) 
 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = (−1)(3) − (2)(7) = 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = −17 
Determinante de una matriz de 3x3 
Una determinante de una matriz A de orden 3x3 se calcula mediante: 
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
) 
 𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 𝑎11 |
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| − 𝑎12 |
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
| + 𝑎13 |
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
| 
Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor) 
1. Determinante de una matriz de 3x3 
𝐴 = (
4 −1 5
3 3 −4
6 2 −3
) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 4 |
3 −4
2 −3
| − (−1) |
3 −4
6 −3
| + 5 |
3 3
6 2
| 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 4[(3)(−3) − (2)(−4)] + 1[(3)(−3) − (6)(−4)] + 5[(3)(2) − (6)(3)] 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 4(−1) + 1(15) + 5(−12) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = −49 
2. Determinante de una matriz de 3x3 
𝐴 = (
2 4 −1
−1 5 2
2 1 3
) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 2 |
5 2
1 3
| − (4) |
−1 2
2 3
| + (−1) |
−1 5
2 1
| 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 2[(5)(3) − (1)(2)] − 4[(−1)(3) − (2)(2)] − 1[(−1)(1) − (2)(5)] 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 2(13) − 4(−7) − 1(−11) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 65 
3. Determinante de una matriz de 3x3 
𝐴 = (
0 1 2
4 3 −1
−1 2 4
) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 0 |
3 −1
2 4
| − (1) |
4 −1
−1 4
| + 2 |
4 3
−1 2
| 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 0 − 1[(4)(4) − (−1)(−1)] + 2[(4)(2) − (−1)(3)] 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 0 − 1(15) + 2(11) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 7 
Método alternativo para cálculo de una determinante de 3x3 
Existe un método alternativo para hallar la determinante y esto solo sirve en matrices 
de 𝑛𝑥𝑛 con 𝑛 ≤ 3. 
Si se intenta algo similar para determinantes de 4x4 o de orden mayor, obtendrá una 
respuesta equivocada. 
Analizando una matriz de orden 3. 
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
) 
El método consiste: 
1. En copiar los elementos de la primera y segunda columna de la matriz A para 
formar una cuarta y quinta columna. 
2. Luego el determinante de A se halla sumando o restando según corresponda 
las 6 diagonales. 
 
 
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
 
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
) 
 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = (𝑎11)(𝑎22)(𝑎33) + (𝑎12)(𝑎23)(𝑎31) + (𝑎13)(𝑎21)(𝑎32) − (𝑎31)(𝑎22)(𝑎13)
− (𝑎32)(𝑎23)(𝑎11) − (𝑎33)(𝑎21)(𝑎12) 
Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor) 
1. Determinante de una matriz de 3x3 
𝐴 = (
0 2 1
3 −1 2
4 −4 1
) 
 
 
𝐴 = (
0 2 1
3 −1 2
4 −4 1
 
0 2
3 −1
4 −4
) 
Resta estos productos 
Suma estos productos 
Resta estos productos 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = (0)(−1)(1) + (2)(2)(4) + (1)(3)(−4) − (4)(−1)(1)
− (−4)(2)(0) − (1)(3)(2) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 0 + 16 − 12 + 4 − 0 − 6 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 2 
2. Determinante de una matriz de 3x3 
𝐴 = (
2 3 −1
1 2 6
−1 1 0
) 
 
 
𝐴 = (
2 3 −1
1 2 6
−1 1 0
 
2 3
1 2
−1 1
) 
 
 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = (2)(2)(0) + (3)(6)(−1) + (−1)(1)(1) − (−1)(2)(−1)
− (1)(6)(2) − (0)(1)(3) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 0 − 18 − 1 − 2 − 12 − 0 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = −33 
3. Determinante de una matriz de 3x3 
𝐴 = (
3 0 2
1 1 0
2 3 5
) 
 
 
𝐴 = (
3 0 2
1 1 0
2 3 5
 
3 0
1 1
2 3
) 
 
 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = (3)(1)(5) + (0)(0)(2) + (2)(1)(3) − (2)(1)(2) − (3)(0)(3)
− (5)(1)(0) 
Suma estos productos 
Resta estos productos 
Suma estos productos 
Resta estos productos 
Suma estos productos 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 15 + 0 + 6 − 4 − 0 − 0 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 17 
 
Definición de Menor 
Sea A una matriz cuadrada, se conoce como Menor y se lo denota 𝑀𝑖𝑗 , al 
determinante de la matriz que se la obtiene de 𝐴𝑛𝑥𝑛 , eliminando la fila 𝑖 y la columna 
𝑗, teniendo 𝑎𝑖𝑗 como elemento pivote. 
Si consideramos una matriz de orden 3: 
 
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
) 
 
Entonces para obtener 𝑀11, se elimina la primera fila y la primera columna de 𝐴. 
 
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
) 
 
Por lo tanto, 𝑀11 está representado por el siguiente determinante : 
𝑀11 = |
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| 
Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor) 
1. Menor de una matriz de 3x3 
𝐴 = (
8 1 3
5 5 −1
−3 4 2
) 
Entonces 𝑀12 
𝑀12 = |
5 −1
−3 2
| = (5)(2) − (−3)(−1) = 7 
2. Menor de una matriz de 3x3 
𝐵 = (
5 8 −3
1 2 0
2 −1 3
) 
Entonces 𝑀21 
𝑀21 = |
8 −3
−1 3
| = (8)(3) − (−1)(−3) = 21 
3. Menor de una matriz de 4x4 
 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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𝐴 = (
1 −1
2 1
2 3
4 1
3 −1
2 −1
3 2
2 1
) 
Entonces 𝑀11 
𝑀11 = |
1 4 1
−1 3 2
−1 2 1
| 
𝑀11 = 1 |
3 2
2 1
| − 4 |
−1 2
−1 1
| + 1 |
−1 3
−1 2
| = −4 
𝑀11 = 1[(3)(1) − (2)(2)] − 4[(−1)(1) − (−1)(2)] + 1[(−1)(2) − (−1)(3)] 
𝑀11 = −4 
Definición de Cofactor 
Sea A una matriz de 𝑛𝑥𝑛. El cofactor 𝑖𝑗 de A, denotado por 𝐴𝑖𝑗 , está dado por: 
𝐴𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗𝑀𝑖𝑗 
Es decir el cofactor se lo obtiene multiplicando el menor de 𝑎𝑖𝑗 por (−1)
𝑖+𝑗 por lo 
tanto: 
(−1)𝑖+𝑗 = {
1 , 𝑠𝑖 𝑖 + 𝑗 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 
 −1 , 𝑠𝑖 𝑖 + 𝑗 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 
 
Si queremos expresar el cofactor 𝐴11, considerando una matriz de orden 3: 
 
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
) 
 
Podemos decir que su cofactor 𝐴11, está dado por: 
 
𝐴11 = (−1)
1+1𝑀11 
𝐴11 = (−1)
1+1 |
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| 
 
𝐴11 = (−1)
2 |
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| 
 
𝐴11 = |
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| 
 
Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor) 
1. Cofactor de una matriz de 3x3, calcule 𝐴23 
𝐴 = (
9 6 −1
1 −1 −1
0 4 2
) 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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𝐴23 = (−1)
2+3 |
9 6
0 4
| 
𝐴23 = (−1)
5 |
9 6
0 4
| 
𝐴23 = − |
9 6
0 4
| 
𝐴23 = −[(9)(4) − (0)(6)] 
𝐴23 = −36 
2. Cofactor de una matriz de 3x3, calcule 𝐴33 
𝐴 = (
1 3 −1
−1 1 −2
5 2 4
) 
 
𝐴33 = (−1)
3+3 |
1 3
−1 1
| 
𝐴33 = (−1)
6 |
1 3
−1 1
| 
𝐴33 = |
1 3
−1 1
| 
𝐴33 = [(1)(1) − (−1)(3)] 
𝐴33 = 4 
3. Cofactor de una matriz de 3x3, calcule 𝐴22 
𝐴 = (
2 4 3
−1 2 1
1 4 5
) 
𝐴22 = (−1)
2+2 |
2 3
1 5
| 
𝐴22 = (−1)
4 |
2 3
1 5
| 
𝐴22 = |
2 3
1 5
| 
𝐴22 = [(2)(5) − (1)(3)] 
𝐴22 = 7 
 
 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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Definición del determinante de una matriz de orden n 
Sea una matriz de orden 𝑛𝑥𝑛 donde 𝑛 > 3 entonces para hallar la determinante de 𝐴 
se utiliza un método llamado expansión por cofactores el cual consiste en: 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 𝑎11𝐴11 + 𝑎12𝐴12 + 𝑎13𝐴13 + 𝑎14𝐴14 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝐴1𝑛 
 
Observación 
En la ecuación se define el determinante mediante la expansión por cofactores en la 
primera fila de A, pero se puede obtener la misma respuesta si se expande por 
cofactores en cualquier fila o columna. 
Antes plantear el cálculo de la determinante, tenemos que observar si existe alguna 
fila o columna que posea uno o más ceros. Si existe, escogemos la que más ceros 
posea, ya que esto nos ayudará a reducir el número de operaciones. En caso contrario, 
podemos elegir cualquier fila o columna. 
Tener en cuenta el signo de cada número según la posición que ocupa en la matriz. 
Analizando una matriz de orden 4: 
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎13 𝑎14
𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32
𝑎41 𝑎42
𝑎33 𝑎34
𝑎43 𝑎44
) 
Según la expansión de cofactores tenemos: 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 𝑎11 𝐴11 + 𝑎12𝐴12 + 𝑎13𝐴13 + 𝑎14𝐴14 
Se aplica la definición de cofactor: 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 𝑎11 (−1)
1+1𝑀11 + 𝑎12(−1)
1+2 𝑀12 + 𝑎13(−1)
1+3𝑀13 + 𝑎14 (−1)
1+1𝑀14 
Se asignan los signos según la posición 𝑖𝑗, del cofactor. 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 𝑎11 𝑀11 − 𝑎12 𝑀12 + 𝑎13𝑀13 − 𝑎14 𝑀14 
det(𝐴) = 𝑎11 |
𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎42 𝑎43 𝑎44
| − 𝑎12 |
𝑎21 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎43 𝑎44
| + 𝑎13 |
𝑎21 𝑎22 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎44
|
− 𝑎14 |
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎41 𝑎42 𝑎43
| 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor) 
1. Determinante de una matriz de 4x4 
𝐴 = (
1 −1
2 1
2 3
0 1
3 −1
2 −1
1 2
0 1
) 
Primero determinamos que fila o columna tiene ceros para que resolución de la 
determinante sea más sencilla: 
𝐴 = (
1 −1
2 1
2 3
0 1
3 −1
2 −1
1 2
0 1
), en este caso la columna 3 presenta 2 ceros. 
Por lo tanto, podemos hallar la determinante mediante la expansión de cofactores en 
la columna 3: 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 𝑎13𝐴13 + 𝑎23𝐴23 + 𝑎33𝐴33 + 𝑎43𝐴43 
Debido a que los elementos 𝑎23 y 𝑎43 son iguales a cero, entonces podemos eliminar 
los términos asociados a estos elementos. 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 𝑎13𝐴13 + 0 + 𝑎33𝐴33 + 0 
Luego se procede a asignar los signos según la posición del cofactor. 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 𝑎13(−1)
1+3
𝑀13 + 0 + 𝑎33(−1)
3+3
𝑀33 + 0 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 𝑎13𝑀13 + 𝑎33𝑀33 
det(𝐴) = |𝐴| = 2 |
2 1 1
3 −1 2
2 −1 1
| + 1 |
1 −1 3
2 1 1
2 −1 1
| 
Posteriormente, procedemos a hallar la determinantes de 𝑀13 y 𝑀33 
𝑀13 = |
2 1 1
3 −1 2
2 −1 1
| = 2 |
−1 2
−1 1
| − 1 |
3 2
2 1
| + 1 |
3 −1
2 −1
| 
𝑀13 = 2[(−1)(1) − (−1)(2)] − 1[(3)(1) − (2)(2)] + 1[(3)(−1) − (2)(−1)] 
𝑀13 = 2(1) − 1(−1) + 1(−1) 
𝑀13 = 2 
𝑀33 = |
1 −1 3
2 1 1
2 −1 1
| = 1 |
1 1
−1 1
| − (−1) |
2 1
2 1
| + 3 |
2 1
2 −1
| 
𝑀33 = 1[(1)(1) − (−1)(1)] − (−1)[(2)(1) − (2)(1)] + 3[(2)(−1) − (2)(1)] 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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𝑀33 = 1(2) − (−1)(0) + 3(−4) 
𝑀33 = −10 
Finalmente, reemplazamos los valores obtenidos: 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 𝑎13𝑀13 + 𝑎33𝑀33 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 2(2) + 1(−10) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = −6 
 
2. Determinante de una matriz de 4x4 
𝐴 = (
3 4 −1 2
0 1 2 −3
5 −1 1 2
3 0 0 5
) 
Primero determinamos que fila o columna tiene ceros para que resolución de la 
determinante sea más sencilla: 
𝐴 = (
3 4 −1 2
0 1 2 −3
5 −1 1 2
3 0 0 5
), en este caso la fila 4 presenta dos ceros. 
Por lo tanto, podemos hallar la determinante mediante la expansión de cofactores en 
la fila 4: 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 𝑎41𝐴41 + 𝑎42𝐴42 + 𝑎43𝐴43 + 𝑎44𝐴44 
Debido a que los elementos 𝑎42 y 𝑎43 son iguales a cero, entonces podemos eliminar 
los términos asociados a estos elementos. 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 𝑎41𝐴41 + 0 + 0 + 𝑎44𝐴44 
Luego se procede a asignar los signos según la posición del cofactor. 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 𝑎41(−1)
4+1
𝑀41 + 0 + 0 + 𝑎44(−1)
4+4
𝑀44 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = −𝑎41𝑀41 + 𝑎44𝑀44 
det(𝐴) = |𝐴| = −3 |
4 −1 2
1 2 −3
−1 1 2
| + 5 |
3 4 −1
0 1 2
5 −1 1
| 
Posteriormente, procedemos a hallar la determinantes de 𝑀41 y 𝑀44 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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𝑀41 = |
4 −1 2
1 2 −3
−1 1 2
| = 4 |
2 −3
1 2
| − (−1) |
1 −3
−1 2
| + 2 |
1 2
−1 1
| 
𝑀41 = 4[(2)(2) − (1)(−3)] − (−1)[(1)(2) − (−1)(−3)] + 2[(1)(1) − (−1)(2)] 
𝑀41 = 33 
𝑀44 = |
3 4 −1
0 1 2
5 −1 1
| = 3 |
1 2
−1 1
| − 0 |
4 −1
−1 1
| + 5 |
4 −1
1 2
| 
𝑀44 = 3[(1)(1) − (−1)(2)] − 0 + 5[(4)(2) − (1)(−1)] 
𝑀44 = 54 
 
Finalmente, reemplazamos los valores obtenidos: 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = −𝑎41𝑀41 + 𝑎44𝑀44 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = −3(33) + 5(54) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 171 
3. Determinante de una matriz de 4x4 
𝐴 = (
5 2
−1 −3
−1 2
3 0
2 1
4 −6
 
1 −1
0 −3
) 
Primero determinamos que fila o columna tiene ceros para que resolución de la 
determinante sea más sencilla: 
𝐴 = (
5 2
−1 −3
−1 2
3 0
2 1
4 −6
 
1 −1
0 −3
), en este caso la columna 2 presenta un cero. 
Por lo tanto, podemos hallar la determinante mediante la expansión de cofactores en 
la fila 2: 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 𝑎21𝐴21 + 𝑎22𝐴22 + 𝑎23𝐴23 + 𝑎24𝐴24 
Debido a que el elemento 𝑎24 es igual a cero, entonces podemos eliminar el términos 
asociado a éste. 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 𝑎21𝐴21 + 𝑎22𝐴22 + 𝑎23𝐴23 + 0 
Luego se procede a asignar los signos según la posición del cofactor. 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 𝑎21(−1)
2+1
𝑀21 + 𝑎22(−1)
2+2
𝑀22 + 𝑎23(−1)
2+3
𝑀23 + 0 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = −𝑎21𝑀21 + 𝑎22𝑀22 − 𝑎23𝑀23 
det(𝐴) = |𝐴| = −(−1) |
2 −1 2
1 1 −1
−6 0 −3
| + (−3) |
5 −1 2
2 1 −1
4 0 −3
| − 3 |
5 2 2
2 1 −1
4 −6 −3
| 
Posteriormente, procedemos a hallar la determinantes de 𝑀21, 𝑀22 y 𝑀23 
𝑀21 = |
2 −1 2
1 1 −1
−6 0 −3
| = 2 |
1 −1
0 −3
| − (−1) |
1 −1
−6 −3
| + 2 |
1 1
−6 0
| 
𝑀21 = 2[(1)(−3) − (0)(−1)] − (−1)[(1)(−3) − (−6)(−1)] + 1[(1)(0) − (−6)(1)] 
𝑀21 = −3 
 
𝑀22 = |
5 −1 2
2 1 −1
4 0 −3
| = 5 |
1 −1
0 −3
| − (−1) |
2 −1
4 −3
| + 2 |
2 1
4 0
| 
𝑀22 = 5[(1)(−3) − 0(−1)] − (−1)[(2)(−3) − (4)(−1)] + 3[(2)(0) − (4)(1)] 
𝑀22 = −25 
𝑀23 = |
5 2 2
2 1 −1
4 −6 −3
| = 5 |
1 −1
−6 −3
| − (2) |
2 −1
4 −3
| + 2 |
2 1
4 −6
| 
𝑀33 = 5[(1)(−3) − (−6)(−1)] − (2)[(2)(−3) − (4)(−1)] + 2[(2)(−6) − (4)(1)] 
𝑀23 = −73 
Finalmente, reemplazamos los valores obtenidos: 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = −𝑎21𝑀21 + 𝑎22𝑀22 − 𝑎23𝑀23 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = −(−1)(−3) + (−3)(−25) − (3)(−73) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 291 
Determinante de una matriz Triangular 
Sea A una matriz cuadrada triangular ya sea superior e inferior de orden 𝑛𝑥𝑛 entonces 
podemos hallar su determinante mediante la multiplicación de los elementosde su 
diagonal principal. 
 
 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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𝐴 = (
𝑎11 0 0
𝑎21 𝑎22 0
𝑎31 𝑎32 𝑎33
) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 𝑎11𝑎22𝑎33 … 𝑎𝑛𝑛 
Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor) 
1. Determinante de una matriz triangular superior 
𝐴 = (
8 0 0
5 5 0
−3 4 2
) 
 
Aplicando la determinante de una matriz 3x3 tenemos: 
 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 8 |
5 0
4 2
| − (0) |
5 0
−3 2
| + 0 |
5 5
−3 4
| 
 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 8[(5)(2) − (4)(0)] − 0 + 0 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 80 
 
 
Ahora aplicamos la fórmula de la determinante de una matriz 3x3 
𝐴 = (
8 0 0
5 5 0
−3 4 2
) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = (8)(5)(2) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 80 
2. Determinante de una matriz triangular inferior 
𝐴 = (
4 1 −1
0 −1 2
0 0 3
) 
 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = (4)(−1)(3) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = −12 
3. Determinante de una matriz triangular inferior 
𝐴 = (
5 4 −3
0 3 8
0 0 2
) 
 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = (5)(3)(2) 
 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 30 
Condiciones que generan un determinante cero 
Si A es una matriz cuadrada y una de las siguientes condiciones es cierta entonces 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |𝐴| = 0 
1. Una fila o columna consta completamente de 0. 
2. Dos filas o columnas son iguales. 
3. Una fila o columna es múltiplo en otra fila o columna. 
Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor) 
1. Una fila o columna consta completamente de 0. 
𝐴 = (
0 0 0
1 −3 2
2 4 1
) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 0 |
−3 2
4 1
| − (0) |
1 2
2 1
| + 0 |
1 −3
2 4
| 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 0 − 0 + 0 = 0 
2. Dos filas o columnas son iguales. 
𝐴 = (
4 4 −1
−2 −2 1
3 3 2
) 
 
 
 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 4 |
−2 1
3 2
| − (4) |
−2 1
3 2
| + (−1) |
−2 −2
3 3
| 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 4[(−2)(2) − (3)(1)] − 4[(−2)(2) − (3)(1)] + (−1)[(−2)(3) − (3)(−2)] 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = −28 + 28 + 0 = 0 
 
3. Una fila o columna es múltiplo en otra fila o columna. 
𝐴 = (
1 2 2
2 3 4
4 −1 8
) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 1 |
3 4
−1 8
| − (2) |
2 4
4 8
| + 2 |
2 3
4 −1
| 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 1[(3)(8) − (−1)(4)] − 2[(2)(8) − (4)(4)] + 2[(2)(−1) − (4)(3)] 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 1(28) − 2(0) + 2(−14) = 0 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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2.2 Propiedades de los determinantes 
Determinante de una matriz producto 
Si A y B son matrices de orden n, entonces se cumple que: 
𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴)𝑑𝑒𝑡(𝐵) 
Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor) 
1. 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2𝑥2 
𝐴 = (
1 −1
5 2
) 𝐵 = (
3 5
−2 4
) 
𝐴𝐵 = (
1 −1
5 2
) (
3 5
−2 4
) = (
5 1
11 33
) 
𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵) = (
5 1
11 33
) = (5)(33) − (11)(1) = 
𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵) = 154 
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = (
1 −1
5 2
) = (1)(2) − (5)(−1) = 7 
𝑑𝑒𝑡(𝐵) = (
3 5
−2 4
) = (3)(4) − (−2)(5) = 22 
𝑑𝑒𝑡(𝐴)𝑑𝑒𝑡(𝐵) = (7)(22) 
𝑑𝑒𝑡(𝐴)𝑑𝑒𝑡(𝐵) = 154 
2. 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3𝑥3 
𝐴 = (
1 3 −1
−1 1 4
0 2 2
) 𝐵 = (
−1 1 1
0 4 2
2 3 1
) 
 
𝐴𝐵 = (
1 3 −1
−1 1 4
0 2 2
) (
−1 1 1
0 4 2
2 3 1
) = (
−3 10 6
9 15 5
4 14 6
) 
 
𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵) = (
−3 10 6
9 15 5
4 14 6
) 
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = −3 |
15 5
14 6
| − (10) |
9 5
4 6
| + 6 |
9 15
4 14
| 
𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵) = −4 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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𝐴 = (
1 3 −1
−1 1 4
0 2 2
) = 1 |
1 4
2 2
| − (3) |
−1 4
0 2
| − 1 |
−1 1
0 2
| = 2 
 
𝐵 = (
−1 1 1
0 4 2
2 3 1
) = −1 |
4 2
3 1
| − (1) |
0 2
2 1
| + 1 |
0 4
2 3
| = −2 
𝑑𝑒𝑡(𝐴)𝑑𝑒𝑡(𝐵) = (2)(−2) = −4 
Determinante de un escalar múltiplo de una matriz 
Si A es una matriz de 𝑛𝑥𝑛 y “c” es un escalar, entonces el determinante de cA está 
dado por: 
|𝑐𝐴| = 𝑐𝑛|𝐴| 
Donde 𝑛 =orden de la matriz 
 
Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor) 
1. 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2𝑥2 
𝐴 = (
5 −3
2 1
) 𝑦 𝑐 = 2 
𝑐𝐴 = (
(2)5 (2)(−3)
(2)2 (2)1
) = (
10 −6
4 2
) 
|𝑐𝐴| = (
10 −6
4 2
) = (10)(2) − (4)(−6) 
|𝑐𝐴| = 44 
|𝐴| = (
5 −3
2 1
) = (5)(1) − (2)(−3) = 11 
𝑐𝑛 = 22 = 4 
𝑐𝑛|𝐴| = (4)(11) = 44 
2. 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3𝑥3 
𝐴 = (
1 2 3
1 3 2
4 −1 −5
) 𝑦 𝑐 = −3 
𝑐𝐴 = (
(−3)1 (−3)2 (−3)3
(−3)1 (−3)3 (−3)2
(−3)4 (−3)(−1) (−3)(−5)
) 
 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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𝑐𝐴 = (
−3 −6 −9
−3 −9 −6
−12 3 15
) 
|𝑐𝐴| = −3 |
−9 −6
3 15
| − (−6) |
−3 −6
−12 15
| − 9 |
−3 −9
−12 3
| 
|𝑐𝐴| = 702 
|𝐴| = (
1 2 3
1 3 2
4 −1 −5
) 
|𝐴| = 1 |
3 2
−1 −5
| − (2) |
1 2
4 −5
| + 3 |
1 3
4 −1
| = −26 
𝑐𝑛 = −33 = −27 
𝑐𝑛|𝐴| = (−26)(−27) = 702 
Determinante de una matriz invertible 
Una matriz cuadrada A es invertible si y solo si 
𝑑𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0 
Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor) 
1. Matriz invertible 
𝐴 = (
4 −2
0 1
) 
 
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = (4)(1) − (0)(−2) = 4 
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 4 ≠ 0 
Por lo tanto, es invertible. 
𝐴−1 = (
4 −2
0 1
|
1 0
0 1
) 𝑓1 →
1
4
𝑓1 
𝐴−1 = (1 −
1
2
0 1
|
1
4
0
0 1
) 𝑓1 → 𝑓1 +
1
2
𝑓2 
𝐴−1 = (
1 0
0 1
|
1
4
1
2
0 1
) 
𝐴−1 = (
1
4
1
2
0 1
) 
 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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2. Matriz NO invertible 
𝑨 = (
2 6
1 3
) 
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = (2)(3) − (1)(6) = 0 
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 0 = 0 
Por lo tanto, la matriz es no invertible 
Determinante de la inversa de una matriz 
Si A es una matriz cuadrada de orden n y esta es invertible entonces se cumple que: 
𝑑𝑒𝑡(𝐴−1) =
1
𝑑𝑒𝑡(𝐴)
 
Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor) 
1. 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2𝑥2 
𝐴 = (
6 0
−3 1
) 
𝐴−1 = (
6 0
−3 1
|
1 0
0 1
) 𝑓1 →
1
6
𝑓1 
𝐴−1 = (
1 0
−3 1
|
1
6
0
0 1
) 𝑓2 → 𝑓2 + 3𝑓1 
𝐴−1 = (
1 0
0 1
|
1
6
0
1
2
1
) 
𝐴−1 = (
1
6
0
1
2
1
) 
𝑑𝑒𝑡(𝐴−1) = (
1
6
) (1) − (
1
2
) (0) 
𝑑𝑒𝑡(𝐴−1) =
1
6
 
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = (
6 0
−3 1
) = (6)(1) − (−3)(0) = 6 
1
𝑑𝑒𝑡(𝐴)
=
1
6
 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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2. 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3𝑥3 
𝐴 = (
1 0 0
−1 2 3
0 1 2
) 
(
1 0 0
−1 2 3
0 1 2
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 
(
1 0 0
−1 2 3
0 1 2
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 𝑓2 → 𝑓2 + 𝑓1 
 
(
1 0 0
0 2 3
0 1 2
|
1 0 0
1 1 0
0 0 1
) 𝑓2 ⇄ 𝑓3 
(
1 0 0
0 1 2
0 2 3
|
1 0 0
0 0 1
1 1 0
) 𝑓3 → 𝑓3 − 2𝑓2 
(
1 0 0
0 1 2
0 0 −1
|
1 0 0
0 0 1
1 1 −2
) 𝑓3 → −𝑓3 
(
1 0 0
0 1 2
0 0 1
|
1 0 0
0 0 1
−1 −1 2
) 𝑓2 → 𝑓2 − 2𝑓3 
(
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
1 0 0
2 2 −3
−1 −1 2
) , 
𝐴−1 = (
1 0 0
2 2 −3
−1 −1 2
) 
𝑑𝑒𝑡(𝐴−1) = 1 |
2 −3
−1 2
| − (0) |
2 −3
−1 2
| + 0 |
2 2
−1 −1
| 
𝑑𝑒𝑡(𝐴−1) = 1 
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = (
1 0 0
−1 2 3
0 1 2
) = 1 |
2 3
1 2
| − (0) |
−1 3
0 2
| + 0 |
−1 2
0 1
| = 1 
1
𝑑𝑒𝑡(𝐴)
=
1
1
= 1 
 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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Determinante de una transpuesta 
Si A es una matriz cuadra de orden n, entonces se cumple que: 
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑇) 
Ejemplos 
1. 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2𝑥2 
𝐴 = (
5 1
2 −2
) 
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = (5)(−2) − (2)(1) 
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = −12 
𝐴𝑇 = (
5 2
1 −2
) 
𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑇) = (5)(−2) − (1)(2) 
𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑇) = −12 
2. 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3𝑥3 
𝐴 = (
1 −3 5
2 0 6
4 −1 3
) 
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = (
1 −3 5
2 0 6
4 −1 3
) = 1 |
0 6
−1 3
| − (−3) |
2 6
4 3
| + 5 |
2 0
4 −1
| 
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = −58 
𝐴𝑇 = (
1 2 4
−3 0 −1
5 6 3
) 
𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑇) = 1 |
0 −1
6 3
| − (2) |
−3 −1
5 3
| + 4 |
−3 0
5 6
| 
𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑇) = −58 
 
 
Determinantes - Determinante de una matriz 
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3. Bibliografí a 
 
» Larson R. & Falvo D., (2010). Fundamentos de Álgebra Lineal, sexta edición, 
EditorialCengage Learning. 
» Grossman Stanley, (2008). Álgebra Lineal, sexta edición, Editorial McGraw Hill.