Determinante de una Matriz

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ÍNDICE 
 
 
1. Información de la unidad / Tema de la semana 
 
2. Información de los subtemas 
 
2.1 Regla de Cramer 
2.2 Inversa de una matriz dada por su adjunta. 
 
3. Bibliografía 
3 
4
3 
15 
4
3 
10 
 3 
 
1. Informacio n de la unidad 
Tema de la semana: 
 
 
» Objetivo: 
 
Aplicar los determinantes para resolver un sistema de ecuaciones lineales y 
encontrar la inversa de una matriz. 
» Tema: 
Aplicaciones de los determinantes. 
» Subtemas: 
 
1. Regla de Cramer. 
2. Inversa de una matriz dada por su adjunta. 
» Unidad: 
 
Determinantes 
 
» Total de horas de la asignatura: 
9 H 
 
 
 
 
 
 
Determinantes - Aplicaciones de los determinantes 
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2. Informacio n de los subtemas 
 
2.1 Regla de Cramer 
Definición 
La regla de Cramer es una fórmula que utiliza determinantes para resolver un sistema 
de 𝑛 ecuaciones con 𝑛 variables. Este método solo sirve en ecuaciones lineales que 
tiene una única solución. 
Para poder utilizar este método se debe cumplir que: 
» El número de ecuaciones sea igual al número de incógnitas. 
» El determinante de la matriz de los coeficientes debe ser distinto de 0 det⁡(𝐴) ≠ 0 
Consideremos un sistema de 𝑛 ecuaciones con 𝑛⁡incógnitas. 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⋮⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⋮⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⋮
𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥1 +⋯+𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
 
Sea A la matriz del sistema matriz de los coeficientes, entonces det⁡(𝐴) ≠ 0 
det(𝐴) = |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
⋮⁡ ⋮⁡
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
⋱ ⋮⁡
… 𝑎𝑛𝑛
| ≠ 0 
El valor de cada incógnita se la obtiene dividiendo el determinante de la matriz 
asociada a dicha incógnita para det(𝐴): 
𝑥𝑖 =
det(𝐴𝑖)
det(𝐴)
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑖 = 1,2,3… . . 𝑛 
La matriz asociada se la obtiene reemplazando los valores de la incógnita por los 
valores independiente de 𝑏. 
Determinantes - Aplicaciones de los determinantes 
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𝑥1 =
|
𝑏1 𝑎12
𝑏2 𝑎22
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
⋮⁡ ⋮⁡
𝑏𝑛 𝑎𝑛2
⋱ ⋮⁡
… 𝑎𝑛𝑛
|
|
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
⋮⁡ ⋮⁡
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
⋱ ⋮⁡
… 𝑎𝑛𝑛
|
 
𝑥2 =
|
𝑎11 𝑏1
𝑎21 𝑏2
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
⋮⁡ ⋮⁡
𝑎𝑛1 𝑏𝑛
⋱ ⋮⁡
… 𝑎𝑛𝑛
|
|
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
⋮⁡ ⋮⁡
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
⋱ ⋮⁡
… 𝑎𝑛𝑛
|
 
𝑥𝑛 =
|
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
… 𝑏1
… 𝑏2
⋮⁡ ⋮⁡
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
⋱ ⋮⁡
… 𝑏𝑛
|
|
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
⋮⁡ ⋮⁡
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
⋱ ⋮⁡
… 𝑎𝑛𝑛
|
 
Regla de Cramer para un sistema 2x2 
Sea el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
 
Sea A la matriz del sistema matriz de los coeficientes, entonces det⁡(𝐴) ≠ 0 
det(𝐴) = |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| ≠ 0 
Resolviendo para cada variable se tiene: 
𝑥 =
|
𝑏1 𝑎12
𝑏2 𝑎22
|
|
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
|
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑦 =
|
𝑎11 𝑏1
𝑎21 𝑏2
|
|
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
|
 
 
Determinantes - Aplicaciones de los determinantes 
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Resolviendo se obtiene que: 
𝑥 =
|𝐴𝑥|
|𝐴|
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑦 =
|𝐴𝑦|
|𝐴|
 
Ejemplos. 
1. Regla de Cramer de 2x2 
{
−𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟕
−𝒙 − 𝒚 = 𝟏
 
Empezamos hallamos la determinante de la matriz A: 
det(𝐴) = |
−2 3
−1 −1
| = (−2)(−1) − (−1)(3) = 5 ≠ 0 
A continuación, hallamos las incógnitas utilizando la regla de Cramer 2x2. 
𝑥 =
|𝐴𝑥|
|𝐴|
=
|
7 3
1 −1
|
5
=
(7)(−1) − (1)(3)
5
= −
10
5
= −2 
𝑦 =
|𝐴𝑦|
|𝐴|
=
|
−2 7
−1 1
|
5
=
(−2)(1) − (−1)(7)
5
=
5
5
= 1 
La solución es 𝑥 = −2⁡⁡⁡; ⁡⁡𝑦 = 1 
2. Regla de Cramer de 2x2 
{
𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟐
𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟏𝟎
 
Empezamos hallamos la determinante de la matriz A: 
det(𝐴) = |
1 −3
1 5
| = (1)(5) − (1)(−3) = 8 ≠ 0 
A continuación, hallamos las incógnitas utilizando la regla de cramer 2x2. 
𝑥 =
|𝐴𝑥|
|𝐴|
=
|
2 −3
10 5
|
8
=
(2)(5) − (10)(−3)
8
=
40
8
= 5 
𝑦 =
|𝐴𝑦|
|𝐴|
=
|
1 2
1 10
|
8
=
(1)(10) − (1)(2)
8
=
8
8
= 1 
La solución es 𝑥 = 5⁡⁡⁡; ⁡⁡𝑦 = 1 
Determinantes - Aplicaciones de los determinantes 
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3. Regla de Cramer de 2x2 
{
−𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟖
𝒙 − 𝒚 = 𝟏
 
Empezamos hallamos la determinante de la matriz A: 
det(𝐴) = |
−2 2
1 −1
| = (−2)(−1) − (1)(2) = 0 
No se puede utilizar la regla de cramer ya que det(𝐴) = 0 
Regla de Cramer para un sistema de 3x3 
Sea el siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: 
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦+𝑎23𝑧 = 𝑏2
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦+𝑎33𝑧 = 𝑏3
 
Sea A la matriz del sistema matriz de los coeficientes se obtiene la determinante 
usando cualquier método visto anteriormente, entonces det⁡(𝐴) ≠ 0 
det(𝐴) = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| = 𝑎11 |
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| − 𝑎12 |
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
| + 𝑎13 |
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
| ≠ 0 
Resolviendo para cada variable se tiene: 
𝑥 =
|
𝑏1 𝑎12 𝑎13
𝑏2 𝑎22 𝑎23
𝑏3 𝑎32 𝑎33
|
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑦 =
|
𝑎11 𝑏1 𝑎13
𝑎21 𝑏2 𝑎23
𝑎31 𝑏3 𝑎33
|
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑧 =
|
𝑎11 𝑎12 𝑏1
𝑎21 𝑎22 𝑏2
𝑎31 𝑎32 𝑏3
|
⌈
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
⌉
 
Resolviendo se obtiene que: 
𝑥 =
|𝐴𝑥|
|𝐴|
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑦 =
|𝐴𝑦|
|𝐴|
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑧 =
|𝐴𝑧|
|𝐴|
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ 
 
 
 
Determinantes - Aplicaciones de los determinantes 
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Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor) 
1. Regla de Cramer de 3x3 
{
𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟎
𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟐
𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟑
 
Sea A la matriz del sistema matriz de los coeficientes, entonces det⁡(𝐴) ≠ 0 
det(𝐴) = |
1 1 −1
3 1 −1
4 −2 1
| = 2 ≠ 0 
A continuación, hallamos las incógnitas utilizando la regla de cramer 3x3 
𝑥 =
|𝐴𝑥|
|𝐴|
=
|
0 1 −1
2 1 −1
3 −2 1
|
2
=
2
2
= 1 
𝑦 =
|𝐴𝑦|
|𝐴|
=
|
1 0 −1
3 2 −1
4 3 1
|
2
=
4
2
= 2 
𝑧 =
|𝐴𝑧|
|𝐴|
=
|
1 1 0
3 1 2
4 −2 3
|
2
=
6
2
= 2 
La solución es 𝑥 = 1; ⁡⁡𝑦 = 2⁡; ⁡⁡𝑧 = 3 
2. Regla de Cramer de 3x3 
{
𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = −𝟑
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝒛 = 𝟑
𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟔
 
Sea A la matriz del sistema matriz de los coeficientes, entonces det⁡(𝐴) ≠ 0 
det(𝐴) = |
2 −1 1
2 3 −1
1 −1 3
| = 17 ≠ 0 
A continuación, hallamos las incógnitas utilizando la regla de cramer 3x3 
Determinantes - Aplicaciones de los determinantes 
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𝑥 =
|𝐴𝑥|
|𝐴|
=
|
−3 −1 1
3 3 −1
6 −1 3
|
17
=
−15
17
 
𝑦 =
|𝐴𝑦|
|𝐴|
=
|
2 −3 1
2 3 −1
1 6 3
|
17
=
45
17
 
𝑧 =
|𝐴𝑧|
|𝐴|
=
|
2 −1 3
2 3 −3
1 −1 6
|
17
=
54
17
 
La solución es 𝑥 = −
15
17
; ⁡⁡𝑦 =
45
17
⁡ ; ⁡⁡𝑧 =
54
17
 
3. Regla de Cramer de 3x3 
{
𝟒𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝒛 = 𝟑
−𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟒
𝟑𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 = −𝟏
 
Sea A la matriz del sistema matriz de los coeficientes, entonces det⁡(𝐴) ≠ 0 
det(𝐴) = |
4 4 −1
−2 −2 1
3 3 2
| = 0 
No se puede utilizar la regla de Cramer ya que det(𝐴) = 0 
 
 
 
 
 
 
Determinantes - Aplicaciones de los determinantes 
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2.2 Inversa de una matriz dada por su adjunta 
Adjunta de una matriz 
Sea 𝐴 una matriz cuadrada de orden 𝑛. Sea 𝐴𝐶 = (𝐴𝑖𝑗), la matriz de cofactores de 𝐴. 
La adjunta de una matriz denotada por 𝑎𝑑𝑗⁡(𝐴), es la transpuesta de la matriz cofactor 
𝐴𝐶 . 
La matriz cofactor 𝐴𝐶, tiene la forma: 
𝐴𝐶 = (
𝐴11 𝐴12
𝐴21 𝐴22
… 𝐴1𝑛
… 𝐴2𝑛
⋮⁡ ⋮⁡
𝐴𝑛1 𝐴𝑛2
⋱ ⋮⁡
… 𝐴𝑛𝑛
) 
Por lo tanto, la matriz adjunta de A será: 
𝑎𝑑𝑗⁡(𝐴) = (𝐴𝐶)
𝑡 = (
𝐴11 𝐴21
𝐴12 𝐴22
… 𝐴𝑛1
… 𝐴𝑛2
⋮⁡ ⋮⁡𝐴1𝑛 𝐴2𝑛
⋱ ⋮⁡
… 𝐴𝑛𝑛
) 
Ejemplos. 
1. Adjunta de una matriz 2x2 
𝑨 = (
𝟏 𝟎
𝟐 𝟏
) 
Hallamos la matriz cofactor 
𝐴11 = (−1)
1+1|1| = 1 
𝐴12 = (−1)
1+2|0| = 0 
𝐴21 = (−1)
2+1|2| = −2 
𝐴22 = (−1)
2+2|1| = 1 
𝐴𝐶 = (
𝐴11 𝐴12
𝐴21 𝐴22
) = (
1 0
−2 1
) 
Por lo tanto, la 𝑎𝑑𝑗⁡(𝐴) 
𝑎𝑑𝑗⁡(𝐴) = (𝐴𝐶)
𝑡 = (
1 −2
0 1
) 
2. Adjunta de una matriz 3x3 
𝑩 = (
𝟐 𝟏 𝟎
𝟏 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
) 
Hallamos la matriz cofactor 
Determinantes - Aplicaciones de los determinantes 
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𝐵11 = (−1)
1+1 |
1 0
0 1
| = 1 
𝐵12 = (−1)
1+2 |
1 0
0 1
| = −1 
𝐵13 = (−1)
1+3 |
1 1
0 0
| = 0 
𝐵21 = (−1)
2+1 |
1 0
0 1
| = −1 
𝐵22 = (−1)
2+2 |
2 0
0 1
| = 2 
𝐵23 = (−1)
2+3 |
2 1
0 0
| = 0 
𝐵31 = (−1)
3+1 |
1 0
1 0
| = 0 
𝐵32 = (−1)
3+2 |
2 0
1 0
| = 0 
𝐵33 = (−1)
3+3 |
2 1
1 1
| = 1 
𝐵𝐶 = (
1 −1 0
−1 2 0
0 0 1
) 
Existe otra manera de hallar la matriz cofactor mediante la siguiente estructura 
teniendo en cuenta los signos: 
(
𝐵11 𝐵12 𝐵13
𝐵21 𝐵22 𝐵23
𝐵31 𝐵32 𝐵33
) =
(
 
 
+ |
1 0
0 1
| − |
1 0
0 1
| + |
1 1
0 0
|
− |
1 0
0 1
| + |
2 0
0 1
| − |
2 1
0 0
|
+ |
1 0
1 0
| − |
2 0
1 0
| + |
2 1
1 1
|)
 
 
= (
1 −1 0
−1 2 0
0 0 1
) 
Por lo tanto, la 𝑎𝑑𝑗⁡(𝐵) 
𝑎𝑑𝑗⁡(𝐵) = (
1 −1 0
−1 2 0
0 0 1
) 
3. Adjunta de una matriz 3x3 
𝑩 = (
𝟎 𝟏 𝟎
𝟏 𝟓 𝟏
𝟎 𝟏 𝟎
) 
Hallamos la matriz cofactor 
Determinantes - Aplicaciones de los determinantes 
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(
𝐵11 𝐵12 𝐵13
𝐵21 𝐵22 𝐵23
𝐵31 𝐵32 𝐵33
) =
(
 
 
+ |
5 1
1 0
| − |
1 1
0 0
| + |
1 5
0 1
|
− |
1 0
1 0
| + |
0 0
0 0
| − |
0 1
0 1
|
+ |
1 0
5 1
| − |
0 0
1 1
| + |
0 1
1 5
|)
 
 
= (
−1 0 1
0 0 0
1 0 −1
) 
Por lo tanto, la 𝑎𝑑𝑗⁡(𝐵) 
𝑎𝑑𝑗⁡(𝐵) = (
−1 0 1
0 0 0
1 0 −1
) 
Inversa de una matriz dada por su adjunta 
Existe otro método para hallar la inversa de una matriz de los vistos ya anteriormente, 
el cual consiste en usar la adjunta de una matriz. Sea A una matriz de orden 𝑛𝑥𝑛. 
Entonces A es invertible si y sólo si det(𝐴) ≠ 0. 
𝐴−1 =
1
det(𝐴)
𝑎𝑑𝑗⁡(𝐴) 
Sea A una matriz de orden 3: 
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
) 
Entonces su inversa va a ser igual: 
 
𝐴−1 =
1
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
(
𝐴11 𝐴21 𝐴31
𝐴12 𝐴22 𝐴32
𝐴13 𝐴23 𝐴33
) 
 
 
 
Ejemplos. 
1. Inversa de una matriz 2x2 
𝐀 = (
𝟐 −𝟑
−𝟒 𝟓
) 
Primero determinamos si es invertible: 
det(𝐴) = |
2 −3
−4 5
| = (2)(5) − (−4)(−3) = −2 ≠ 0⁡, 𝑠𝑖⁡𝑒𝑠⁡𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 
A continuación hallamos 𝑎𝑑𝑗⁡(𝐴) 
Determinantes - Aplicaciones de los determinantes 
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𝐴11 = (−1)
1+1|2| = 2 
𝐴12 = (−1)
1+2|−3| = 3 
𝐴21 = (−1)
2+1|−4| = 4 
𝐴22 = (−1)
2+2|5| = 5 
𝐴𝐶 = (
2 3
4 5
)⁡ 
𝑎𝑑𝑗⁡(𝐴) = (
2 4
3 5
) 
Entonces la inversa de A es igual: 
𝐴−1 =
1
−2
(
2 4
3 5
) = (
(−
1
2
) 2 (−
1
2
) 4
(−
1
2
) 3 (−
1
2
) 5
) 
𝐴−1 = (
−1 −2
−
3
2
−
5
2
) 
2. Inversa de una matriz 3x3 
𝑩 = (
𝟏 𝟐 𝟑
𝟑 𝟐 𝟏
𝟏 𝟎 𝟏
) 
Primero determinamos si es invertible: 
det(𝐵) = |
1 2 3
3 2 1
1 0 1
| = 2 + 2 + 0 − 6 − 6 − 0 = −8 ≠ 0 
A continuación hallamos 𝑎𝑑𝑗⁡(𝐵) 
(
𝐵11 𝐵12 𝐵13
𝐵21 𝐵22 𝐵23
𝐵31 𝐵32 𝐵33
) =
(
 
 
+ |
2 1
0 1
| − |
3 1
1 1
| + |
3 2
1 0
|
− |
2 3
0 1
| + |
1 3
1 1
| − |
1 2
1 0
|
+ |
2 3
2 1
| − |
1 3
3 1
| + |
1 2
3 2
|)
 
 
= (
2 −2 4
−2 −2 8
−2 2 4
) 
Por lo tanto, la 𝑎𝑑𝑗⁡(𝐵) 
𝑎𝑑𝑗⁡(𝐵) = (
2 −2 −2
−2 −2 2
4 8 4
) 
Entonces la inversa de B es igual: 
Determinantes - Aplicaciones de los determinantes 
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𝐵−1 =
1
−8
(
2 −2 −2
−2 −2 2
4 8 4
) =
(
 
 
 
(−
1
8
) 2 (−
1
8
) − 2 (−
1
8
) − 2
(−
1
8
) − 2 (−
1
8
) − 2 (−
1
8
) 2
(−
1
8
) 4 (−
1
8
) 8 (−
1
8
) 4 )
 
 
 
 
𝐵−1 =
(
 
 
 
−
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
−
1
4
−
1
2
−1 −
1
2)
 
 
 
 
 
3. Inversa de una matriz 3x3 
𝑨 = (
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐 𝟑 𝟒
𝟒 −𝟏 𝟖
) 
 
𝑑𝑒𝑡⁡(𝐴) = 1 |
3 4
−1 8
| − (2) |
2 4
4 8
| + 2 |
2 3
4 −1
| 
 
𝑑𝑒𝑡⁡(𝐴) = 0 
 
No es invertible por que⁡𝑑𝑒𝑡⁡(𝐴) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinantes - Aplicaciones de los determinantes 
15 
 
©
 U
n
iv
er
si
d
ad
 E
st
at
al
 d
e 
M
ila
gr
o
 –
 U
N
EM
I 
 
3. Bibliografí a 
» Larson R. & Falvo D., (2010). Fundamentos de Álgebra Lineal, sexta edición, 
Editorial Cengage Learning. 
» Grossman Stanley, (2008). Álgebra Lineal, sexta edición, Editorial McGraw Hill.