Ejemplos (Solucionados) - Míminos cuadrados (exponencial)

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La tabla 7.2 presenta la población del mundo en intervalos de 10 años durante la se-
gunda mitad del siglo XX. Si supone un modelo de crecimiento exponencial, encuentre la
tasa de crecimiento relativa y prediga la población del mundo en 2010.
Solución Se acuerda medir el tiempo t en intervalos de 10 años, de modo que t ! 0 es
1950, t ! 1 es 1960, etcétera. Dado que c ! p(0) ! 2.56, la ecuación para la tasa de cre-
cimiento de la población es
¿Cómo puede usar el método de mínimos cuadrados en esta ecuación? Si aplica el loga-
ritmo natural en ambos lados, la ecuación se convierte en lineal:
Al colocar los valores de t y p de la tabla 7.2 se produce el siguiente sistema (donde los
cálculos se redondearon a tres lugares decimales):
Puede ignorar la primera ecuación (corresponde a la condición inicial c ! p(0) ! 2.56).
Las ecuaciones restantes corresponden a un sistema Ax ! b, con
Puesto que ATA ! 55 y AT b ! 9.80, las ecuaciones normales correspondientes son justo
la ecuación individual
Por tanto, En consecuencia, la solución de mínimos cuadra-
dos tiene la forma p ! 2.56e0.178t (vea la figura 7.16).
La población del mundo en 2010 corresponde a t ! 6, de donde se obtiene
Por tanto, si el modelo es preciso, habrá aproximadamente 7.45 mil millones de perso-
nas en la Tierra en el año 2010. (La U.S. Census Bureau estima que la población global
será “solamente” de 6.82 mil millones en 2010. ¿Por qué cree que su estimación es más
alta?)
p16 2 ! 2.56e0.178162 ! 7.448
55x ! 9.80
A ! E123
4
5
U and b ! E0.1720.3710.555
0.724
0.865
U
 5k ! 0.865
 4k ! 0.724
 3k ! 0.555
 2k ! 0.371
 k ! 0.172
 0.94 ! 0.94
 ! 0.94 " kt
 ! ln 2.56 " ln1ekt 2 ln p ! ln12.56ekt 2
p ! 2.56ekt
604 Capítulo 7 Distancia y aproximación
Ejemplo 7.29
Tabla 7.2
Población
(en miles de 
Año millones)
1950 2.56
1960 3.04
1970 3.71
1980 4.46
1990 5.28
2000 6.08
Fuente: U.S. Bureau of the Census, Inter-
national Data Base
CAS
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