182750976-Matrices-Trabajo-Algebra-Lineal

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
· RESUMEN
· INTRODUCCION
· OBJETIVOS
· MATRIZ
· NOTACION
· OPERACIONES CON MATRICES
· TIPOS DE MATRICES
· INVERSA DE UNA MATRIZ
· CONCLUSION
· BIBLIOGRAFIA
RESUMEN
Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.
En el siguiente trabajo definiremos todos los conceptos relacionados con matrices para así resolver ejercicios relacionadas con esta misma
Palabras claves
Coeficientes, Sistemas de ecuaciones lineales, vector
Abstract
Arrays are used for multiple applications and serve in particular to represent the coefficients of the linear equations to represent applications or linear, in which case the arrays play the same role as a vector data for linear applications .
In this paper we define all the concepts related to matrices in order to solve exercises related to the same.
key words 
coefficients, systems of linear equations, vector
INTRODUCCION
Las matrices constituyen un instrumento muy poderoso para tratar con los modelos lineales; El tema de matrices es un tema muy importante ya que nos ayuda en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, diferenciales y de las derivadas parciales. Además facilita al alumno en la resolución de problemas con ecuaciones y hacen ver el algebra lineal como un curso interesante y razonable 
OBJETIVOS
· Fundamentar al estudiante en la comprensión, modelación y resolución de los problemas relacionados con matrices
· Entender el concepto de matriz y reconocer los diferentes elementos que la componen.
· Identificar los diferentes tipos de matrices
· Realizar las operaciones algebraicas básicas con matrices y sus 
Propiedades
· Operar con matrices: suma y diferencia de matrices, producto de un número real por una matriz, producto de matrices. Conocer las propiedades de estas operaciones.
MATRICES
1. DEFINICIÓN DE MATRIZ
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden  "m × n"   a un conjunto rectangular de elementos  aij  dispuestos en   m  filas y en  n  columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo  m  y  n  números naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, Un elemento genérico que ocupe la fila  i  y la columna  j   se escribe  aij . 
Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (aij)
1.                     
Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas.
El número total de elementos de una matriz  Am×n  es   m·n
En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices.
2. NOTACION
Generalmente, una matriz se nombra por una letra mayúscula y sus elementos, una vez distribuidos en las filas y columnas respectivas, se encierran con corchetes o con paréntesis, así:
 ; O así: 
En estas notas usaremos preferentemente los corchetes.
2.1 ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden de una matriz es el número de filas y de columnas que tiene esa matriz.
Si el número de filas de una matriz A es "m" y el de columnas es "n", se suele anotar Amxn, leyéndose "matriz A de orden m por n".
2.2 ELEMENTO GENERICO
El símbolo "aij", llamado elemento genérico de una matriz, se usa para indicar que el elemento por él designado ocupa el lugar correspondiente a la fila "i" y a la columna "j".
En consecuencia, una anotación del tipo "a23" debe interpretarse que se trata del elemento "a", que ocupa el lugar correspondiente a la fila 2 y a la columna 3.
2.3 OTRA NOTACION DE UNA MATRIZ
Para el caso de una matriz A con m filas y n columnas, se debe entender que i varía desde 1 hasta m y que j varía desde 1 hasta n (siendo i y j variables en el conjunto de los números naturales).
Por ello, otra forma de anotar una matriz A, de m filas y n columnas, que tiene como elemento genérico a aij, es:
Amxn = (aij) (i= 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n)
Así, la matriz 
puede anotarse de esta forma:
A4x3 = (aij) (i= 1, 2, 3, 4; j= 1, 2, 3)
3. OPERACIONES CON MATRICES
3.1 Suma 
Dadas las matrices m-por-n A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo 
 
3.2 Propiedades
Asociativa
Dadas las matrices 
Conmutativa 
Dadas las matrices 
Existência de matriz cero o matriz nula
Existência de matriz opuesta
3.3 PRODUCTO
Diagrama esquemático que ilustra El producto de dos matrices A and B dando como resultado la matriz AB 
El producto de dos matrices AB. se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de las de la matriz derecha. Si A es una matriz es una matrizentonces su producto matricial AB es la matriz dada por:
 
Para cada par .
Por ejemplo 
=
3.4 PRODUCTO POR UN ESCALAR
Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento d A 
Ejemplo 
2 =
Propiedades sean A Y B matrices y c y d escalares 
Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entones cA es matriz.
· Asociatividad:( cd ) A = c(dA)
· Elemento neutro: 1A= A
· Distributividad :
· De escalar : 
· De matriz: 
4. TIPOS DE MATRICES
MATRIZ RECTANGULAR: se caracteriza por presentar un número diferente de filas que de columnas. Su dimensión es m x n.
MATRIZ CUADRADA: presenta la misma cantidad de filas que de columnas. Los elementos que van desde la esquina superior izquierda hacia la esquina inferior derecha constituyen la diagonal principal.
MATRIZ FILA: está conformada por una única fila.
MATRIZ COLUMNA: esta clase de matriz se conforma por una sola columna.
MATRIZ ESCALONADA: Si al principio de cada fila (columna) hay al menos un elemento nulo mas en la fila (columna anterior)
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: en esta clase de matriz los elementos ubicados por debajo de la diagonal superior son ceros.
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: aquí los elementos colocados por encima de la diagonal principal son ceros.
MATRIZ DIAGONAL: esta clase de matriz cuenta con la particularidad de que la totalidad de los elementos ubicados tanto por encima de la diagonal como por debajo de ella son nulos.
MATRIZ ESCALAR: es el nombre que recibe aquella matriz diagonal en la cual los elementos que conforman la diagonal principal son iguales.
MATRIZ IDENTIDAD: en ésta los elementos que componen la diagonal principal son iguales a 1.
5. CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ
El álgebra de matrices proporciona herramientas para manipular ecuaciones matriciales y crear diversas fórmulas útiles en formas similares a la ejecución ordinaria del álgebra con números reales. En esta sección el análogo matricial del reciproco, o inverso multiplicativo, de un numero diferente de cero.
Recuerde que el inverso multiplicativo de un número como 5 es 1/5 o 5-1. Este inverso satisface la ecuación:
L a generalización matricial requiere ambas ecuaciones y evita la notación con diagonales (para indicar una división) debido a que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Más aun, una generalización completa solo es posible si las matrices involucradas son cuadradas.
PROPIEDADES:
Se dice que una matriz de es invertible si existe otra matriz de tal que:
Donde , la matriz identidad . En este caso, es un inverso de. De hecho, esta determinado únicamente por , porque si fuera otro inverso de , entonces . Este inverso único se denota mediante , de manera que, 
Una matriz que no es invertible algunas veces se denomina matriz singular, y una matriz invertible se denomina matriz no singular. Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza funciones análogas.
EJEMPLO 1 Si entonces 
Así que . 
A continuación se presenta una formula sencilla para el inverso de una matriz de 2x2, junto con una prueba para saber si existe el inverso.
TEOREMA 4
Sea Si , entonces es invertible y
Si , entonces A no es invertible.
La demostración sencilla del teorema 4 se describe en términos generales en los ejercicios 25 y 26. La cantidad se llama determinante de Ay se escribe 
det
El teorema 4 establece que una matriz A de 2x2 es invertible si, y solo si det . 
EJEMPLO 2 Encuentre el inverso de .
Solución Como det es invertible, y
Las matrices invertibles son indispensables en el algebra lineal ---- principalmente para cálculos algebraicos y deducciones de formulas. Como en el teorema siguiente. En ocasiones una matriz inversa permite entender mejor un modelo matemático de alguna situación de la vida real, como en el ejemplo 3 que se presenta más adelante.
TEOREMA 5 
Si es una matriz invertible entonces, para cada b en , la ecuación Ax=b tiene la solución única xb.
DEMOSTRACIÓN: tome cualquier b en . Existe una solución porque cuando se sustituye b por x. se tiene b =b. Así que b es una solución. Para probar que la solución es única, se muestra que si u es cualquier solución, entonces u debe ser, de hecho, b. en efecto, si , pueden multiplicarse ambos miembros por y obtener
EJEMPLO 3. Una viga elástica horizontal tiene soporte en cada extremo y si esta sometida a fuerzas en los puntos 1, 2, 3, como indica la figura 1. Sea f en tal que enliste las fuerzas en estos puntos, y sea y en tal que incluya las magnitudes de la deflexión (esto es, movimiento) de la viga en los tres puntos. Al aplicar la ley de Hooke de la física, se puede demostrar que 
Donde es una matriz de flexibilidad. Su inversa se denomina matriz de rigidez. Describa el significado físico de las columnas de . 
 
Solución: escriba y observa que
Interpreta el vertor como fuerza unitaria aplicada hacia abajo en el punto (con fuerza cero en los otros dos puntos). Entonces la primera columna de , enlista las deflexiones debidas a una fuerza unitaria en el punto . Interpretaciones similares son validas para la segunda y tercera columna de . 
Para estudiar la matriz de rigidez , observe que la ecuación calcula un vector de fuerza f cuando se da un vector de deflexión y. escriba 
Ahora interprete como un vector de deflexión. Entonces enlista las fuerzas que crean la deflexión. Esto es, la primera columna de enlista las fuerzas que deben aplicarse en los tres puntos para producir una deflexión unitaria en el punto 1 y cero deflexión en los otros puntos. De manera similar, las columnas 2 y 3 de enlistas las fuerzas requeridas para producir deflexiones unitarias en los puntos 2 y 3, respectivamente. En cada columna, una o dos de las fuerzas deben ser negativas (apuntar hacia arriba) para producir una deflexión unitaria en el punto deseado y cero deflexión en los otros dos puntos. Si la flexibilidad se mide, por ejemplo, en pulgadas de deflexión por libra de carga, entonces las entradas de la matriz de rigidez están dadas en libras de carga por pulgada de deflexión. 
El interés principal de la matriz de adjuntos es que permite calcular la inversa de una matriz, ya que se cumple la relación:
Solución analítica:
Inversión de matrices 2x2
Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo, se puede hacer de la siguiente manera:
 
Esto es posible siempre y cuando el determinante de la matriz, no sea cero.
Inversión de matrices de órdenes superiores:
 Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:
Donde |A| es el determinante de A y es la matriz de adjuntos de A
CONCLUSION
Lo importante de estos temas es saber que es una matriz y para qué sirve y su utilidad en las matemáticas así como sus definiciones. Las matrices son una herramienta del algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo.
BIBLIOGRAFIA
Definición de matriz, notación, orden.
Págs.: 10-14
Capitulo: 1
Autores: Bernard Kolman y David R. Hill, Octava edición
 Aplicación de matrices y determinantes.
Págs.: 187- 192
Capitulo 3
Libro: ALGEGRA lineal y sus aplicaciones tercera edición
Autor: David C. Lay
http://www.slideshare.net/guestc8ce7f/matrices-516910
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/intro.html
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