Semana 02 1- SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y ELIMINACION GAUUSIANA

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SEMANA 02: SISTEMAS DE 
ECUACIONES LINEALES
DEFINICIÓN – MÉTODO DE ELIMINACIÓN 
GAUSSIANA
2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (S.E.L.)
Un sistema de 𝑚 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas es un conjunto de 𝑚
igualdades de la forma:
 𝑎𝑖𝑗 , son números llamados coeficientes, con 𝑖 = 1,2,3,… ,𝑚; 𝑗 = 1,2,3,… , 𝑛. 
 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 , son las 𝑛 incógnitas. 
 𝑏𝑖 , son números, llamados términos independientes. 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 +⋯+𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
… …
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + 𝑎𝑚3𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
2𝑥1 + 7𝑥2 + 5𝑥3 + 4𝑥4 = 5
3𝑥1 + 4𝑥2 + 8𝑥3 + 6𝑥4 = 3
7𝑥1 + 6𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 = 1
5𝑥1 + 3𝑥2 + 7𝑥3 + 2𝑥4 = 4
2𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 1
4𝑥 + 7𝑦 + 6𝑧 = 2
7𝑥 + 3𝑦 + 8𝑧 = 8
−𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 0
ቊ
5𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1
3𝑥 − 8𝑦 − 𝑧 = 0
Sistema de 4 ecuaciones con 4 
incógnitas
Sistema de 4 ecuaciones 
con 3 incógnitas
Sistema de 2 ecuaciones 
con 3 incógnitas
Ejemplos:
2.1. CLASIFICACIÓN DE UN S.E.L. SEGÚN SU SOLUCIÓN
Sistema de 
ecuaciones lineales
Incompatible
No tiene 
solución
Compatible
Tiene solución 
Determinado
La solución es 
única
Indeterminado
Tienen infinitas 
soluciones
2.2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS SOLUCIONES EN ℝ𝟐
Los sistemas más sencillos son aquellos en los que sólo hay dos incógnitas y
dos ecuaciones. Como cada ecuación lineal tiene dos incógnitas se interpreta
geométricamente como una recta en ℝ𝟐.
 Si el sistema es compatible determinado (solución única), las rectas secantes.
x + 2y = 7
2x + y = 8
(3; 2) solución única
-
-
-
-
-
- - - - - - - - - - -
x + 2y = 7
2x + y = 8
Ejemplo:
 Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones), las rectas son 
coincidentes.
Ejemplo:
x + 2y = 7
2x + 4y = 14 -
-
-
-
-
-
-
-
- - - - - - - - - - -
x + 2y = 7
2x + 4y = 14
 Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las rectas son paralelas.
Ejemplo:
x + 2y = 7
2x + 4y = 8
-
-
-
-
-
-
-
-
- - - - - - - - - - -
x + 2y = 7
2x + 4y = 8
El sistema de ecuaciones lineales : 
𝑨 :Matriz de coeficientes 𝑿 :Matriz de incógnitas
𝑩: Matriz de términos
independientes
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 +⋯+𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
… …
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + 𝑎𝑚3𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Se puede representar matricialmente:
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
ሸ
𝑎𝑚1
ሸ
𝑎𝑚2
ሸ
𝑎𝑚3
…
…
…
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
ሸ
𝑎𝑚𝑛
𝑥1
𝑥2
ሸ
𝑥𝑛
=
𝑏1
𝑏2
ሸ
𝑏𝑛
2.3. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UN S.E.L.
Ejemplos:
2𝑥1 + 7𝑥2 + 5𝑥3 + 4𝑥4 = 5
3𝑥1 + 4𝑥2 + 8𝑥3 + 6𝑥4 = 3
7𝑥1 + 6𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 = 1
5𝑥1 + 3𝑥2 + 7𝑥3 + 2𝑥4 = 4
2 7 5
3 4 8
7
5
6
3
2
7
4
6
4
2
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
5
3
1
4
Sistema de ecuaciones lineales Representación matricial
1)
2𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 1
4𝑥 + 7𝑦 + 6𝑧 = 2
7𝑥 + 3𝑦 + 8𝑧 = 8
−𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 0
ቊ
5𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1
3𝑥 − 8𝑦 − 𝑧 = 0
2)
3)
2 5 3
4 7 6
7
−1
3
4
8
−2
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
2
8
0
5 2 1
3 −8 −1
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
0
3. MÉTODO DE GAUSS
3. 1. OPERACIONES ELEMENTALES CON FILAS
Las operaciones elementales con filas, son las siguientes:
a) Multiplicar una fila por un número real no nulo: 𝛼𝐹𝑖 .
b) Intercambiar de posición dos filas 𝐹𝑖 ↔ 𝐹𝑗 .
c) Sumar a una fila un múltiplo de otro 𝛼𝐹𝑖 + 𝛽𝐹𝑗 .
Al aplicar éstas operaciones a una matriz, obtenemos una nueva matriz, que es 
equivalente a la original.
Ejemplo:
Dada la matriz: 𝐴 =
1 −2 −3
0 −1 2
2 2 4
, realice las siguientes operaciones
elementales con filas:
 Intercambiar F3 por F1: 𝐹3 ↔ 𝐹1.
~
2 2 4
0 −1 2
1 −2 −3
 Luego: 3𝐹2 + 𝐹1.
~
2 2 4
0 −1 2
1 −5 3
3. 2. MATRIZ ESCALONADA POR FILAS
Una matriz es escalonada por filas si cumple lo siguiente:
Todas las filas de ceros (si las hay) están en la parte inferior de la matriz.1)
2) En las filas que no sean de ceros, el primer término no nulo de una fila está más a la
izquierda del primer término no nulo de la fila siguiente.
Ejemplos:
B =
3 − 5 8 9 1
0 0 4 9 1
0 0 0 1 8
0 0 0 0 0
A =
1 2 −5
0 7 2
0 0 9
3. 3. MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA 
El método de eliminación de Gauss se aplica para resolver un S.E.L. y trabaja con la
matriz aumentada del sistema, transforma ésta en una matriz equivalente que es
una matriz escalonada por filas.
Antes de aplicar el método primero se debe ordenar las variables de cada ecuación
del sistema y luego representar el sistema en forma de una matriz aumentada.
Ejemplos:
Usando eliminación Gaussiana, resolver los sistemas de ecuaciones lineales:
ቐ
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12
6𝑥 + 5𝑦 − 3𝑧 = 6
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 5
1)
Notemos que las variables están ordenadas.
Solución: 
La matriz aumentada del sistema es:
อ
2 1 1
6 5 −3
4 −1 3
12
6
5
อ
2 1 1
0 2 −6
0 −3 1
12
−30
−19
−3𝑓1 + 𝑓2
−2𝑓1 + 𝑓3
อ
2 1 1
6 5 −3
4 −1 3
12
6
5
3𝑓2 + 2𝑓3
~ ~ อ
2 1 1
0 2 −6
0 0 −16
12
−30
−128
Usando sustitución hacia atrás, tenemos:
−16𝑧 = −128 → 𝑧 = 8
2𝑦 − 6𝑧 = −30 → 𝑦 = 9
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12 → 𝑥 = −5/2
Luego, el sistema el compatible determinado.
อ
1 0 1
1 1 2
1 1 3
9
19
25
อ
1 0 1
0 1 1
0 1 2
9
10
16
−𝑓1 + 𝑓2
−𝑓1 + 𝑓3
−𝑓2 + 𝑓3
อ
1 0 1
0 1 1
0 0 1
9
10
6
2)
Solución: 
ቐ
𝑥 + 𝑧 = 9
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 19
𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 25
อ
1 0 1
1 1 2
1 1 3
9
19
25
La matriz aumentada del sistema es:
Usando eliminación Gaussiana:
~ ~
Usando sustitución hacia atrás, tenemos:
𝑧 = 6 𝑦 + 𝑧 = 10 → 𝑦 = 4 𝑥 + 𝑧 = 9 → 𝑥 = 3
Por lo tanto, el sistema el compatible determinado.
3)
Solución: 
Una compañía tiene 4 fábricas. En las fábricas 1; 3 y 4, trabaja solo un ingeniero
civil, mientras que en la fábrica 2 trabajan 2 ingenieros civiles. En las fábricas 1 y
4 trabajan 4 ingenieros industriales, mientras que en la fábrica 2 hay 6
ingenieros industriales y en la fábrica 3 hay 3 ingenieros industriales. El número
de ingenieros electrónicos en la fábrica 1; 2; 3 y 4 hay 80 ; 96 ; 67 y 75 personas
respectivamente.
Si los ingenieros civiles ganan $350, los ingenieros industriales $275 y los
ingenieros electrónicos $200 ¿Cuál es la planilla de pago de cada fábrica?
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