478476651-TRABAJO-FINAL-DE-ALGEBRA-LINEAL-docx

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
Planteamiento del problema
Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta, lo cual hace que las columnas de una matriz ortogonal constituyan un conjunto ortonormal de vectores. Estas propiedades serán estudiadas en el presente trabajo.
Solución por medio del álgebra lineal
Las matrices ortogonales tienen propiedades especiales que se explorarán en este problema. 
1) Genere un par de vectores aleatorios de 3 x 1, “x” y “y”. Calcule el producto escalar de “x” y “y”, llámelo s. Calcule el producto escalar de Ax y Ay; llámelo r. Repita para otro par de “x” y “y”. (A es un ejemplo de matriz ortogonal)
¿Cuál es su conclusión al comparar el producto escalar de “x” y “y” con el producto escalar de Ax y Ay?
 
Calculemos el producto escalar de x·y:
Entonces s= 21
Calculemos Ax y Ay:
Calculemos el producto de Ax·Ay:	
Entonces r= 21
Por tanto s – r= 21-21 = 0
 
Calculemos el producto escalar de x·y:
Entonces s= -41
Calculemos Ax y Ay:
Calculemos el producto de Ax·Ay:
Entonces s= -41
Por tanto s –r= -41-(-41) = 0
Al realizar las operaciones indicadas, podemos decir que el producto escalar de “x” y “y” es igual al producto escalar de Ax y Ay.
2) Genere matrices ortogonales A de diferentes tamaños y al menos dos pares de vectores “x” y “y” por cada A. Para cada A y par “x” y “y”, compare el producto escalar de Ax y Ay.
Tenemos que,
donde x·y= 19 y x1·y1= 51, Ax·Ay= 19 y Ax1·Ay1 = 51, por lo cual Ax·Ay= x·y 
3) Para cada A generada demuestre que la longitud de cada columna de A es igual a 1 y que cualesquiera dos columnas diferentes de A son perpendiculares entre sí (la longitud de un vector está dada por la raíz cuadrada del producto escalar de un vector consigo mismo y dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es igual a cero).
- Sea A una matriz de 2x2:
Longitud de las columnas:
Producto escalar:
- Sea A una matriz de 3x3:
Longitud de las columnas:
Producto escalar:
4) Para cada A explore la relación entre A, A’ e inv(A). Formule una conclusión sobre esta relación. Describa su investigación y su proceso de pensamiento.
Tenemos una matriz A de 2x2 y vemos que la inversa de A y la transpuesta de A son iguales:
Tenemos una matriz A de 3x3 y vemos que la inversa de A y la transpuesta de A son iguales:
Como podemos ver en ambos casos la matriz inversa y la matriz transpuesta de A son iguales 
Las matrices cuadradas que presentan esta característica se les conoce como matrices ortogonales. Estas matrices también presentan otras características muy interesantes.
Como pudimos observar en el punto 3 las columnas de la matriz A además de tener norma 1 son ortogonales entre sí, por lo que podemos deducir que una matriz ortogonal está formada por un conjunto de vectores ortonormales. Esta característica se debe a la condición 
Veamos porque sucede:
Si C1,…, Cn son las columnas de A
En consecuencia
Por lo tanto, la matriz compuesta de productos punto es de la forma
Lo anterior implica que y se concluye que A es ortogonal 
Ejemplo
Determinar los valores de s y t para los cuales es ortogonal la matriz
La norma de cada columna ha de ser 1:
Necesariamente ha de ser s= ±6 y t=√45−36= ±3. Es decir, la matriz sólo puede ser ortogonal cuando (s, t) toma los valores (6,3), (6, −3), (−6,3), o (−6, −3).
Sustituyendo estos valores en A, observamos que las tres columnas son ortogonales dos a dos sólo en el caso (s, t)= (6, −3), único caso en el que A es ortogonal.
Aplicaciones
Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta. Geométricamente las matrices ortogonales representan transformaciones isométricas en espacios vectoriales reales las cuales pueden ser rotaciones, reflexiones especulares o inversiones y son usadas extensivamente en computación gráfica. 
Por sus propiedades, también son usadas en física para el estudio del movimiento de cuerpos rígidos y en la formulación de ciertas teorías de campos.
Conclusiones
-Se dice que una matriz cuadrada A de orden n es ortogonal si se verifica que o lo que es lo mismo, que las columnas de la matriz A son vectores ortogonales dos a dos y de módulo igual a 1.
-Si A y B son ortogonales y se cumple que AB = BA entonces ⇔ AB y BA son matrices ortogonales. 
-Si A y B son matrices ortogonales, en general, la matriz A+B no es ortogonal.
-Si A es una matriz ortogonal y ∀α∈R, la matriz αA no es ortogonal.
-Si una matriz es ortogonal y admite inversa, entonces
Esta última propiedad significa que si una matriz A es ortogonal entonces es invertible.
-Si una matriz A es ortogonal su determinante
- Entre las matrices ortogonales se encuentran las matrices de rotación y las de permutación.
 
 Matriz de rotación Matriz de permutación
Referencias bibliográficas
Departamento de matemáticas ITESM. Conjuntos de vectores y matrices ortogonales. Recuperado de http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-21a.pdf
Eguia, M y Gonzales, M. Matrices. Recuperado de https://ocw.ehu.eus/pluginfile.php/4473/mod_resource/content/1/TEORIA_MATRICES.pdf
Grossman, S. (2008). Algebra lineal. Recuperado de https://drive.google.com/drive/folders/0B7cLgyeop4KYTFh4cHc3T0x4MXc 
Caldas, M. Valores Propios y Vectores Propios (Eigenvalores y Eigenvectores). Recuperado de https://www.monografias.com/trabajos99/valores-propios-y-vectores-propios-eigenvalores-y-eigenvectores/valores-propios-y-vectores-propios-eigenvalores-y-eigenvectores.shtml#matricessa
Revilla, F. (22 de agosto de 2014). Matrices ortogonales. Recuperado de http://fernandorevilla.es/blog/2014/08/22/matrices-ortogonales/