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60151365-General-Curso-de-algebra-lineal
Ricardo
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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo
PRACTICA
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
H.H. Cuautla Mor. 02 de Junio 2011
Índice unidad 1
TAREA #1: Examen de Diagnóstico......................................................................................3
Examen resuelto de la unidad 1.............................................................................................10
TAREA #2: Investigar y/o analizar bibliografías de libros de Álgebra Lineal............14
TAREA #3: Investigar historia de los números complejos, también formas y
potencias de i...............................................................................................................................18
Propiedades cíclicas de .......................................................................................................23
TAREA #4: Operaciones de números complejos..............................................................26
TAREA #5: Ejercicios de números complejos....................................................................29
TAREA #6: Resolver ejercicios con el teorema de Moivre.............................................34
TAREA #7: Aplicación de la fórmula de Moivre.................................................................38
TAREA #8: Investigar y traer los 10 consejos del Bill Gates.........................................43
TAREA #9: Investigación sobre el Teorema del Residuo, Teorema del Factor y
Teorema del Álgebra........................................................................................................45
TAREA #10: INVESTIGACION DE MATEMÁTICOS QUE DESARRORARON EL
ÁLGEBRA LINEAL.....................................................................................................................49
Formularios.........................................................................................................................58
Unidad 1 “PROYECTO”............................................................................................................66
H.H. Cuautla Mor. 02 de Junio 2011
Examen diagnóstico
1) Resolver.
a)
b)
c)
2)
(4)
3)
(5)
2) Escribir los algoritmos de cada uno de los métodos para resolver ecuaciones. Método Sustitución.
a) Despejamos la incógnita “x” en la ecuación 2 y obtendremos la ecuación 3. Esto quiere decir que la literal “x” la tendremos como incógnita.
b) Sustituimos en la ecuación 1 el valor encontrado para “x” en el paso anterior.
c) Se sustituye en la ecuación 2 el valor encontrado de “y”.
Método de igualación.
a) Se despeja la misma literal en las dos ecuaciones originales (1 y 2) y de esta manera se obtienen las ecuaciones 3 y 4.
b) Se igualan las ecuaciones 3 y 4 para obtener la ecuación 5, en la cual se despeja la literal.
c) Se sustituye el valor encontrado en la ecuación 5 en cualquiera de las ecuaciones 1 o 2 para obtener el valor de la otra literal.
Método de suma y resta.
a) Se multiplican los miembros de una de las dos ecuaciones por una cantidad constante apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las incógnitas.
b) Por suma o resta se eliminan una de las incógnitas.
c) Se resuelve la ecuación lineal resultante.
d) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.
Método de determinantes para sistema de 2x2
Se calculan con la siguiente fórmula:
Índice
Equipo #5 Página 1
Equipo #5 Página 1
Equipo #5 Página 1
“Álgebra Lineal”
PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
TAREA 1
Examen resuelto de la unidad 1
EQUIPO # 8
· Carrión Luna José David 10680240
· Juan García Pedro Octavio 10680250
· Sánchez Campos Adanary Suray 10680283
· Sánchez Chavelo María 10680284
G2 09:00 – 10:00 a.m.
Segundo semestre
Ingeniería en Mecatrónica
H.H. Cuautla Mor. 02 de Junio 2011
Álgebra lineal
EXAMEN
1.
2.
Fórmula binómica ó rectangular
Módulo
Fórmula trigonométrica ó polar
Fórmula de Euler ó exponencial
K= 0, 1, 2
4. Menciona 10 matemáticos de álgebra lineal.
Évariste Galois: Nació el 25 de octubre de 1811, en Bourg-la-Reine, Francia. Fue un matemático que siendo muy joven sentó las bases del Álgebra Lineal.
Arthur Cayley: Nació en Richmond, Inglaterra en 1821.Es uno de los matemáticos que más ha escrito, ya que se le documentan más de novecientas publicaciones científicas. Se le considera uno de los fundadores o padre del álgebra lineal ya que aportó el concepto de matriz junto con sus propiedades.
William Rowan Hamilton: Fue un multidisciplinario irlandés. Nació en 1805. Sus aportaciones más importantes vienen gracias a sus estudios en: teoría de los cuaternios y de los hipernúmeros, teoría óptica, formalismo abstracto de la mecánica clásica. En álgebra, específicamente, estructuró teorías de números complejos como pares de números reales y definió para los mismos la ley de composición conmutativa.
James Joseph Sylvester: Nació el 3 de septiembre de 1814 en Londres, Inglaterra. Fue un profesor en las universidades de Londres, Baltimore y Oxford e hizo importantes contribuciones en el campo de las matrices. Aunque él no inventó el concepto, sí inventó el nombre.
Aportó ideas a la teoría de invariantes junto con Cayley, determinantes, teoría de números, particiones y combinatoria.
Descubrió un método dialítico para eliminar incógnitas entre dos polinomios.
A él se deben muchos términos matemáticos. Fundó el Diario Americano de las Matemáticas.
Índice
“Álgebra Lineal”
PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
TAREA #2: Investigar y/o analizar bibliografías de libros de Álgebra Lineal.
EQUIPO # 5
· Carrión Luna José David 10680240
· Juan García Pedro Octavio 10680250
· Sánchez Campos Adanary Suray 10680283
· Sánchez Chavelo María 10680284
G2 09:00 – 10:00 a.m.
Segundo semestre
Ingeniería en Mecatrónica
H.H. Cuautla Mor. 02 de Junio 2011.
Bibliografías consultadas Referencia bibliográfica:
Libros:
1. Álgebra lineal – 6ta Edición – Stanley Grossman. Mc Graw Hill
Solucionario – Álgebra lineal – 5ta Edición
2. Álgebra lineal – Problemas resueltos – M. Isabel García Planas.
3. Álgebra lineal – V.V.Voevodin.
4. Álgebra lineal y alunas de sus aplicaciones – L.I. Goluina – Segunda Edición.
5. Aplicaciones del álgebra lineal – 6ta Edición - Stanley L. Grossman. Mc Graw Hill
Fuentes de información electrónicas:
1. http://www.matematicasbachiller.com/videos/algebra/ind_al00.htm
2. http://www.youtube.com/user/julioprofe?gl=MX
3. http://www.youtube.com/watch?v=W6_ZucLU5LA&playnext=1&list=PL5B5CF37FB08E52E2&index=33
4. http://www.youtube.com/watch?v=lIo3qxCbgAg&feature=BF&list=PL5B5CF
37FB08E52E2&index=36
5. Http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/marco_compl ejos.htm
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“Álgebra Lineal”
PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
TAREA #3: Investigar historia de los números complejos, también formas y potencias de i.
EQUIPO # 5
· Carrión Luna José David 10680240
· Juan García Pedro Octavio 10680250
· Sánchez Campos Adanary Suray 10680283
· Sánchez Chavelo María 10680284
G2 09:00 – 10:00 a.m.
Segundo semestre
Ingeniería en Mecatrónica
H.H. Cuautla Mor. 02 de Junio 2011
Historia de los números complejos
Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta la formalización de los mismos. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la época, como fue el caso de los números complejos.
Fue en Italia, durante el período del renacimiento, cuando por primera vez los algebristas se dedican a investigar seriamente estos números y penetran el halo misterioso en que se hallaban envueltos desde la antigüedad. Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545.
Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos.
Por ejemplo la ecuación:
No posee soluciones reales. Si empleamos la conocida fórmula de resolución de una ecuación de segundo grado, nos encontraremos con la raíz cuadrada de -19. Los matemáticos griegos, que conocían los métodos geométricos de resolución, consideraban este tipo de problemas irresolubles.
Es completamente incorrecto decir que la aparición de los números complejos se debió a la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues los matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello. La motivación real de entenderlos, viene de las ecuaciones cúbicas.
Recordemos que los griegos rechazaron el uso de los números negativos, por la falta de un equivalente dentro de la geometría. Para ellos, todo número representaba la longitud de un segmento o el área de una figura plana. La geometría era considerada entonces como el corazón de toda la matemática y esto, por supuesto, retardo considerablemente el desarrollo de los sistemas numéricos.
Cardano
Fue un destacado matemático, así como también medico, filósofo, astrónomo y teólogo. Su padre, Fazio Cardano, fue un abogado que trabajaba en la ciudad de Milán y se dedicaba a las matemáticas en sus horas libres. Tuvo cierta destreza en la ciencia de los números pues enseño geometría en la Universidad de Pavía y Milán.
En el año de 1539, Cardano conoce al célebre matemático Tartaglia, lo cual fue un hecho crucial en su vida, pues desde ese momento comienza a interesarse en las ecuaciones cúbicas.
Tartaglia le enseño a Cardano sus trucos y técnicas secretas para el manejo de las ecuaciones, no sin antes hacerle prestar un juramento de no revelar a nadie dichos secretos. En 1545, Cardano publica su obra Ars Magna, donde expone los métodos para la resolución de la ecuación cúbica. Tartaglia monta en cólera y acusa a Cardano de traidor y deshonesto, por haber faltado a su juramento. Sin embargo, un joven matemático de apenas 18 de edad, Lodovico Ferrari, quien a la razón era sirviente de Cardano, sale en defensa de su protector diciendo que él estuvo presente la noche de la reunión entre los dos matemáticos y no hubo ningún juramento.
En realidad, la fórmula para resolver la ecuación cúbica, había sido descubierta mucho antes por el matemático Scipione del Ferro, quien publico un pequeño libro, que en alguna oportunidad fue consultado por Cardano. Luego Cardano quedaba libre de toda culpa.
En su Ars Magna, Cardano reconoce a Al-Khw arizm como el padre del álgebra.
El libro, que vio a la luz varias ediciones, fue un clásico de la matemática y contribuyó de manera decisiva al desarrollo del álgebra. En aquella obra aparecen muchos resultados originales, como el método para eliminar la en una ecuación cúbica, conocido como el método de Cardano. También desarrollo un método para resolver ecuaciones diferenciales, llamado método de las proporcionales. Cardano hizo uso por vez primera de las raíces cuadradas de números negativos y considero la posibilidad de usar los números imaginarios aunque con mucha cautela.
En una nueva edición de su libro, en 1570, Cardano se adentra un poco más en el misterio de estos números y da algunas reglas para manipularlos. Por ejemplo, la expresión
Fueron entre las soluciones a la ecuación cúbica en el libro de Cardano donde se dijo el nacimiento de los números complejos, como algo digno de ser estudiado por los matemáticos. En particular, para la ecuación
Cardano nos da la fórmula
Conocida como Fórmula de Scipione del Ferro-Tartaglia-Cardano
Bombelli
De repente alguien hace una pequeña observación sobre un detalle, inadvertido para la gran mayoría, en alguna fórmula o relación muy conocida, y esto puede tener consecuencias imprevisibles, planteando nuevas situaciones, generando un mar de preguntas sin respuestas e inclusive, abriendo nuevas áreas de estudio. Tal es el caso de las dudas de Rafael Bombelli, sobre la ecuación cúbica.
Por ejemplo, la ecuación
Se resuelve usando la fórmula
Bombelli recibió las primeras lecciones de matemáticas de Pier Francesco Clementi, un arquitecto e ingeniero. Por esta razón, Bombelli se dedica a la ingeniería, siguiendo a su maestro en las obras de ingeniería hidráulica que realizaba por toda Italia, secando pantanos y reparando puentes.
Bombelli conocía bien los trabajos sobre ecuaciones cúbicas de Cardano, pues había leído el Ars Magna. Consideraba aquel libro como el más interesante de todos los escritos sobre álgebra, hasta el momento. Sin embargo pensó que algunas cosas estaban todavía algo confusas y que se podían hacer mucho más comprensibles para el gran público.
Bombelli comienza a escribir un libro de álgebra en 1557. La idea era bastante ambiciosa: publicar una obra monumental en cinco volúmenes en donde se trataran tópicos de aritmética, resolución de ecuaciones, problemas de aplicaciones y los números complejos. Lamentablemente, solo pudo completar tres volúmenes de álgebra, publicados en 1572, unos meses antes de su muerte.
Bombelli puede ser llamado con todo derecho, el padre de los números complejos, pues fue el primero que desarrollo el álgebra formal para trabajar con las
expresiones de la forma . Hemos visto en la fórmula de del FerroTartaglia-Cardano, aparecen dos sumandos del tipo
La idea de Bombelli, es reducir dicho número a uno del tipo , para lo cual debe resolver el problema de como sumar y multiplicar dichas expresiones. El número debe ser elevado al cubo, para obtener una expresión del tipo
. Usando ahora los números complejos, se pueden obtener soluciones
reales de la ecuación cúbica.
En el libro L'Algebra, aparecen por primera vez el cálculo con los números negativos, así como también las reglas para sumar y multiplicar dichos números.
El gran aporte de Bombelli al álgebra, fue el de aceptar sin reserva la existencia de
, como un número. A manera de ejemplo, Bombelli nos da las siguientes reglas:
Siendo un número natural.
Propiedades cíclicas de
11
-
1
Número complejo:
Son conjuntos formados por un número imaginario y un número real.
Ejemplo:
Operaciones básicas
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
Aplicación:
Demuestre que:
2.
Potencia de un númerocomplejo:
Cada 4 se repite el ciclo.
Fórmula:
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
5.
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“Álgebra Lineal”
PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
TAREA #4: Operaciones de números complejos.
EQUIPO # 5
· Carrión Luna José David 10680240
· Juan García Pedro Octavio 10680250
· Sánchez Campos Adanary Suray 10680283
· Sánchez Chavelo María 10680284
G2 09:00 – 10:00 a.m.
Segundo semestre
Ingeniería en Mecatrónica
H.H. Cuautla Mor. 02 de Junio 2011.
Suma de números complejos.
Ejemplo:
Nota: Para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes.
Resta de números complejos.
Ejemplo:
Nota: Para restar dos números complejos se restan sus componentes correspondientes.
Propiedades
1) Propiedad de cierre para la suma: Si “z” y “w” son dos números complejos entonces tanto z + w como z – w son números complejos.
2) Propiedad asociativa: Si “z”, “w”, y “u” son números complejos entonces se tiene:
3) Propiedad conmutativa: Si “z” y “u” son números complejos, se tiene
4) Propiedad del elemento neutro: El número complejo , es el elemento neutro para la suma. En efecto, si es cualquier número complejo se tiene:
De la misma forma se puede probar que .
5) Propiedad del opuesto: Si es un número complejo, el opuesto de este es , el cual es otro número complejo, notase que el opuesto satisface:
Usando todas estas propiedades, es posible calcular expresiones complicadas en donde aparezcan sumas y restas de números complejos.
Ejemplo: Calcule el valor de “z” donde:
- -
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TAREA #5: Ejercicios de números complejos.
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· Juan García Pedro Octavio 10680250
· Sánchez Campos Adanary Suray 10680283
· Sánchez Chavelo María 10680284
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Tarea
Ejercicios
a) (-1+5i)
b)
c)
d)
e)
f)
h)
i)
j)
k)
l)
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TAREA #6: Resolver ejercicios con el teorema de Moivre
EQUIPO # 5
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· Sánchez Chavelo María 10680284
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Ejercicios.
a)
b)
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TAREA #7: Aplicación de la fórmula de Moivre.
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Aplicar la fórmula de Moivre.
a)
Identidades Trigonométricas:
-
Transforma a forma exponencial.
Conversión de grados a radianes:
= 13
Propiedad:
Potencia de forma trigonométrica (fórmula de Moivre).
Poco práctico
Práctico
Ejemplo:
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TAREA #8: Investigar y traer los 10 consejos del Bill Gates.
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· Carrión Luna José David 10680240
· Juan García Pedro Octavio 10680250
· Sánchez Campos Adanary Suray 10680283
· Sánchez Chavelo María 10680284
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Ingeniería en Mecatrónica
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Los 10 concejos de Bill Gates.
Concejo 1: La vida no es justa, acostúmbrate a ella.
Concejo 2: Al mundo no le importa tu autoestima, el mundo espera que logres algo independientemente de que te sientas bien o no contigo mismo.
Concejo 3: No ganarás $5000 dólares mensuales justo después de haber salido de la universidad y no serás un vicepresidente hasta que con tu esfuerzo te hayas ganado ambos logros.
Concejo 4: Si piensas que tu profesor es duro, espera a que tengas un jefe, ese sí que no tendrá vocación de enseñanza ni la paciencia requerida.
Concejo 5: Dedicarse a voltear hamburguesas no te quita dignidad. Tus abuelos tenían una palabra diferente para describirlo, le llamaban: oportunidad.
Concejo 6: Si metes la pata, no es culpa de tus padres. Así que no lloriquees por tus errores; aprende de ellos.
Concejo 7: Antes de que nacieras tus padres no eran tan aburridos como son ahora. Ellos empezaron a serlo al pagar tus cuentas, limpiar tu ropa y escucharte hablar acerca de la nueva onda en la que estas. Así que antes de emprender tú lucha por las selvas vírgenes contaminadas por la generación de tus padres, inicia el camino limpiando las cosas de tu propia vida, empezando por tu habitación.
Concejo 8: En la escuela puede haberse eliminado la diferencia entre ganadores y perdedores, pero en la vida real no. En las escuelas ya no se pierden años lectivos, te dan las oportunidades que necesitas para encontrar la respuesta correcta en tus exámenes y para que tus tareas sean cada vez más fáciles. Esto no tiene ninguna semejanza con la vida real.
Concejo 9: La vida no se divide en semestres. No tendrás vacaciones de verano largas en lugares lejanos, y muy pocos jefes se interesarán en ayudarte a que te encuentres a ti mismo. Todo esto tendrás que hacerlo en tu tiempo libre.
Concejo 10: La televisión no es la vida diaria. En la vida cotidiana, la gente de verdad tiene que salir del café, de la película para irse a trabajar.
Concejo 11: Sé amable con los “nerds” (los más aplicados de tu clase). Existen muchas probabilidades de que termines trabajando para uno de ellos.
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“Álgebra Lineal”
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TAREA #9: Investigación sobre el Teorema del Residuo, Teorema del Factor y Teorema del Álgebra.
EQUIPO # 5
· Carrión Luna José David 10680240
· Juan García Pedro Octavio 10680250
· Sánchez Campos Adanary Suray 10680283
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Tarea #9: Teorema fundamental del álgebra
(TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene una raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalúa a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creíbles, que le permiten a uno convencersede la veracidad del TFA. Establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p de grado , la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente:
· El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.
· Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n polinomios de la forma.
El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera: Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja). Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales.
El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra.
(TFA) dice que "toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes complejos tiene n raíces complejas".
Teorema del factor
En álgebra el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresión en la cual los términos sólo son sumados, sustraídos o multiplicados. El teorema del factor establece que un polinomio f(x) tiene un factor (x − k) si y sólo si k es una raíz de f(x), es decir que f (k) = 0.
Si a es una raíz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real.
Aquí podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raíz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial
ƒ
El teorema del factor dice que, si f(a) = 0 en la que representa un polinomio de x, entonces es uno de los factores de
Por ejemplo, tenemos que .
Ya que debe ser uno de sus factores. En realidad
Teorema del residuo
Teorema de los residuos: es consecuencia directa del Teorema integral de Cauchy forma parte fundamental de la teoría matemática de Análisis complejo.
Si se divide la función polinomial entre el binomio donde a es un número real, el residuo es igual a
El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre
Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética.
A partir de lo anterior, si , entonces es un factor del polinomio porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de x para el cual se ha encontrado una raíz del polinomio, en el supuesto anterior, a es una raíz del polinomio.
Bibliografías. http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_residuos http://schollaris.com.mx/010105teoremares.php http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_factor http://schollaris.com.mx/010105teoremares.php http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/f/factortheorem.html
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“Álgebra Lineal”
PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
TAREA #10: INVESTIGACIÓN DE MATEMÁTICOS QUE DESARROLLARON EL ÁLGEBRA LINEAL.
EQUIPO # 5
· Carrión Luna José David 10680240
· Juan García Pedro Octavio 10680250
· Sánchez Campos Adanary Suray 10680283
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Segundo semestre.
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Biografías de Personajes Importantes para el Álgebra Lineal
Galois:
Évariste Galois nació el 25 de octubre de 1811, en Bourg-la-Reine, Francia. Fue un matemático que siendo muy joven sentó las bases del Álgebra Lineal. Su papá fue políticamente importante mientras que su madre lo instruyó en las lenguas. Su educación antes de la preparatoria no hacía suponer que sería un gran aportador a las matemáticas. A partir de los quince años, su profesor Vernier lo introdujo a las obras de grandes matemáticos de la época como LaGrange. Fue entonces que puso todo su esfuerzo en esa materia.
A los dieciocho años publicó su trabajo sobre la demostración de un teorema de fracciones continuas periódicas. Luego se centró en los problemas de la época. Dio formas de encontrar soluciones a ecuaciones de polinomios. Las ideas que propuso se convertirían en la teoría de grupos.
Hubo acontecimientos desafortunados en su vida: el suicidio de su padre y el rechazo de un colegio. Fourier fue encargado de revisar su trabajo, pero murió antes de sacarlo a la luz.
Se hizo de difícil convivencia. Fue rechazado de muchas partes e incluso encarcelado. En esos momentos no todos veían la grandeza de sus trabajos. Fue cayendo por muchas desgracias, como la de conocer a una muchacha por la quien tendría un duelo. Se cree que la noche que murió fue por jugar a la ruleta rusa.
Murió, por tanto, muy joven el 31 de marzo de 1832. Su agitada vida, sin embargo, no lo distrajo de haber propuesto una de las mejores ideas en la historia de las matemáticas.
Cayley:
Arthur Cayley nació en Richmond, Inglaterra en 1821. Sus primeros años no tuvieron mucho de especial. Creció en San Petersburgo y tuvo una infancia un poco agitada pues sus padres eran comerciantes y debían desplazarse. El primer antecedente que se conoce respecto a su relación con las matemáticas es en 1838 cuando entró a un colegio de Cambridge para estudiar derecho y matemáticas.
Fue en esta institución donde aprendió los conceptos matemáticos relevantes de su tiempo y comenzó también a desarrollar trabajos. Siguió ahí como profesor el resto de su vida.
Es uno de los matemáticos que más ha escrito, ya que se le documentan más de novecientas publicaciones científicas. Se le considera uno de los fundadores o padre del álgebra lineal ya que aportó el concepto de matriz junto con sus propiedades.
Cayley utilizó sus mismos avances para aplicarlos en otras áreas, por ejemplo en la geometría, donde analizó la dimensión. Fue así que dedujo la idea de que la geometría que conocemos, de dimensiones que “vemos” está incluida dentro de la proyectiva.
Fue influencia para otros científicos, como Feliz Klein. A partir de 1854 y a lo largo de veinticuatro años, desarrolló la teoría de los invariantes.
Se puede decir que tuvo una vida tranquila. Murió el 26 de enero de 1895, en el lugar donde daba clases.
Hamilton.
William Rowan Hamilton fue un multidisciplinario irlandés. Nació en 1805. Al contrario de muchos otros científicos, él recibió muchos honores y reconocimientos mientras tuvo vida. Luego fue perdiendo dicha fama. No se educó con sus padres, sino con su tío, con quien aprendió a leer a los 3 años.
Fue un niño prodigio que aprendió muchos idiomas como el latín, griego, hebreo, italiano, francés, árabe y sanscrito antes de los once años.
Pensó al álgebra como una ciencia del tiempo duro y se dedicó toda su vida a tratar de matematizar sistemáticamente el mundo que nos rodea.
Sus aportaciones más importantes vienen gracias a sus estudios en: teoría de los cuaternios y de los hipernúmeros, teoría óptica, formalismo abstracto de la mecánica clásica. En álgebra, específicamente, estructuró teorías de números complejos como pares de números reales y definió para los mismos la ley de composición conmutativa.
Murió en 1865 habiendo declarado que fue feliz gracias a su trabajo.
Grassmann
Hermann Grassmann nació en una familia numerosa. En su familia hubo profesores y matemáticos que seguro lo influenciaron para seguir esos pasos. Lo educó su madre y en su juventud no resultó ser como se esperaba por su familia.
Le interesaban otras disciplinas. Tanto así que en su universidad estudió otras cosas. Ya en su búsqueda de trabajo y como profesor fue cuando comenzó a hacer descubrimientos matemáticos de importancia.
En 1834comenzó a dar clases de matemáticas y poco a poco se fue interesando más en esta ciencia. Siendo profesor de secundaria se sintió frustrado hasta que
obtuvo algunos cargos que su padre había tenido. Finalmente, fue capaz de avanzar en sus investigaciones.
En los últimos años de su vida, se vio lleno de conflictos políticos. Logró tener una vasta familia y resulta curioso que tuvo prácticamente la misma trayectoria que su padre. Incluso su hijo la repitió. Murió en 1865.
Sylvester
James Joseph Sylvester nació el 3 de septiembre de 1814 en Londres, Inglaterra. Fue un profesor en las universidades de Londres, Baltimore y Oxford e hizo importantes contribuciones en el campo de las matrices. Aunque él no inventó el concepto, sí inventó el nombre.
Aportó ideas a la teoría de invariantes junto con Cayley, determinantes, teoría de números, particiones y combinatoria.
Descubrió un método dialítico para eliminar incógnitas entre dos polinomios.
A él se deben muchos términos matemáticos. Fundó el Diario Americano de las Matemáticas. Murió el 15 de marzo de 1897 en Oxford.
Hermite.
Fue un matemáticos francés que desarrolló sus investigaciones respecto al álgebra mientras era profesor. Demostró en 1973 que el número de Euclides es trascendente y no la raíz de un número.
Desarrolló varias formas del álgebra que hoy conocemos, teoría aritmética de formas cuadráticas y teoría de funciones abelianas y elípticas.
Resolvió la ecuación de quinto grado con funciones elípticas.
Abel Henrik Niels (1802-1829): Abel publicó en 1823 escritos de
Ecuaciones funcionales e integrales. En esto Abel dio la primera solución de una ecuación integral. En 1824 probó que era imposible resolver algebraicamente ecuaciones de quinto grado.
Abel revolucionó el entendimiento de las funciones elípticas por el estudio de la función inversa de esa función.
Leonardo Fibonacci (1170-1240)
Leonardo de Pisa (1170 - 1250), también conocido como Fibonacci, fue uno de los matemáticos más importantes de la Edad Media en Europa. Hizo contribuciones a la aritmética, al álgebra y a la geometría.
Una sucesión de números muy conocida y usada en matemáticas es justamente la sucesión de Fibonacci, que se construye de la siguiente manera:
a) La sucesión empieza con dos unos.
b) Cualquier término de la sucesión se obtiene de sumar los dos anteriores. Por ejemplo, el noveno término de la sucesión se construye sumando el séptimo y el octavo.
c) La sucesión es infinita
Así la sucesión de Fibonacci es:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229,...
Proponemos dos juegos matemáticos relacionados con esta sucesión de números, que pueden jugarse a partir de primero de secundaria.
Herón de Alejandría (20-62 D.C.)
En geometría la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría, relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus lados a, b y c:
Donde “s” es el semi perímetro:
La fórmula puede reescribirse de la siguiente forma:
Diofanto: (325-409 D.C.)
Diofanto de Alejandría nacido alrededor del 200/214 y fallecido alrededor de 284/298 fue un antiguo matemático griego. Es considerado "el padre del álgebra”.
Al-Jwarizmi (780-835):
Mahommed ibn Musa al-Khwarizmi fue un matemático árabe, nacido en Kharizm
(actualmente Jiva, Uzbekistán) en el año 780. Entonces reinaba el califa Harun alRashid, quinto califa de la dinastía Abbasid. La capital estaba en Bagdag. Harun, tuvo dos hijos y a su muerte, hubo una guerra de sucesión entre los dos hermanos, al-Amin y al-Mamun. Ganó la guerra al-Mamun y al-Amin fue ejecutado en 813.
al-Mamun continuó el patronazgo de las artes y la cultura que había iniciado su padre y fundó la Casa de la Sabiduría, donde enseñaban filósofos y científicos griegos. También construyó una biblioteca y un observatorio astronómico.
Al-Khwarizmi fue bibliotecario en la corte del califa al-Mamun y astrónomo en el observatorio de Bagdad. Sus trabajos de álgebra, aritmética y tablas astronómicas adelantaron enormemente el pensamiento matemático.
Omar Jayyam o Omar Khayyam: (1050-1122)
Omar Ibn Ibrahim Jayyam u Omar Khayyam (aprox. 1040 a 1050-1121 o 1122) fue un matemático y astrónomo persa, autor de uno de los poemas más conocidos y famosos del mundo.
Fue místico y profeta, libertino, poeta y escritor de álgebra, geometría y temas afines, también se interesó por el Derecho y las Ciencias Naturales. Se lo considera uno de los más destacados matemáticos de su época.
Carl Friedeich Gauss (1777-1855)
A los 19 años había descubierto por si solo un importante teorema de la teoría de los números, la ley de la reciprocidad cuadrática. Después de su regreso a Brunswic en 1799, el duque tuvo que ser convencido para seguir con su ayuda económica a Gauss. Como contrapartida debió presentar su tesis doctoral en la Universidad de Helmstedt. En su tesis Gauss dio la primera demostración del teorema fundamental del álgebra.
George Boole (1815-1864) George Boole
(2 de noviembre de 1815 - 8 de diciembre de 1864) fue un matemático y filósofo británico.
Como inventor del álgebra de Boole, la base de la aritmética computacional moderna, Boole es considerado como uno de los fundadores del campo de las Ciencias de la Computación. En 1854 publicó "An Investigation of the Laws of Thought" en el que desarrollaba un sistema de reglas que le permitían expresar, manipular y simplificar problemas lógicos y filosóficos cuyos argumentos admiten dos estados (verdadero o falso) por procedimientos matemáticos. Se podría decir que es el padre de las operaciones lógicas y gracias a su álgebra hoy en día es posible manipular operaciones lógicas.
Índice
“Álgebra Lineal”
PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
FORMULARIOS
EQUIPO # 5
· Carrión Luna José David 10680240
· Juan García Pedro Octavio 10680250
· Sánchez Campos Adanary Suray 10680283
· Sánchez Chavelo María 10680284
G2 09:00 – 10:00 a.m.
Segundo semestre
Ingeniería en Mecatrónica
H.H. Cuautla Mor. 02 de Junio 2011
Formulario Forma polar de un número:
Forma exponencial o de Euler:
Módulo del número complejo.
El argumento expresado en radianes.
Operaciones en forma exponencial: multiplicación, división, potenciación y radicación.
Multiplicación:
División:
Potenciación:
Radicación:
Formulario
Unidad 1 – Números complejos
Propiedades cíclicas de
-
1
Fórmula:
Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica
Forma binómica o rectangular
· Suma y resta:
· Multiplicación:
· División:
Propiedad:
· Suma y resta
Cartesiano ó binómica
· Multiplicación y división Siempre: polar ó exponencial
Conjugado de un número complejo
su conjugado es sólo cambia de signo la parte imaginaria.
Módulo y argumento de un número complejo
El módulo se interpreta como la distancia al origen del número .
El argumento es el ángulo comprendido entre el eje x y el radio vector que determina a .
Módulo:
Se puede probar que dicha relación se verifica para todo Z.
De donde
Argumento:
Forma trigonométrica o polar de un número complejo
Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica o polar
Sean y , entonces En otros términos:
La multiplicación de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado un número complejo cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los argumentos.
División de números complejos en su forma trigonométrica o polar
Fórmula de Moivre
Entonces,
Forma exponencial o de Euler de un número complejo
Note que la forma exponencial es equivalente a la trigonométricapues dependen de los mismos elementos: módulo y argumento del número complejo. Esta forma es muy cómoda pues podemos efectuar la multiplicación, división y potenciación empleando las leyes del álgebra.
Multiplicación y división de números complejos en su forma exponencial
Sean y . Entonces:
Raíces n-ésimas de un número complejo
El logaritmo de un número complejo
Supóngase que es un número complejo de módulo y argumento , entonces:
Bibliografías consultadas:
1. Los números complejos, por Jorge José Osés Recio, Departamento de matemáticas – Universidad de los Andes – Bogotá – Colombia – 2004.
2. Apuntes de preparatoria – Materia, Física aplicada.
Índice
“Álgebra Lineal”
PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
Unidad 1 “PROYECTO”
PROGRAMA DE NÚMEROS COMPLEJOS
EQUIPO # 5
· Carrión Luna José David 10680240
· Juan García Pedro Octavio 10680250
· Sánchez Campos Adanary Suray 10680283
· Sánchez Chavelo María 10680284
G2 09:00 – 10:00 a.m.
Segundo semestre
Ingeniería en Mecatrónica
H.H. Cuautla Mor. 02 de Junio 2011.
Unidad 1 “proyecto”
Programa de números complejos
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include <iostream> #include <stdlib.h> using namespace std;
struct comple{
int p_real; int p_imag;
};
comple opera_complex(comple c1, comple c2, char op);
int main(int argc, char *argv[])
{
int r;
char op;
comple c1; comple c2; comple resu; resu.p_imag=0; resu.p_real=0;
do { system ("cls");
cout<<"OPERACIONES DE NUMEROS COMPLEJOS.\n";
cout<<"\nEste programa realiza operaciones basicas las cuales son \n A)suma.\n B)resta.\n C)multiplicacion.\npara operar en numeros complejos.\n \n";
cout<<"\nIngrese la parte real de tu primer complejo: \n ";
cin>>c1.p_real;
cout<<"Ingrese la parte imaginaria de tu primer complejo:\n ";
cin>>c1.p_imag;
cout<<"Ingrese la parte real de tu segundo complejo: \n ";
cin>>c2.p_real;
cout<<"Ingrese la parte imaginaria de tu segundo complejo:\n ";
cin>>c2.p_imag;
cout<<"\nIngrese la operacion a realizar.\n +)Suma.\n -)Resta.\n *)Multiplicacion.\n
/)Division . . . ";
cin>>op;
resu=opera_complex(c1, c2, op);
cout<<"\nEl resultado en la operacion es: Z="; cout<<resu.p_real<<"+"<<resu.p_imag<<"i"<<endl; cout << "\n\n\nPara continnuar . . .\n\n 1) Salir. \n 2) Realizar otra operacion."; cin>>r;
}
while(r!=1); cout<<"\nPresione una tecla para salir";
return 0;
}
comple opera_complex(comple c1, comple c2, char op){
comple resu; switch (op){ case '+':
resu.p_imag=c1.p_imag+c2.p_imag; resu.p_real=c1.p_real+c2.p_real;
break;
case '-':
resu.p_imag=c1.p_imag-c2.p_imag; resu.p_real=c1.p_real-c2.p_real;
break;
case '*':
resu.p_real=((c1.p_real*c2.p_real)-(c1.p_imag*c2.p_imag)); resu.p_imag=((c1.p_real*c2.p_imag)+(c1.p_imag*c2.p_real));
break;
case '/':
resu.p_real=(((c1.p_real*c2.p_real)+(c1.p_imag*c2.p_imag))/((c1.p_real*c1.p_real)+(c2.p_imag*c
2.p_imag)));
resu.p_imag=(((c1.p_imag*c2.p_real)-
(c1.p_real*c2.p_imag))/((c1.p_real*c1.p_real)+(c2.p_imag*c2.p_imag))); break;
}
return (resu);
}
Índice
“Álgebra Lineal”
PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
UNIDAD 2. MATRICES Y DETERMINANTES
EQUIPO # 5
· Juan García Pedro Octavio 10680250
· Sánchez Campos AdanarySuray 10680283
· Sánchez Chavelo María 10680284
· Carrión Luna José David 10680240
G2 09:00 – 10:00 a.m.
Segundo semestre
Ingeniería en Mecatrónica
H.H. Cuautla Mor. 02 de Junio 2011.
Índice unidad 2
2.1 Definición de matriz, notación y orden…………………………………………....73
2.2 Operaciones con matrices………………...…………………………………..…...78
2.3 Clasificación de las matrices...........................................................................86
2.4 Transformaciones elementales por renglón.Escalonamiento de una matriz
Rango de una matriz.............................................................................................90
2.5 Cálculo de la inversa de una matriz................................................................93
Ejercicio. Calcular la matriz inversa por el método de Gauss – Jordan…………..98
2.6 Definición de determinante de una matriz......................................................100
2.7 Propiedades de los determinantes.................................................................105
2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta..................................108
2.9 Aplicación de matrices y determinantes.........................................................111
Matrices y determinantes
2.1 Definición de matriz, notación y orden.
Introducción
Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo.
Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J. J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton.
Los matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales, Económicas y Biológicas.
MATRICES
Definición y primeros ejemplos
Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:
A =, filas de la matriz A (
Columnas de la matriz A
Abreviadamente de puede expresar . Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El primero de ellos “”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “”, la columna.
Así el elemento esta en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representaran con letras mayúsculas.
Ejemplos:
Los siguientes son ejemplos de matrices:
A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es .
B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es .
C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es .
En general, si una matriz A tiene filas y columnas, diremos que su tamaño o dimensión es (se lee “ por ”).
TIPOS DE MATRICES
1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.
Por ejemplo:
A=.
Es una matriz nula de tamaño .
2. Se llama matriz fila a la que solo tiene una fila, es decir su dimensión es
.
Por ejemplo:
Es una matriz fila de tamaño .
3. Se llama matriz columna a la que solo consta de una columna, es decir su dimensión será como por ejemplo:
Es una matriz columna de tamaño
4. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es La matriz . del primer
ejemplo anterior es cuadrada de tamaño o simplemente de orden 2.
Otro ejemplo de matriz cuadrada es:
D=
De orden 3.
Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos siendo la matriz:
,
En la matriz D del ejemplo anterior, su diagonal principal estaría formada por 1,5,0. Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, traza(A)= y en el caso de D, traza (D)=1+5+0=6.
La diagonal secundaria es la formada por los elementos
En la matriz D estaría formada por 3,5,-3.
5. Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.
Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos y triangulas inferíos si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.
Son ejemplos de estas matrices:Triangular inferior Triangular superior
Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, solo tienen elementos en la diagonal principal.
6. Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal.
Ejemplo:
7. Por último, si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal solo unos, se denomina matriz unidad o identidad. Se suelen representar por , donde n es el orden o tamaño de la matriz. Algunas matrices identidad son:
Bibliografía:
Algebra lineal - 6ta Edición – Stanley Grossman.
Índice
2.2 Operaciones con matrices.
Suma y diferencia.
Dadas dos matrices Ay B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla. Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos que se encuentren en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño.
Por ejemplo:
.
Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí.
Propiedades de la suma (y diferencia) de matrices:
a) Conmutativa:
b) Asociativa:
c) Elemento neutro: la matriz nula del tamaño correspondiente.
d) Elemento opuesto de A: la matriz –A, que resulta de cambiar un signo a los elementos de A, ejemplo:
Si
Porque:
Producto por un número real
Dada una matriz cualquiera A y un número real k, el producto se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamaño. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un número real).
Por ejemplo:
Propiedades:
a) Distributiva respecto de la suma de matrices:
b) Distributiva respecto de la suma de números:
c) Asociativa:
d) Elemento neutro, el número 1:
Ejercicios:
1. , halla una matriz X que verifique la ecuación:
2. Determina las matrices X y Y sabiendo que :
Transposición de matrices
Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz transpuesta de A, y se representa por a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.
Por ejemplo, si A= ., entonces la matriz traspuesta de A es:
Evidentemente, si A es una matriz de tamaño , su traspuesta tendrá tamaño , pues el numero de columnas pasa a ser el de filas y viceversa.
Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendrá el mismo tamaño.
Propiedades:
a) es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.
b)
c)
En la base a esta nueva operación, podemos definir otras dos clases de matrices, que son:
Matriz simétrica, que es aquella para la que se cumple que , por ejemplo la matriz:
En una matriz simétrica, los elementos son simétricos respecto a la diagonal principal.
Producto de matrices
Hay que dejar claro desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condición:
“Para multiplicar dos matrices y , en este orden ∙, es condición indispensable que el número de columnas de sea igual al número de filas de ”
Si no se cumple esta condición, el producto de ∙ no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente a la propia multiplicación.
Una vez comprobado que el producto de ∙ se puede realizar, si es una matriz m x n y es una matriz de n x p (observemos que el de columnas de de filas de), entonces el producto ∙da como resultado una matriz de
tamaño n x p del siguiente modo:
“el elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz ∙, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de por la columna j de y sumando los resultados” Veámoslo mediante un ejemplo:
Para multiplicar las matrices:
2*4 4*3
Primero comprobamos que se puede realizar el producto ∙, pues el nº de columnas de es 4 y el nº de filas de también es 4, y el resultado, según lo dicho será una matriz de tamaño 2 x 3, tiene 2 filas y 3 columnas:
.
Sólo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello, seguimos la regla anterior: El elemento de la fila 1 y la columna de ∙ proviene de multiplicar elemento a lemento de la fila 1 de por la comuna 1 de y sumar, es decir:
El elemento de la fila 1 y columna 2 de ∙ proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de y la columna 2 de y sumar:
El elemento de la fila 1 y columna 3 de ∙ proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de y la columna 3 de y sumar:
Así sucesivamente se obtienen (comprueba):
.
Propiedades del producto de matrices:
a) Asociativa:
b) Distributiva respecto de la suma:
c) Elemento neutro, la matriz identidad correspondiente, si es :
d) En general el producto de matrices no es conmutativo
e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula:
.
Se dice que el conjunto de las matrices con operación producto tiene divisores de cero, es decir, hay matrices no nulas cuyo producto es nulo.
La matriz inversa
Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad .
Por analogía con el caso de los números reales, podemos plantearnos la siguiente cuestión:
Si tenemos un numero real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un numero real tal que , el producto de 2 por sea igual al elemento neutro, el 1.
Evidentemente, en el caso de los números reales es bien fácil despejar para obtener, en nuestro caso, que , es decir, el inverso de un número real es otro número que multiplicado por él da el elemento neutro, el 1.
Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.
Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada de orden, cualquiera, existe su inversa para el producto de matrices, tal que:
Es decir, el producto de por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad
Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales: 1) No podemos “despejar” la matriz del modo , porque no hemos definido la división de matrices.
2) No todas la matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números).
3) Definamos, en primer lugar, el término de matriz inversa:
Dada una matriz cuadrada de orden , , se dice es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de y representada por y tal que:
Si no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.
Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (sólo hay una). Para calcular dicha matriz inversa, podemos utilizar dos vías:
Método algebraico:
Consiste en determinar planteando un sistema de ecuaciones, es decir, si por ejemplo queremos determinar la inversa de la matriz de , lo que estoy buscando es otra matriz de igual tamaño (orden 2) tal que y
, es decir, si
, se tiene que cumplir que:
Es decir, hemos de resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, aunque en realidad son 2 sistemas de dos incógnitas cada uno (uno con y otro con y
).
Resolviendo el sistema se obtiene que:
Por lo que la matriz inversa es:
Se puede comprobar que también se cumple que se cumple , luego es invertible, tiene inversa. Si el sistema no tiene solución, la matriz no tiene
inversa.
Por ejemplo, en el caso en que , del mismo modo:
Y por ejemplo de se obtiene , si se sustituye en la primera ecuación es,, es decir (imposible). El sistema no tiene solución.
Por tanto no es invertible, es singular.
Este método directo sólo se suele utilizar para matrices cuadradas de tamaño 2, puesto que para
Las de tamaño 3 obtenemos un sistema de ecuaciones, con 9 incógnitas que realmente es difícil de resolver.
Bibliografía:
Aplicaciones del algebra lineal – Stanley L. Grossman.
Índice
2.3 Clasificación de las matrices.
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna
Lamatriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión .
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Matriz involutiva
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que:
A·At = I.
Bibliografía: http://www.vitutor.net/1/matrices.html Índice
2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.
La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación.
Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los números de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer número distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.
Una MATRIZ ESCALONADA es aquélla que verifica las siguientes propiedades:
1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.
2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente más a la derecha que el pivote de la fila de encima.
Por ejemplo, entre las matrices:
A no es escalonada, mientras que B y C sí lo son.
Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg(E), como el número de filas no nulas de E.
En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg(B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg = n.
La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.
Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:
I. Intercambiar la posición de dos filas.
II. Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
III. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.
Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.
El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.
Teorema 1.1. A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.
Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1, 1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2, 2), y así sucesivamente.
El teorema anterior nos permite hacer una definición importante:
Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.
Bibliografía:
http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:QdLPBz89l2oJ:www.ugr. es/~ahurtado/PDF/Tema1.pdf+transformaciones+elementales+por+ren gl%C3%B3n+escalonamiento+de+una+matriz+y+rango+de+una+matri z&hl=es&pid=bl&srcid=ADGEESiraoG4pjWiwGnEN7hHaZtGMvy3oM2
L_vXz3gFUMuOYW-cdX5ZG-
DLZjss8XegRMqHYpWL4xSJNzitfC9ccsF65mvudsfdXi83Sl96Nh6_RI WShLm6Tf4SpDuj5uiT2ZnRA2mWL&sig=AHIEtbSZd9NNCmj1TwNAK ruG1G3o1F0M7A
Índice
2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.
Matriz traspuesta
Es la matriz que obtenemos de cambiar las filas por las columnas. La traspuesta de A la representamos por AT.
Ejemplo:
Matriz adjunta
Es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.
Matriz inversa
La matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A -1 y que verifica:
Solamente tienen inversa las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de cero.
Propiedades de la matriz inversa
La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden.
Ejemplo: cálculo de la inversa de la matriz:
Para calcular la inversa, primero calculamos el determinante:
Después calculamos cada uno de los adjuntos :
Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Aplicación a la resolución de ecuaciones matriciales.
Bibliografía: http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tmatrizinversa.htm
Índice
Calcular la matriz inversa depor el método de Gauss –
Jordan:
Solución:
También puede expresarse sacando factor común:
Utilización de software:
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Equipo #5 Página 10
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2.6 Definición de determinante de una matriz.
Determinante. A cada matriz cuadrada se le asocia un número denominado determinante, el cual tiene información sobre la matriz misma que es usada en muchas ramas de matemáticas y de las ciencias.
Cálculo de determinantes. El determinante de una matriz cuadrada de2x2 se denota A y está dado por la siguiente ecuación:
Observe que el determinante en una matriz de 2x2 está dado por la diferencia de la multiplicación de sus diagonales.
Ejemplo: Encuentre el determinante de:
Regla de Sarrus:
Para matrices de 3x3 se ocupa un método corto denominado regla de Sarrus, la cual consiste en lo siguiente.
Para una matriz de 3x3:
Para determinar el cofactor de dicha matriz se coloca nuevamente la matriz debajo de la siguiente manera:
A continuación se trazan unas líneas diagonales de guía para el proceso de multiplicación de los elementos, de la siguiente manera:
[
]
[
]
Los tres elementos que son tocados por cada flecha se multiplican, los mismos que se suman al resto.
Los elementos que son tocados por las flechas de izquierda a derecha sesuman y los que están tocados por las flechas de derecha a izquierda se restan de la siguiente manera:
Ejemplo: Encuentre el determinante de:
Desarrollo por cofactores.
A cada elemento de la matriz A puede asignársele un cofactor, definido como:
Donde es el determinante que queda después de borrar el renglón “i” y la columna “j” de la matriz A. se le denomina “menor de i j” Por ejemplo, para la matriz:
El determinante para el elemento el elemento menor y el cofactor del mismo.
Menor de :
El cofactor de:
El determinante de cualquier matriz cuadrada es la suma de los productos de sus elementos de cualquier renglón o columna por sus cofactores:
Expansión a lo largo del renglón “i”
Expansión a lo largo de la columna “j”
Calcular el determinante de la matriz A indicada usando cofactores:
Recordemos que los elementos de la matriz A pueden expresarse como:
Vamos a calcularlo usando el primer renglón, la ecuación original desarrollando un renglón “i” es:
Para el renglón 1, el valor de i = 1, por lo tanto la ecuación general para el renglón 1 queda:
Como solo es una matriz de 3x3 cada renglón tiene tres elementos, por lo tanto la ecuación queda:
Ahora como ya tenemos los elementos “” de la matriz, solo nos hace falta cada cofactor, de los cuales la ecuación es:
Los cofactores que se requieren son los siguientes:
Bibliografía:
http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:lrr-
KWzga8kJ:marcelrzm.comxa.com/AlgebraUniv/46Determinantes.pdf+ Definici%C3%B3n+de+determinante+de+una+matriz&hl=es&pid=bl&sr cid=ADGEEShm8Gh6_2fXzh4TAzB7MvLllTA5ainCdvqJzayeQ3v1ewW28MUhYWYwTIOiUBF2uChCX53XGUJp5kyCgoajbbP2WKbhF2fkn6 eynpySChKdHPM82UHbwNCiRri-
urRpClS3DUU&sig=AHIEtbRkvtqm5Ae5llAq85y7IC5Y1mV9YA
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2.7 Propiedades de los determinantes.
Algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, y que se enuncian sin demostración, son:
1) Si una matriz tiene una línea (fila o columna) de ceros, el determinante vale cero.
Esta propiedad es evidente, puesto que por definición de determinante, baste elegir dicha línea para desarrollar y el determinante será 0.
2) Si una matriz tiene dos filas iguales o proporcionales, su determinante es nulo.
3) Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo, por ejemplo:
4) Si multiplicamos todos los elementos de una línea de un determinante por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. Por ejemplo:
Pero
5) Si una línea de una matriz se le suma otra línea multiplicada por un número, el determinante no cambia.
Esta propiedad permite utilizar un método más sencillo para calcular determinantes de orden mayor que 3.
6) El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta.
7) Si A tiene una matriz inversa, , se verifica que:
Una estrategia a tener en cuenta en este caso de determinantes de orden 4 o superior, o incluso de orden 3 si la matriz es compleja, es el método de “hacer ceros”, puesto que el valor del determinante no varía al realizar a la matriz ciertas transformaciones elementales en filas, como indica la propiedad 5 anterior, si bien hemos de ser cuidadosos al aplicar dicha propiedad.
Así pues la mejor forma de calcular un determinante es hacer ceros en una fila o columna y desarrollar por dicha fila o columna, porque entonces sólo tendremos que calcular un adjunto. Por ejemplo, si calculamos:
Desarrollando por la columna 1
Como hemos dicho, hemos de tener especial cuidado al aplicar esta regla con determinantes, puesto que no podemos hacer las mismas operaciones que con las matrices, lo que puede confundir.
Por ejemplo, si queremos calcular el determinante:
Mediante la regla de Sarrus es:
Si hiciésemos ceros en la primera columna, y desarrollásemos nos debería dar lo mismo. Ahorabien, podemos hacer cero el 4 de la primera columna mediante:
Lo que es correcto. Sin embargo, si queremos hacer cero el 1 de la primera columna sería un errorhacer:
No obtenemos lo mismo, porque hemos multiplicado la fila sustituida por un número y eso altera el valor del determinante. Luego la fila a sustituir conviene no multiplicarla, como en el primer ejemplo, puesto que si no nos damos cuenta, podemos variar el valor del determinante.
Bibliografía:
Algebra lineal y algunas de sus aplicaciones – L.I. Goluina– Segunda edición http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/propiedades.html Índice
2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es invertible o regular; encaso contrario recibe el nombre de singular.
Propiedades de la inversión de matrices
La matriz inversa, si existe, es única
· A-1A=A·A-1=I
· (A·B) -1=B-1A-1
· (A-1) -1=A
· (kA) -1=(1/k·A-1 (At) ±1=(A-1) t
Observación
Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A¹ I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha".
Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:
· Directamente
· Usando determinantes
· Por el método de Gauss-Jordán
Dada la matriz buscamos una matriz que cumpla A·A-1 = I, es decir
Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:
La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácil comprobar que también cumple A-1 ·A = I, con lo cual es realmente la inversa de A.
Existencia de la matriz inversa
Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que NO tienen inversa, singulares.
Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su rango es n.
Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es cero.
Propiedades
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:
1. Si existe, es única.
2.
3.
4. El determinante de una matriz regular A es el inverso del determinante de su matriz inversa:
Cálculo de la matriz inversa
La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:
Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo
Hacemos
Como
Operando:
.
Bibliografía:
http://es.scribd.com/doc/52080531/INVERSA-DE-UNA-MATRIZ-CUADRADAATRAVES-DE-UNA-ADJUNTA
Algebra lineal y algunas de sus aplicaciones – L.I. Goluina– Segunda edición
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2.9 Aplicación de matrices y determinantes.
Una de las técnicas más útiles es el método de Gauss-Seidel.
Ninguno de los procedimientos alternos es totalmente satisfactorio, y el método de Gauss-Seidel tiene la desventaja de que no siempre converge a una solución o de que a veces converge muy lentamente.
Sin embargo, este método convergirá siempre a una solución cuando la magnitud del coeficiente de una incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación.
No obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente para cada ecuación es mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, la convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se conoce como sistema diagonal.
Un sistema diagonal es condición suficiente para asegurar la convergencia pero no es condición necesaria. Afortunadamente, la ecuación simultánea lineal es que se derivan de muchos problemas de ingeniería, son del tipo en el cual existen siempre coeficientes dominantes.
La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente:
1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente.Los valores iníciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia.
2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos.
3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los valores supuestos para las incógnitas restantes.
4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se deben utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un valor para la única incógnita, se dice que se ha completado una iteración.
5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que cierto seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo.
Refiriéndonos al paso 5, mientras menor sea la magnitud del seleccionado, mayor será la precisión de la solución. Sin embargo, la magnitud del épsilon No especifica el error que puede existir en los valores obtenidos para las incógnitas, ya que ésta es una función de la velocidad de convergencia. Mientras mayor sea la velocidad de convergencia, mayor será la precisión obtenida en los valores delas incógnitas para un dado.
Bibliografía:
http://es.scribd.com/doc/52080531/INVERSA-DE-UNA-MATRIZ-CUADRADAATRAVES-DE-UNA-ADJUNTA
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“Álgebra Lineal”
PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
UNIDAD 3.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
EQUIPO # 5
· Juan García Pedro Octavio 10680250
· Sánchez Campos Adanary Suray 10680283
· Sánchez Chavelo María 10680284
· Carrión Luna José David 10680240
G2 09:00 – 10:00 a.m.
Segundo semestre
Ingeniería en Mecatrónica
H.H. Cuautla Mor. 02 de Junio 2011.
Índice Unidad 3
3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales....................................................115
3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipo de solución..........117
3.3 Interpretación geométrica de las soluciones.........................................................123
3.4Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales:Gauss-Jordán,
inversa de una matriz y regla de Cramer...........................................................................126
Ejercicio por la regla de Cramer............................................................................132
Ejercicio. Resuelve la matriz por el método de Cramer.................................................135
Escalonar las siguientes matrices y determina su rango..............................................137
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones............................................................140
Determinar la inversa...............................................................................................................144
Comprueba que ...............................................................................147
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el uso de la matriz
inversa..........................................................................................................................................148
Plantea y resuelve los siguientes problemas...............................................................150
Proyecto Unidad 3.Sistemas de ecuaciones lineales.....................................................154
3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en señales, análisis, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
Bibliografía.
Aplicaciones del álgebra lineal-Stanley L. Grossman. http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales
Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
La regla para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es similar, con una división de determinantes:
Que representadas en forma de matriz es:
, pueden ser encontradas como sigue:
Bibliografía:
http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer#Sistema_de_3_ecuaciones_con_3_i nc.C3.B3gnitas
Aplicaciones del álgebra lineal-Stanley L. Grossman.
3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipo de solución.
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
· Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
· Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
· Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
· Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:
Sistemas compatibles indeterminados
Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:
Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.
· En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
· Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores serán 0.
· De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.
Sistemas incompatibles.
De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas
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