216272627-Algebra-Lineal

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO
 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
	Dedicatoria
Para mis padres, Martha y El´ıas; para mi adorable esposa, Flor Angela y para los m´as grandes tesoros de mi vida, mis hijas Alessandra Anghely y Stefany Grace.
Prefacio
Visi´on general
Una de las situaciones m´as dificiles a que se ve enfrentado comunmente un investigador en matem´atica es la de tratar de explicar su labor profesional.
La respuesta a ´esta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han sido de la m´as variable ´ındole: hay quienes plantean que cultivan esta ciencia por satisfacci´on personal, sin buscar sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la busqueda de conocimiento consustancial a la naturaleza humana y siendo la matem´atica lenguaje universal, ´esta debe cultivarse como contribuci´on al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos pueblos comprender su propia y particular realidad. Tambi´en se estima necesario que todos los pa´ıses, especialmente aquellos en desarrollo, cultiven las disciplinas b´asicas para as´ı poder lograr independizarse cient´ıfica, tecnol´ogica y econ´omicamente.
Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que pese a ser la matem´atica la m´as comu´n de las ciencias, en el sentido de que est´a presente y es utilizada por todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado de popularidad; mucha gente tiene sentimientos de aprensio´n, disgusto e incluso miedo a la
matem´atica.
Au´n considerando estas dificultades, creemos que no ha sido suficientemente difundido el muy relevante papel que juega nuestra disciplina en la formaci´on integral de cada ciudadano; de manera privilegiada, la matem´atica aporta a esta formaci´on capacitando a las personas para tomar decisiones en la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar ideas originales; esto se logra por ejemplo a trav´es de desarrollar la capacidad de abstracci´on, de ensen˜ar a relacionar objetos o situaciones diversas, de desarrollar la intuici´on; en fin, la matem´atica ayuda a desarrollar una mentalidad cr´ıtica y creativa.
Es entonces muy preocupante que sea la m´as desconocida de las ciencias para el ciudadano medio; es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matem´atico, o, m´as generalmente, el analfabetismo cient´ıfico.
El libro que se encuentra en estos momentos en sus manos pretende presentarle una introducci´on, a nivel elemental y b´asico, de una parte de las matem´aticas sumamente u´til y aplicable a muchas ramas del saber: El Algebra Lineal.
De la experiencia de dictar cursos y ponencias sobre Algebra Lineal es que surgieron
i
ii	Walter Arriaga Delgado
apuntes de clase que, despu´es de sucesivas revisiones y ampliaciones, fueron transform´andose hasta optar la forma que ahora presentamos, con la intenci´on de que sirva como texto gu´ıa que inicie al alumno en esta fascinante rama de las matem´aticas.
Objetivo
El objetivo de este libro es presentar los temas de manera clara y comprensible para los estudiantes de cualquier nivel, de forma que los motive a preguntar porqu´e y transmitirles el entusiasmo y gusto por el estudio del Algebra Lineal y a la vez proporcionar al lector una herramienta de consulta, as´ı como reforzar la comprensi´on de los temas y conceptos por medio de una amplia gama de interesantes aplicaciones en el mundo real. El texto se ha disen˜ado para brindarle una comprensi´on s´olida e intuitiva de los conceptos b´asicos, sin sacrificar la precisi´on matem´atica.
Aplicaciones
Una de mis metas fue convencer a lo estudiantes de la importancia del Algebra Lineal en sus campos de estudio. As´ı, este libro pretende implementar el estudio de las aplicaciones del Algebra Lineal a la Computaci´on e Inform´atica, Ingenier´ıa de Sistemas, etc.
Caracter´ısticas
Contenido
El contenido del presente manuscrito se desarrolla de la siguiente manera:
En el Cap´ıtulo I, se realiza un an´alisis general de la teor´ıa de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.
En el Cap´ıtulo II, se estudian los espacios vectoriales y subespacios vectoriales, adem´as se determinan la base y dimensi´on de un espacio vectorial.
En el Cap´ıtulo III, se estudia las transformaciones lineales, asi como tambi´en se determina el nu´cleo y la imagen de una transformaci´on lineal.
Caracter´ısticas pedag´ogicas
En base a nuestra experiencia docente y en consejos de muchos colegas, hemos inclu´ıdo varios aspectos pedag´ogicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva acerca del Algebra Lineal.
Walter Arriaga Delgado	iii
Problemas resueltos y propuestos
Un problema en matem´atica puede definirse como una situacio´n, a la que se enfrenta un individuo o un grupo, que requiere soluci´on, y para lo cual no se vislumbra un camino aparente y obvio que conduzca a la misma.
La resoluci´on de problemas debe apreciarse como la raz´on de ser del contenido matem´atico, un medio poderoso de desarrollar conocimiento matem´atico y un logro indispensable de una buena educaci´on matem´atica. El elemento crucial asociado con el desempen˜o eficaz en matem´atica es que los estudiantes desarrollen diversas estrategias que le permitan resolver problemas donde muestren cierto grado de independencia y creatividad.
La elaboraci´on de estrategias personales de resoluci´on de problemas crea en los alumnos confianza en sus posibilidades de hacer matem´atica, estimula su autonom´ıa, as´ı como expresa el grado de comprensi´on de los conocimientos y le facilita mecanismos de transferencia a otras
situaciones.
Concebimos entonces que la resoluci´on de problemas es el proceso m´as importante que posibilitar´a a los estudiantes experimentar la utilidad y potencia de la matem´atica. Implicarlos en esa labor les permitir´a indagar, construir, aplicar y conectar lo aprendido. De ah´ı que una responsabilidad importante de los docentes del ´area de matem´atica sea elaborar, seleccionar, proponer y discutir problemas de diverso tipo y exigencia conjuntamente con los estudiantes y con otros colegas.
Aprender matem´atica significa entender y usar la matem´atica a trav´es de la resoluci´on de problemas, aprender matem´atica no s´olo es memorizar fo´rmulas t´ecnicas para resolver ejercicios propuestos.
Hay que hacer que los alumnos trabajen din´amicamente en actividades que permitan la construcci´on del saber matem´atico por etapas, a partir de fen´omenos y de situaciones cotidianas de modo que vayan elaborando conceptos de dificultad creciente, observando claramente y de inmediato su uso.
Todo usuario de la Matem´atica recopila, descubre o crea conocimiento en el curso de la actividad que realiza con un fin. El desarrollo de las actividades debe estar organizado para que los estudiantes comuniquen ideas oralmente y por escrito. El proceso de construcci´on del lenguaje matem´atico no puede ser una actividad individual. Es un proceso de comunicaci´on: alumno-profesor, profesor-alumno y sobre todo alumno-alumno. La capacidad de usar con facilidad el lenguaje matem´atico es muy importante para comprender la matem´atica y por eso las formas de comunicaci´on matem´atica deben ser cada vez m´as formales y simb´olicas.
El libro contiene problemas resueltos y propuestos para que el estudiante ponga a prueba su aptitud. En los ejemplos resueltos ensen˜amos a los estudiantes a pensar sobre los problemas antes de que empiecen a resolverlos.
iv	Walter Arriaga Delgado
Resu´menes
Al final de cada cap´ıtulo, aparece un repaso detallado de los resultados importantes del mismo, esto permitir´a una clara comprensi´on del texto.
Uso de Software
La tendencia cada vez mayor a que el docente se convierta en un “facilitador del aprendizaje” m´as que un “presentador de hechos” ha producidouna expansi´on en la esfera de los paquetes de inform´atica especializados como los software matem´aticos preparados para ayudar al docente. Estos paquetes tienen por objeto suplementar el trabajo pr´actico, permitiendo as´ı ampliar la presentaci´on de la ciencia a los estudiantes. Estos software han adquirido tal grado de complejidad en la ensen˜anza de la Ciencia que han recibido el nombre de “Tecnolog´ıa Educativa”.
Entre los software matem´aticos m´as importantes podemos citar: Maple, Matlab, Derive, Mathematica, Cabri Geometry, etc.
El software matem´atico Maple que se ha utilizado para la preparaci´on de este libro, se caracteriza por realizar c´alculos con s´ımbolos que representan objetos matem´aticos.
Se trata de un sistema de c´alculo cient´ıfico (simb´olico, num´erico y gr´afico) interactivo, con una sintaxis pr´oxima a la notaci´on matem´atica, disponible para una amplia gama de sistemas operativos. Algunas de sus capacidades son:
X Operaciones num´ericas en aritm´etica racional exacta o decimal de precisi´on arbitraria.
X Manipulaci´on algebraica de variables y s´ımbolos.
X Operaciones con polinomios, fracciones algebraicas y funciones matem´aticas elementales.
X C´alculo de l´ımites, derivadas y primitivas.
X Resoluci´on de ecuaciones y sistemas.
X Operaciones con vectores y matrices.
X Capacidades gr´aficas en 2 y 3 dimensiones.
X Lenguaje de programaci´on de alto nivel.
La historia de la matem´atica
La historia de la matem´atica est´a llena de an´ecdotas, de problemas interesantes que pueden motivar a los j´ovenes a estudiarla y desarrollar actitude positivas hacia ella. El uso de t´opicos de historia de la matem´atica, de biograf´ıas de matem´aticos, de acertijos y problemas cl´asicos permite acercarnos a esta ciencia desde un punto de vista humano. Los estudiantes comprenden que la matem´atica es simplemente una actividad creada por seres humanos iguales Walter Arriaga Delgado	v
a ellos, quienes desarrollaron ideas creativas y resolvieron situaciones que en su tiempo eran importantes, pero que en otros momentos sufrieron frustraci´on y desengan˜o, ya sea al no poder resolver los problemas que se plantearon, porque la sociedad no estaba preparada para sus ideas renovadoras, o porque sufrieron la marginaci´on de las comunidades cient´ıficas de la ´epoca, como ocurri´o en el caso de las mujeres matem´aticas.
Es sumamente u´til explorar con nuestros alumnos los inicios de un concepto, las dificultades con las que tuvieron que enfrentarse estos investigadores y las ideas que surgieron al enfrentar una situaci´on nueva. Todos estos hechos encarnan una verdadera aventura intelectual que muchas veces se deja de lado en las clases tradicionales donde un tema aparece presentado de manera acabada e inerte, sin posibilidad de descubrimiento, ni cr´ıtica.
Requisitos
El requisito para leer ´este libro es conocer su matem´atica b´asica y su c´alculo diferencial e integral. Para aprovechar al m´aximo este texto los alumnos deben contar con medios num´ericos de resoluci´on (software matem´aticos) que no exigen que el usuario sea experto en computaci´on, pero de igual modo pueden aprender bien incluso sin ningu´n medio de ´estos.
El autor
Algebra Lineal
Algebra Lineal
Algebra Lineal
Introducci´on
Desde los comienzos de su existencia, el hombre ha estudiado su medio ambiente con la finalidad de mejorar su situaci´on. Empez´o por observaciones, como hacemos hoy en d´ıa, y sigui´o por la reuni´on de informaci´on y su aplicaci´on a la vida cotidiana.
La ciencia es hoy d´ıa algo m´as compleja. Nuestra capacidad de observaci´on ha aumentado enormemente gracias al desarrollo de los modernos instrumentos desde los que nos permiten ver diminutas part´ıculas de materia ampliadas millones de veces hasta los que nos permiten ver estrellas distantes en los l´ımites exteriores del universo tal como lo conocemos. Nuestros procesos de acopio de datos tambi´en se han vuelto muy complejos. No solo disponemos de medios muy r´apidos para registrar informaci´on sino que, mediante el uso de calculadoras y software, podemos recuperar la informaci´on en una fraccio´n de segundo. Sin embargo, muchos de nosotros no tenemos todav´ıa la posibilidad de usar los u´ltimos inventos de la ciencia moderna. Tenemos que trabajar con las cosas existentes en nuestro medio inmediato que van a influir en nuestras vidas y en las de quienes nos rodean. Hay que tener en cuenta que los cambios r´apidos e incesantes del mundo de hoy hacen que tambi´en cambien a su comp´as los conocimientos necesarios de matem´atica
El ´algebra lineal es la rama de la matem´atica que concierne al estudio de vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central en la matem´atica moderna; por lo que el ´algebra lineal es usada ampliamente en ´algebra abstracta y an´alisis funcional. El ´algebra lineal tiene una representaci´on concreta en la geometr´ıa anal´ıtica, y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.
La historia del ´algebra lineal moderna se remonta a los an˜os de 1843 cuando William
Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del t´ermino vector) cre´o los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann public´o su libro Die lineare Ausdehnungslehre.
El ´algebra lineal tiene sus or´ıgenes en el estudio de los vectores en el plano y en el espacio tridimensional cartesiano. Aqu´ı, un vector es un segmento, caracterizado por su longitud (o magnitud), direcci´on y sentido (u orientaci´on). Los vectores pueden entonces utilizarse para representar ciertas magnitudes f´ısicas, como las fuerzas, pueden sumarse y ser multiplicados por escalares, formando entonces el primer ejemplo de espacio vectorial real.
Hoy d´ıa, el ´algebra lineal se ha extendido para considerar espacios de dimensi´on arbitraria o incluso de dimensi´on infinita. Un espacio vectorial de dimensi´on n se dice que es
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n-dimensional. La mayor´ıa de los resultados encontrados en 2 y 3 dimensiones pueden extenderse al caso n-dimensional. A mucha gente le resulta imposible la visualizaci´on mental de los vectores de m´as de tres dimensiones (o incluso los tridimensionales). Pero los vectores de un espacio n-dimensional pueden ser u´tiles para representar informaci´on: considerados como n−tuplas, es decir, listas ordenadas de n componentes, pueden utilizarse para resumir y manipular informaci´on eficientemente. Por ejemplo, en econom´ıa, se pueden crear y usar vectores octo-dimensionales u 8−tuplas para representar el Producto Interno Bruto de 8 pa´ıses diferentes. Se puede simplemente mostrar el PIB en un an˜o en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo, (Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, Espan˜a, India, Jap´on, Australia), utilizando un vector (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) en donde el PIB de cada pa´ıs est´a en su respectiva posici´on.
Un espacio vectorial (o espacio lineal), como concepto puramente abstracto en el que podemos probar teoremas, es parte del ´algebra abstracta, y est´a bien integrado en ´ella. Por ejemplo, con la operaci´on de composici´on, el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial en s´ı mismo (endomorfismos) tiene estructura de anillo, y el subconjunto de las aplicaciones lineales que son invertibles (los automorfismos) tiene estructura de grupo. El Algebra Lineal tambi´en tiene un papel importante en el c´alculo, sobre todo en la descripci´on´ de derivadas de orden superior en el an´alisis vectorial y en el estudio del producto tensorial (en f´ısica, buscar momentos de torsi´on) y de las aplicaciones antisim´etricas.
Un espacio vectorial se define sobre un cuerpo, tal como el de los nu´meros reales o en el de los nu´meros complejos. Una aplicaci´on (u operador) lineal hace corresponder los vectores de un espacio vectorial con los de otro (o de ´el mismo), de forma compatible con la suma o adici´on y la multiplicaci´on por un escalar definidos en ellos. Elegida una base de unespacio vectorial, cada aplicaci´on lineal puede ser representada por una tabla de nu´meros llamada matriz. El estudio detallado de las propiedades de las matrices y los algoritmos aplicados a las mismas, incluyendo los determinantes y autovectores, se consideran parte del ´algebra lineal.
En matem´atica los problemas lineales, aquellos que exhiben linealidad en su comportamiento, por lo general pueden resolverse. Por ejemplo, en el c´alculo diferencial se trabaja con una aproximaci´on lineal a funciones. La distinci´on entre problemas lineales y no lineales es muy importante en la pr´actica.
Puesto que el ´algebra lineal es una teor´ıa exitosa, sus m´etodos se han desarrollado por otras ´areas de la matem´atica: en la teor´ıa de m´odulos, que remplaza al cuerpo en los escalares por un anillo; en el ´algebra multilineal, uno lidia con ’mu´ltiples variables’ en un problema de mapeo lineal, en el que cada nu´mero de las diferentes variables se dirige al concepto de tensor; en la teor´ıa del espectro de los operadores de control de matrices infi-dimensionales, aplicando el an´alisis matem´atico en una teor´ıa que no es puramente algebraica. En todos estos casos las dificultades t´ecnicas son mucho m´as grandes.
El Algebra Lineal es seguramente, una de las herramientas fundamentales en las Ciencias´ de la Computaci´on. Originariamente dedicada a la resoluci´on de sistemas de ecuaciones, su abstracci´on y formalismo la hacen a veces un poco ´arida de entender. Sin embargo la inmenWalter Arriaga Delgado	Algebra Lineal	ix
sidad de sus aplicaciones bien vale el esfuerzo: Teor´ıa de la Informaci´on, Teor´ıa de C´odigos, Criptograf´ıa, etc. Incluso las m´as recientes tendencias en computaci´on como la Computaci´on Cu´antica tienen en el Algebra Lineal su herramienta clave.´
En este curso introduciremos los conceptos y t´ecnicas clave del Algebra Lineal y veremos´ por encima algunas de sus aplicaciones a la Inform´atica, en concreto a la Teor´ıa de C´odigos.
Esta obra es un intento para lograr que la ensen˜anza y el aprendizaje de la ciencia sean los m´as eficaces posible. Como no hay una manera perfecta de ensen˜ar la Ciencia, ´esta publicaci´on no pretende ser el non plus ultra de la ensen˜anza de la Matem´atica. Los profesores deben buscar constantemente los mejores m´etodos para ellos mismos y para sus alumnos, as´ı como leer con la mayor amplitud y profundidad posibles. Sin embargo, se espera que este trabajo sirva de documento b´asico para empezar. Se ha reunido las contribuciones de docentes que se han especializado en estos temas a fin de presentar un amplio panorama de la ensen˜anza de ´esta Ciencia.
Es importante que el pensamiento creador en todos los niveles de educaci´on se centre en crear las situaciones de aprendizaje m´as eficaces para los estudiantes. En consecuencia, este texto est´a destinado tanto a estudiantes de ciencias e ingenier´ıa como a docentes en ejercicio as´ı como tambi´en a los futuros docentes de varios niveles acad´emicos para que lo utilicen en las situaciones m´as diversas. Su finalidad es mejorar la ensen˜anza cotidiana de la ciencia examinando los numerosos temas que influyen sobre el estudiante.
Este es el compromiso que como docente de la Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas´ de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo he asumido: el contribuir a la formaci´on integral de los estudiantes del presente siglo.
Se tiene siempre la esperanza de que una publicaci´on sea tan buena que haya demanda de una segunda edici´on. Esto permite siempre corregir las inexactitudes y las equivocaciones, as´ı como an˜adir material pertinente nuevo u omitido inadvertidamente antes. Se agradecer´a a los lectores que comuniquen sus propias contribuciones y sugerencias al autor.
´Indice general
Prefacio	I
Introducci´on	VI
1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LIN-
	EALES	1
1.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	1
1.1.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	1
1.1.2. Introducci´on	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	2
1.1.3. Orden de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	3
1.1.4. Igualdad de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
1.1.5. Matrices Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
1.1.6. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
1.1.7. Traza de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13
1.1.8. Transpuesta de una matriz	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
1.1.9. Matriz sim´etrica	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
1.1.10. Matriz antisim´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
1.1.11. Matriz involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
1.1.12. Matriz nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16
1.1.13. Matriz idempotente	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16
1.1.14. Matriz conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16
1.1.15. Matriz hermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	17
1.1.16. Matriz antihermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
1.1.17. Matriz ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
1.1.18. Matriz positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
1.2. Determinantes	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	19
1.2.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	19
1.2.2. C´alculo de Determinantes por la Regla de Sarrus . . . . . . . . . . . . .	21
1.2.3. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	22
1.2.4. Menores complementarios y Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	24
1.2.5. C´alculo de Determinantes por Cofactores	. . . . . . . . . . . . . . . . .	25
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1.3. Otras matrices importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	26
1.4. Operaciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	33
1.4.1. Matriz escalonada	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	34
1.4.2. Matrices equivalentes	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	35
1.4.3. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	36
1.5. Matriz Inversa	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	37
1.5.1. Matriz de cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	38
1.5.2. Adjunta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	39
1.5.3. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	40
1.5.4. M´etodo de Gauss Jordan	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	42
1.6. Criptograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43
1.6.1. Introducci´on	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43
1.6.2. Sistema Criptogr´afico usando Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43
1.7. Sistemas de Ecuaciones Lineales	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	44
1.7.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	44
1.7.2. Introducci´on	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	46
1.7.3. Clasificaci´on de los sistemas de ecuaciones lineales	. . . . . . . . . . . .	47
1.7.4. Sistemas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	49
1.7.5. M´etodo de Gauss-Jordan. Eliminaci´on Gausiana	. . . . . . . . . . . . .	49
1.7.6. M´etodo de Gabriel Cramer	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	51
1.7.7. Teorema de Rouch´e - Fr¨obenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	52
1.7.8. Sistemas homog´eneos	. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .	53
1.8. Factorizaci´on LU de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	54
1.9. Resen˜as Hist´oricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	58
2. VECTORES EN EL ESPACIO BIDIMENSIONAL Y TRIDIMENSIONAL 87
3. ESPACIOS VECTORIALES	89
3.1. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	90
3.1.1. Propiedades de los espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	96
3.2. Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	96
3.2.1. Operaciones con subespacios	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	97
3.2.2. Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2.3. Sistemas de generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2.4. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2.5. Bases y Dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4. TRANSFORMACIONES LINEALES	131
4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2. Clasificaci´on de las Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3. Nu´cleo e Imagen de una Transformaci´on Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Walter Arriaga Delgado	Algebra Lineal	xiii
4.4. Matriz asociada a una Transformaci´on Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.4.1. Representaci´on matricial de una transformaci´on lineal . . . . . . . . . . 138
4.5. Operaciones con Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5. VALORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACION´	165
5.1. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2. Diagonalizaci´on de una matriz	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2.1. Matrices semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Bibliograf´ıa	181
Indice de Materias	183
´Indice de figuras
	1.1. Johann Carl Friedrich Gauss	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	58
	1.2. Arthur Cayley	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	60
	1.3. Gabriel Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	61
4.1. La transformaci´on lineal T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2. El nu´cleo de una transformaci´on lineal T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.3. La imagen de una transformaci´on lineal T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
xv
´Indice de cuadros
	1.1. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	41
xvii
 1 
MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Objetivos
z Conocer y aplicar las principales t´ecnicas de c´alculo matricial.
z Operar con las matrices para aplicarlas en la soluci´on de sistemas lineales.
z Ordenar los datos adecuadamente en la formulaci´on de un problema.
z Manejar los determinantes como elemento de c´alculo en la resoluci´on de los sistemas lineales.
1.1.	Matrices
1.1.1.	Algo de historia
El primero que emple´o el t´ermino “matriz” fue el matem´atico ingl´es James Joseph Sylvester en el an˜o 1850.
Sin embargo, hace m´as de dos mil an˜os los matem´aticos chinos hab´ıan descubierto ya un m´etodo de resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales equivalente al m´etodo de Gauss y por lo tanto empleaban tablas con nu´meros.
Pero hasta el Siglo XIX no se desarrolla en las matem´aticas el Algebra de matrices. A´ este desarrollo contribuy´o de forma decisiva el matem´atico ingl´es Arthur Cayley. En 1858 public´o unas “Memorias sobre la teor´ıa de matrices” en la que daba la definici´on de matriz y las operaciones suma de matrices, de producto de un nu´mero real por una matriz, de producto de matrices y de inversa de una matriz. Cayley afirma que obtuvo la idea de matriz a trav´es
1
viii	Algebra Lineal	Walter Arriaga Delgado
de la de determinante y tambi´en como una forma conveniente de expresar transformaciones geom´etricas.
1.1.2.	Introducci´on
Las matrices aparecen por primera vez hacia el an˜o 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teor´ıa se debe al matem´atico W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notaci´on matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas.
Las matrices se utilizan en el c´alculo num´erico, en la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Adem´as de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometr´ıa, estad´ıstica, econom´ıa, inform´atica, f´ısica, etc...
La utilizaci´on de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programaci´on, ya que la mayor´ıa de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de c´alculo, bases de datos,...
Adem´as de su utilidad para el estudio de los sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen de manera natural en geometr´ıa, estad´ıstica, econom´ıa, etc.
Nuestra cultura est´a llena de matrices de nu´meros: El horario de los trenes de cada una de las estaciones es una matriz de doble entrada, la tabla de cotizaciones de la Bolsa en cada uno de los d´ıas de la semana es otra, etc.
Las tablas de sumar y multiplicar, la disposici´on de los alumnos en clase, las casillas de un tablero de ajedrez, las apuestas de la loto, los puntos de un monitor de ordenador, son otros tantos ejemplos de la vida cotidiana de matrices.
Actualmente, muchos programas de ordenador utilizan el concepto de matriz. As´ı, las Hojas de C´alculo funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y columnas en cuyas celdas se pueden introducir datos y f´ormulas para realizar c´alculos a gran velocidad. Esto requiere utilizar las operaciones con matrices.
Definici´on 1.1.1. Una matriz es un ordenamiento rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas.
Aqu´ı un ejemplo en sus distintas presentaciones:
Esta matriz posee dos filas y tres columnas.
Es importante adquirir el h´abito de enunciar siempre filas antes de columnas.
Los elementos aij pueden ser nu´meros reales, nu´meros complejos o cualquier objeto no num´erico, como por ejemplo la posici´on de las fichas en el tablero del ajedrez o los apellidos de personas cuando son codificadas en orden alfab´etico.
Notaci´on General: Se simboliza cada elemento con sub´ındices de la forma aij, donde i representa la fila donde se encuentra y j la columna.
As´ı la matriz de m filas y n columnas cuyos elementos son aij es:
	a11 a21....

.
A =ai1
.
am1
	a12 a22
...
ai2
...
am2
	...
...
...
...
	a1j a2j
...
aij
...
amj
	...
...
...
...
	a1n  a2n
...
ain
...
amn
	que abreviadamente se representa por:
	
	
	
	
	A = (aij)m×n	,	donde m,n ∈ N
siendo	i = 1;2;3;... ;m	;	j = 1;2;3;... ;n	y podemos leer as´ı: A es la matriz de m filas y n columnas. aij es un elemento de la matriz A.
Si aij ∈ K;(K = R ´o K = C) entonces definimos una matriz Am×n como una aplicaci´on de
I × J en K.
	I × J	−→ K
	(i,j)	−→	aij
con 1 ≤ i ≤ m ; 1 ≤ j ≤ n donde a cada pareja (i,j) le corresponde un solo elemento aij ∈ K.
1.1.3.	Orden de una Matriz
El orden de una matriz es la multiplicaci´on indicada del nu´mero de filas por el nu´mero de columnas de dicha matriz, as´ı si la matriz tiene m filas y n columnas diremos que la matriz es de orden m × n.
Ejemplo 1.1.1. La matriz ! tiene 2 filas y 3 columnas, entonces decimos que es de orden 2 × 3.
El conjunto de matrices m × n con elementos aij ∈ K se denota por Km×n. Es decir
Km×n = {(aij)m×n/aij ∈ K}
Si	K = R,	entonces	Rm×n = {(aij)m×n/aij ∈ R}
Si	K = C,	entonces	Cm×n = {(aij)m×n/aij ∈ C}
1.1.4.	Igualdad de Matrices
Dos matrices del mismo orden son iguales si todos sus elementos de la misma posici´on son respectivamente iguales.
As´ı, sean las matricesA = (aij)m×n	∧	B = (bij)m×n
	A = B	↔ aij = bij , ∀i,j , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n
Ejemplo 1.1.2. Halle el valor de: (2x − y) + (2z − w). Si las matrices: !	y	!
son iguales.
Soluci´on
De la igualdad de matrices !
Se tiene:
2x + y = 4	∧	x − 2y = −1	entonces	x = 7/5	,	y = 6/5
As´ı mismo:
2z + w = 5	∧	z − 2w = 0	entonces	z = 2	,	w = 1
Luego el valor de : (2x − y) + (2z − w) es:
1.1.5.	Matrices Especiales
a) Matriz Cuadrada: Una matriz A es cuadrada cuando el nu´mero de filas es igual al nu´mero de columnas. Am×n es cuadrada si y s´olo si m = n, en este caso se dice que A es de orden n × n o simplemente de orden n y se representa por An.
		(1.1)
Ejemplo 1.1.3. La matriz es cuadrada de orden 2.
Diagonal Principal: Es una matriz cuadrada A = (aij)n×n, la diagonal principal es el conjunto de elementos aij tales que i = j. As´ı en:
la diagonal principal es la terna (2 9 0) y la diagonal secundaria es la terna (1 9 − 5). En la matriz cuadrada 1.6, la diagonal principal es: (a11 a22 a33 ... ann)
Tipos de matrices cuadradas:
Las matrices cuadradas pueden ser:
a.1. Matriz Triangular: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran por encima o por debajo de la diagonal principal son ceros. Estas a su vez pueden ser:
	a11	a12	a13  0	a22	a23
	···
···
	
	 0
	0
	0
	···
	ann
	3	5
	0
	
	
	
a.1.1. Matriz Triangular Superior: Una matriz cuadrada A = (aij)n×n es triangular superior si aij = 0 ∀i > j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son ceros. T =  0... 0... a33... ···... a3...n

	Ejemplo 1.1.4. La matriz 	 es triangular superior.
a.1.2. Matriz Triangular Inferior: Una matriz cuadrada A = (aij)n×n es triangular inferior si aij = 0 ∀i < j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por encima de la diagonal principal son ceros.
	a11	0	0
a21	a22	0
	···
···
	00 

	T = an31...1	an322	an332	···	0... 
	...	...	...
	a	a	a	···	ann
	16	0	0
Ejemplo 1.1.5. La matrizes triangular inferior.
a.2. Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran por encima y por debajo de la diagonal principal son ceros. Es decir aij = 0 si i 6= j. a11	022	033	···	0 
	 0	a	0	···	0
	D =0	0	a	···	0
	...	...	...	...	...
	0	0	0	···	ann
	Ejemplo 1.1.6. Las matrices	 son diagonales.
a.3. Matriz Escalar: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran en la diagonal principal de toda matriz diagonal son iguales.

	0	α	0	···	0
	α	0	0	···	0
	E =0	0	α	···	0
	...	...	...	...	...
	0	0	0	···	α
En forma general:
	En es escalar si	
Ejemplo 1.1.7. Las matrices son escalares
a.4. Matriz Identidad: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran en la diagonal principal de toda matriz escalar son iguales a 1.
En forma general:
	n	ij 1,	si i = j
	I	es identidad si	a	=
	0,	si i 6= j
b) Matriz Rectangular: Son aquellas matrices donde el nu´mero de filas es distinta al nu´mero de columnas. Esto es: la matriz A = (aij)m×n es rectangular si m 6= n.
Ejemplo 1.1.8.
	3	0 ×

	2	4	;
	1	2
3 2
c) Matriz Nula: Es aquella matriz cuadrada o rectangular en donde todos sus elementos son nulos, es decir, una matriz A = (aij)m×n es nula si aij = 0 ∀i,j. Ejemplo 1.1.9.
!
1.1.6.	Operaciones con Matrices
As´ı como en cualquier conjunto num´erico, en el conjunto de matrices tambi´en se definen ciertas operaciones, obviamente, bajo determinadas condiciones.
a. Adici´on y sustracci´on de matrices
	Sean las matrices	A = (aij)m×n	∧	B = (bij)m×n
La suma A + B de las matrices A y B de orden m × n es una matriz C = (cij)m×n de orden m × n, de tal modo, que cada elemento cij es igual a la suma: aij + bij.
As´ı: A + B = (aij)m×n + (bij)m×n = (aij + bij)m×n
La resta A − B de las matrices A y B de orden m × n es una matriz D = (dij)m×n de orden m × n, de tal modo, que cada elemento dij es igual a la resta: aij − bij.
As´ı: A − B = (aij)m×n − (bij)m×n = (aij − bij)m×n
	Ejemplo 1.1.10. Sean:	! ,	entonces:
	2	4	5	7	2 + 5	4 + 7	7	11
	A + B = 	! + 	! = 	! ⇒ (A + B) = 6	15!
	3	−1	−9	16	3 − 9	−1 + 16	−
	A−B = 32	−41!− −59	167 ! = 3 −2 −(−59)	−41−−716! ⇒ (A−B) = −123	−−173 !
Definici´on 1.1.2. La operaci´on binaria que hace corresponder a cada par de matrices A y B una tercera matriz C llamada suma de A y B, esto es:
	+ :
	Mm×n × Mm×n
	−→
	Mm×n
	
	(A,B)
	−→
	+(A,B) = A + B = C
Propiedades:
i. La adici´on es interna o cerrada en Mm×n es decir:	(A + B) ∈ Mm×n ∀ A,B ∈
Mm×n, por definici´on de la adici´on de matrices.
ii. La adici´on en Mm×n es asociativa, es decir: (A + B) + C = A + (B + C), ∀ A;B;C ∈ Mm×n. Veamos:
	Sean A = (aij)m×n ;	B = (bij)m×n ;	C = (cij)m×n
	⇒	(A + B) + C = ((aij)m×n + (bij)m×n + (cij)m×n)
	⇒	(aij + bij + cij)m×n = (aij)m×n + (bij + cij)m×n	= A + (B + C)
iii. Existe en Mm×n una u´nica matriz identidad o neutro aditivo denotado por 0; llamada matriz nula donde todos sus elementos son ceros; esto es: ∀ A ∈ Mm×n, ∃ 0 ∈
Mm×n tal que A + 0 = 0 + A = A
iv. Toda matriz A ∈ Mm×n tiene un sim´etrico aditivo dado por −A ∈ Mm×n; esto es: ∀ A ∈ Mm×n , ∃ (−A) = (−aij)m×n tal que A+(−A) = (aij)m×n+(−aij)m×n = 0m×n
Con estas propiedades queda garantizado que (Mm×n ; +) tiene estructura de grupo. Adem´as:
v. La adici´on en Mm×n es conmutativa, es decir: A + B = B + A, ∀ A;B ∈ Mm×n,
	as´ı: A + B = (aij)m×n + (bij)m×n	⇒ (aij + bij)m×n= (bij + aij)m×n
	⇒ (bij)m×n + (aij)m×n	= B + A
Mediante esta quinta propiedad diremos que (Mm×n ; +) es un grupo abelino o conmutativo.
b. Multiplicaci´on de matrices
b.1. Multiplicaci´on de un escalar por una matriz
Cuando un escalar multiplica a una matriz, cada elemento de la matriz queda multiplicado por dicho escalar. As´ı: Sea A = (aij)m×n ⇔ αA = (αaij)m×n. Donde “α” es un escalar
	Ejemplo 1.1.11.	Sea: 
!
Definici´on 1.1.3. La operaci´on binaria que hace corresponder a cada par de elementos, un escalar α y una matriz A, una matriz C llamada producto de α y A, esto es:
Propiedades:
i. Propiedad distributiva: α(A + B) = αA + αB, ∀ A,B ∈ Mm×n; ∀ α ∈ K
ii. Propiedad distributiva: (α + β)A = αA + βA, ∀ A ∈ Mm×n; ∀ α;β ∈ K
iii. Propiedad asociativa: α(βA) = (αβ)A, ∀ A ∈ Mm×n; ∀ α;β ∈ K
Por tanto: Si K = R entonces (Mm×n,+,·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los nu´meros reales.
Si K = C entonces (Mm×n,+,·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los nu´meros complejos.
b.2. Multiplicaci´on de una matriz fila por una matriz columnaSean las matrices:; B = b3

b1
b2
...
	bn	n×1
2	Algebra Lineal	Walter Arriaga Delgado
2	Algebra Lineal	Walter Arriaga Delgado
Walter Arriaga Delgado	Algebra Lineal	3
Definimos: AB = (a1b1 + a2b2 + a3b3 + ··· + anbn)1×1. Es decir:
Ejemplo 1.1.12. Sean:;
entonces: AB = (1)(7) + (3)(−2) + (5)(4) = 21
b.3. Multiplicaci´on de dos matrices
Dados dos matrices A = (aij)m×n ; B = (bjk)n×p existe una tercera matriz C = (cik)m×p que representa el producto de multiplicar las matrices A y B; donde cik es el producto de multiplicar la fila i de la primera matriz por la columna k de la segunda matriz.
	· :
	Mm×n × Mn×p
	−→
	Mm×p
	
	(A,B)
	−→
	·(A,B) = AB
Definici´on 1.1.4. La operaci´on binaria que hace corresponder a cada par de matrices A y B, una matriz C llamada producto de A y B, esto es:
Nota: La multiplicaci´on de una matriz A y la matriz B existe si y s´olo si el nu´mero de columnas de la primera matriz es igual al nu´mero de filas de la segunda matriz. Es decir:
Si el producto AB est´a definido se dice que A es conformable con B para la multiplicaci´on.
	Ejemplo 1.1.13. Sean las matrices: A = 45	31	29	5	4	1
	La matriz C producto de A y B ser´a de orden 2	3 de la siguiente forma.
	.	Hallando cada uno de los elementos:
entonces: !
Nota: La multiplicaci´on de matrices no necesariamente es conmutativa.
b.4. Multiplicaci´on de matrices por bloques
Existen situaciones en las que es conveniente manejar las matrices como bloques de matrices m´as pequen˜as, llamadas submatrices, y despu´es multiplicar bloque por bloque en lugar de componente por componente. Resulta que la multiplicaci´on en bloques es muy similar a la multiplicaci´onnormal de matrices.
Ejemplo 1.1.14. Considere el producto:
	 2112	−3101	5242	453 0213	24	13

AB =−1 0 	−0 −
	−	1	2
El lector debe verificar que este producto est´e definido. Ahora se hace una partici´on
de estas matrices mediante l´ıneas punteadas.
Existen otras maneras de formar la partici´on. En este caso ,
!, etc. Ahora suponiendo que todos los productos y las sumas de las matrices est´an definidos, se puede multiplicar normalmente para obtener
	 EC	DF! GJ	HK! = CGEG++DJFJ	|	CHEH ++DKFK
	AB =	− − −−	|	− − −−
|
Ahora:	CG = 12	−01! 12	41! = −21	5! −	8 ! y
	 .	De manera similar, !,
.
El lector debe verificar que!
de manera que
Esta es la misma respuesta que se obtiene si se multiplica´	AB directamente. Cuando se hace una partici´on de dos matrices y, como ene el ejemplo anterior, todos los productos de submatrices est´an definidos, entonces se dice que la partici´on es conformante.
Propiedades
i. Propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C, donde A ∈ Mm×p, B ∈ Mp×q, C ∈ Mq×n.
En efecto:
ii. Propiedad asociativa: A(B + C) = AB + AC, donde A ∈ Mm×p, B;C ∈ Mp×n.
En efecto:
iii. Propiedad no conmutativa: AB 6= BA
iv. AB = 0	no implica que A = 0 ´o B = 0
v. AB = AC	no implica que B = C
vi. Elemento neutro: ∀ A ∈ Mn×n, ∃ In ∈ Mn×n tal que IA = AI = A.
Ejemplo 1.1.15. Sean las matrices: ! ; Veamos AB y BA. ! y !
De donde observamos que: AB 6= BA.
Ejemplo 1.1.16. Sean las matrices:! ;
Veamos AB. !
Vemos que AB = 0, pero no implica que A o B sean matrices nulas.
Ejemplo 1.1.17. Sean las matrices:!
Veamos AB y AC. ! y	!
Se observa que AB = AC sin embargo B 6= C.
Definici´on 1.1.5.
Si AB = BA, se dice que las matrices A y B son matrices conmutables.
Si AB = −BA , se dice que las matrices A y B son matrices anticonmutables.
Nota: Si A es una matriz cuadrada de orden n y B = aA+bI donde a y b son escalares entonces A y b son conmutables.
c. Potenciaci´on de matrices Sea A una matriz cuadrada y n ∈ N/n ≥ 2; entonces se
define:
	Ejemplo 1.1.18. Si ! entonces	!
Nota: La potenciaci´on de matrices es conmutativa. De donde se tendr´a.
a. (k.A)n = kn.An
b. Si A es una matriz cuadrada entonces AmAn = AnAm/m;n ∈ N
c. Si A y B conmutan entonces Am y Bn conmutan siendo m, n naturales.
d. Si A es una matriz cuadrada (Am)n = Amn = (An)m; m; n ∈ N.
1.1.7.	Traza de una matriz
Dada la matriz cuadrada A = (aij)n×n, se llama traza de A a la suma de los elementos de la diagonal principal y se denota por:
n
Traz(A) = Xaii = a11 + a22 + a33 + ··· + ann
Ejemplo 1.1.19. Sea		Traz(A) = 5 + 7 − 2 = 10
Teorema 1.1.1. Sean las matrices cuadradas A y B del mismo orden y λ un escalar.
 Traz(A ± B) = Traz(A)± Traz(B)
En efecto: Sean;
n
Traz(A ± B) = X(aii ± bii) = X(aii) ± X(bii) = Traz(A) ± Traz(B)
	i=1	i=1	i=1
 Traz(λ · A) = λTraz(A)
	n	n
En efecto: Traz(
	=1	=1
 Traz(AB) = Traz(BA)
n
	En efecto: Traz(AB) = Xcij ,	dondeentonces
i=1
Traz(
1.1.8.	Transpuesta de una matriz
Definici´on 1.1.6. Sea A ∈ Mm×n, se llama transpuesta de A y se denota por At a la matriz resultante de cambiar, ordenadamente, las filas por las columnas de la matriz A de tal manera, que si llamamos) tenemos:
aij0 = aji, 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n
por lo que si A ∈ Mm×n ⇒ At ∈ Mn×m.
	1	4!
Ejemplo 1.1.20. Dada la matrizentonces	At =	2	7
	3	2
Teorema 1.1.2.
	 (A ± B)t = At ± Bt,	A,B ∈ Mm×n.
	 ,	donde: Ai son matrices del mismo orden,
	 (At)t = A,	A ∈ Mm×n.
 (λA)t = λAt ;	A ∈ Mm×n,	λ es un escalar (AB)t = Bt · At,	A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p.
	 ,	donde: Ai son matrices conformables,
1.1.9.	Matriz sim´etrica
Una matriz cuadrada diremos que es sim´etrica si y s´olo si es igual a su transpuesta, en otras palabras es sim´etrica respecto a su diagonal principal.
A es sim´etrica ⇐⇒ A = At
Ejemplo 1.1.21. Las matrices		son matrices sim´etricas
1.1.10.	Matriz antisim´etrica
Una matriz cuadrada ser´a antisim´etrica si y s´olo si es igual al negativo de su transpuesta. A es antisim´etrica ⇐⇒ A = −At
Los elementos sim´etricos respecto de la diagonal principal son opuestos y su diagonal son ceros.
Ejemplo 1.1.22. Dada la matriz ! se tiene que
entonces A es antisim´etrica.
Observaci´on 1.1.1. Todos los elementos de la diagonal principal de una matriz antisim´etrica son iguales a cero y los elementos sim´etricos respecto a la diagonal principal son opuestos o en forma equivalente: aij = −aji
Teorema 1.1.3. Toda matriz cuadrada se puede escribir como la adici´on de una matriz sim´etrica y otra antisim´etrica
Demostraci´on
Observe las matrices	A + At	y	A − At.	Veamos que:
(A + At)t = At + (At)t = At + A = A + At ⇒ A + At es sim´etrica (A − At)t = At − (At)t = At − A = −(A − At) ⇒ A − At es antisim´etrica y como: 
	sim´etrica	antisim´etrica
podemos expresar la matriz A como una adici´on de una matriz sim´etrica y otra antisim´etrica.
1.1.11.	Matriz involutiva
Una matriz cuadrada es involutiva si y s´olo si su cuadrado es igual a la identidad, es decir:
A2 = I.
Ejemplo 1.1.23. Dada la matriz	.	Veamos:
	entonces	A2 = I	⇔	A es involutiva.
1.1.12.	Matriz nilpotente
Una matriz cuadrada A se dice nilpotente de ´ındice k si Ak = Θ; donde Θ es una matriz nula; adem´as Ak−1 6= Θ.
Ejemplo 1.1.24. Dada la matriz	.	Veamos:
	2	 1	1	3  1	1	3   0	0	0 
A = A.A =  5 2 6 5 2 6 = 3 3 9 −2 −1 −3 −2 −1 −3 −1 −1 −3
	3	 1	1	3  0	0	0  0	0	0
	A = A.A =5	2	6	3	3	9	=	0	0	0
	−2	−1	−3	−1	−1	−3	0	0	0
Entonces A es una matriz nilpotente de ´ındice de nilpotencia 3.
1.1.13.	Matriz idempotente
Una matriz cuadrada A se llama idempotente si y s´olo si A2 = A
Ejemplo 1.1.25. Veamos la matriz	! ,	donde:
! ,	obteni´endose que A2 = A
luego diremos que A es una matriz indepotente.
1.1.14.	Matriz conjugada
Sean a y b nu´meros reales e 1; la expresi´on z = a + bi representa un nu´mero conplejo. Los nu´meros complejos de la forma a + bi y a − bi se llaman conjugados y cada uno de ellos es conjugado del otro. Si z = a + bi, su complejo conjugado se representa por
.
Sean z1 = a+bi y z2 = z1 = a−bi; entonces,, es decir, el conjugado del conjugado de un nu´mero complejo z es el mismo.
Si z1 = a + bi y z2 = c + di se tiene
 z1 +z2 = (a+c)+(b+d)i y , es decir, el conjugado de la suma de dos nu´meros complejos es igual a la suma de los conjugados.
 z1·z2 = (ac−bd)+(ad+bc)i y , esto es, el conjugado del producto de dos nu´meros complejos es igual al producto de los conjugados.
Sea A una matriz cuyos elementos son nu´meros complejos; la matriz obtenida a partir de A sustituyendo cada elemento por su conjugado se llama matriz conjugada de A y se
representa por A (conjugada de A).
Ejemplo 1.1.26. Si		ser´a	
Sean A y B las matrices conjugadas, respectivamente de A y B, y k un escalar cualquiera; entonces se tiene que:
Teorema 1.1.4.
(A) = A.
(kA) = k · A
(A + B) = A + B.
(AB) = A · B.
(A)t = (A t).
	 t donde la transpuesta de A se denota por A	(y se lee transpuesta de la conjugada de A).
Algunas veces se emplea la notaci´on A∗.
1.1.15.	Matriz hermitiana
Dada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama hermitiana o herm´ıtica si dicha matriz es igual a la transpuesta de su matriz conjugada, es decir:
t una matriz cuadrada A es hermitiana si y s´olo si A = A . De donde se concluye que los elementos de la diagonal principal son necesariamente reales.
Ejemplo 1.1.27. Sea la matriz:	!
! ,	como: (A)t = A	⇒	A es una matriz hermitiana.
Propiedades
 Sea A = B + iC, donde A es hermitiana y B y C reales, entonces B es sim´etrica y C
antisim´etrica.
 En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales.
1.1.16.	Matriz antihermitiana
Dada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama antihermitiana si es igual al negativo de la transpuesta de su matriz conjugada. Es decir:
t una matriz cuadrada A es antihermitiana si y s´olo si A = −A .
De donde se cuncluye que los elementos de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo 1.1.28. Sea	!
− 5i	0	−
luego se dir´a que la matriz A es antihermitiana.
Teorema 1.1.5. Sea A una matriz cuadrada de elementos complejos.
 A + (A)t es hermitiana.
 A − (A)t es antihermitiana.
Teorema 1.1.6. Toda matriz cuadradade elementos complejos se puede escribir como la adici´on de una matriz hermitiana y otra antihermitiana.
1.1.17.	Matriz ortogonal
Sea la matriz cuadrada An = [aij]. A es ortogonal s´ı y s´olo si A−1 = At, A es no singular
Propiedades
	 A es ortogonal	⇔	AAt = In.
	 Si A y B son ortogonales	⇒	AB es ortogonal.
Las matrices ortogonales, representan transformaciones en espacios vectoriales reales llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfimos internos del espacio vectorial en cuesti´on. Suelen representar rotaciones y son usadas extensivamente en computaci´on gr´afica. Por sus propiedades tambi´en son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en f´ısica se las usa en la formulaci´on de ciertas teor´ıas de campos.
1.1.18.	Matriz positiva
	Sea A ∈ Rn×n, A es positiva s´ı, y s´olo si XAtX > 0	∀ X ∈ Rn ,	X 6= 0.
1.2.	Determinantes
1.2.1.	Algo de historia
Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu, Jiuzhang Suanshu o Los nueve cap´ıtulos del arte matem´atico.) fueron los primeros en utilizar las tablas de nu´meros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminaci´on gaussiana.
Primeros c´alculos de determinantes
En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la soluci´on de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardan en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla para la resoluci´on de sistemas de dos ecuaciones con dos inc´ognitas. Esta primera f´ormula lleva el nombre de regula de modo.
El japon´es Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma ´epoca que el alem´an LeibnizLa aparici´on de determinantes de ´ordenes superiores tard´o au´n m´as de cien an˜os en llegar. Curiosamente el japon´es Kowa Seki y el alem´an Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simultaneamente.
Leibniz estudi´o los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de la notaci´on matricial, representaba los coeficientes de las inc´ognitas con una pareja de ´ındices: as´ı pues escrib´ıa ij para representar ai,j. En 1678 se interes´o por un sistema de tres ecuaciones con tres inc´ognitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la f´ormula de desarroyo a lo largo de una columna. El mismo an˜o, escribi´o un determinante de orden 4, correcto en todo salvo en el signo. Leibniz no public´o este trabajo, que pareci´o quedar olvidado hasta que los resultados fueron redescubiertos de forma independiente cincuenta an˜os m´as tarde
En el mismo periodo, Kowa Seki public´o un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallan f´ormulas generales dif´ıciles de interpretar. Parece que se dan f´ormulas correctas para determinantes de taman˜o 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determinantes de taman˜o superior. El descubrimiento se queda sin futuro a causa del cierre de de Jap´on al mundo exterior. Este aislamiento debido a los shoguns, se ve reflejado en la expulsi´on de los Jesuitas en 1638.
Determinantes de cualquier dimensi´on
Gabriel Cramer obtuvo las primeras f´ormulas generales de c´alculo de los determinantes. En 1748, un p´ostumo tratado de ´algebra de MacLaurin recupera la teor´ıa de los determinantes al contener la escritura correcta de la soluci´on de un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro inc´ognitas.
En 1750, Cramer formula las reglas generales que permiten la resoluci´on de un sistema de n ecuaciones con n inc´ognitas, aunque no ofrece demostracio´n alguna. Los m´etodos de c´alculo de los determinantes son hasta entonces delicados debido a que se basan en la noci´on de signatura de una permutaci´on.
Los matem´aticos se familiarizan con este nuevo objeto a trav´es de los art´ıculos de B´ezout en 1764, de Vandermonde en 1771 (que proporciona concretamente el calculo del determinante de la actual Matriz de Vandermonde). En 1772, Laplace establece las reglas de recurrencia que llevan su nombre. En el an˜o siguiente, Lagrange descubre la relaci´on entre el c´alculo de los determinantes y el de los volu´menes.
Gauss utiliza por primera vez el t´ermino (( d´eterminante )), en las Disquisitiones arithmeticae en 1801. Lo empleaba para lo que hoy d´ıa denominamos discriminante de una cu´adrica y que es un caso particular de determinante moderno. Igualmente estuvo cerca de obtener el teorema del determinante de un producto.
Aparici´on de la noci´on moderna de determinante
Cauchy fue el primero en emplear el t´ermino determinante con su significado moderno. Se encarg´o de realizar una s´ıntesis de los conocimientos anteriores y public´o en 1812 la f´ormula del determinante de un producto. Ese mismo an˜o Binet ofreci´o una demostraci´on para dicha f´ormula. Paralelamente Cauchy establece las bases del estudio de la reducci´on de endomorfismos.
Con la publicaci´on de sus tres tratados sobre determinantes en 1841 en la revista Crelle, Jacobi aporta a la noci´on una gran notoriedad. Por primera vez presenta m´etodos sistem´aticos de c´alculo bajo una forma algor´ıtmica. Del mismo modo, hace posible la evaluaci´on del determinante de funciones con instauraci´on del jacobiano.
El cuadro matricial es introducido por los tabajos de Cayley y Sylvester. Cayley es adem´as el inventor de la notaci´on del determinante mediante dos barras verticales y es quien estableci´o la f´ormula de c´alculo de la inversa.
La teor´ıa se ve reforzada por el estudio de determinantes que poseen propiedades de simetr´ıa particular y por la introducci´on del determinante en los nuevos campos de las matem´aticas, como es el caso del wronskiano en las ecuaciones diferenciales lineales.
Definici´on 1.2.1. El determinante es una funci´on que, aplicada a una matriz cuadrada, la transforma en un escalar.
Notaci´on: Sea A una matriz cuadrada, el determinante de la matriz A se representa por |A| o det(A).
Sea Mn×n el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n; entonces la definici´on queda de la siguiente manera.
| | :	Mn×n	−→ R ´o C A	−→	|A|
Determinante de una matriz de orden uno
Se llama determinante de una matriz de primer orden, formada por el elemento a11, al propio elemento a11.
Ejemplo 1.2.1. Sea:	A = (3)	⇒	|A| = 3
Determinante de una matriz de orden dos
	Sea la matriz	! se define el determinante de A como:
|A| = a11 · a22 − a21 · a12
	3	2
Ejemplo 1.2.2. Sea:	A = 1	4! ⇒	|A| = 3(4) − 2(1) = 10
Determinante de una matriz de orden tres
	a11	a12	a13
	Sea: A =	a21	a22	a23	se define el determinante de A como:
	a31	a32	a33
|A| = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13) − (a31 a22 a13 + a21 a12 a33 + a32 a23 a11)
	 1	2	3
Ejemplo 1.2.3. Sea:
1.2.2.	C´alculo de Determinantes por la Regla de Sarrus
Se aplica la matriz trasladando las dos primeras filas a la parte inferior y se aplican multiplicaciones en direcciones de las diagonales, conforme se indica.
Sea: entonces:
a
21
a
22
a
23
a
11
a
12
a
13
a
31
a
32
a
33
a
21
a
22
a
23
a
11
a
12
a
13
a
11
a
22
a
33
a
21
a
32
a
13
a
31
a
12
a
23
a
13
a
22
a
31
a
23
a
32
a
11
a
33
a
12
a
21
D
I
=
|
A
|
donde:
D = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23
I = a13 a22 a31 + a23 a32 a11 + a33 a12 a21 por lo tanto
|A| = D − I
	 1	2	3
Ejemplo 1.2.4. Halle el determinante de:
Soluci´on:
−10−
0
1
4
3
2
1
−
5
1
2
−
4
0
1
3
1
2
0
−
3
−
16
0
4
−
19
−
6
=
|
A
|
∴ |A| = (−19) − (−6) = −13
1.2.3.	Propiedades Generales
1. Dada una matriz cuadrada A, se tiene que: |A| = |At|.
2. Dadas las matrices cuadradas A y B y del mismo orden se tiene que: |AB| = |A||B|.
3. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas, respectivamente proporcionales;se dice entonces que su determinante es cero.
4. Si una matriz cuadrada A posee una fila o una columna de ceros, su determinante es nulo.
5. Si se intercambian dos filas o columnas consecutivas de una matriz cuadrada, su determinante s´olo cambia de signo.
6. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma una cierta cantidad de vecesotra fila o columna,entonces la matriz resultante tiene el mismo determinante.
7. Si todos los elementos de una fila o una columna se multiplican por un nu´mero k, todo el determinante queda multiplicado por dicho nu´mero.
8. El determinante de una matriz diagonal, triangular inferior o triangular superior es igualal producto de multiplicar los elementos de la diagonal principal.
9. El determinante de una matriz antisim´etrica de orden impar es igual a cero.
10. El determinante de una matriz hermitiana es un nu´mero real.
11. El determinante de una matriz ortogonal A es +1 ´o −1. En efecto, de las propiedades del determinante tenemos det(A · At) = detA detAt = detA detA = (detA)2 = detI = 1, y por tanto, detA = ±1.
12. Si A es una matriz nilpotente entonces |A| = 0. En efecto, si A es una matriz nilpotente de orden k, Ak = 0. Por tanto |Ak| = 0, luego |A|k = 0, y en consecuencia |A| = 0.
13. Sea A una matriz de orden n; se cumple que: |kA| = kn|A|; k es una escalar.
14. El determinante de una matriz cuadrada no var´ıa si a una fila o una columna se le sumauna combinaci´on lineal de filas o columnas paralelas.
15. Si una fila o columna de la matriz cuadrada A es combinaci´on lineal de otras paralelas, su determinante es nulo.
16. Si descomponemos una fila o una columna de una matriz cuadrada en suma de dos,podemos descomponer el determinante en suma de dos determinantes de la forma:
Observaci´on 1.2.1. No confundir con det(
Observaci´on 1.2.2. Teniendo en cuenta la definici´on del determinante, se pueden considerar dos matrices cuadradas especiales m´as:
a) Matriz Singular. Una matriz es singular si su determinante es cero; es decir:
detA = 0 ⇐⇒ A es singular
b) Matriz Regular. Una matriz es regular llamada tambi´en no singular si su determinante es diferente de cero; es decir:
detA 6= 0 ⇐⇒ A es no singular
Ejemplo 1.2.5.
Dada la matriz:
∴ A es singular
Dada la matriz:
∴ B es no singular
1.2.4.	Menores complementarios y Cofactores
Consid´erese la matriz cuadrada de orden n.
Denotaremos por Mij a la matriz cuadrada de orden (n − 1) que resulta de eliminar la fila i y la columna j de la matriz A luego:
I. Al determinante de la matriz Mij (|Mij|) se le llamar´a menor complementario del elemento aij de la matriz A.
II. Se define cofactor del elemento aij denotado por Aij.
Aij = (−1)i+j |Mij|
Ejemplo 1.2.6. Sea la matriz
el menor de 3 es: el menor de 5 es: el menor de 2 es: el menor de Nota:
1. La diferencia entre el menor |Mij| y el cofactor Aij de un elemento aij es solamanete el
signo.
	As´ı:	,	de donde:
	cofactor	menor
es par
es impar
2. El signo que relaciona a Aij y |Mij| del elemento aijde la matriz A se puede hallar en forma pr´actica mediante el siguiente arreglo:
As´ı el signo de a35 es positivo puesto que (3 + 5) es par.
El signo del elemento a25 es negativo ya que (2 + 5) es impar.
1.2.5.	C´alculo de Determinantes por Cofactores
Teorema de Laplace:
El determinante de una matriz A = (aij)m×n es igual a la suma de los productos obtenidos de multiplicar los elementos de cualquier fila (o columna) por sus respectivos cofactores:
Ejemplo 1.2.7.
Calcular el determinate de:
	 3	5	7
	A = −2	0	4
	1	−3	2
Soluci´on:
Elegimos la fila 2, entonces:
Nota: Lo m´as recomendable es escoger la fila o columna que tenga la mayor cantidad de ceros.
1.3.	Otras matrices importantes
Matriz diagonal
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y ´estas pueden ser nulas o no.
Toda matriz diagonal es tambi´en una matriz sim´etrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.
Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.
Operaciones matriciales
Las operaciones de suma y producto de matrices son especialmente sencillas para matrices diagonales. Vamos a emplear aqu´ı la notaci´on de diag(a1,...,an) para una matriz diagonal que tiene las entradas a1,...,an en la diagonal principal, empezando en la esquina superior izquierda. Entonces, para la suma se tiene:
diag(a1,...,an) + diag(b1,...,bn) = diag(a1 + b1,...,an + bn)
y para el producto de matrices,
diag(a1,...,an) · diag(b1,...,bn) = diag(a1b1,...,anbn)
La matriz diagonal diag(a1,...,an) es invertible si y s´olo si las entradas a1,...,an son todas distintas de 0. En este caso, se tiene
diag(a1,...,an)−1 = diag(
En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de n×n.
Multiplicar la matriz A por la izquierda con diag(a1,...,an) equivale a multiplicar la fila i-´esima de A por ai para todo i. Multiplicar la matriz A por la derecha con diag(a1,...,an) equivale a multiplicar la columna i-´esima de A por ai para todo i.
Usos
Las matrices diagonales tienen lugar en muchas ´areas del ´algebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el c´alculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformaci´on lineal como una matriz diagonal.
De hecho, una matriz dada de n × n es similar a una matriz diagonal si y s´olo si tiene n autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.
En el cuerpo de los nu´meros reales o complejos existen m´as propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.
Matriz banda
Una matriz cuadrada se le llama Matriz Banda cuando es una matriz donde los valores no nulos son confinados en un entorno de la diagonal principal, formando una banda de valores no nulos que completan la diagonal principal de la matriz y ma´s diagonales en cada uno de sus costados.
Escrito formalmente, una matriz A = (ai,j)n×n es una matriz banda si todos sus elementos son cero fuera de una zona diagonal cuyo rango se determina por las constantes k1 y k2:
	ai,j = 0	si	j < i − k1	o	j > i + k2;	k1,k2 ≥ 0
Los valores k1 y k2 son el semiancho de banda izquierdo y derecho respectivamente. El ancho de banda de una matriz es k1 +k2 +1, y se puede definir como el nu´mero menor de diagonales adyacentes con valores no nulos.
Una matriz banda con k1 = k2 = 0 es una matriz diagonal.
Una matriz banda con k1 = k2 = 1 es una matriz tridiagonal; cuando k1 = k2 = 2 se tiene una matriz pentadiagonal y as´ı sucesivamente.
Una matriz banda con k1 = k2 = p, dependiendo del nu´mero p, se le puede llamar matriz p-banda, formalmente se puede definir como
	ai,j = 0	si	|i − j| > p	;	p ≥ 0
De una matriz banda con k1 = 0, k2 = n − 1, se obtiene la definici´on de una matriz triangular inferior. De forma similar, para k1 = n − 1, k2 = 0, se obtiene la definici´on de una matriz triangular superior.
Matriz normal
Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y s´olo si
A∗A = AA∗
donde A∗ es el conjugado transpuesto de A (tambi´en llamado hermitiano).
	
	
	
	
	
	
	
	−i! =
i
Ejemplo 1.3.1. La matriz! de orden 2 es normal, debido a que:
∗
 −i	−i! −i	−i!
−i	i	−i	i
Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables.
Matriz definida positiva
Una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que es an´aloga a los nu´meros reales positivos.
Definiciones equivalentes
Sea M una matriz hermitiana cuadrada n×n, se dice definida positiva si cumple con una (y por lo tanto, las dem´as) de las siguientes formulaciones equivalentes:
1. Para todos los vectores no nulos z ∈ Cn tenemos que z∗Mz > 0.
N´otese que z∗Mz es siempre real.
2. Todos los autovalores λi de M son positivos. (Recordamos que los autovalores de una matriz hermitiana o en su defecto, sim´etrica, son reales.)
3. La funci´on hx,yi = x∗My define un producto interno en Cn.
4. Todos los menores principales de M son positivos. O lo que es equivalente; todas las siguientes matrices tienen determinantes positivo. la superior izquierda de M de dimensi´on 1 × 1 la superior izquierda de M de dimensi´on 2 × 2 la superior izquierda de M de dimensi´on 3 × 3
 ······
 la superior izquierda de M de dimensi´on (M − 1) × (M − 1)
 M en s´ı misma
An´alogamente,si M es una matriz real sim´etrica, se reemplaza Cn por Rn, y la conjugada transpuesta por la transpuesta.
Propiedades
 Toda matriz definida positiva es inversible (su determinante es positivo), y su inversa es definida positiva.
 Si M es una matriz definida positiva y r > 0 es un nu´mero real, entonces rM es definida positiva.
 Si M y N son matrices definidas positivas, entonces la suma M+N, el producto MNM y NMN son definidas positivas, adem´as si MN = NM, entonces MN es tambi´en definida positiva.
 Toda matriz definida positiva M, tiene al menos una matriz ra´ız cuadrada N tal que
N2 = M.
Observaci´on 1.3.1. La matriz hermitiana M se dice: definida negativa si x∗Mx < 0 para todos los vectores x ∈ Kn no nulos.
 semidefinida positiva si x∗Mx ≥ 0 para todo x ∈ Kn. semidefinida negativa si x∗Mx ≤ 0 para todo x ∈ Kn.
 Una matriz hermitiana se dice indefinida si no entra en ninguna de las clasificaciones anteriores.
Observaci´on 1.3.2. Caso no hermitiano. Una matriz real M puede tener la propiedad xTMx > 0 para todo vector real no nulo sin ser sim´etrica. La matriz es un ejemplo. En general, tendremos xTMx > 0 para todo vector real no nulo x si y s´olo si la matriz sim´etrica (M + MT)/2, es definida positiva.
Matriz permutaci´on
La matriz permutaci´on es la matriz cuadrada con todos sus n × n elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1. De acuerdo a esta definici´on existen n! matrices de permutaci´on distintas, de las cuales una mitad corresponde a matrices de permutaci´on par (con el determinante igual a 1) y la otra mitad a matrices de permutaci´on impar (con el determinante igual a -1).
Para n = 3 se tiene:
Matrices de permutaci´on par:
Matrices de permutaci´on impar:
Puede notarse que las matrices de permutaci´on conforman un grupo de orden n! respecto al producto.
Propiedades
 El elemento neutro del grupo es la matriz identidad.
 El elemento inverso de cada elemento del grupo de matrices de permutaci´on es la matriz traspuesta correspondiente.
 Cada elemento del grupo de matrices de permutaci´on es una matriz ortogonal.
 El producto de matrices de permutaci´on par siempre genera una matriz de permutaci´on par.
 El producto de matrices de permutaci´on impar siempre genera una matriz de permutaci´on par.
 El producto de matrices de permutaci´on de paridad distinta siempre genera una matriz de permutaci´on impar.
 Observe que las matrices de permutaci´on par conforman un semigrupo y que adem´as el grupo de matrices de permutaci´on no es conmutativo.
 Cada elemento del grupo de matrices de permutaci´on fuera del semigrupo es una matriz sim´etrica.
Jacobiano
El jacobiano es una abreviaci´on de la matriz jacobiana y su determinante, el determinante Jacobiano. Son llamados as´ı en honor al matem´atico Carl Gustav Jacobi.
La matriz Jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una funci´on. Una de las aplicaciones m´as interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la funci´on en un punto. En este sentido, el Jacobiano representa la derivada de una funci´on multivariable.
Supongamos F : Rn −→ Rm es una funci´on que va del espacio euclidiano n-dimensional a otro espacio euclideano m-dimensional. Esta funci´on est´a determinada por m funciones reales: y1(x1,...,xn),...,ym(x1,...,xn). Las derivadas parciales de estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz Jacobiana de F:
∂y
	 ∂x11	···	∂x∂yn1 
	...	...	...
	∂ym	∂ym
	∂x1	···	∂xn
∂(y1,...,ym)
Esta matriz es denotada por JF (x1,...,xn) o como .
∂(x1,...,xn)
Cuadrado latino
Un cuadrado latino es una matriz de n×n elementos, en la que cada casilla est´a ocupada por uno de los n s´ımbolos de tal modo que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada columna y en cada fila.
Las siguientes matrices son cuadrados latinos:
Los cuadrados latinos se dan como una Tabla de multiplicar (Tabla Cayley) de quasigrupos. Estos tienen su aplicaci´on en el disen˜o de experimentos.
El nombre de Cuadrados Latinos se origina con Leonhard Euler qui´en utiliz´o caracteres Latinos como s´ımbolos.
Un cuadrado latino se dice que est´a reducido (o normalizado o de forma estandarizada) si la primera fila y la primera columna est´an en orden natural. Por ejemplo, el primer cuadrado est´a reducido, porque la primera fila y la primera columna son 1, 2, 3.
Es posible hacer un cuadrado latino permutando (reordenando) las filas y las columnas.
Representaci´on por un Arreglo Ortogonal
Si cada entrada de un cuadrado latino de n × n se escribe como una tripleta (f,c,s) donde f es la fila, c la columna y s el s´ımbolo (para nuestro caso un nu´mero), obtenemos n2 tripletas llamado arreglo ortogonal del cuadrado. Por ejemplo, para el primer cuadrado latino de nuestros ejemplos, el arreglo ortogonal ser´a as´ı
{(1,1,1),(1,2,2),(1,3,3),(2,1,2),(2,2,3),(2,3,1),(3,1,3),(3,2,1),(3,3,2)}
donde, por ejemplo, la tripleta (2,3,1) representa que el valor en la fila 2 columna 3 es 1. La representaci´on de un cuadrado latino puede ser escrita en t´erminos del arreglo ortogonal quedando as´ı:
 Existen n2 tripletas de la forma (f,c,s), donde 1 ≤ f,c,s ≤ n.
 Todos los pares (f,c) son diferentes, todos los pares (f,s) son diferentes, y todos los pares (c,s) son diferentes.
La representaci´on por arreglos ortogonales muestra que las filas, columnas y s´ımbolos juegan un papel muy similar, esto estar´a un poco m´as claro conforme nos adentremos en el tema.
Muchas operaciones sobre un Cuadrado latino produce otro Cuadrado latino (por ejemplo, alternar filas).
Si permutamos las filas, permutamos las columnas, y permutamos los s´ımbolos de un Cuadrado latino obtenemos un nuevo Cuadrado latino que decimos que es isot´opico del primero. El isotopismo es una relaci´on de equivalencia, en base a esto se dice que todos los Cuadrados latinos est´an divididos en subgrupos, llamados clases isot´opicas, segu´n esto dos Cuadrados de la misma clase se dice que son isot´opicos, y dos de clases diferentes son no isot´opicos.
Otro tipo de operaci´on es simple de explicar usando la representaci´on de estos por arreglos ortogonales. Si reorganizamos consciente y sistem´aticamente los tres elementos de cada tripleta (f,c,s) por (c,f,s) lo cual corresponde a una transposici´on del cuadrado (reflejado en la diagonal principal), o podemos remplazar cada tripleta (f,c,s) por (c,s,f), lo que es una operaci´on m´as complicada. Todas juntas nos dan 6 posibilidades, incluida no hacer nada, d´andonos 6 Cuadrados Latinos llamados conjugados del cuadrado original.
Finalmente, podemos combinar estas dos operaciones equivalentes: Dos Cuadrados Latinos son parat´opicos si uno de ellos es conjugado del otro. Esto es nuevamente una relaci´on de equivalencia, con la clase de equivalencia principal llamada Clase Principal, especies o clase parat´opica. Cada clase contiene 6 clases isot´opicas.
El popular rompecabezas Sudoku es un caso especial de Cuadrados Latinos; toda soluci´on de un Sudoku es un Cuadrado Latino. Un Sudoku impone una restricci´on adicional a los subgrupos de 3 × 3, estos solo deben contener los d´ıgitos del 1 al 9 (en la versi´on est´andar).
El rompecabezas conocido como Diamante 16 ilustra un concepto generalizado de la ortogonalidad de los Cuadrados Latinos: El Cuadrado Ortogonal (A. E. Brouwer, 1991).
1.4.	Operaciones Elementales
Se llaman operaciones elementales o transformaciones elementales por filas o columnas sobre una matriz a las siguientes operaciones:
Operaciones elementales con filas
Dada la matriz A ∈ Mm×n, cuyas filas son F1, F2,...,Fm. Las operaciones elementales con filas son:
 FijA : Intercambia dos filas de A.
 Fi(λ) : Multiplica la fila Fi de A por un escalar λ 6= 0.
 Fij(λ) : Multiplica la fila Fi de A por un escalar λ = 06 y luego suma a la fila Fj. Esta operaci´on se representa por el vector fila λFi + Fj.
Operaciones elementales con columnas
Dada la matriz A ∈ Mm×n, cuyas columnas son C1, C2,...,Cm. Las operaciones elementales con columnas son:CijA : Intercambia dos columnas de A.
 Ci(λ) : Multiplica la columna Ci de A por un escalar λ = 0.6
 Cij(λ) : Multiplica la columna Ci de A por un escalar λ = 06	y luego suma a la columna Cj. Esta operaci´on se representa por el vector columna λCi + Cj.

	3	−1	9	2 
Ejemplo 1.4.1. Sea la matriz A = −2	−5	1	−1, realicemos las siguientes opera-
	4	7	−8	0
ciones:
	 3	−1	9	2  F12 −2	−5	1	−1


	−2	−5	1	−1	−−−−−−−−→	3	−1	9	2
	4	7	−8	0	4	7	−8	0
	 3	−1	9	2  C24  3	2	9	−1
	−2	−5	1	−1	−−−−−−−−→	−2	−1	1	−5
	4	7	−8	0	4	0	−8	7
	 3	−1	9	2  F2(5)  3	−1	9	2 
	−2	−5	1	−1	−−−−−−−−−→	−10	−25	5	−5
	4	7	−8	0	4	7	−8	0
	 3	−1	9	2  C3(−2)  3	−1	−18	2 


	−2	−5	1	−1	−−−−−−−−−−→	−2	−5	−2	−1
	4	7	−8	0	4	7	16	0
		 4	7	−8	0 	 4
1.4.1.	Matriz escalonada
Una matriz A ∈ Mm×n, de la forma:
	−73
	−8
	0 
	A = 000...
	0
0
...
0
	0
0
...
0
	0
0
...
0
	1
0
...
0
	···
···
···
···
	a003...n
	 3	−1	9	2  F13(−2)  3	−1	9	2 

	−2	−5	1	−1	−−−−−−−−−−→	−2	−5	1	−1
	4	7	−8	0	−2	9	−26	−4
	 3	−1	9	2  C32(10)  3	89	9	2 
	−2	−5	1	−1	−−−−−−−−−−→	−2	45	1	−1
	1	a12	a13	a1424	a1525	···	a1n
	0	0	1	a	a	···	a2n
con r filas no nulas y s filas nulas. Llamaremos pivote de una fila (o columna) de A al primer elemento no nulo de dicha fila (o columna), si lo hay. La matriz A se dice que es escalonada por filas si verifica las siguientes condiciones:
 Todas las filas nulas est´an en la parte inferior de la matriz.
 El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, est´a a la derecha del pivote de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).
Adem´as se dice que es escalonada reducida por filas si cumplen las siguientes condiciones:
 El pivote de cada fila no nula es 1.
 En cada fila, el pivote es el u´nico elemento no nulo de su columna
De igual forma se puede definir la matriz escalonada y escalonada reducida por columnas.
Ejemplo 1.4.2. Matrices escalonadas:
Ejemplo 1.4.3. Matrices escalonadas reducidas:
	1	0	0	0 1	0	0 0	1	0	0	0
	0	1	0	0	,	0	1	0	,	0	0	1	0	0
	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1
Observaci´on 1.4.1.
 Toda matriz puede llevarse por operaciones elementales de filas a la forma escalonada.
El algoritmo para hacerlo se llama m´etodo de Gauss o del pivote.
 La forma escalonada de una matriz no es u´nica.
1.4.2.	Matrices equivalentes
Dos matrices A y B se denominan equivalentes si una de ellas se deduce de la otra mediante una suseci´on finita de transformaciones elementales de l´ınea (fila o columna).
El siguiente ejemplo nos muestra que toda matriz de orden m×n puede ser reducida mediante operaciones elementales fila (columna) a una matriz en forma escalonada por filas (columnas).
	Reducir a la forma escalonada por filas la matriz:	A = 21	52	32
Ejemplo 1.4.4.	3	4	1
	2	3	2
Soluci´on
	2	5	3	1	2	2	1	2	2	1	2	2
A = 13	42	122 −−−−F12→ 232	345	321 −−−−−−F12(−2)→ 203	134	−211 −−−−−−F13(−3)→ 200	312	−21
	2	3	−	−5
	1	2	2	1	2	2	1	2	2
−−−−−F14(−2)→ 00	121	−152 −−−−−F23(2)→ 000	011	−271 −−−−−F24(1)→ 000	001	−31

	−	−	−	−7
	0	−	−	−	−	−
	1	2	2 	1	2	2
−−−−−−−F3(−1/7)→ 00	001	−11 −−−−−F34(3)→ 00	01	−11 =	B
	0	−3	0	0	0
Observaci´on 1.4.2. Una matriz cuadrada A ∈ Mn×n escalonada es una matriz triangular superior, pero no todas las matrices triangulares superiores son matrices escalonadas.
Anteriormente hemos visto que una matriz triangular era inversible si y s´olo si todos los t´erminos de la diagonal principal no son cero; esta caracter´ıstica es tambi´en v´alida para las matrices escalonadas cuadradas.
Veremos a continuaci´on las ventajas que ofrece la reduccio´n de una matriz cuadrada en otra que tenga forma escalonada.
1.4.3.	Rango de una matriz
El rango de una matriz es el mayor de los ´ordenes de los menores no nulos que podemos encontrar en la matriz. Por tanto, el rango no puede ser mayor al nu´mero de filas o de columnas. Tambi´en se define el rango de una matriz como el nu´mero m´aximo de filas (o columnas) linealmente independientes. esta segunda definici´on nos va a permitir relacionar el concepto de rango con conceptos relativos a espacios vectoriales.
El c´alculo del rango de una matriz es una cuesti´on importante a la hora de estudiar sistemas de ecuaciones lineales. Adem´as en teor´ıa de control, el rango de una matriz se puede usar para determinar si un sistema lineal es controlable u observable.
A continuaci´on vamos a explicar c´omo calcular rangos de matrices reales y veremos de que modo podemos utilizar esta informaci´on para aplicarla a los espacios vectoriales.
Definici´on 1.4.1. El rango de una matriz es igual al nu´mero de filas no nulas que quedan en la u´ltima interacion de las sucesivas transformaciones elementales que se hacen con la matriz.
Se deduce que para hallar el rango de una matriz es suficiente transformarla a su forma escalonada. Como dos matrices equivalentes tienen el mismo rango, el rango de dicha matriz ser´a igual al rango de la matriz escalonada. Si designamos por r el nu´mero de filas no nulas de la matriz escalonada, entonces el rango de la matriz se denota:
Ejemplo 1.4.5. Hallar el rango de la matriz
Soluci´on: Realizando sucesivamente las transformaciones elementales tendremos:
La u´ltima matriz escalonada B tiene 2 filas no nulas, luego:

	75	94	53	132
Ejemplo 1.4.6. Hallar el rango de la matriz A = 	
	75	94	54	134
	25	32	20	48
Soluci´on: Por el m´etodo de las transformaciones elementales se tiene:
La u´ltima matriz escalonada tiene tres filas no nulas, por tanto
ρ(A) = 3
1.5.	Matriz Inversa
Si A ∈ Mn×n, se dice que A es invertible o tiene inversa si existe una matriz B ∈ Mn×n tal que AB = BA = I. La matriz B recibe el nombre de matriz inversa de A y se denota por A = B−1, an´alogamente la matriz A es la inversa de B y se expresa por A = B−1. Entonces se tiene:
	AA−1 = A−1A = I	(1.2)
Propiedades:
Si A y B son matrices cuadradas invertibles de orden n, entonces:
B (A−1)−1 = A
B (λA)−1 = λ−1 · A−1;	λ es escalar.
B (AB)−1 = B−1A−1
B (At)−1 = (A−1)t
Teorema 1.5.1. Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si es una matriz no singular, en tal caso se dice que la matriz es invertible.
Teorema 1.5.2. Si una matriz cuadrada A es invertible entonces su inversa es u´nica.
Demostraci´on. Supongamos que B y C son dos matrices inversas de A. Debemos probar que
B = C.
En efecto. Si B es matriz inversa de A entonces AB = BA = I, adem´as C es matriz inversa de A entonces AC = CA = I. Tambi´en se cumple por la ley asociativa de la multiplicaci´on de matrices que B(AC) = (BA)C. Entonces:
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C
de donde se obtiene que B = C.	
1.5.1.	Matriz de cofactores
Sea la matriz
Si Aij es el cofactor del elemento aij, entonces la matriz cofact(A) definida como:
	A11	A12	A13	A1n
cofact(
se le conoce como matriz de cofactores, donde:
Aij = (−1)i+j |Mij|
y Mij es la matriz cuadrada de orden (n − 1) que resulta de eliminar la fila i y la columna j de la matriz A
 
	 1	2	3 
Ejemplo 1.5.1. Dada la matriz: A = 3	2	5	. Hallar la matriz cofact(A)
	−1	4	−3
Soluci´on
2	Algebra Lineal	Walter Arriaga Delgado
Walter Arriaga Delgado	Algebra Lineal	3
2 5
A11 = (−1)1+1 "4	−3# = −26
3 5"
A12 = (−1)1+2−1	−3# = 4
	3	2"
A13 = (−1)1+3−1	4# = 14
2 3
A21 = (−1)2+1 "4	−3# = 18
	1	3"
A22 = (−1)2+2−1	−3# = 0 1	2"
A23 = (−1)2+3−1	4# = −6
	
	
	
	
	1
A33 = (−1)3+3 "
	2#
= −4
3 2
	 26	4	14
luego la matriz de cofactores es: cofact(
1.5.2.	Adjunta de una matriz
La Adjunta de una matriz cuadrada A es la traspuesta de la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su cofactor Aij.
La Adjunta de A se denota por: Adj(A).
Adj(A) = [cofact(A)]t
	 1	2	3 
Ejemplo 1.5.2. Sea la matriz:	A =	3	2	5
	−1	4	−3
Soluci´on
Por el ejemplo anterior se tiene que la matriz de cofactores est´a dada por:
	 26	4	14
cofac(
	4	4	−4
entonces la adjunta de A estar´ıa dada por:
	−26	18