410007986-Trabajo-Algebra-Lineal

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
TRABAJO DE ALGEBRA LINEAL 
 
1. 𝑠𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 (ℝ2,+, ℝ,. ) 𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑊1 = {(𝑥, 𝑦)𝜖ℝ2/ 𝑦 = 2𝑥} 𝑦 
𝑊2 = {(𝑥, 𝑦)𝜖ℝ2/ 𝑦 = 𝑥 + 1} 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑎𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑠𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 ℝ2 
solució
n
 
✓
 
𝑊
1
≠
0
→
0
∈
 
𝑊
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
0
,
0
)
=
−
2
(
0
)
+
0
=
0
 
✓
 
𝑊
2
≠
0
→
0
∈
 
𝑊
2
 
 
(
0
,
0
)
=
−
1
(
0
)
+
0
=
1
 
→
0
≠
1
 
 
∴
𝑊
2
=
𝑛𝑜
 
𝑒𝑠
 
𝑢𝑛
 
𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜
 
𝑑𝑒
 
𝑊
 
 
2. 𝑆𝑒𝑎 𝑀2𝑥2 , 𝛪𝛫 = ℝ 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ℝ 𝑦 𝑠𝑒𝑎𝑛: 
𝑊1 = {[𝑎𝑖𝑗]𝜖𝑀2𝑥2/(𝑎11 + 𝑎12 = 0}, 𝑊2 = {[𝑎𝑖𝑗]𝜖𝑀2𝑥2/(𝑎11 + 𝑎21 = 0}.𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 
𝑊1 𝑦 𝑊2 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑉 
Solución 
𝐷𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 3 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 ✓
 
𝑆𝑖
 
 
𝑊
1
,
𝑊
2
∈
 
𝑉
𝑆𝑖
 
→
 
𝑊
1
+
𝑊
2
∈
 
𝑉
 
 
Datos 
 
	𝑊1 = [𝑎𝑎1121	𝑎𝑎1222] ; 𝑊2 = [𝑎𝑎1121	𝑎𝑎1222] 
 
𝑎11 + 𝑎12 = 0 , 𝑎11 + 𝑎12 = 0 
	Demostración 
	
	
	𝑎
𝑊1 + 𝑊2 = [𝑎1121
	𝑎12	𝑎11	𝑎12	2𝑎11
𝑎22] + [𝑎21	𝑎22] = [2𝑎21
	2𝑎12
] 
2𝑎22
 
(2𝑎11 + 2𝑎12) + (2𝑎11 + 2𝑎21) = 0 
2(𝑎11 + 𝑎12) + 2(𝑎11 + 𝑎21) = 0 
 
2(0) + 2(0) = 0 
 
 
 
✓
 
𝑆𝑒𝑎
 
𝛼
,
𝛽
∈
𝐾
→
𝛼
𝑊
1
+
𝛽
𝑊
2
∈
 
𝑉
 
 
𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 
 
	𝛼𝑊1 + 𝛽𝑊2 = 𝛼 [𝑎𝑎1121	𝑎𝑎1222] + 𝛽 [𝑎𝑎1121	𝑎𝑎1222] 
	𝛼𝑊1 + 𝛽𝑊2 = [𝛼𝑎𝛼𝑎1121	𝛼𝛼𝑎𝑎1222] + [𝛽𝛽𝑎𝑎1121	𝛽𝛽𝑎𝑎1222] 
 
 𝛼𝑊 𝑉 
 
✓
 
𝑆𝑖
 
 
𝑊
1
≠
0
→
0
∈
𝑊
1
 
 
 
𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 
 
	𝑎
0𝑊1 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 0 [𝑎1121
 
	𝑎12	0
𝑎22] = [0
	0
] = 0 0
 
 
 𝑦 𝑊2 𝑠𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑉 
3. 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐾 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐿. 𝐷 𝑒𝑛 ℝ3. 
	 𝑣1 = (𝑘, − 	, − ) , 𝑣2 = (− , 𝑘, − ) , 𝑣3 = (− 	, − 	, 𝑘 ) 
 
Solución 
 
✓ Para que sea LD, se debe cumplir que: 
 
𝑠𝑒𝑎 𝑣 𝑉, 𝐾 
 
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠,… … . 𝑛 𝑣𝑛 = 0 
 
Demostración 
 
𝑆𝑒𝑎𝑛 𝛼, 𝛽, 𝛾 𝐾/𝛼 𝑣1 + 𝛽 𝑣2 + 𝛾 𝑣3 = 0 
 
	𝛼 (𝑘, − 	, − ) + 𝛽 (− , 𝑘, − ) + 𝛾 (− 	, − 	, 𝑘 ) = 0 
 
	𝛼	𝛼	𝛽	𝛽	𝛾	𝛾
	(𝛼𝑘, − 	, − 	 ) + (− , 𝛽𝑘, − ) + (− 	, − 	, 𝛾𝑘 ) = 0 
	2	2	2	2	2	2
 
	𝛽	𝛾	𝛼	𝛾	𝛾	𝛽
	(𝛼𝑘 − 	− 	 ) , (− + 𝛽𝑘, − ) , (− 	− 	+ 𝛾𝑘 ) = 0 
	2	2	2	2	2	2
 
 [(2𝛼𝑘 − 𝛽 − 𝛾 ), (− 𝛼 + 2 𝛽𝑘, − 𝛾), (− 𝛾 − 𝛽 + 2𝛾𝑘 )] = 0 
 
(2𝛼𝑘 − 𝛽 − 𝛾 ) = 0 
(−𝛽 − 𝛾) = 0 
(− 𝛾 − 𝛽 + 2𝛾𝑘 ) = 0 
 
	2𝑘	−1	−1 0	𝑓	2𝑘 + 1	0	−(1 + 2𝑘) 0	𝑓	𝑓 
	[−1	2𝑘	−1| 0] > [	0	2𝑘 + 1	−(1 + 2𝑘)|0] ,, 
	−1	−1	2𝑘 0	 𝑓2 𝑓3	−1	−1	2𝑘	0		
 
	1	0	−1 0	1	0	−1	0	1	0	−1	0
	[ 0	1	−1| 0] 𝑓1 + 𝑓3 [0	1	−1	| 0] 𝑓2 + 𝑓3 [0	1	−1	| 0] 
	−1	−1	2𝑘 0	0	−1	2𝑘 − 1 0	0	0	2𝑘 − 2 0
 
𝛾(2𝑘 − 2) = 0 → 2𝑘𝛾 − 2𝛾 = 0 → 2𝑘𝛾 = 2𝛾 → 𝑘 = 1 
 
𝛽 − 𝛾 = 0 → 𝛽 = 𝛾 
𝛼 − 𝛾 = 0 → 𝛼 = 𝛾 
 
∴
𝑘
=
𝑅
−
{
1
}
 
 
4. 𝑆𝑒𝑎 𝑆 = { 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 … … , 𝑣𝑛} ,𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑉. 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑆 𝑒𝑠 𝐿. 𝐷 
 
 𝑃𝑜𝑟
 
𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛
 
∑
∝
𝑖
𝑛
𝑖
=
1
 
𝑣
𝑖
=
0
 
,
∝
𝑖
 
≠
0
 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎
 
𝑎
𝑙
𝑔𝑢𝑛
 
∝
𝑖
 
 
 
𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝐾 
 
𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑣1 = 𝑣11, 𝑣12 , … … 𝑣1𝑛 
 𝑣2 = 𝑣21, 𝑣22 , … … 𝑣2𝑛 
 . . 
 . . 
 . . 
 𝑣𝑛 = 𝑣𝑛1, 𝑣𝑛2 , … … 𝑣𝑛𝑛 
 
𝑘𝑖 𝐾, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2,3, … . . 𝑟 
 
𝑟 = 𝑛 
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 
 
 𝑘1𝑣11, 𝑘2𝑣12 , 𝑘3𝑣13 … … 𝑘𝑟 𝑣1𝑛 
𝑘1𝑣21, 𝑘2𝑣22 , 𝑘3𝑣23 … … 𝑘𝑟 𝑣2𝑛 
 . . 
 . . 
 . . 
 𝑘1𝑣𝑛1, 𝑘2𝑣𝑛2 , 𝑘3𝑣𝑛3 … … 𝑘𝑟𝑣𝑛𝑛 
 
𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑦 𝑛 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛, 
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑆 𝑒𝑠 𝐿. 𝐼 
 
5. 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 ℝ3: 𝑃 = {(1, 0,−1), (0, −2,1)} , 𝑄 = {(1,−2, 0), (2, −2,−1)} ,𝑅 = {(1, −1,1), (3, 0, 1)} 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑛 𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 
 
Demostración: 
Si el conjunto P genera un subespacio W, entonces cualquier vector , es la combinación lineal de (1,0,−1); (0; −2; 1) 
(𝑥1; 𝑥2𝑥3) = 𝛼1(1,0, −1) + 𝛼2(0; −2;1) 
 = (𝛼1) ; (−2𝛼2) ; (−𝛼1 + 𝛼2) 
𝛼1 = 𝑥1
{−2𝛼2 = 𝑥2 
𝛼2 − 𝛼1 = 𝑥3
	𝑥	
𝛼1 = 𝑥1 𝛼2 = − 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥1 = 0 2
 
Esta igualdad implica que el conjunto P genera un subespacio W 
𝑊 
 
Si el conjunto Q genera un subespacio U, entonces cualquier vector , es la combinación lineal de (1,−2,0); (2; −2; −1) 
 
(𝑥1; 𝑥2𝑥3) = 𝛽1(1,−2,0) + 𝛽2(2;−2; −1) 
= (𝛽1 + 2𝛽2) ; (−2𝛽1 − 2𝛽2) ; (−𝛽2) 
 
𝛽1 + 2𝛽2 = 𝑥1
{−2𝛽1 − 2𝛽2 = 𝑥2 
−𝛽2 = 𝑥3
 
	𝛽2 = −𝑥3 𝛽2 =	 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥1 = 0 −
𝑥
2
+
2
𝑥
3
 
Esta igualdad implica que el conjunto Q genera un subespacio U 
𝑈 
Si el conjunto R genera un subespacio V, entonces cualquier vector , es la combinación lineal de (1,−1,1); (3; 0; 1) 
 
(𝑥1;𝑥2𝑥3) = 𝛿1(1, −1,1) + 𝛿2(3; 0; 1) 
= (𝛿1 + 3𝛿2) ; (−𝛿1) ; (𝛿1+𝛽2) 
𝛿1 + 3𝛿2 = 𝑥1
{ −𝛿1 = 𝑥2 
𝛿1 + 𝛿2 = 𝑥3
	𝑥		
𝛿1 = −𝑥2 𝛿2 = 𝑥3 +𝑥2 −𝑥1 = 0 1
+
𝑥
2
 
Esta igualdad implica que el conjunto R genera un subespacio V 
𝑅 
𝑥
 
Por lo tanto, los conjuntos P, Q Y R no generan el mismo subespacio. 
 
 
 
 
 
6. 𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑠: 𝑈 𝑦 𝑊 𝑑𝑒 ℝ3.𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 ℝ3 = 𝑈⨁𝑊 
 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜖 ℝ3/ 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0} 𝑦 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜖 ℝ3/ 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 0} 
 
Solución: 
Para probar en ℝ3 es la suma directa de U y W, debo demostrar que 𝑈 0 = (0,0,0) Vector nulo. 
Veamos: 
𝑣 
𝑣 𝑈 𝑣𝑊 
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 ; 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 0 
 
𝑥 − 𝑧 = −𝑦
{2𝑥 + 4𝑧 = 3𝑦 
	 x	−z	= −y	f1(3) 3x −3z = −3y
	2x +4z = 3y	2x +4z =
3x −3z = −3y 2x +4z = 3y  

	3y  
		= ⎯⎯⎯→	
Sumamos este sistema de ecuaciones: 
5𝑥 + 𝑧 = 0 → 𝑥 = − 𝑧 , 𝑦 = 𝑧 → 𝑧 = 0 
 
Por lo tanto, el vector: 𝑣 G 
𝑣 
 
	En consecuencia ℝ3 no es la suma directa de 𝑈 𝑦 𝑊 es decir 	𝑈⨁𝑊 
7. 𝑆𝑒𝑎 𝑉 = { 𝑎0 + 𝑎1𝑡 + 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑎3𝑒3𝑡/ 𝑎1𝜖 ℝ,𝑡𝜖 ℝ} probar que las funciones 
 𝑓1(𝑡) = 𝑡 − 1 , 𝑓2(𝑡) = 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑡) , 𝑓3(𝑡) = 2 + 𝑒2𝑡, 𝑓4(𝑡) = −𝑡 + 𝑒2𝑡 
Constituyen una base V 
 
Demostración: 
Debo probar dos cosas: 1. Que 𝑓1,𝑓2,𝑓3,𝑓4 , son linealmente independientes. 
	 	 	 	2. Que 𝑓1, 𝑓2,𝑓3,𝑓4, generan a V. 
 
Veamos: 
· Supongamos que: 
 𝛼1(𝑡 − 1) + 𝛼2(𝑡 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑡)) + 𝛼3(2 + 𝑒2𝑡) + 𝛼4(−𝑡 + 𝑒2𝑡) = 0 
 
	 	(− 𝛼1 + 2𝛼3) + ( 𝛼1 + 𝛼2 − 𝛼4)𝑡 + 𝛼2 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 + (𝛼3 + 𝛼4)𝑒	= 0 
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	𝛼2 = 0 
Sustituir, obteniéndose: 
 
	−a1 2a1




	+a2
+a2
	+2a3
a3
	=
−a4 =
=
+a4 =
	0
0 0
0
 
	
	
	
	
		−a1	+2a3
2a1 +a2


		+a2
		a3
	−a4
+a4
	= 0
0
	
	−a1
 0
	0 a2
+a2
0
	+2a3
4a3
0 a3
	0
−a4 0
+a4
	= =
= =
	0
0 0
0
 
	
	
	=	f12(2)  =⎯⎯⎯→
= 0	 0
= 0	 0
	
	
	
	
	
2𝑡
 
𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼3 = 𝛼4 = 0 Por lo tanto 𝑓1, 𝑓2,𝑓3,𝑓4 son linealmente independientes. 
· 𝑉se tiene que 𝑔(𝑡) es la combinación lineal de 𝑓1,𝑓2,𝑓3,𝑓4 Es decir: 
	k0 + +kt1	k2cos2t+k e3 3t = + + +af1bf2	cf3	df4 
 
= 𝑎(𝑡 − 1) + 𝑏(𝑡 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑡)) + 𝑐(2 + 𝑒2𝑡) + 𝑑(−𝑡 + 𝑒2𝑡) 
 
(− 𝑎 + 2𝑐) + ( 𝑎 + 𝑏 − 𝑑)𝑡 + 𝑏 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 + (𝑐 + 𝑑)𝑒2𝑡 
 
	−a +2c	= k0
	 a	+b	−d = k1
 b
		= k2
		c +d = k3 
 
𝑏 = 𝑘2 
 
Sustituir, obteniéndose: 
 
 
	−a
2	0 f1 (1) 
⎯⎯⎯→
0

0
	+2c 0 0
b+2 0c −d b 0 0
0	c +d
−a +2c	0	0	= f23( 1)−	 0	b −2c − −d 2c =
⎯⎯⎯→
 0 0 2c 2c d+ =  0 0 c +d =
 
	−a
 0

= 0
	+2c b
0
	= =
=
=
	k0	−a
k1	f2( 2− c) 0
⎯⎯⎯→
k2	0 k3	0
 
 
	k0	−0a
k1 −2c	f34( 1− /2) 
⎯⎯⎯⎯→ 0 2c k k+ −2	1	 k3	 0

 
0	0	=
−2c − −d 2c =
2c	2c d+	=
	+2c b b
0
	0	0
−2c − −d 2c
0	0 c	+d
	+2c 0 b −2c 0	2c
0	0
		0	=
− −d 2c = 2c d+	= d− + ) =
(2c d
2
k0
k1 −2c
2c k k+ −2	1
=	k0
= k1 −2c
=	k2
=	k3 
k0 k1 −2c
2c k k+ −2 1 k3 −(2c k k+ −2 1)
	2	 
	
 0

	0
	0
	(d 2c− ) 2
 
= (2k3 − − +2c k k2	1)
	2	 
𝑐 = 𝑘2 − 𝑘3 − 𝑘1 𝑑 = 2𝑘3 − 𝑘2 + 𝑘1 𝑎 = 2𝑘2 − 2𝑘3 − 2𝑘1 − 𝑘0 
 
𝑏 = 𝑘2 
 
Por lo tanto 𝑘0 = 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘3 = 0 constituyen una base V 
 
8. 𝑆𝑒𝑎 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝜖ℝ4/ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0},𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠: 
{(2,0,0,−2), (8, −2,−4,−2)} 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑊 
Demostración: 
Debo probar dos cosas: 
1. Que 𝑣, 𝑤, son linealmente independientes. 
2. Que 𝑣, 𝑤 generan a w. 
· Supongamos: 
𝛼1(𝑣) + 𝛼2(𝑤) = (0,0,0,0) 
𝛼1(2,0,0,−2) + 𝛼2(8,−2,−4, −2) = (0,0,0,0) 
(2𝛼1 + 8𝛼2) + (−2𝛼2) + (−4𝛼2) + (−2𝛼1 − 2𝛼2) = (0,0,0,0) 
 
2𝛼1 + 8𝛼2 = 0
{ −2𝛼2 = 0 
−4𝛼2 = 0
−2𝛼1 − 2𝛼2 = 0
 
𝛼1 = 𝛼2 = 0 
 
𝛼1 = 𝛼2 = 0 Por lo tanto 𝑣, 𝑤 son linealmente independientes. 
· Sean (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) un vector cualquiera de que , debo probar que (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)son las combinaciones lineales de 𝑣, 𝑤 
(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑚𝑣 + 𝑛𝑤 
(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑚(2,0,0,−2) + 𝑛(8, −2,−4, −2) 
Donde los escales 𝑛 𝑦 𝑚 son únicos además expresar en términos de (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 
(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (2𝑚 + 8𝑛) + (−2𝑛) + (−4𝑛) + (−2𝑚 − 2𝑛) 
 
2𝑚 + 8𝑛 = 𝑥
−2𝑛 = 𝑦
	{	 
−4𝑛 = 0
−2𝑚 − 2𝑛 = 0
 
 
𝑦𝑦 𝑡
𝑛 = − 𝑚 = 
2
 	 
Por lo tanto (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 0 forman una base en W 
 
 
9. 	𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑠𝑖 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 (1,1,1),(1,2,3),(2, −1,1),𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 ℝ3 
Demostración: 
Debo probar dos cosas: 
1. Que 𝑣, 𝑤, 𝑢, son linealmente independientes. 
2. Que 𝑣, 𝑤, 𝑢 generan a V. 
❖ Supongamos: 
𝛽1(𝑣) + 𝛽2(𝑤) + 𝛽3(𝑢) = (0,0,0) 
𝛽1(1,1,1) + 𝛽2(1,2,3)+𝛽3(2,−1,1) = (0,0,0) 
(𝛽1 + 𝛽2 + 2𝛽3) + (𝛽1 + 2𝛽2 − 𝛽3) + (𝛽1 + 3𝛽2 + 𝛽3) = (0,0,0) 
	 1 +	2 + 23 = 0

  1 + 2 2 + − 3 = 0
	  1 + 3 2 +	3 = 0 
	1+ 1+ 2 = 0 f12( 1)−	1+ 1+ 2 = 0	1+ 1+ 2 = 0
		f12( 1)−		f13( 2)−	
	1+ 2+ − =1	0⎯⎯⎯→ +0	1+ − =3	0=⎯⎯⎯→0+ 1+ − =3	0
	1+ 3+ 1 = 0	0+ 2+ − =1	0	0+ 0+ 5 = 0 
𝛽1 = 𝛽2 = 𝛽3 = 0 
Por lo tanto 𝛽1 = 𝛽2 = 𝛽3 = 0 entonces 𝑣. 𝑤. 𝑢 son linealmente independientes. 
❖ Sean (𝑥, 𝑦, 𝑧), un vector cualquiera de ℝ3 debo probar que (𝑥, 𝑦, 𝑧), sea una combinación lineal de 𝑣. 𝑤. 𝑢 
 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎(1,1,1) + 𝑏(1,2,3) + 𝑐(2, −1,1) 
Sean los escalares 𝑎, 𝑏, 𝑐 son únicos y deben estar expresados en términos de (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎(1,1,1) + 𝑏(1,2,3) + 𝑐(2, −1,1) 
(𝑎 + 𝑏 + 2𝑐) + (𝑎 + 2𝑏 − 𝑐) + (𝑎 + 3𝑏 + 𝑐) 
Encontrar los valores de 𝑎, 𝑏 y c mediante transformaciones elementales. 
 
	a+ b+ 2c = x	f12( 1)−	a+ b+ 2c =	x
		f12( 2)−	
a+ 2b+ − =c y⎯⎯⎯→ +0 b+ −3c = y x− a+ 3b+ c = z 0+ 0+ 5c = x− +2y z 
 
		𝑥
𝑐 = ; 𝑏 = ; 𝑎 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 
 	 	 
	En conclusión 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 por lo tanto, los vectores 𝑣, 𝑤, 𝑢 pertenecen a 
10. 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 
𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/ 3𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 0},𝑇 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
 
 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 , 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/ 3𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 0} 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑆: 
 
1. 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑧 𝑑𝑒 𝑥 
 
2. 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑧 = 4𝑦 − 3𝑥 𝑒𝑛 (𝑥, 𝑦, 𝑧) , 𝑎𝑠𝑖 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 4𝑦 − 3𝑥) 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥(1,0, −3) + 𝑦(0,1,4) 
 
3. 𝑈𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑆 𝑒𝑠 {(1,0,−3),(0,1,4)} 
 
4. 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠, 𝑎𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: dim (𝑆) = 2 
 
 
 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 , 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑇 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑇: 
𝑆𝑒𝑎 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑣 
𝑆𝑖 𝑣 ⇒ 𝑣 𝑣 
 
 𝑥 
𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑎𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑦 𝑦 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑧 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 
{ −2𝑥 − 𝑦 = −𝑧 
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 
𝑥 = 0 
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 
 𝑧 
 𝑧 
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑣, 𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
𝑣 = (0, 𝑧, 𝑧) 
𝑣 = 𝑧(0,1,1) 
𝑂 𝑠𝑒𝑎 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 
 
 
11. 𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝜖ℝ4/ 2𝑥 = 𝑦, 2𝑧 = 𝑡} 
𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝜖ℝ4/ 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 𝑡} 
𝑎) 𝑈𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 
Primero: para que sea una base se debe lo cumplir lo siguiente: 
✓ Debe de ser linealmente independiente. 
𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝜖ℝ4/ 2𝑥 = 𝑦, 2𝑧 = 𝑡} Descomponemos en dos sus espacios: 
𝑊1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝜖ℝ4/ 2𝑥 = 𝑦} 
Si son linealmente independiente la combinación lineal de un escalar por el vector debe de ser igual a cero (0). donde 𝑎 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 
𝑊 
 
 
 Donde que: 
 
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜(0)𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒. 
 
Hallando la base de 𝑊1. 
Primero: despejar una de las variables. 
𝑊1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝜖ℝ4/ 2𝑥 = 𝑦} 
 
2𝑥 = 𝑦 
Remplazar el 2x en el vector. 
(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) =2x, 2x,0,0 
𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑟. 
2x, 2x,0,0= x (2, 2, 0, 0) 
Entonces. (2, 2, 0, 0) es una base de 𝑊1. 
 
𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝜖ℝ4/ 2𝑧 = 𝑡} 
Descomponemos en dos sus espacios: 
𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝜖ℝ4/ 2𝑧 = 𝑡} 
Si son linealmente independiente la combinación lineal de un escalar por el vector debe de ser igual a cero (0). donde 𝑎 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑊2 = (0,0,2,2) 
 
 
 Donde que: 
 
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜(0)𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒. 
Hallando la base de 𝑊2. 
Primero: despejar una de las variables. 
𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝜖ℝ4/ 2𝑧 = 𝑡} 
 
2𝑧 = 𝑡 
Remplazar el 2x en el vector. 
(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) =0, 0, t, t 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑟. 
0, 0, t, t= t (0, 0, 1, 1) 
Entonces. (0, 0, 1, 1) es una base de 𝑊2. 
 
𝑏) 𝑈𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑇 
𝑇 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝜖ℝ4/ 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 𝑡} 
Donde que 
, 𝑇 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝜖ℝ4/ 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 𝑡 = 0} 
Para que sea una base debe de ser linealmente independiente. 
Si son linealmente independiente la combinación lineal de un escalar por el vector debe de ser igual a cero (0). donde 𝑎 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 
 
 
Como 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑒𝑟𝑜(0)𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒. 
 
una base te T es: despejar una de las variables x: x=y+ z+ t 
remplazar x en el vector (x, y, z, t) 
(x, y, z, t) = (y+ z+ t, y, z, t) 
Descomponer 
=y (1, 1, 0, 0) + z (1, 0, 1, 0) + t (1, 0, 0, 1) 
= (1, 1, 0, 0) + (1, 0, 1, 0) + (1, 0, 0, 1) formas una base. 
Luego el conjunto de (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1) es una base de T 
 
𝑐) 𝑈𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 
𝑈𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 
𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 
𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 
 
𝑑) 𝐷𝑖𝑚, 𝐷𝑖𝑚,𝐷𝑖𝑚 𝑒) 𝐷𝑖𝑚, 𝑑𝑖𝑚
𝑓) 𝐷𝑖𝑚 , 𝐷𝑖𝑚 
 
 
 
 
12. 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: , 
𝐿 
𝑇𝑜𝑑𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎: 
𝑥 
 
𝑦 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 
𝑆𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 
 
𝑆𝑒𝑎 𝑎𝑜𝑟𝑎 , 𝑣 𝑦 𝑣3 = (0,0, 𝛾) 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3 = 0 
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑐𝑒𝑠 
 
𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3 = 0 → (𝛼, 𝛽, 𝛾) = (0,0,0) 
⇒ 𝑣1 = 𝑣2 = 𝑣3 = 0 ⇒ 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 0 
 
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 
 
13. 𝑠𝑖 𝑢 
𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑤, 𝑑𝑖𝑚𝑦 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢 𝑤 
solución 
· Halla una base para 𝑢	𝑤 ⋂
Donde: 𝑤 = (0,1,0,−1) 
Solución 
 𝑢 
Donde: 𝑥 
Si 𝑤 → 
(𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4) = (2𝑥3,𝑥4,𝑥3,𝑥4) 
(𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4) = 𝑥3,(2,0,1,0) + 𝑥4(0,1,0,1) 
𝑢 
 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 
· Hallar la dim(u+w) 
 
𝑑𝑖𝑚(𝑢 + 𝑤) = 𝑑𝑖𝑚 𝑑𝑖𝑚 𝑑𝑖𝑚 
 
𝑑𝑖𝑚(𝑢) = 𝑥1−2𝑥3 = 0 → 𝑥1 = 2𝑥3 , 
 
𝑑𝑖𝑚(𝑤) = 𝑥2 − 𝑥4 = 0 → 𝑥2 = 𝑥4 
 
 𝑑𝑖𝑚(𝑢) = 3 
 
𝑑𝑖𝑚(𝑤) = 𝑥2 = 𝑥4 
 
 𝑑𝑖𝑚(𝑤) = 3 
 
𝑑𝑖 𝑚
 
 𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 − 𝑥4 = 0 
 
𝑥4 = 𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 
 
(𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4) = (𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3) 
 
(𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4) = 𝑥1(1,0,0,1) + 𝑥2(0,1,0,1) + 𝑥3(0,0,1,−2) 
 
𝑑𝑖 𝑚 
 
𝑑𝑖𝑚(𝑢 + 𝑤) = 3 + 3 − 3 = 3 
✓ 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢 + 𝑤 
Demostración: 
𝑢 
𝑑𝑖𝑚 
dim Entonces ( 𝑢 + 𝑤) = ℝ4 Por lo tanto, una base puede ser: 
(1,0,0,0); (0,1,0,0); (0,0,1,0); (0,0,0,1) 
 
14. 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛, 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎: 
2𝑥1 − 4𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 0 
𝑥1 − 5𝑥2 + 2𝑥3 = 0 
−𝑥2 − 2𝑥3 − 𝑥4 = 0 
𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0 
Solución 
𝑆𝑒𝑎 𝑣 = 𝑣1,𝑣2,𝑣3, 𝑣4 
𝑣1 = 2𝑥1 − 4𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 0 
𝑣2 = 𝑥1 − 5𝑥2 + 2𝑥3 = 0 
𝑣3 = −𝑥2 − 2𝑥3 − 𝑥4 = 0 
𝑣4 = 𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0 
 
	2	−4	1	1	1	−2	2	0	1	−2	2	0
	(10	−−52	−22	0−1) 𝑓𝑓12−−𝑓𝑓44 (00	−−23	−3 1 −11) 𝑓4 − 𝑓1 (00	−−32	−31 −11) 
	1	−2	−1	1	1	−2	−1	1	0	0	−3	1
 
	1	0	3	−1	𝑓	1	0	3	−1	1	0	0	2−
2
3
 
 
𝑓
4
+
3
𝑓
3
𝑓
−
3
𝑓
𝑓 (0	−3	0	0 ) 	 (0	1	0	0 ) 	−𝑓3	 (0	1	0	0 ) 𝑓2 𝑓4	0	−2	−1	1	 𝑓3 + 2𝑓2	0	0	−1	1	0	0	1	−1
	0	0	−3	1	0	0	−3	1	1	3	0	0	0	−2
 
	𝑓	1	0	0	01
+
𝑓
4
−
𝑓
4
/
2
	 (00	10	01	00) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0, 𝑥3 = 0, 𝑥4 = 0 
𝑓3 + 𝑓4
	0	0	0	1
 
(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) 𝑑𝑖𝑚(𝑣) = 4 
 
 
 
16.𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 ℝ3𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎: 
𝑥 = 2𝑡 
𝑦 = −𝑡 𝑡 𝜖⟨⟩ 
𝑧 = +4𝑡 
 
𝑆
=
{
(
2
𝑡
,
−
𝑡
,
4
𝑡
)
𝜖
ℝ
3
}
 
 
𝑆𝑖 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
 
𝑁𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 
𝑆 
𝐸𝑠 𝑢𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 
 
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 
{(2,−1,4)} 𝑒𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑆