425314264-Algebra-Lineal

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FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 
TRABAJO COLABORATIVO 
ÁLGEBRA LINEAL 
 
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
INTRODUCCIÓN 
 
El cifrado de Hill fue inventado, basándose en el álgebra lineal, por el matemático norteamericano Lester S. Hill en 1929, y aparece explicado en su artículo Cryptography in an Algebraic Alphabet, publicado en The American Mathematical Monthly. 
Es un sistema criptográfico de sustitución polialfabético, es decir, un mismo signo, en este caso una misma letra, puede ser representado en un mismo mensaje con más de un carácter. 
Expliquemos en qué consiste el cifrado de Hill. En primer lugar, se asocia cada letra del alfabeto con un número. La forma más sencilla de hacerlo es con la asociación natural ordenada, aunque podrían realizarse otras asociaciones diferentes. 
 
 
 
Objetivos de aprendizaje 
· Identificar los conceptos y procesos del álgebra lineal involucrados en un sistema de cifrado y descifrado de mensajes. 
· Utilizar apropiadamente procedimientos para cifrar y descifrar mensajes.  Transferir adecuadamente las ideas o conceptos del álgebra lineal a un contexto particular, para resolver situaciones problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad 1 
1.1 Consultar el sistema de Hill para encriptar y desencriptar mensajes. Escribir la bibliografía revisada. 
1.2 A partir de la consulta anterior, con sus propias palabras, describa el paso a paso para cifrar la palabra DEDICACIÓN empleando la matriz clave y la asignación numérica que aparece en el siguiente recuadro (en él, el símbolo “_” representa el espacio entre las palabras). 
Matriz clave: 1 -3 
 0 1 
	A
	 B
	 C 
	D
	 E 
	F 
	G
	 H
	 I 
	J 
	K 
	L 
	M
	 N 
	Ñ 
	O 
	P 
	Q 
	R 
	S 
	T 
	U 
	V 
	W
	X 
	Y 
	Z 
	_ 
	. 
	0 
	1 
	2 
	3 
	4 
	5 
	6 
	7 
	8 
	9 
	1
0 
	1
1 
	1
2 
	1
3 
	1
4 
	1
5 
	1
6 
	1
7 
	1
8 
	1
9 
	2
0 
	2
1 
	2
2 
	2
3 
	2
4 
	2
5 
	2
6 
	2
7 
	2
8 
 
1.3 Describir el proceso (paso a paso) para desencriptar el mensaje obtenido en el punto anterior. 
 
Desarrollo actividad 1 1.1 
Este sistema está basado en el álgebra lineal y ha sido importante en la historia de la criptografía. Fue Inventado por Lester S. Hill en 1929, y fue el primer sistema criptográfico polialfabético que era práctico para trabajar con más de tres símbolos simultáneamente. 
Este sistema es polialfabético pues puede darse que un mismo carácter en un mensaje a enviar se encripte en dos caracteres distintos en el mensaje encriptado. 
 
 
 
 
1.2 
A continuación describo el paso a paso para llevar a cabo el cifrado de la palabra 
DEDICACION, a partir de una asignación numérica que va desde A=0 hasta.=28 y cuya matriz codificadora es: 1 -3 
 0 1 
En primer lugar tenemos una clave de tamaño 2 x 2 motivos por el cual debemos separar nuestro mensaje en bloques de 2 letras en dos. 
DE DI CA CI O N 
34 38 20 2 8 15 13 
 
Luego de separar el mensaje en bloques pasamos a construir la matriz del mensaje ubicando columnas de 2 letras así: 
 
 
Para llevar a cabo el cifrado del mensaje debemos multiplicar la matriz clave o codificadora por la matriz del mensaje, obteniendo como resultado el cifrado así: 
 
 
Mensaje cifrado: -9 4 -21 8 2 0 -22 8 -24 13 
 
Mensaje en módulo 29: 20 4 8 8 2 0 7 8 5 13 
 T E I I C A H I F N 
 
 
 
 
1.3 
Nuestro mensaje cifrado es: T E I I C A H I F N 
 Ahora para descifrar nuestro mensaje lo que debemos hacer es lo siguiente: 
Calculamos la matriz inversa de nuestra matriz clave es decir la matriz que utilizamos para cifrar el mensaje: 
 
 
Es decir: 
 
 
 
Después de haber obtenido la matriz inversa realizamos la multiplicación de la siguiente manera: 
 
 
 
Al convertir en módulo 29 nos obtenemos de nuevo el mensaje cifrado. 
 DE DI CA CI ON 
 34 38 20 28 1513 
 
 
 
 
Actividad 2 
2.1 Suponga que se intercepta el mensaje 
SHFOBSEL_DUVQPQGCQFUPDPXNÑETGIRTIBLWGTMXBXMI. Y que de él se sabe 
Lo siguiente. 
a. Las tres primeras letras del mensaje oculto son "QUI" y las tres últimas son "DER" 
b. la matriz clave es de la forma 
c. El determinante de la matriz clave es 1. 
2.2 A partir de esta información, responda y realice lo que se muestra a continuación, según corresponda. 
2.2.1 ¿Es posible descifrar el mensaje con la información dada? 
Justifique su respuesta con las explicaciones y procesos necesarios. 
 
Sabiendo que las primeras 3 letras del mensaje son QUI y que el mensaje encriptado empieza con letras SHF que están en módulo 29 podemos plantear la siguiente igualdad. 
 
De donde podemos obtener la siguiente ecuación al hacer el producto de la primera fila por el bloque columna. 
17𝑎 + 21𝑏 + 8𝑐 = 19 𝑒𝑛 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 29 
El mismo proceso lo podemos realizar con las tres últimas letras del mensaje original DER y las tres últimas del mensaje encriptado MI. 
	𝑎
(6
2
Obtenemos la ecuación. 
	𝑏
3
1
	 
3𝑎 + 4𝑏 + 18𝑐 = 12 𝑒𝑛 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 29 
Para obtener una última ecuación podemos utilizar la información del determinante. 
	𝑎	𝑏	𝑐
	|6	3	2| = 𝑎(3 − 2) − 𝑏(6 − 4) + 𝑐(6 − 6) = 1 
	2	1	1
𝑎 − 2𝑏 = 1 𝑒𝑛 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 29 Así tenemos el siguiente sistema de ecuaciones en módulo 29. 
17𝑎 + 21𝑏 + 8𝑐 = 19
3𝑎 + 4𝑏 + 18𝑐 = 12 
𝑎 − 2𝑏 = 1
Dicho sistema lo podemos resolver utilizando el recurso dado en el material de apoyo para sistemas de ecuaciones en módulo 29. 
 
Después de utilizar el recurso obtenemos. 
 
Con lo anterior podemos concluir que la información si es suficiente para hallar las constantes a,b y c. 
 
2.2.2 Si la respuesta al ítem anterior fue afirmativa, descifre el mensaje oculto. Para esto hallaremos primero la inversa de la matriz clave. 
Con esto tenemos la matriz inversa de la matriz clave. 
. 
Ahora hagamos los bloques del mensaje encriptado. 
	19	15	4	3	17	6	5
𝐵1 = ( 7 ) ; 𝐵2 = ( 1 ) ; 𝐵3 = (11) ; 𝐵4 = (21) ; 𝐵5 = (16) ; 𝐵6 = ( 2 ) ; 𝐵7 = (21) ; 𝐵8
5 19	27	22	17	17	16
	3	13	20	18	1
= (16) ; 𝐵9 = (14) ; 𝐵10 = ( 6 ) ; 𝐵11 = (20) ; 𝐵12 = (11) ; 𝐵13
	24	4	8	8	23
6 24	12
= (20) ; 𝐵14 = ( 1 ) ; 𝐵15 = ( 8 ) 
	12	24	28
Ahora hallemos el mensaje original. En módulo 29 
	1	−1	1	19	17
	(−2	3	−4) ( 7 ) = (21) 
0 −1	3	5	8
1 −1	1	15	4
	(−2	3	−4) ( 1 ) = (13) 
0 −1	3	19	27
1 −1	1	4	20
	(−2	3	−4) (11) = ( 4 ) 
0 −1	3	27	12
1 −1	1	3	4
	(−2	3	−4) (21) = (27) 
0 −1	3	22	16
1 −1	1	17	18
	(−2	3	−4) (16) = ( 4 ) 
0 −1	3	17	6
1 −1	1	6	21
	(−2	3	−4) ( 2 ) = (13) 
0 −1	3	17	20
1 −1	1	5	0
	(−2	3	−4) (21) = (18) 
0 −1	3	16	27
1 −1	1	3	11
	(−2	3	−4) (16) = ( 4 ) 
0 −1	3	24	27
1 −1	1	13	3
	(−2	3	−4) (14) = ( 0 ) 
0 −1	3	4	27
1 −1	1	20	22
	(−2	3	−4) ( 6 ) = ( 4 ) 
0 −1	3	8	18
1 −1	1	18	6
	(−2	3	−4) (20) = (21) 
	0	−1	3	8	4
 
	0	−1	3	23	0
 
 
 
 
El mensaje original es el siguiente. 
 
	17 
	21 
	8 
	4 
	13 
	27 
	20 
	4 
	12 
	4 
	27 
	16 
	18 
	4 
	6 
	Q 
	U 
	I 
	E 
	N 
	_ 
	T 
	E 
	M 
	E 
	_ 
	P 
	R 
	E 
	G 
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	21 
	13 
	20 
	0 
	18 
	27 
	11 
	4 
	27 
	3 
	0 
	27 
	22 
	4 
	18 
	U 
	N 
	T 
	A 
	R 
	_ 
	L 
	E 
	_ 
	D 
	A 
	_ 
	V 
	E 
	R 
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	6 
	21 
	4 
	13 
	26 
	0 
	27 
	0 
	16 
	18 
	4 
	13 
	3 
	4 
	18 
	G 
	U 
	E 
	N 
	Z 
	A 
	_ 
	A 
	P 
	R 
	E 
	N 
	D 
	E 
	R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 
· Gutiérrez, G. E., & Ochoa, G. S. I. (2014). Criptografía. En Álgebra lineal y sus aplicaciones (pp. 68-71). México, D.F.: Grupo Editorial Patria. Enlace de acceso a la biblioteca virtual del Poli https://goo.gl/RBM2k9 
(El material de consulta contiene información acerca de Álgebra Lineal y sus aplicaciones y contribuyo en el trabajo de como codificar mensajes) 
 
· Ángel,J. (2010). Criptografía. México: MathCon. Recuperado de http://www.math.com.mx/docs/cur/cur_1_002_Criptografia.pdf 
(El material de consulta contiene información acerca de cifrar y descifrar mensajes empleando matrices)