425331863-Trabajo-Colaborativo-Algebra-Lineal

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FACULTAD DE INGENIERÍA Y 
CIENCIAS BÁSICAS 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA Y 
CIENCIAS BÁSICAS 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA Y 
CIENCIAS BÁSICAS 
 
 Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
TABLA DE CONTENIDO 
 pág. 
 
1. INTRODUCCION. ……………………………………………………………………. …3 
2. OBJETIVOS………………………………………………………………………………3 
2.1. OBJETIVO GENERAL ……………………………………………………………..3 
2.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS……………………………………………………….3 
3. IDEAS PRINCIPALES ………………………………………………………...….…......3 
4. ACTIVIDAD 1 …………………………………………………………………………….4 
4.1. Consultar el sistema de Hill para encriptar y desencriptar mensajes……………………………………………………………………….....….4 4.2. Descifre la palabra DEDICACION……………………………………………..…4 
5. ACTIVIDAD 2……………………………………………………………………………..6 
5.1. Descifrar tal mensaje y detallar organizadamente todos los procedimientos que se realizaron para descifrar el mensaje…………………………………..6 
6. CONCLUSION……….............................................................................................14 
7. BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………….15 
 	 
1. INTRODUCCION 
 
Aunque existen diferentes métodos para cifrar y descifrar mensajes, nos centraremos en un sistema de cifrado basado en el álgebra lineal, el sistema de cifrado Hill, que utiliza una matriz como sistema de cifrado para codificar un mensaje, y es extremadamente difícil de romper cuando se utiliza una matriz de gran tamaño. El receptor decodifica el mensaje utilizando la inversa de la matriz. La primera matriz se llama la matriz codificación y su inversa se llama matriz de decodificación 
Cifrado: el procedimiento que generara un mensaje ininteligible para el receptor también se usa para recrear el mensaje original, según el mecanismo de cifrado que se utilice. 
Texto plano: el mensaje o información que se va a codificar. 
Texto cifrado: el mensaje o información que se obtiene después que se ha utilizado el cifrado. 
2. OBJETIVOS 
 
2.1 OBJETIVO PRINCIPAL 
 
Investigar e identificar una de las aplicaciones del algebra lineal la cual consiste en la criptología mediante matrices, sus conceptos, procedimientos y métodos que dan solución a un sistema cifrado y descifrado de palabras 
 
2.2 OBJETIVOS SECUNDARIOS 
 
· Investigar sobre el método de cifrado de Hill y plantear posibles soluciones a las actividades indicadas en el trabajo colaborativo. 
· Identificar las ideas y procedimientos de algebra lineal para poderlas trasladar y desarrollar a situaciones problema. 
 
3. IDEAS PRINCIPALES 
 
De acuerdo a la investigación, el desarrollo y los aportes que dio los integrantes del grupo utilizando diferentes métodos y recursos de aprendizaje como lo fueron videos, tutoriales, lecturas etc. se evidencia el conocimiento que cada uno de los integrantes iba adquiriendo de acuerdo a su investigación y a sus consultas, esto nos llevó a la 
	FACULTAD DE INGENIERÍA Y 
CIENCIAS BÁSICAS 
 
	 
	TRABAJO COLABORATIVO 
	Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano 
 
participación e información que poco a poco se iba desarrollando gracias a que cada uno realizaba sus aportes de una manera diferente, creando un dialogo lleno de ideas y distintos puntos de vista, retroalimentando la información si era necesario y corrigiendo la participación del otro compañero. 
En cuanto a la participación del foro, se logra evidenciar la consulta sobre el sistema de Hill, sus aplicaciones, y el método para poder desarrollar el cifrado y el descifrado de una palabra planteada en la actividad del trabajo colaborativo, esto logra dar a entender mediante videos, lecturas y desarrollos individuales que cada uno de los integrantes del grupo compartía, aportando así posibles soluciones a las actividades. Se investiga también acerca del método de eliminación de Gauss Jordán este método lo utilizamos para poder hallar la inversa de una matriz clave, compartiendo videos y lecturas que nos decían el paso a paso para poder hallar la matriz inversa mediante este método. 
4. ACTIVIDAD 1 
 
4.1 Consultar el sistema de Hill para encriptar y desencriptar mensajes. 
 
SISTEMA DE HILL 
Este sistema está basado en el álgebra lineal y ha sido importante en la historia de la criptografía. Fue inventado por Lester S. Hill en 1929, y fue el primer sistema criptográfico polialfabético que era práctico para trabajar con más de tres símbolos simultáneamente. Este sistema es polialfabético pues puede darse que un mismo carácter en un mensaje a enviar se encripte en dos caracteres distintos del mensaje encriptado. 
En primer lugar, se asocia cada letra del alfabeto con un número. La forma más sencilla de hacerlo es con la asociación natural ordenada, aunque podrían realizarse otras asociaciones diferentes. 
4.2 Luego, describa el proceso (paso a paso) para cifrar la palabra DEDICACION empleando la matriz clave y la asignación numérica que aparece en el siguiente recuadro (en él, el símbolo “_” representa el espacio entre las palabras). 
 
	A 
	B 
	C 
	D 
	E 
	F 
	G 
	H 
	I 
	J 
	K 
	L 
	M 
	N 
	Ñ 
	0 
	1 
	2 
	3 
	4 
	5 
	6 
	7 
	8 
	9 
	10 
	11 
	12 
	13 
	14 
	O 
	P 
	Q 
	R 
	S 
	T 
	U 
	V 
	W 
	X 
	Y 
	Z 
	_ 
	. 
	
	15 
	16 
	17 
	18 
	19 
	20 
	21 
	22 
	23 
	24 
	25 
	26 
	27 
	28 
	
 
Para resolver la Actividad 1, lo primero que debemos hacer para encriptar el mensaje es darle el número correspondiente a cada letra de la palabra: 
 
	D 
	E 
	D 
	I 
	C 
	A 
	C 
	I 
	O 
	N 
	3 
	4 
	3 
	8 
	2 
	0 
	2 
	8 
	15 
	13 
 
Para este caso, son llamados matriz de 2 x 2, ¿por qué?, porque la matriz clave es de 2 x 2, y para su multiplicación deben ser agrupados en igual orden, entonces los agrupamos así: 
 
Luego multiplicamos la matriz clave por cada vector, de esta forma: 
Para el caso el resultado del numerador fue mayor a 29, los resultados mayores o iguales a 29 se deben reducir a módulo 29, ¿Por qué 29? Porque contamos con 28 números más el “0”, para un total de 29. 
 
Luego se convierte los números obtenidos en letras con el fin de cifrar el mensaje, haciendo la asignación de los números con las letras del abecedario del recuadro, quedando así: 
 
	11 
	4 
	19 
	8 
	2 
	0 
	18 
	8 
	12 
	13 
	L 
	E 
	S 
	I 
	C 
	A 
	R 
	I 
	M 
	N 
 5. ACTIVIDAD 2 
 
Suponga que se intercepta el mensaje .IBFQSZAGNZFVLNBVDFAVDLQ.FWSWY 
junto con este mensaje encriptado, solo se logró obtener la matriz clave 
 
La misión del grupo es: 
5.1 Descifrar tal mensaje y detallar organizadamente todos los procedimientos que se realizaron para descifrar el mensaje. 
 
¿Es posible descifrar el mensaje con la información dada? 
Utilizando la información que nos dan, lo primero que debemos hacer es encontrar el determinante de la matriz, eso como primer paso. 
Utilizando las propiedades de la multiplicación de matrices por multiplicación de vectores vamos a encontrar si es posible descifrar el mensaje. 
 
Configurar una matriz que esta partida en dos piezas de igual tamaño. En el lado izquierdo, rellene los elementos de la matriz original. En el derecho rellene con los elementos de la matriz identidad. Para encontrar la matriz inversa, utilice operaciones para convertir el lado izquierdo de la matriz identidad. Tras hacer esto, la inversa de la matriz original estará en el lado derecho de la matriz doble. 
 
Realiza la operación de filas 
 EN (AHORA 1) para convertir a 1 algunos elementos en la fila 
Reemplaza para poder convertir algunos elementos de la fila de valor deseado 1. 
 
5 2 1 0 1 0 
2 1 1 0 0 1 
 
Reemplaza (fila 1) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas 
. 
. 
5 2 1 0 2 11 0 
 
Simplifica (fila 1). 
 
Realiza operaciones de filas = -5 . + en (ahora 2) para convertir a 0 algunos elementos en la fila. 
 
 
2 1 1 0 0 1 Realiza la operación de filas. 
 = -2 . + en (ahora en 3) para convertir a 0 algunos elementos en la fila. 
 
 
 
Realiza la operación de filas = 8 . en (ahora 2) para convertir a 1 algunos elementos en la fila. 
 
0 1 –2 –5 8 0 
 
Realiza la operación de filas (ahora 1) para convertir a 0 algunos elementos en la fila. 
1 0 1 2 – 3 0 
0 1 -2 – 5 8 0 
 
Realiza la operación de filas (ahora 3) para convertir a 0 algunos elementos en la fila. 
 
Realiza la operación de filas = -1 . + en (ahora 1) para convertir a 0 algunos elementos en la fila. 
 
Realiza la operación de filas = 2 . + en (ahora2) para convertir a 0 algunos elementos en la fila. 
 
El lado derecho de la matriz doble es ahora la inversa de la matriz original. 
	 	 
De esta manera asignamos el modulo de la siguiente manera: 
Continuamos haciendo la multiplicación de las matrices: 
Simplifique cada elemento de la matriz: 
Combina las matrices del mismo tamaño 
 sumando los elementos de cada una: 
 . 30 = 
Simplifica el elemento 0;0 de la matriz: 
 . 30 = 
Simplifica el elemento 0; 1 de la matriz: 
 . 30 = 
Simplifica el elemento 0; 2 de la matriz: 
 . 30 = 
Simplifica el elemento 1;0 de la matriz 
 . 30 = 
Simplifica el elemento 1; 1 de la matriz: 
 . 30 = 
Simplifica el elemento 1; 2 de la matriz: 
 . 30 = 
Simplifica el elemento 2; 0 de la matriz: 
 . 30 = 
Simplifica el elemento 2; 1 de la matriz: 
 . 30 = 
Simplifica el elemento 2; 2 de la matriz: 
 . 30 = 
Y nos queda de la siguiente forma, obteniendo así la matriz clave: 
 
Una vez obtenida la matriz inversa y la matriz clave, ya que es con esta última con la cual realizaremos las respectivas multiplicaciones, continuamos con el ejercicio, asignando el valor numérico correspondiente a cada letra, así: 
 
	. 
	I 
	B 
	F 
	Q 
	S 
	Z 
	A 
	G 
	N 
	28 
	8 
	1 
	5 
	17 
	19 
	26 
	0 
	6 
	13 
	A 
	F 
	V 
	L 
	N 
	B 
	V 
	D 
	F 
	A 
	0 
	5 
	22 
	11 
	13 
	1 
	22 
	3 
	5 
	0 
	V 
	D 
	L 
	Q 
	. 
	F 
	W 
	S 
	W 
	Y 
	22 
	3 
	11 
	17 
	28 
	5 
	23 
	19 
	23 
	25 
 
Teniendo en cuenta que la matriz clave es de orden 3 x 3, para ser multiplicados deben quedar agrupados en el mismo orden, quedando así: 
Y pasamos a multiplicar la matriz clave por cada uno de los vectores columnas que ya obtuvimos anteriormente, de este modo: 
 
 
Luego de haber multiplicado todas las matrices y de tener todos los resultados pasamos a darle la letra correspondiente a cada número, quedando así: 
	19 
	8 
	13 
	27 
	4 
	19 
	20 
	21 
	3 
	8 
	S 
	I 
	N 
	_ 
	E 
	S 
	T 
	U 
	D 
	I 
	0 
	18 
	27 
	4 
	13 
	5 
	4 
	18 
	12 
	0 
	A 
	R 
	_ 
	E 
	N 
	F 
	E 
	R 
	M 
	A 
	27 
	4 
	11 
	27 
	0 
	11 
	12 
	0 
	27 
	27 
	_ 
	E 
	L 
	_ 
	A 
	L 
	M 
	A 
	_ 
	_ 
 
Y el mensaje descifrado es: SIN ESTUDIAR ENFERMA EL ALMA 
 
 
 
 
6. CONCLUSIÓN 
 
Con el desarrollo de este trabajo reconocimos y aplicamos los conceptos y ejercicios de respecto a la solución de encriptación y desencriptación de mensajes, aplicación del sistema de Hill, matrices, matrices inversas y determinantes. 
Mediante el desarrollo de este trabajo pudimos aplicar todos los conocimientos obtenidos en las diferentes unidades que fuimos viendo en el transcurso de la materia Algebra Lineal, podemos concluir la gran importancia que tiene la materia con respecto a nuestra carrera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. BIBLIOGRAFIA 
 
https://www.textoscientificos.com/criptografia/hill 
 
https://www.youtube.com/watch?v=3X29bcufrOM 
 
https://ebookcentral-proquest-
com.loginbiblio.poligran.edu.co/lib/bibliopoligransp/reader.action?ppg=83&docID=32
27263&tm=1519658255927 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	FACULTAD DE INGENIERÍA Y 
CIENCIAS BÁSICAS 
 
	 
	TRABAJO COLABORATIVO 
	Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano 
 
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	TRABAJO COLABORATIVO 
	Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano 
 
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RELACION COMPAÑEROS QUE NO PARTICIPARON EN EL TRABAJO 
 
1. Alejandro Vera Barragán: realizamos un grupo en whatsapp y su única participación fue saludar y manifestar que luego revisaba que debíamos hacer, no participó más ni en el grupo de whatsapp ni en el foro. 
2. Yessica Paola Espinosa: No participó en el foro y su aporte en el grupo de whatsapp fue una foto con la solución de la actividad 1 pero esta ya estaba resuelta hacía más de 1 semana y respecto a los demás ejercicios no hubo colaboración. 
3. Oscar Mauricio Moreno Jerez: Realizó una participación en el foro compartiendo un link de acceso a YouTube, al igual que Yessica compartió una foto en el grupo con la solución de la actividad 1, pero esta ya se encontraba resuelta y respecto a los demás puntos, el mismo día que nos envió la foto con la solución del ejercicio 1 manifestó que el ejercicio no le daba y a la fecha no sabemos nada de el ni de los otros compañeros.