Foro-de-Trabajo-Calculo-Vectorial

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lOMoARcPSD|13041980
 Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2023
Actividad 6.
1. Realiza lo que se indica, posteriormente ingresa al Foro para participar:
A) Seleccionar un ejercicio de dificultad media de las referencias proporcionadas que denoten la aplicación de cada tipo de integral descrita a continuación (5 ejercicios en total):
Integral de línea Planteamiento del problema
 (
lOMoARcPSD|13041980
)
 (
Actividad
 
6 –
 
Foro
 
de
 
trabajo
 
–
 
Unidad
 
3
) (
Fecha
 
de
 
Entrega:
 
22-04-2022
Downloaded
 
by
 
Hector
 
Raul
 Aguirre (hectorin.aguirrerubio@gmail.com)
)
Ejercicio 5.38. –
 (
𝑐
)Suponga que F = (5xy − 6𝑥2)i + (2y − 4x)j. Evalúe ∫ 𝐹 ∗ 𝑑𝑟
a lo largo de la
curva C en el plano xy, y = 𝑥3, del punto (1, 1) al punto (2, 8).
Procedimiento (operaciones)
𝐹⃗ = (5𝑥𝑦 − 6𝑥2)𝑖 + (2𝑦 − 4𝑥)𝑗
La curva está en el plano xy Y=𝑥3	(1,1) 𝑎𝑙 (2,8)
sin 𝑥 = 𝑡	𝑦 = 𝑡3
𝑟⃗ + 𝑡𝑖 + 𝑡3𝑗
∫ 𝐹⃗ ∗ 𝑑𝑟
𝑐
= ∫ 𝐹⃗ ( 𝑟⃗) ∗ 𝑟⃗´𝑑𝑡
𝑡
Calculando
𝐹⃗(𝑟⃗) = [5(𝑡)(𝑡3) − 6(𝑡2)]𝑖 + [2𝑡3 − 4𝑡]𝑗 = (5𝑡4 − 6𝑡2)𝑖 + (2𝑡3 − 4𝑡)𝑗
𝑟⃗´ = 1𝑖 + 3𝑡2𝑗
𝐹⃗(𝑟⃗) ∗ 𝑟⃗´ = 5𝑡4 − 6𝑡2 + 6𝑡5 − 12𝑡3
Viendo los límites
1 ≤ 𝑥 ≤ 2
2	7	2	2	2
∫ (6𝑡5 + 5𝑡4 − 12𝑡3 − 6𝑡2)𝑑𝑡 = ∫ 6𝑡5𝑑𝑡 + ∫ 5𝑡4𝑑𝑡 − ∫ 12𝑡3𝑑𝑡 − ∫ 6𝑡2𝑑𝑡
 (
lOMoARcPSD|13041980
) (
CALCULO
 
VECTORIAL
)
 (
Actividad
 
6 –
 
Foro
 
de
 
trabajo
 
–
 
Unidad
 
3
) (
Fecha
 
de
 
Entre
ga:
 
22-04-2022
Downloaded
 
by
 
Hector
 
Raul
 Aguirre (hectorin.aguirrerubio@gmail.com)
)
1	1
1	2	1	2
1	1	1
1	2	1	2
6 ( 𝑡6 ∫ +5( 𝑡5 ∫ −12( 𝑡4 ∫ −6( 𝑡3 ∫ ))
6	1	5	1	4	1	3	1
= ((2)6 − (1)6) + (25 − 1) − 3(24 − 1) − 2(23 − 1)
= 63 + 31 − 45 − 14 = 35
Solución (graficación y resultados)
Figura 1
Grafica de vectores
Nota: La figura nos muestra la gráfica del vector por medio de un programa en línea. Fuente: Geogebra en línea.
Figura 2
Grafica de vectores
Nota: La figura nos muestra la gráfica del vector por medio de un programa. Fuente: Geogebra.
Integral de superficie Planteamiento del problema Ejercicio 9.-
La parte de la superficie 𝑧 = 𝑥𝑦 que está dentro del cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1
Procedimiento (operaciones)
𝑑𝑧 2
𝐴 = ∬ [1 + (	)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑧 2 2
+ (	) ]
𝑑𝑦
𝑑𝐴
1
𝑦 = (1 − 𝑥2)2
Calculamos las parciales
𝑑𝑧
𝑠𝑥
= 𝑦
𝑑𝑧
𝑑𝑦
= 𝑥
1
1	(1−𝑥2)2	1
∫ ∫	(1 + 𝑦2 + 𝑥2)2 𝑑𝑦𝑑𝑥
0	0
Vamos a cambiar de coordenadas polares
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃	𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
2𝜋	1
1	2𝜋	1	1
∫	∫ (1 + 𝑟2 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜃)2 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃 = ∫	∫ (1 + 𝑟2)2 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃
0	0	0	0
Sea 1−𝑟2 = 𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑟
= −2𝑟 𝑑𝑟
2𝜋	1	1	1
2𝜋
3
1 𝑧2	1
2𝜋	1 2	3	1
∫	∫ −	𝑧2 𝑑𝑧 𝑑𝜃 = ∫	−
( 3 ∫ 𝑑𝜃 = ∫	−
((1 + 𝑟2)2 ∫ 𝑑𝜃
0	0	2
2𝜋	1	3
0	2	0	0	2 3
2
3	2𝜋	1	 
0
2𝜋 √8 − 1
= ∫	− 3 ((1 + 1)2 − (1 + 0)2) 𝑑𝜃 = ∫	− 3 (√8 − 1)𝑑𝜃 = ∫
𝑑𝜃
3
0	0	0
2
= 3 𝜋(√8 − 1)
Solución (graficación y resultados)
Figura 3
Grafica de la superficie y el cilindro
Nota: La figura nos muestra la gráfica de la superficie y cilindro por medio de un programa. Fuente: Geogebra.
Integral de volumen Planteamiento del problema Ejercicio 29.-
Encontrar el volumen contenido por la superficie 𝑧 = 𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝑦 y los planos z=0,
 x=0, x=2, y=0, y=𝜋
 4
Procedimiento (operaciones)
 (
lOMoARcPSD|13041980
) (
CALCULO
 
VECTORIAL
)
 (
Actividad
 
6 –
 
Foro
 
de
 
trabajo
 
–
 
Unidad
 
3
) (
Fecha
 
de
 
Entrega:
 
22-04-2022
Downloaded
 
by
 
Hector
 
Raul
 Aguirre (hectorin.aguirrerubio@gmail.com)
)
2	𝜋	 𝑥𝑠𝑒𝑐2𝑦 4
2	𝜋	2	𝜋
4	2	4
∫ ∫ ∫	𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 (𝑡𝑎𝑛𝑦 ∫ 𝑑𝑥
0	0	0
2	𝜋
0	0	0	0
2	1	2	1
= ∫ 𝑥 (tan (
0	4
) − tan (0)) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
0
(𝑥2 ∫ = 2	0
(22 − 02) = 2
2
Solución (graficación y resultados)
Figura 4
Grafica de la superficie
Nota: La figura nos muestra la gráfica de la superficie por medio de un programa. Fuente: Geogebra.
Integral doble Planteamiento del problema Ejercicio 23.-
Bajo el plano 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1 y arriba de la región acotada por 𝑥 + 𝑦 = 1 y 𝑥2 + 𝑦 = 1
Procedimiento (operaciones)
𝑦 = 1 − 𝑥	𝑦 = 1 − 𝑥2 1 − 𝑥 = 1 − 𝑥2
𝑥2 − 𝑥 + 1 − 1 = 0
𝑥(𝑥 − 1) = 0
𝑥1 = 0	𝑥2 = 1
1	1−𝑥2
∫ ∫	1 − 𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
0	1−𝑥
1	1−𝑥2
1−𝑥2
1−𝑥2
∫ (𝑦 ∫	−𝑥(𝑦 ∫	+(𝑦2 ∫	𝑑𝑥
0	1−𝑥
1−𝑥
1−𝑥
1
= ∫ (1 − 𝑥2 − 1 + 𝑥) − 𝑥(1 − 𝑥2 − 1 + 𝑥) + (1 − 𝑥2)2 − (1 − 𝑥)2𝑑𝑥
0
1	1
 (
5
1
)= ∫ −𝑥2 + 𝑥 + 𝑥3 − 𝑥2 + 1 − 2𝑥2 + 𝑥4 − 1 + 2𝑥 − 𝑥2𝑑𝑥 = ∫ 𝑥4 + 𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 𝑑𝑥
0
1	1
=	(𝑥5 ∫ + 5		0
1	1
(𝑥4 ∫ − 4	0
(𝑥3 ∫ + 3 3	0	2
1
(𝑥2 ∫ =
0
0
1	1	5	3	17
+	−	+	=
5	4	3	2	60
Solución (graficación y resultados)
Figura 5
Grafica del plano y la región acotada
Nota: La figura nos muestra la gráfica del plano y la región acotada por medio de un programa. Fuente: Geogebra.
Integral triple Planteamiento del problema Ejercicio 19.-
El tetraedro encerrado por los planos coordenados y el plano 2x + y + z = 4
Procedimiento (operaciones)
𝑧 = 4 − 2𝑥 − 𝑦
2	4−2𝑥	4−2𝑥−𝑦
∫ ∫	∫	𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
2	4−2𝑥
0	0	0
2
4−2𝑥
4−2𝑥	1
4−2𝑥
∫ ∫	4 − 2𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 4(𝑦 ∫	−2𝑥(𝑦 ∫	−
(𝑦2 ∫	𝑑𝑥
0	0	0	0
2	1	2
0	2	0
= ∫ 4(4 − 2𝑥) − 2𝑥(4 − 2𝑥) −
0
(4 − 2𝑥)2 𝑑𝑥 = ∫ 16 − 8𝑥 − 8𝑥 + 4𝑥2 − 8 + 8𝑥 − 2𝑥2 𝑑𝑥 2	0
2	2	2	8	2
2	2	8
= ∫ 2𝑥2 − 8𝑥 + 8𝑑𝑥 =	(𝑥3 ∫ − (𝑥2 ∫ +8(𝑥 ∫ =
(8) −
(4) + 16
0	3	0	2	0
0	3	2
16	16
=	− 16 + 16 =
3	3
Solución (graficación y resultados)
Figura 6
Grafica de los planos coordenados y el plano
Nota: La figura nos muestra la gráfica de los planos coordenados y el plano por medio de un programa. Fuente: Geogebra.
REFERENCIAS
Julioprofenet. (2012). Volumen Calculado con una Integral Doble en Coordenadas Polares
[Video]. YouTube https://www.youtube.com/watch?v=xh2xtYfnVTg
Spiegel, M., Lipshutz, S. y Spellman, D. (2011). Análisis vectorial. [PDF]. https://compilandoconocimiento.files.wordpress.com/2016/12/analisis-vectorial-
schaum.pdf
Capítulo 5. Integración vectorial. Páginas 97 a 121(Integrales de Línea, integrales de superficie e integrales de volumen)
Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [PDF]. http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calculo3/stewart.pdf
Capítulo 15. Integrales múltiples. Páginas 973 a 140 (Integrales itiradas, dobles, triples con coordenadas cilíndricas y esféricas)