-Calculo-Vectorial-Unidad-2

Vista previa del material en texto

Página | 11
 Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2023
Índice. -
Introducción. –	1
2.	– Curvas Planas, Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas Polares	2
2.1.	– Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su representación gráfica.	2
2.2.	-Derivada de una curva en forma paramétrica. -	4
Primera derivada:	4
Segunda derivada:	5
2.3. - Tangentes a una curva. -	7
2.4. – Área y Longitud de arco.	10
2.5. -Curvas planas y graficación en coordenadas polares:	15
2.6. – Calculo de Coordenadas Polares:	19
Conclusión. -	23
Introducción. –
La siguiente investigación contiene desarrollados los subtemas de la unidad II (curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares) el primer subtema que se verá es el 2.1.-ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su representación gráfica en este sub tema se observara los parámetros, como eliminarlo, y el trazo de curvas, el segundo subtema que se verá el 2.2.-derivada de una curva en forma paramétrica en este subtema analizaremos las curvas C y aplicaremos las funciones de las derivadas. En el siguiente subtema que corresponde al 2.3.- Tangente a una curva que nos permite resolver problemas como: encontrar tangentes en cualquier función que se pueda derivar. El subtema 2.4.- área y longitud de arco este subtema se hará uso de la integral para saber la distancia de recorrido de una longitud. El siguiente subtema 2.5.- curvas planas y graficación en coordenadas polares en este apartado graficaremos usando coordenadas polares en la cual obtendremos cierto tipo de figuras como son Rosa de tres hojas/pétalos, Rosa de ocho hojas/pétalos, Una rosa dentro de otra, Cardiodes. Por el ultimo tenemos el subtema 2.6.- calculo en coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo.
2. – Curvas Planas, Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas Polares
2.1. – Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su representación gráfica.
En general, una curva plana se define por dos variables, a saber, x e y. Tal plano se conoce como plano Cartesiano y su ecuación se llama ecuación Cartesiana.
Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en términos de un solo parámetro, generalmente, este parámetro es ‘t’.
Una curva que represente tal ecuación es llamada curva paramétrica. Para ello, las variables de la ecuación Cartesiana son transformadas con el fin de representar el parámetro ‘t’ como,
x = f (t) y = g (t)
Una curva paramétrica puede ser dibujada de muchas formas diferentes y la más conveniente entre ellas es la selección de ciertos valores de t y obtener los valores correspondientes de f (t) y g (t), es decir, x e y. Entonces estos son después trazados en coordenadas Cartesianas.
Sin embargo, existen problemas importantes asociados con este método, siendo uno que no conocemos los límites del parámetro. Y en ausencia de límite la gráfica se extendería en ambas direcciones hasta el infinito.
En efecto, no existe una solución adecuada a este problema, ya que todo depende completamente del problema dado y la única solución es limitarla uno mismo hasta un valor específico y asumir que esta es la extensión del gráfico.
Otro método para graficar una curva paramétrica es eliminar el parámetro de la ecuación y reducir la ecuación en términos de una ecuación Cartesiana, la cual puede ser graficada con mayor facilidad.
Ejemplo: Conociendo a t como el parámetro.
Dibujar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas es:
X= 
Y= 
Con un intervalo de [-2,3]
Solución: 
Elevar X al cuadrado: 
y= variable dependiente parábola 
x= variable independiente
Se registra los valores de tabulación: 
	x
	y
	-2
	-3
	-1
	0
	0
	1
	1
	0
	2
	-3
Se gráfica: 
2.2. -Derivada de una curva en forma paramétrica. -
Una derivada de una curva en forma paramétrica es una derivada en cálculo que se toma cuando ambas variables x e y (tradicionalmente independiente y dependiente, respectivamente) dependen de una tercera variable independiente t, usualmente tomada como «tiempo».
Primera derivada:
Sean x (t) e y (t) las coordenadas de los puntos de una curva expresada como una función de variable t. La primera derivada de las ecuaciones paramétricas descritas arriba es dada por:
Donde la notación x´ (t) indica la derivada de x con respecto de t. Para entender el por qué la derivada aparece de esta manera, recuérdese la regla de la cadena para derivadas:
O en otras palabras:
Formalmente, mediante la regla de la cadena:
Y dividiendo ambos miembros por se obtiene la ecuación de arriba.
Segunda derivada:
La segunda derivada de una ecuación paramétrica viene dada por:
Mediante el uso de la regla del cociente para derivadas. El último resultado es muy útil en el cálculo de la curvatura.
Ejemplo
Por ejemplo, considérese el conjunto de funciones donde:
Derivando ambas funciones con respecto a t se obtiene que:
Respectivamente. Substituyendo estas en la fórmula para la derivada paramétrica, se obtiene:
Donde x´ y y´ se entiende como funciones de t.
EJEMPLO 2
Calcular la primera y segunda derivada de las siguientes funciones:
X= 2t Y=3t -1 	t= 3
1ra derivada
d= vn = nvn-1 dv
dx/dt= 2 dy/dt= 3
2da derivada
[d2x/dx2] 
	Valor 1
	Valor 2
	Valor 3
	X= 2(1) y=3(1)-1
X= 2 y= 2
	X=2(2) y=3(2)-1
X=4 y=5
	X=2(3) y=3(3)-1
X=6 y=8
2.3. - Tangentes a una curva. -
Dada la función f(x, y) <1> y la recta, que es tangente a esa curva, y = mx + b despejamos y en la ecuación de la recta y la sustituimos en f(x, y), después de esto nos debe quedar una ecuación de segundo grado, la cual hay que resolver con la siguiente condición: sabemos que la ecuación de segundo grado tiene un discriminante, en nuestro caso le llamaremos D y lo igualaremos a cero quedando de la forma D = 0 y le llamaremos "condición de tangencia".
La recta tangente a una curva es la que coincide con la curva en un punto y con la misma derivada, es decir, el mismo grado de variación.
El conocimiento de la recta tangente permitirá resolver problemas sencillos: en primer lugar, se podrán encontrar tangentes a cualquier función que se pueda derivar, en cualquier punto, como se observa en el primer ejemplo resuelto a continuación. En segundo lugar y como se puede ver en el segundo ejemplo, se puede utilizar como condición en problemas más complejos.
La recta y=m*x+b  es tangente a la curva f(x) si cumple los siguientes requisitos:
1. Pasa por el punto de tangencia: (a,f(a))
2. Tiene el mismo pendiente (mismo valor de la derivada) que la curva en el punto de tangencia:  m=f´(a) 
Entonces, se puede escribir la ecuación de la recta tangente de la siguiente forma:
y-f (a)=f´(a)*(x-a)
Nota: Siempre se encontrarán tangentes a funciones polinómicas de orden superior a 1, o a funciones no polinómicas. La tangente a una recta sería la propia recta.
Además, la recta tangente puede tener interesantes aplicaciones geométricas. La siguiente gráfica posición-tiempo muestra la evolución de un atleta desde que empieza a correr. Se puede ver que el eje vertical representa la distancia recorrida, mientras que el horizontal representa el tiempo en segundos.
Teniendo en cuenta que la velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo, la pendiente de la parábola azul representa la velocidad instantánea.
Se puede ver que el corredor empieza con velocidad nula (parado) y va acelerando. La recta roja de la gráfica representa otro corredor que va a una velocidad constante y, en el instante marcado por el punto de tangencia, tiene la misma velocidad y se encuentra en el mismo punto.
El segundo corredor va más rápido que el primero hasta que es adelantado, y luego es el primero el que, gracias a que está acelerando, termina por delante.
Ejemplo 1:
Ejemplo2:
	t
	-2
	-1
	0
	1
	2
	x
	-4
	-2
	0
	2
	4
	y
	3
	0
	-1
	0
	3
2.4. – Área y Longitud de arco.
El área bajo la curva se encuentra aplicando la fórmula que se muestra en la FIGURA 1.
Si el resultado encontrado es positivo el área está ubicada en un cuadrante positivo, o sobre el eje de las x, cuando el resultado es negativo al área está ubicada bajo el eje de las x.
Cuando se busca el área comprendida entre 2 curvas es necesario tomar en cuenta que los límites máximos a, b son puntos de intersección de las curvas.
Una mejor técnica para definir una curva es describirla con una función vectorial de variables reales. Esta es una estrategia alternativa para definir una curva y es mucho mejor aquella en la cual todos los puntos de la curva son vectores posición con puntos terminales. Debido a esto, la curva es descrita de forma compacta y el cálculo de distintas propiedades de la curva puede llevarse a cabo convenientemente.
Longitud de Arco:
Si una curva suave C está dada por x=f(t) y y=g(t) y C no se corta a sí misma en el intervalo  (excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de C en ese intervalo está dada por:
Ejercicio: 1.1
Procedimiento: Obtener las derivadas de las funciones x y y.
*
Procedimiento: Aplicar y resolver la integral para la longitud de arco.
Evaluación de F:
Gráfica:
Ejercicio: 1.2
Procedimiento: Obtener las derivadas correspondientes de las funciones en x y en y.
 
Procedimiento: Aplicar y resolver la integral para la longitud de arco.
Evaluar F:
Grafica:
Ejercicio 1.3. -. Hallar la longitud de arco mediante las ecuaciones paramétricas:
Solución. Derivando la ecuación paramétrica “x”:
Derivando la ecuación paramétrica “y”:
Entonces los parámetros a utilizar en la fórmula de la longitud de arco:
Sustituyendo:
 
Donde “u” representa “unidades”.
Figura 2.3.1 Representación gráfica de la longitud de arco con las ecuaciones paramétricas dadas.
2.5. -Curvas planas y graficación en coordenadas polares:
Curvas planas:
Una curva plana es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta o cerrada. La representación gráfica de una función real de una variable real es una curva plana.
Una curva geométrica mente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el término curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de, aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es decir, sin formar ángulos. Esto las distingue de las líneas rectas y de las quebradas. Estarían fuera de esta noción los casos de movimiento rectilíneo. Sin embargo, utilizando la definición matemática, una línea recta es un caso.
Particular de curva.
Curva: Es el caso límite de poligonal en que los saltos discretos de los segmentos son infinitesimales. También en este caso se dice curva plana, también llamada de simple curvatura por el ángulo de contingencia, si tiene todos sus puntos en un mismo plano; y curva alabeada, llamada de doble curvatura por los dos ángulos el de contingencia y el de torsión, en caso que todos sus puntos no estén en un mismo plano.
A continuación se van a definir las principales características de las curvas planas. La recta secante de una curva es la que une dos puntos de la curva separados una distancia finita. El orden de una curva es el número máximo de puntos de corte con una secante. En la figura se muestra una curva de 4° orden.
La recta tangente a una curva en un punto es el límite a que tiende la secante cuando los dos puntos de corte tienden a confundirse. De esta forma la tangente puede ser de primera especie cuando el punto de tangencia está quieto y el otro se aproxima al primero, de segunda especie cuando los dos puntos se aproximan simultáneamente hacia el de tangencia.
La clase de una curva es el número máximo de tangentes que se pueden trazar desde un punto exterior. Por ejemplo, la circunferencia es una curva de clase dos.
La recta normal a una curva es la perpendicular a la tangente por el punto de tangencia. Según esta definición por un punto de la curva existirán infinitas normales. Para las curvas planas la más importante de estas normales es la coplanaria con la curva, que es la normal principal.
Graficación en coordenadas polares:
Rosa de cuatro hojas/pétalos:
Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. 
Rosa de tres hojas/pétalos:
Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógica mente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. 
Rosa de ocho hojas/pétalos:
El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos. 
Una rosa dentro de otra
Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres pétalos u hojas. 
Cardiodes:
A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardiode.
Existen diferentes tipos de cardioide que se representaran al final con las demás gráficas.
Limacones o caracoles:
Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. 
Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda. 
Otro gráfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual está apuntando hacia arriba.
Circunferencia
Esta nueva función nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente la circunferencia.
Ahora explicamos una nueva gráfica que resulta en una circunferencia, con la única diferencia que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a diferencia del gráfico anterior, que la circunferencia aparecía abajo del radio inicial. 
Ejemplos. -
 
 
2.6. – Calculo de Coordenadas Polares:
Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar.
A cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, 0), como sigue.
En coordenadas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación única. Esto no sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r,) y (r, 2 +) representan el mismo. También, como r es una distancia dirigida, las coordenadas pueden representar el mismo punto.
En general, el punto puede expresarse como:
Donde n es cualquier entero. Además, el polo está representado por (0,), donde es cualquier ángulo.
Conversión de coordenadas:
 Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas.
En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x.
De cartesianas a polares
Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.
Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):r2 = 122 + 52
r = √ (122 + 52)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12
θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°
Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:
r = √ (x2 + y2)
θ = atan( y / x )
 
De polares a cartesianas
Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:
Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas? 
 
	Usamos la función coseno para x:
	cos( 23 °) = x / 13
	Cambiamos de orden y resolvemos:
	x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98
	
	 
	Usamos la función seno para y:
	sin( 23 °) = y / 13
	Cambiamos de orden y resolvemos:
	y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08
Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son:
x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )
Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (-π, π].
Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas (arctan denota la inversa de la función tangente):
Para obtener θ en el intervalo (-π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:
Ejemplos:
 
	
	
    Para convertir de coordenadas rectangulares a polares utilizamos las relaciones:
	r2=x2+y2,  Tan A=y/x
   
Sin embargo debemos recordar que la tangente inversa siempre nos dará un ángulo entre -/2 y /2, y que de la relación anterior obtendremos dos valores de r, uno negativo y otro positivo.
Debemos tener cuidado en seleccionar la combinación correcta de r y A que represente al punto (x,y).
Ejemplos:
El punto (-1,1)
 
Conclusión. -
Para finalizar la unidad se da por entendido lo referente al campo de las coordenadas polares, adquiriendo conocimiento de las mismas y además recordando lo antes aprendido en diversas materias de nuestro trayecto anterior, tales como: algebra lineal, calculo diferencial e integral y casos específicos como las identidades trigonométricas, que son nuestro apoyo en esta unidad, es así como se llega al fin de este temario expuesto anteriormente.
0	2	4	6	8	-1	2	5	8	11