610-calculo-vectorial

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2023
UNIDAD # 1
Aplicación de la integral definida.
· Áreas planas: Definiciones básicas, cálculo de áreas en coordenadas cartesianas, paramétricas y polares 
· Calculo de áreas en coordenadas rectangulares , paramétricas y polares 
· Calculo de áreas utilizando integrales impropias 
· Calculo de áreas utilizando funciones en los tres sistemas 
· Calculo de longitudes de arco en coordenadas rectangulares, paramétricas y polares 
· Calculo de longitudes de arco de curvas planas en los diferentes sistemas 
· Integración numérica: método de SIMPSOM
· Calculo de centroides de arco en coordenadas rectangulares, paramétricas y polares 
· Calculo de momentos estáticos de arcos de curvas en diferentes sistemas 
· Calculo de coordenadas del centroide de un arco de curva plana en diferentes sistemas 
· Calculo de superficies de revolución 
· Calculo del área de la superficie de revolución utilizando un método directo en diferentes sistemas 
· Calculo del área de la superficie de revolución utilizando un método indirecto: Teorema de PAPPUS
· Vectores y geometría analítica del espacio operaciones en 
· Rectas y planos en el espacio calculo de las ecuaciones de rectas y planos 
· Distancia punto-recta , punto-plano
· Superficies cilíndricas, cuadricas y de revolución
· Ecuaciones de superficies cilíndricas, cuadricas y de revolución 
UNIDAD # 2
Funciones vectoriales, funciones de varias variables 
· Análisis de dominio, limites y continuidad 
· Derivación e integración 
· Vectores y planos principales de una curva en 
· Curvatura y radio de curvatura 
· Funciones de varias variables: curvas y superficie de nivel
· Limite y continuidad de una función de varias variables 
· Derivadas parciales 
· Definición e interpretación geométrica, notación y derivadas de orden superior 
· Diferenciales 
· Definición, interpretación geométrica y linealizacion 
· Regla de la cadena y derivación implícita 
· Regla de la cadena para una y varias variables independientes 
· Derivación en forma implicita
· derivada direccional y vector gradiente 
· ecuación del plano tangente y recta normal a una superficie 
· valores extremos de funciones de varias variables 
· calculo de máximos y minimos relativos absolutos 
· multiplicadores de LAGRANGE con una sola restricción ejercicios de aplicación 
· integrales múltiples
· integrales dobles en coordenadas cartesianas, cambios de variables y JACOBIANO de una tranformacion 
· Aplicación de la integral doble: Momentos y centroides de áreas planas en coordenadas resctangulares, paramétricas y polares. Volumen de cuerpos de revolución mediante el Teorema de PAPPUS
· Calculo de volumen de cuerpos geométricos 
· Integracion triple en coordenadas rectangulares, cambio de variables a cilíndricas y esféricas 
· Aplicación de integrales triples 
UNIDAD # 3
Integrales múltiples y análisis vectorial 
· Campos vectoriales 
· Rotacional y divergencia de un campo vectorial. Campos conservativos y función potencial 
· Integracion de línea 
· Integral de línea: Definicion y aplicación en campos escalares (longitud de arco y área lateral)
· Aplicaciones en campos vectoriales: Calculo del trabajo
· Forma diferencial y Teorema fundamental 
· Teorema de GREEN: aplicación a campos escalares y vectoriales
· Superficies paramétricas 
· Superficies en , vector normal,principal y ecuación en el plano tangente 
· Integracion de superficie
· Integracion de superficie en campos escalares 
· Aplicaciones: Masa y área de una lamina 
· Integrales de superficie en campos vectoriales 
· Calculo de flujos 
· Teorema de STOKES 
· Aplicación del Teorema de STOKES para el calculo del trabajo en 
· Teorema de GAUSS (divergencia)
· Aplicaciones del Teorema de la divergencia para el calculo de flujos 
BIBLIOGRAFIA
	Titulo
	Autor
	Edicion
	Año
	Idioma
	Editorial
	Calculo 9na ed
	Larson, Ron
	_
	2011
	Español
	MC Grawhill
	Calculo de varias variables 12a Ed
	Thomas, George B
	_
	2010
	Español
	Pearson Education
	Calculo de varias variables 4ta Ed
	Zill,Dennis G
	_
	2011
	Español
	MC Grawhill
	Calculo diferencial e integral Tomo I
	Piskunov, N
	_
	1977
	Español
	Moscu,Mir
	Calculo vectorial
	Murden E, Jerrold
	_
	2004
	Español
	Pearson Education
	Calculo 2 de vrias variables 9na Ed
	Larson, Ron
	_
	2010
	Español
	MC Grawhill
LECTURAS PRINCIPALES 
	Tema
	Texto
	Pagina
	URL
	Manual básico de matlab
	Uso de paquete informático
	Todo el documento
	http://webs.ucm.es/centros/cont/descargas/documento11541.pdf
	Breve manual de matemáticas 
	Uso de paquete informático
	Todo el documento
	www.eumed.ned/libros/2005/ric2/
	Manual de inicialización GNU Octave
	Uso de paquete informático
	Todo el documento
	http://soflibre.unizar.es/manuales/aplicaciones/octave/manual-octave.pdf
AREA DE UNA REGION PLANA
 
· Con respecto a X
· Con respecto a Y
EL AREA DE UNA REGION ENTRE DOS CURVAS
 
 
 
 
 
 
Si f y g son continuas en el intervalo [a,b] y g(x)<=f(x) para todo [a,b] , entonces el área de la región acotada por las gráficas de f y g y las rectas verticales x=a y x=b es 
EJEMPLOS: 
Encontrar el área de la región acotada por las graficas 
 
 
Calcular el área de la región comprendida entre las graficas
El Sen y Cos de las curvas se intersecan infinitamente acotando regiones de áreas iguales. Encontrar el área de una de estas regiones 
 Calcular el área de la región comprendida entre las figuras 
4
Si la gráfica de una función de "y" es una frontera de una región, es a menudo conveniente usar rectángulos representativos horizontales y encontrar el área integrando en la variable y.
En general para determinar el área entre dos curvas se usa.
Calcule el área de la región limitada por la parábola
 
 
	
CALCULO DEL AREA EN COORDENADAS PARAMETRICAS 
Calculemos el área de un trapecio curvilíneo limitado por una curva dada por sus ecuaciones paramétricas , cuando , de modo que el parámetro t varié entre 
Supongamos que las ecuaciones paramétricas definen una función el intervalo . Por tanto, el área del trapecio curvilíneo limitado por esta función, el eje 0x, y las rectas verticales x=a, x=b, puede ser calculada según la formula 
Para calcular el valor de la integral definida , aprovechamos las ecuaciones paramétricas para realizar el cambio de variable dado por ellos, es decir, , de donde Asi pues, llevando este cambio de variable a la integral definida que nos proporcionara el valor del área y recordando que , de las ecuaciones paramétricas llegamos a: 
EJEMPLO:
Calcular el área del dominio limitada por la elipsis, cuyas ecuaciones paramétricas vienen dadas por 
	
	
URL: https://ocw.unizar.es/ciencias-experimentales/calculo-integral-para-primeros-cursos-univesitarios/MaterialTeorico/08integrales.pdf
AREAS EN COORDENADAS POLARES 
Para desarrollar el área en coordenadas cartesianas son necesarios dos conceptos básicos:
1. La idea del límite de una suma 
2. La fórmula para el área del rectángulo
Para hallar el área encerrada por curvas dadas en coordenadas polares se necesita nuevamente dos conceptos.
1. La idea del límite de una suma.
2. La fórmula para el área de un sector circular.
Supóngase que r va a estar en función de es una función continua y positiva definida entre la función en .
Trazamos las rectas y propongamos el problema de determinar el área de esta región limitada por las rectas y las curvas cuya expresión es 
	
Subdividimos la escala en n partes entre introduciendo los valores de esta obtenemosn subintervalos, en cada una de las cuales seleccionamos un valor de que llamaremos , en seguida calcularemos el área del sector circular de radio y el angulo central que va a ser como se muestra en la figura 
De acuerdo con el área de un sector circular es: 
Sumando estas áreas para i entre 1 y n obtenemos 
Se puede demostrar que a medida que el número de puntos de subdivisión crece indefinidamente y la norma de la subdivisión tiende a 0, el área limitada por las rectas y por la curva esta dada por:
EJEMPLO
Hallar el area limitada por la curva y por las rectas 
 
Hallar el área total encerrada por la curva 
	
En primer lugar debemos dibujar la curva para tener una idea clara del área que queremos encontrar, esto lo debemos hacer siempre para el cálculo de coordenadas polares y cartesianas.
La dificultad principal de este problema es la determinación de los límites de integración. Para hallar el área encerrada en el lazo del primer cuadrante observamos que r=0 cuando, que el , y luego crece hasta r=0 y 
En otras palabras el pétalo queda completamente descrito cuando vacia de . El área total es igual a 3 veces el ara de este lazo.
 
INTEGRALES IMPROPIAS
La integral en el intervalo puede calcularse fácilmente:
Para los valores de a, la continuidad de es pequeña, y sabemos que es pequeña, y sabemos que cuando 
	
Haciendo que en la integral anterior 
En otras palabras el área de la región que se quiere encontrar tiende al valor 1 cuando .
Es natural definir que: 
Y asignar el valor de 1 al área de la región bajo la curva y=-x y a la derecha del eje y.
EJEMPLO
Donde a es cualquier número mayor a 1.
Sabemos que el logaritmo natural de 1 cuando a crece sin límite puesto que no existe. Concluimos que:
Definición.- Supongamos que f es continua para toda . Si el límite cuando existe, decimos que la integral es convergente el valor dado por el límite anterior. 
Si el límite no existe decimos que la integral de es divergente y la integral no está definida.
Definición.- Supongamos que f(x) es continua para pero no es continua en a entonces es convergente si existe, donde tomando valores positivos. El valor entre la integral desde a hasta b es el valor del límite. Si el limite no existe se dice que la integral es divergente. La definición es análoga para el caso en que f(x) es continua para .
Supóngase que f(x) es continua en , excepto para x=c donde . Entonces decimos que la integral entre es convergente, si las dos integrales son convergentes, decimos que 
LONGITUD DE ARCO
Longitud de arco de una curva plana 
Sea C la curva definida por las ecuaciones paramétricas x=f(t) ; y=g(t) y suponga que f y g son dos funciones continuas en [a,b].
Trazamos la gráfica de una función y=f(x) y nos referimos a ella como la curva que representa la función. Al dibujar uno de estos gráficos asociamos automáticamente una longitud con cualquier parte de ella, por ejemplo la parte comprendida entre 
 
 
	
Ahora surgen tres preguntas:
1. ¿Con que clases de curva asociaremos una longitud?
2. ¿Cómo debemos definir la longitud?
3. Cuando hayamos definido la longitud ¿Cómo la mediremos?
Estas preguntas se responden fácilmente para el caso de las líneas rectas.
Todo segmento de recta tiene una longitud dada por la fórmula de la distancia:
Donde son las coordenadas de los puntos extremos del segmento.
Definición.- Si una gráfica está dada por la función tal como y=f(x) , y si f es continua en este intervalo, entonces la gráfica de f se llama arco. Cuando la gráfica está dada por las ecuaciones paramétricas , se le llama arco si f y g son continuas en , y si para dos valores diferentes del parámetro, no puede simultáneamente que y que , con esto se puede responder a la primera pregunta diciendo que solo discutiremos de aquellas curvas que son arcos.
Pasando a la segunda pregunta la abordaremos haciendo uso del tipo de arco cuya longitud la podemos medir, es decir un segmento rectilíneo.
Se hace un arco del plano como se mostró en la figura anterior. Supóngase que queremos definir la longitud de arco entre los puntos A y B. la definición de longitud requiere un proceso del paso al límite.
Como primer paso marcaremos algunos puntos entre el arco A y B y designemos por . Haciendo que el punto sea igual a A, el punto sea igual a B.
Tracemos un segmento rectilíneo desde cada punto hasta el punto tal como se ve en la figura.
Usando la forma de la distancia entre dos puntos calculemos las longitudes y los sumandos de mando abreviado tenemos:
, si los son cercanos entre sí, tenemos la expresión intuitiva de que la longitud total de los segmentos, tendrá un valor cercano del hasta indefinida longitud de la curva. Por tanto, sí hacemos una sucesión de subdivisiones con un número creciente de puntos en cada división sucesiva deberíamos esperar que el limite se alcanzaría a obtener la longitud de arco del mayor segmento que une dos puntos consecutivos por que se llama norma de la subdivisión.
Definición.- Un arco C dese A hasta B tiene longitud, si existe un número L con la siguiente propiedad para toda subdivisión
Con la . El número L se llama longitud de arco C. Este número existe y es único. Si un arco tiene longitud se dice que es rectificable, de acuerdo con la difusión, la longitud L es el límite de las longitudes de los polígonos inscritos, cuando la mayor de las distancias entre puntos consecutivos de estos polígonos tienden a cero. 
Pasemos ahora a la tercera pregunta sobre la forma de calcular efectivamente la longitud de arco. Supongamos que el arco C cuya longitud es S esta dado en la forma y=f(x) donde f tiene derivada continua. Los extremos del arco son en el punto A=(a, f(a)) y B= (b, f (b)) introducimos los puntos de subdivisión con coordenadas , la longitud del polígono inscrito está dado por la fórmula:
Dado ; En este punto recurrimos al teorema del valor medio el cual expresa que si una función f tiene derivada en el intervalo [c,d] entonces entre (c y d) tal que se tiene 
 
 
 
En la figura anterior se muestra un segmento de recta típico recordando que tenemos que existe un valor 
Determinamos una igualdad de este tipo para cada i desde 1 hasta n y la reemplazamos en la fórmula para la longitud de la poligonal inscrita 
Haciendo y recordando la definición de la integral vemos que el límite de nos va a dar que: