4-Calculo-III-Pensul-de-Ingenieria-Electronica

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2020
CALCULO III
Unidades:
1. Calculo diferencial en funciones de varias variables.
2. Calculo integrales en funciones de varias variables.
3. Calculo vectorial.
Bibliografía:
· Calculo con geometría analítica – Earl Swokowsky.
· Calculo con geometría analítica – Louis Leithold.
· Calculo con trascendencias tempranas – Denis Zill.
· Análisis Matemático.
Funciones de Varias Variables.
Una función está compuesta por un dominio, rango y una regla de asociación entre el dominio e imagen de la función.
Ƒ: D ≤ rn → R
Es una regla que asocia cada n-ada ordenada (x) de números reales (X1, X2, X3,…, Xn) ∈ 	d, un solo número real determinado por ƒ(X1, X2, X3,…, Xn).
 A= b.h → ƒ (b, h) = A
 
V = abc → ƒ(a, b, c) = a.b.c = V
Recta Numérica 
 
(x˃0; y˃0; z˃0)F(x, y, z) f(-x, y, z) 
F(x, y, -z) f(x, -y, z) 
F(x, -y, -z) f(-x, y, -z)
F (-x, -y, -z) f(x, -y, -z)
Al conjunto de todos los puntos que pertenecen al dominio de la función y que puede asociarse un único número ƒ se llama dominio y al número ƒ se llama rango.
La grafica de una función de dos variables es el conjunto de puntos en el espacio para los cuales Graf ƒ = {(x, y, z) ϵ R3: (x, y) ϵ D; Z= ƒ(x, y)}
La interseccion del plano horizontal Z= K con la superficie Z= ƒ (x, y), se llama curva de contorno de altura K. La proyección de ésta curva sobre el plano horizontal se llama curva de nivel ƒ(x, y)=k 
Superficies de Nivel
Si ƒ es una funcion de tres variables y K es una constante la grafica de la ecuacion ƒ(x, y, z) = k se llama superficie de nivel.
Una función es una correspondencia entre sus magnitudes y según sea su significado (magnitudes), la función también lo tendrá (tiempo, espacio, temperatura, etc.).
Encuentre el dominio de las siguientes funciones e indique su significado grafico.
1. Ƒ(x, y) = 
· (x, y) ϵ R2 La división entre cero no esta permitida.
X – Y2 = 0
· La raiz cuadrada de un numero negativo no esta permitida.
 X – Y2 < 0
Sol: ∀(x, y) ϵ debe cumplirse X – Y2 ˃ 0 
Dom: {(x, y) ϵ R2: X – Y2 ˃ 0
El dominio de la función son todos los puntos interiores a la parabola, excluyendo su frontera.
2. Ƒ(x, y, z) = 
· Sol: ∀(X, Y) ϵ R3; 4 – X2 – Y2 – Z2 ˃ 0 ó X2 + Y2 + Z2 < 4 
(Representará una esfera de r= 4).
Domƒ: {(X, Y, Z) ϵ R3: X2 + Y2 + Z2 < 4}
· Gráfica:
· Si X= 0 ⇒ plano o traza YZ ⇒ Y2 + Z2 = 4 (ecuación de la circunferencia para r = 2).
· Si Y= 0 ⇒ plano o traza XZ ⇒ X2 + Z2 = 4 (ecuación de la circunferencia para r = 2).
· Si Z= 0 ⇒ plano o traza XY ⇒ X2 + Y2 = 4 (ecuación de la circunferencia para r = 2).
El dominio de la función son todos los puntos (X, Y, Z) interiores a la esfera, excluyendo la frontera.
Trace algunas curvas de superficies de nivel, según corresponda:
1) Ƒ(x, y) = X2 + Y2 – 4X + 6Y + 13.
F(x, y)= (x2 – 4x) + (y2 + 6y) + 13 = (x2 – 4x + 4 – 4) + (y2 + 6y + 9 – 9) + 13
= (x2 - 2)2 – 4 + (y2 + 3)2 – 9 + 13 = (x2 - 2)2 + (y2 + 3)2
Consideremos k
(x2 - 2)2 + (y2 + 3)2 = k
Ecuación de la circunferencia con centro (2, -3) y radio 
Si k=0 (2, -3)
Si k=1 (x2 - 2)2 + (y2 + 3)2 = 1 {circunferencia c (2,-3); r=1}
Si k=4 (x2 - 2)2 + (y2 + 3)2 = 4 {circunferencia c (2, -3); r= 2}
Mapa de contorno.
a) f(x, y, z) = z – x2 –y2 
Recuerde: z = es un paraboloide elíptico con eje z.
Si a=b el paraboloide es circular.
Sol: Sea f(x, y, z) = k, entonces k = z – x2 –y2 de tal manera que: z = x2 + y2 + k
· Si k=0 → z = x2 + y2 es un paraboloide circular con vértice (0, 0, 0).
· Si k=1 → z = x2 + y2 + 1 es un paraboloide circular con vértice (0, 0, 1).
· Si k= -1 → z = x2 + y2 – 1 es un paraboloide circular con vértice (0, 0, -1).
Observación: f(x, y, z) = (z – 1) – (x + 2)2 – (y – 3)2 
K = (z – 1) – (x + 2)2 – (y – 3)2
z – 1 = (x + 2)2 + (y – 3)2 + k
El origen se traslada al punto (x, y, z) = (-2, 3, 1)
Z´ = (x´)2 + (y´)2 + k
Límite y continuidad de funciones de varias variables.
Sea ƒ: D ≤ R2 → R una función de dos variables definida en el disco abierto D, excepto posiblemente en el punto (a, b), entonces: 
: D ≤ R2 → R ⇒ 
Si y solo si 
Para todo épsilon positivo, existe un delta positivo.
Limites Iterados.
Si 
Entonces la función f(x, y) no tiene límite, pero si alguno de ellos no existen o son iguales, entones no se puede asegurar que el limite doble exista.
Regla de la doble trayectoria.
Si dos trayectorias que llegan a un mismo punto, producen dos límites diferentes para la función f(x, y), entonces ; o sea no existe.
Paso a Coordenadas Polares.
Supongamos que (a, b) = (0, 0) y efectuamos en la función f(x, y) un cambio de coordenadas polares a través de x= r; y = r; para obtener f(x, y) = f(r, r). ; siempre que 
Calcule los siguientes límites, si existen.
1) 
Evaluación directa:
 (Indeterminación)
Limites Iterados:
 
 = = = 
Como lo limites iterados son iguales, no podemos asegurar que el limite existe.
Regla de la doble trayectoria.
Primera trayectoria (y= mx) {si x=0 y=m= (0) = 0; x → 0, entonces y → 0}
 
Como depende de “m”, entonces el límite no existe, puesto que “m” puede tomar infinitos valores, lo que contradice al teorema de existencia y unidad del límite, que establece que es único.
 Tiene por valor 2m, entonces:
· Si m=1 
· Si m= -1 = -2
NO existe.
Continuidad 
F(x, y) es continua en (X0, Y0)D si cumplen las siguientes condiciones:
i. F(X0, Y0) Está bien definido. 
ii. existe.
iii. = f(x0, y0)
Observaciones:
· Si se cumplen i) e ii), pero no iii) la discontinuidad es removible es decir, con tan solo definir el punto (x0, y0) de tal manera que = f(x0, y0), entonces la función f(x, y) será continua en (x0, y0).
· Si = f(x0, y0) NO existe, entonces la discontinuidad es esencial la cual es imposible removerla.
Ejercicio 1.b) ¿La función es continua en (0, 0)?
i) F (0,0) = Indeterminado.
F NO está bien definida.
ii) Se vio en el ejercicio anterior que NO existe la función es discontinua en (0, 0).
2) (usando el paso a coordenadas polares).
X2 + y2 = r2; x 0; y 0 r 0, entonces
 Indet.
Aplicando l'Hôpital
 … Existe. 
3) F(x, y)= { ; (x, y) 
 1; (x, y) = (0,0)
a) F(0,0) = 1; está bien definida.
b) 
Regla de la doble trayectoria.
1° Trayectoria (y=mx) 
2° Trayectoria (y=mx2)
Como los límites son iguales, entonces el limite existe y su valor 0.
Observación: También puede utilizarse el paso a coordenadas polares.
X0 y {implica que r2 0 y es evidente que r}
 … Por tanto el límite existe y su valor es 0.
c) , pero 0 1, por tanto hay discontinuidad removible.
Esto indica que mediante la redefinición del punto, obtenemos una función continua, la cual estará descrita por 
F(x, y)= { ; (x, y) 
 1; (x, y) = (0,0)
Toda función diferenciable es continua, pero no toda función continua es diferenciable.
Derivadas de Funciones de Varias Variables.
Objetivo:
Extender el estudio de las derivadas de funciones da una a funciones de varias variables.
Contenido: 
· Conceptos generales.
· Interpretación geométrica.
· Derivadas de orden superior.
· Ejemplos.
Se llaman derivadas parciales de una función z= f(x, y) respecto a las variables X e Y, a las funciones y es decir, si derivamos respecto a la variable X, las otra variables serán consideradas constantes, mientras que si derivamos respecto a la variable Y las restantes se considerarán constantes.
Geométricamente, la derivada parcial respecto de Z respecto a X proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva de intercepción entre la superficie z=f(x, y) con el plano y=c, mientras que la derivada parcial de Z respecto a la variable Y proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva de intercepción de la superficiez=f(x, y) con el plano x=c. Estos hechos se muestran en la siguiente figura:
Observaciones:
· Z – Z0 = (X – X0) 
· Z – Z0 = (Y – Y0) 
Integrales Múltiples.
Objetivo:
Extender el estudio del cálculo integral de funciones de una variable, a funciones de varias variables, para la resolución de ejercicios y problemas ingenieriles.
Contenido: 
· Integrales Dobles.
· Integrales Triples.
· Campos de Coordenadas.
· Polares.
· Cilíndricas.
· Esféricas.
· Varias.
· Integrales Impropias.
· Aplicación de las integrales.
· Ejemplos variados.
Integrales Dobles.
Sea f una función de dos variables que está definida en una región R. La integral doble de f sobre R se denota y define por ; siempre y cuando el límite existe. 
A medida que la partición se hace más fina (||P||0) podemos aproximar el volumen cada vez mejor, es decir:
Si f(x, y) ≤0 en todo R, entonces la integral doble de f sobre R es igual al negativo del volumen del sólido comprendido entre la gráfica de f y bajo la región R.
Si la región R está compuesta por varias regiones R= R1UR2U… URn las cuales entre ellas solo tiene en común puntos fronteras y no se sobreponen o traslapan, pueden considerarse, por ejemplo:
=
Propiedades:
· 
· Si f(x, y)0 en toda región R, entonces 
· 
Integrales Iteradas.
Tipo I
Tipo II
 En el tipo I se realiza primero la integración parcial respecto a “y” y se evalúa de forma acostumbrada, luego se integra respecto a “x” y se obtiene el resultado final al evaluar los límites de integración pertinentes, mientras que el tipo II se realiza un proceso similar. 
Áreas y Volúmenes.
Área
A = .
De forma similar ocurre para 
A= 
Volumen. 
V= 
De forma similar ocurre para:
El valor promedio de la función z=f(x, y) en la región R, está dada por:
1) Evalúe 
; 
Usamos 
 
= 
=
= 
= 
=
Por tipo II 
 
Usando 
 
Sea m=y2; dm=2ydy dm/2 = ydy
=
2) Determine el área de la región del 1° cuadrante, delimitada por y=x2; y=x
Si x=0 y=0 pto. (0,0)
Si x=1 y=1 pto. (1,1)
Igualando funciones: 
X2=X x2 – x= 0 x(x – 1) = 0 
X=0 x= 1
A= 
A = 
3) Determine el volumen de la superficie delimitada por los planos coordenados y 6x + 2y + 3z=18
Si x=0; y=0 6(0) + 2(0) + 3z = 18 z=6, pto. (0, 0, 6)
Si x=; z=0 6(0) + 2y + 3(0)= 18 y=9, pto. (0, 9, 0)
Si y=0; z=0 6x + 2(0) + 3(0) = 18 x= 3 pto. (3, 0, 0)
; Se sabe que z = f(x, y), es decir: 
Z=0 6x + 2y + 3(0)= 18
6x + 2y = 18
3x + y = 9
Y= 9 – 3x
 
= 
=
=
= 
=
V= 27unid3
4) En cierta fabrica la producción está dada por la función Q (K, L)=40K1/2L1/2, donde K es la inversión de capital en unidades de miles de $ y L es el tamaño de la fuerza laboral medida en horas/hombre. Suponga que la inversión mensual de capital varía entre $12,000 y $16,000 mientras que la fuerza laboral varía entre 2950 y 3350 horas/hombre. Encuentre la producción promedio mensual para la fabricación de dicho artículo.
Q (K, L)= 40K1/2L1/2
$12,000 y $16,000; 12≤K≤16
2950 y 3350; 2950≤L≤3350
A = (16 – 12) (3350 – 2950)
A = (4) (400)
A = 1600
 
= 
= 
= 561.15
Vp= 8391.42 8392 unid. [Producción promedio mensual].
Integrales Dobles con Coordenadas polares.
En condiciones adecuadas una integral doble en coordenadas rectangulares pueden ser transformadas en una integral doble en coordenadas polares, es decir:
; Con dA=
Tipo I
Las funciones g1 () y g2 () son continuas con g1 () ≤g2 () para , entonces 
Tipo II
Las funciones h1(r) y h2(r) son continuas con h1(r) ≤ h2(r) para entonces 
El área puede determinarse empleando:
El volumen puede determinarse a partir de:
Ejemplo:
1) Determine el área de la región delimitada entre las gráficas: r= 2+ cos y r=1
R= a + b cos 
: Cardiode : caracol con hendidura
: Caracol convexo 
 
 
 
 =
 
= 
==
=
=
A= 
2) Determine el volumen del solido delimitado superiormente por: z=8-r2 e inferiormente por: z=r2
z=8-r2= 8 – (x2 + y2) paraboloide circular que abre hacia abajo.
 z=r2 = x2 + y2 paraboloide circular que abre hacia arriba.
Igualando
 
 
 
 
 
V= 
F(r,) = Función superior – Función inferior
F(r,) = (8 – r2) – r2 = 8 – 2r2
V= 
= 
=
 
=
Centros de masa y momentos de inercia.
Divídase s en pequeñas rectángulos R1, R2,... Rk y seleccione , entonces la masa m se define y denota por . Donde es la densidad (masa por unidad de área) en el punto (x, y) tal que:
El centro de masa esta denotado y definida por 
Con 
Mx y My son conocidos como primeros momentos de la lámina de los ejes coordenados. 
Los momentos de inercia, también llamados segundos de la lámina respecto a los ejes coordenados, están definidos por:
 
 
Iz = Ix + Iy 
Observaciones
· Si la densidad es homogénea =1 entonces m=4.
· Cuando la densidad es homogénea, el centro de la masa se llama centroide.
· Un momento de inercia es el equivalente rotacional de la masa. Por ejemplo: la energía cinética de una partícula de masa m que rota a una distancia r del eje, es de con momento de inercia alrededor del eje de rotación y su velocidad angular.
· El radio de giro de una lámina de masa m y el momento de inercia I alrededor del eje, se define por 
1) Una lámina tiene la forma de la región R del primer cuadrante que está acotada por las gráficas Y=sin x; y = cos x con x entre 0 y (). Determinar el centro de masa si la densidad es =y
Igualando ambas ecu.
Sin x = cos x sin x/cos x =1
Tan x= 1 x tan-1(1) = 
Los límites de integración son:
 
 
 
==
=
 
My =
=
 
 
 
 
= 
=
Mx =
Recordar:
 
 
 
=
=
=
=
=
 
Luego las coordenadas de centro de masa se determinan:
 
 
Aproximadamente ().
b) Momentos de inercia
 
 
 
c) Calculo del radio de giro.
 
 
 
2) Una lámina ocupa la región acotada por las gráficas y=x2 y=x+2. Suponga que la densidad de la lámina en el punto p(x, y) es proporcional a la distancia del punto P al eje x. Plantee las integrales que permitan determinar el centro de masa y los momentos de inercia.
y=x2 Parabola que se abre hacia arriba con vértice en el origen.
y=x+2 Recta creciente que para por los puntos (-2, 0) (0, 2)
Igualando. 
X2= X+2
X2 – X+2
(X – 2)(X + 1) =0
X=2; X=-1
Sustituyendo en y=x2, entonces tenemos que los puntos (2, 4); (-1, 1).
 Es proporcional a la distancia de P al eje x. Para calcular la distancia de p al eje x, usamos:
=ky2
 
 
 
 
 
 
Centro de masa
 
 
Integrales Triples
 
Si el límite existe y f(x, y, z)=1; entonces 
Hay 6 formas en el orden de integración: 
Coordenadas cilíndricas.
Las relaciones que ligan las coordenadas cilíndricas con las rectangulares son:
 
 
Si tenemos F(u, v, w); G(u, v, w) y H(u, v, w) el Jacobiano está definido por:
Entonces:
Dónde:
Coordenadas esféricas.
Las relaciones métricas que ligan las coordenadas esféricas con las coordenadas rectangulares son:
 
 
 
 
Luego:
1) Plantee la integral que permita calcular el volumen de la región solida limitada superiormente por el paraboloide Z=1 – x2 – y2 e inferiormente por el plano Z=1 – y.
Límites de integración respecto a Z
1 – y ≤ z ≤1 – x2 – y2
Inserte dibujo aquí.
Igualando z=z
1 – x2 – y2=1 – y
1 + x2 + y2 + 1 – y=0
X2 + y2 – y=0
X2 + (y2 – y + ¼)=0+ ¼
X2 + (y – ½)2 = ¼ {Circunferencia con centro c (0, ½) y radio ½.
X2 + y2 – y=0
X2 = y – y2
 
 
Para delimitar los límites de integración respecto a la variable “y” tomamos x=0 de la expresión y2 – y =0 y (y – 1) =0 y=0 y=1 0 ≤ y ≤ 1
 
 
 
==
=
 =
 
 
Para evaluar más fácil este tipo de integrales (posiblemente).
Coordenadas Cilíndricas.
· Se conocen los límites de integración respecto a z.
 1 – y ≤ z ≤1 – x2 – y2 [1-(x2+y2)]
Pero x=rcos y=rsin; x2+y2=r2 
1-rsin ≤ z ≤ 1 –r2
· Falta averiguar los límites de integración respecto a r y . Se sabe que la intersección entre el paraboloide y el plano está dada por la expresión:
 
 
 
 
 
Como z=0 entonces:
 
Y=1
 
 
= π/2 
 
Luego:
 
 =
=
=
= 
=
Recordar: 
Luego: 
Recordar: 
Luego: 
 
 
Esto significa que:
 
 
 
 
Use coordenadas esféricas para plantear la integral que permita calcular el volumen del solido limitado superiormente por x2+y2+z2=16 e inferiormente z=
 
 
Z=
x2+y2+z2=
 
Usando coordenadas esféricas se observa:
x2+y2+z2=16
 
 
 Límites de integraciónde 
Si z= entonces z2= x2+y2
x2+y2+z2=16 pero z=
x2+y2+ ()2 =16
x2+y2+ x2+y2=16
2(x2+y2) =16
x2+y2=8
0≤≤2π
= 
=
Observación:
· Límites de integración respecto a z.
· Límites de integración respecto a y.
· Límites de integración respecto a x.
0≤x≤2√2
Luego 
Calcule el volumen del cuerpo limitado por las superficies: z= y z=2 – 
Intersección entre las superficies.
 
 
 
Z=1
Usando coordenadas rectangulares.
· Límites de integración respecto a Z.
· Límites de integración respecto a Y (z=0).
 
 
· Límites de integración respecto a X (Y=0, z=0)
Usando coordenadas cilíndricas.
X=rcos; y=rsin; z=z
Evidentemente el ángulo varía 0≤≤2π
 
 
Usando Coordenadas esféricas.
 
 
Z=
x2+y2+z2=
z= x2+y2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Contenido:
*Funciones vectoriales
-Definición
-Límite y continuidad
-Derivadas
-Integración
*Movimiento curvilíneo
-Velocidad y rapidez
-Aceleración y celeridad
-Longitud de arco
-Curvatura y radios de curvatura
-Fórmulas de frenet – serret
-Componente tangencial y normal de la aceleración
*Funciones vectoriales
Es una función con dominios reales, tal que f: 
Si n=1 y m= 2 f: R 
 F (): f, () i+ () j
Sí n=1 y m= 3 f: R 
 F (t) = f, () i + (t) j + (t) k
Donde , y son los componentes de f en la base canónica 
Límite y continuidad:
Sea f: definida por: y sea el vector L = entonces (r) = L i (r) = Li, c = 1, 2,…, m. 
 
Sea F , definida por f (r) = y sea el vector L = (L1, L2,… Ln) entonces (r) = L i (r) = Li; i = 1, 2,…, m.
Propiedades:
F y G con y 
i) Sí A existe, es único.
ii) = KA 
iii) B
iv) A x B (para m = 3)
v) | = |A|
Derivadas:
Sea F R una función vectorial de variable escalar t, entonces se define la derivada de como F´ (t) = [F (t)] = 
Teoremas:
*Sea F una función vectorial de variable vectorial definida por F (r) = (F, (r), , (r)) entonces
 = ( , , …, )
*Sea F una función vectorial de variable escalar definida por: F (r) = ( F, (t), ), entonces = (F´, (t), (t), …, F´m (t))
Algunas reglas de derivación:
Sí , y son funciones vectoriales de una variable escalar t, los cuales admiten derivadas con respecto a dichas variables y F es una función escalar derivable respecto at, entonces
1) ( )= 
2) ( ) = + 
3) (x ) = x + + x 
Debe recordarse que el producto punto es conmutativo, pero el producto vectorial “No” lo es, por lo que debe respetarse el orden de estos productos.
4) ( x ) = x + x + x 
5) [ x ( x ) ] = x ( x ) + x ( x ) + x ( x )
6) [ (f (t))] = 
Integración ordinaria
Sí (t) = (t)I + (t)j + (t)k, entonces la integral indefinida es otra función vectorial de la forma (t) + , es decir:
 i + [ (t) dt]j + [ (t)dt]k
= [G, (t) + C,] i + [ (t) + ]j + [ (t) + ]k
= [G, (t) I + (t) j + (t)k] + [ + j + k]
= (t) + 
Si la integración es definición en [, ], entonces:
 (t) dt = (t) | () - ()
Movimiento curvilíneo
Considerando que (t) = x (t) i + y(t)j + z (t)k es el vector posición de una partícula en el instante “t”, se tiene:
- El vector velocidad: (t) = = (t)
- La rapidez: V = || (t) || = || (t) ||
- El vector aceleración: (t) = = = (t)
- La celeridad C = || (t) || = || r || (t) ||
- La longitud del arco: S = (t) || dt
- El vector tangente unitario a la curva: T = , T = 
- La curvatura K en el punto P:
K = , K = , K = 
- El radio de curvatura 
 con vector normal unitario N definido por N = 
Fórmulas de Frenet – Serret
1) = KN
2) = -TN
T: Torsión de la curvatura T = ||
B) - TB – kT
Además tiene que: 
- El plano normal está formado por: N y B
- El Plano a su lado está formado por: N y T
- El plano rectíficante lo conforman los planos T y B
 
Componente tangencial y normal de la aceleración
| |² = 
Practica
i) Evalúe si se sabe que
ii) r (t) = F (t) G (t)
ii) r (t) = F (t) x G (t)
con F (t) = 2ti + - G (t) = senti – costj + k
Solución:
i) r (t) = f (t) G (t) = 2+ sent - cost - 
 (t) = cost - ]
= 0 – 0 -0
= 0
1) Evalúe si se sabe que 
i) r (t) = F (t) G (t) con F (t) = 2ti + t²j - t ³k
ii) r (t) = F (t) x G (t) y G (t) = sent i – cost tj + k
1) r (t) = F (t) G (t) = 2t no sent :O - cost - 
 = 
= 0 + 0 + 0 = 0
ii) r (t) = F (t) x G (t) = 
= ( - sent j – 2t cost tk) – [ sent k cost i + 2tj]
= ( - cost t) i + (- sent – 2t) j + (-2t cost t - sent)k
 = 
= 0i + 0j + 0k
= 
2) Encuentre las primeras y segundas derivadas de la función vectorial
 = La a , a
 = L -2a cost t sent t; 2a sent cost, 0 
 = L – 2a (-2a ); 2a (- + ); 0
= 2 – 2a cost2t; 2a cos2t; 0
Resumen
 = -2a cost sen t I + 2a sen t cost j + 0 k
 = -ac cos 2t I + 2a cos 2t j + 0 x
Evalúe la siguiente integral
 i - j + k]dt
u = m = -2t
 = 2tdt dm = -2dt 
 = tdt - = dt
= [du]i + [dm]j + [arc tan t k
= [ i + [ j + [arc tan t k
= (e - )i + ( )j + ( – 0) k
= (e-1)i + ()j + k
4) Para la curva X = t; Y = ; Z = en el punto “M” (2, 4, 8), te pide determinar:
a) El vector tangente; vector binormal y vector normal.
* (t) = ti + j + 
* El vector tangente: = = (t)
k
Como el punto M (2, 4, 8) 
 (2) = i + 4j + 12k
* El vector binormal: = x 
Sí (2) = i + 2tj + 3 = 0i + 2j + 6tk
 (2) = 0i + 2j + 12k
 = | = (48i + 0j + 2k) – (0k + 24c + 12j)
 (2) = 24i – 12j + 2k
El vector normal: = ( x ) x = x 
 (2) = || = (-144i + 2j +96k) – (-12k + 8i + 288j)
 (2) = -152i – 286j + 108k
b) Vectores tangente unitario, binomial unitario y normal unitario
 = = = i + j + k
 = = = i - i + k
 = = = j - j + k
c) Ecuación del plano normal
 (x - ) + (y - ) + (z - ) = 0
1 (x-2) + 4y – 16 + 12z – 96 = 0
X + 4y + 12z – 114 = 0
d) Ecuación del plano osculador
 (x - ) + (y - ) + (z - ) = 0
12 (x – 2) – 6(y – 4) + 1(z – 8) = 0
12x – 6y + z = 8
e) Ecuación del plano rectíficante
 (x - ) + (4 - ) + (z - ) = 0
-76 (x- 2) – 143 (y – 4) + 54 (z - 8) = 0
-76x + 152 – 143y + 37z + 54z + 432 = 0
-76x – 143y + 34z + 292z = 0
g) curvatura y radio de curvatura
K = = || = = 
K = 0.167125 La curvatura
g) Torsión, velocidad y aceleración
 = = ) 
 = 0i + 2j +6tk 
 = 
 torsión
 = Velocidad Aceleración
|| = Rápidez || = Celeridad
Divergencia, rotacional y laplaciano
Divergencia
*Se define y denota por div 
*La divergencia representa el trazo de la matriz jacobiana , es decir:
Div = traza () = traza ( = traza 
Observaciones:
1) La divergencia es un campo escalar porque se obtiene una función escalar de la variable vectorial r.
2) Si es un campo vectorial y div entorno al punto , entonces la masa fluye hacia el punto y se dice que en “P” hay un sumidero
Div 
3) Sí es un campo vectorial y div entorno al punto “P”, entonces la masa fluye desde el punto y se dice que en “P” hay una fuente o manantial.
Fuente:
div (p) 20
4) Sí es un campo vectorial y div = 0 entorno al punto “P”, entonces “P” no es ni sumidero ni fuente, y se dice que es un campo delonoidal 
div = pero (significado que está derivado de un potencial vectorial )
div = = 0
Este tipo de campo vectorial caracteriza a los fluidos incomprensibles.
5) Un ejemplo del campo solenoidal es:
a) El campo magnético que satisface la ley de gauss para estos campos 
“La cantidad del campo que escapa hacia el exterior de una superficie cerrada es igual a la suma neta de las fuentes escalares contenidas en el inferior de dicha superficie”
 *Integral de línea
Aplicándolo
0
b) La densidad de la corriente eléctrica en una masificación de corriente estacionaria para los cuales las leyes de la conservación de la carga se reduce a:
 = 0; = P 
Si el volumen de la carga contenida disminuye, se debe al flujo exterior a través de la frontera
Es decir implica que la intensidad de corriente en dos secciones cualquiera I, 
Esto no es una regla general pero se cumple en flujos de corrientes
I = + 
RotacionalEl rotacional del campo vectorial se define y denota por:
rot = = 
A través del cual se obtiene información acerca del aspecto giratorio o rotativo del movimiento.
Observaciones:
1) Sí denota el campo de velocidades de un fluido, entonces div en el punto P mide la tendencia de ese fluido fuera o adentro de P y la rot provee.
La dirección del eje alrededor del cual giran el fluido más rápidamente y 
|| rot nos da la rapidez del giro.
2) Para la rotacional de un sólido rígido, el rotacional del campo de velocidad es un nuevo campo vectorial cuya dirección es la de un eje de rotación y su magnitud es el doble de la velocidad angular.
|| rot = 2
rot = (2) k donde k: eje de rotación
3) El rotacional escalar de (x, y) = p (x, y) i + Q (x, y)j es la función
 - la cual se obtienen del rotacional del campo vectorial bidimensional para la cual la componente “K” es cero y los demás componentes son independientes de las coordenadas Z, es decir:
 = () K Rotacional escalar
4) Para cualquier campo vectorial , la divergencia de cualquier rotacional es cero.
div (rot ) = 0
Laplaciano
Así como la divergencia y el rotacional de un campo vectorial son invariantes del primer orden de la matriz jacobiana, existen los llamados invariantes de 2do orden, entre los cuales:
1) El rotacional de un rotacional
)
2) La divergencia de un rotacional
)
3) El gradiante de una divergencia
)
4) El rotacional de un gradiante
)
5) La divergencia de un gradiente (Laplaciano)
)
El Laplaciano se define como:
 = + + 
Observaciones:
1) El Laplaciano representa la traza de la matriz Hessiana respecto a x, y , z.
 ( )
2) Cuando el Laplaciano de es nulo, entones es una función armónica.
 = 0 + + = 0
3) Los operadores gradiente, rotacional, divergencia y Laplaciano, están relacionados por
rot (rot ) = grad (div ) - 
4) Un campo es conservativo sí rot = 0
Integral de línea
La integral de línea f con respecto a X a lo larto de C de A a B
La integral de línea de f con respecto a y a lo largo de C de A a B
La integral de línea de f con respecto a la longitud de arco “S” a lo largo de C de A a B
“C” es una curva paramétrica
Sí C es una curva suave parametrizada por x = x(t); y = y(t); a con dx = (t)dt; dy = 
* (t)dt
*(x, y)dy = (x(t), y(t)) (t)dt
* (x, y)ds ( x(t), y(t) )
 “C” definida explícitamente
Sí y = g(x); a 
dy = (x)dx y ds = 
* (x, y)dx = ( x, g(x) )dx
* (x, y)dy = ( x, g(x) )
* (x, y)ds = ( x, g(x) )
“C” curva suave por partes
C = c, UU
Entonces la integral de línea es:
 (x, y)ds = (x,y)ds + (x,y)ds + (x,y)ds
Muy a menudo las integrales de línea pueden expresarse en su forma diferencial.
 (x, y)dx + (x, y)dy = 
Integral de línea en el espacio
Sean x = x(t); y = y(t); z = z(t) podemos evaluar las integrales de línea a lo largo de la curva C.
* (x(t), y(t); z(t)) (t)dt
* (x(t), y(t); z(t)) (t)dt
* (x(t), y(t); z(t)) (t)dt
* (x(t), y(t); z(t)) dt
Integrales de líneas de campos vectoriales. La integral de línea del campo vectorial F a largo de la curva C es:
a) 
b) 
Las 
 (r(t)) (t)dt
Observaciones
1) El trabajo realizado por una fuerza constante a lo largo de C se puede determinar usando:
2) El trabajo practicado por una fuerza a lo largo de C se debe por completo al componente tangencial de , es decir: 
3) Una integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una curva cerrada simple C, se dice que será la circulación de alrededor de C.
i) Sí el flujo rota en sentido contrario de las manecillas del reloj.
ii) Sí el flujo rota en el sentido de las manecillas del reloj
Teorema de Green
Sea = Mi + Nj un campo vectorial en , sea R una región simple y conexa con frontera C suave a trozos y orientada en sentido antihorario.
Sí M, N, son combinadas en una región cubierta que contiene R, entonces:
 + Ndy = - )dA
Es evidente del gráfico que:
 y como 
 
Teorema
Sea R una región plana limitada por una curva cerrada simple a trazos c. El área de R se puede determinar usando:
A = 
A = 
Integral de superficie
= x(u, y)i + y(u, y)j + z (u, y)k
A = 
Considerando la proyección de S sobre los planos coordenadas se puede encontrar el flujo de sobre S en la dirección . 
 = 
Con 
Teorema de divergencia de Gauss
* F = Mi + Nj + Fk
 vector normal ascendente exterior
 ds = dv
=)jv
* En el plano sería:
 ds = )dA = )dA
Teorema de Stokes
Sea S una superficie conectada por un sector unitario cuyo ecuación es una curva cerrada simple e. es un campo vectorial cuyas funciones tiene derivadas parciales continuas en una región abierta R que contiene a S y a C, entonces:
 = 
Evalúe la integral de línea a lo largo de la curva C, de acuerdo a las especificaciones: C es la gráfica de x = entre los puntos (4, -2) y (4, 2)
Representación vectorial de los puntos (
 = 
X = + at x = 4 +0t
Y = + bt y = -2 +4t
X = 4; y =2 + 4t Sí t = 0 (x, y) = (4, -2)
dx = odt; dy = 4dt Sí t = 1 (x, y) = (4, 2)
 dx+ xdy = = 
Nota: Para saber que el cálculo de esta integral de línea es correcta, se debe comprobar que la parametrización x = 4; y = -2 +4t corresponde a la curva x = 
 – xdy; C es la parte superior de la circunferencia orientada de (1, 0) a (-1, 0)
Recordar:
X = rcos 
Y = rsen
 + = co
 + = j
Evidentemente, el perímetro “ varía de 0 a . Además
X = cos y = sen
dx = -sen dy = co
 (cos)
= d
Halle el trabajo realizado por el campo de = xi + xyj + para mover una partícula a lo largo de r(t) = cost i + sentj + tk desde (0, 0, 0) hasta (0, 0, 3 (varía solo en Z)
 = ds = + ( + (]dt
 = x(t)I + y(t)j + z(t)k = cost i + sent j + tk
X (t) = cost
y (t) = sent = (-sent I + costj + k) dy
t (t) = t d = (cost I k) 
 d = (-sent cost – sent co + ) dt
 = = -sent cost – sent cot + )dt
U = cost = ) du + dt]
du = - sentdt
 + + 9
 + + 9
 - 
Determine sí es independiente de la trayectoria donde se deriva 
 = (ysex - z)i + tan j - 
La integral es independiente de la trayectoria, sí y solo sí:
a) F (x, y) = = , donde
M = y N = 
b) F (x, y , z) = 
 ; = ; = 
Evalúe C: Es un círculo (x-1 + (y -=4
Círculo con centro (1, 5) y radio r = 2
dA
 (
 (
 + 2y)dx + (3x - dy = 
= 
Use El teorema de Green para evaluar donde C es la región compuesta superiormente por la recta y = x e interiormente por la parábola y = 
* Para graficar y = usamos el teorema de la 1ra y 2da derivada
 = 0 
 = 2 
Y (1) = – 2(1) = -1
Vértice (x, y) = (1, -1)
* Puntos de intersección con los ejes coordinados
Sí x = 0 
Sí y = 0 
 y = – 2x
 = 4x, = 3x
=
Igualando x = y
 – zx
X (x – 3) = 0 
Puntos de intersección entre las curvas son (0, 0); (3, 3)
= 
= )dx = 
Calcule el flujo del campo vectorial a través del paraboloide Z = 1- que está sobre el plano xy y se sabe que es el vector normal ascendente.
El cálculo de integrales de superficie permite determinar el flujo del campo sobre la superficie en la dirección 
Z = f(x, y) = 1- 
 = fx = -2x
 = fy = -2y
Flujo = 
= dA = 
Usando coordenadas polares en = 1
0
r = 
0
= 2 
= 2 = 2 = 
Evalúe sí = (x + i – 2xj + 2yz k con “S” = con la porción del plano en el primer octante.
Flujo = ds
 = = 
 = (x + - + yz = 3x - x + yz
 = + 
 = + 
 = 4y - 
2x + y + 2z = 6
Sí x = y = 0 pto (0, 0, 3)
Sí x = z = 0 pto (0, 6, 0)
Sí y = z = 0 x = 3 pto (3,0, 0)
Flujo = = dA
Porción del plano del 1er octante (Refiere parte del plano xy)
2x + y+ 2z = 6 Se reduce a 2x + y = 6 y = 6 -2x
0 6 – 2x
Considerando y = 0 x = 3 , es decir 0X3
Flujo = = 
Practica
El campo de velocidad de un fluido está dado por = 5zk y “S” es la superficie + = 16. Calcule el flujo de a través de S en la dirección de y exterior utilizando el teorema de divergencia de trazos.
Flujo = d = + + )dv
 = 0; = 0; = 5
Flujo = 3 
Flujo: 5 [ = 5 [
Flujo: 
Nota: Utilizando coordenadas esféricas
Flujo = 5 
=
= 5 1+1] d
= 5 = 
Evalúe sí = (x+2y)i – 3zj +xx con “S” la superficie 2x+y+2z =6
0
2x+ y + 2z = 6
n x= 0; y = 0 z = 3 pto (0, 0, 3)
n x = 
n y = z = 0 
 ds
 = = 
= i | | - j | | + k | |
= (0 – (-3))i – (1 – 0)j + (0 – 2)k
= 3i – j - 2k
 = 
 = j + k
ds = = dA
( = (3i – j – 2k) 
= 2 - - = 
 = 
= = = 1