Riccati

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Ecuaciones de Riccati
Definición 1 La ecuacion de Riccati tienen la forma:
y′ + p(x)y = g(x)y2 + h(x) (1)
con p, g y h funciones continuas en un cierto intervalo I. Nótese que si h(x) ≡ 0, se
transforma en una ecuación de Bernoulli con α = 2
Para reducir una ecuación de Ricatti a una lineal de primer orden es preciso conocer
previamente una de sus soluciones (particulares) yp : J ⊂ I → R. Por desgracia no existe
ningún método general que permita obtener soluciones particulares, así que debemos
proceder por tanteo (por ejemplo si p(x) = −b, g(x) = a y h(x) = c son constantes puede
tomarse como solución la función constante igual a una de las raíces reales -en caso que
existan- de la ecuación ay2 + by + c = 0)
Una vez encontrada yp(x), sea y(x) : K ⊂ J → R, una solución de (1) y definamos
w(x) = y(x)− yp(x). Entonces
w′ = y′ − y′p =
[
g(x)y2 − p(x)y + h(x)
]
−
[
g(x)y2p − p(x)yp + h(x)
]
= g
[
y2 − y2p
]
− p [y − yp]
= g [(y − yp) (y − yp + 2yp)]− p [y − yp]
= g [w (w + 2yp)]− pw
= g
(
w2 + 2ypw
)
− pw = (2ypg − p)w + gw2
es una Bernoulli con (α = 2)
w′ + (p− 2ypg)w = gw2
cuya solución es w.
Le aplicamos la tecnica aprendida para la ecuacion de Bernoulli para obtener el resul-
tado.
Ejemplo 1 Resolver la ecuación de Riccati
y′ = x3(y − x)2 + x−1y
donde conocemos una solución particular yp = x de dicha ecuación.
En efecto yp = x es solución pues y′p = 1 y además x
3 (yp − x)2 + x−1yp = 0 + 1 = 1
Aplicamos la tecnica: w = y − yp = y − x para alguna solución y de Riccati
w′ = y′ − 1
w′ + 1 = x3w2 + x−1 (w + x)
w′ + 1 = x3w2 + x−1w + 1
w′ − x−1w = x3w2
1
es una Bernoulli de α = 2.
w−2w′ − x−1w−1 = x3
hacer u = w−1, entonces u′ = −w−2w′
−u′ − x−1u = x3
u′ + x−1u = −x3
u′x+ u = −x4
xu = −x
5
5
+
c
5
1
w
= u =
c− x5
5x
y − x = w = 5x
c− x5
y = x+
5x
c− x5
Comprobando
y′ = 1 +
5 (c− x5)− 5x (−5x4)
(c− x5)2
= 1 +
5c+ 20x5
(c− x5)2
x3
[
5x
c− x5
]2
+ x−1
[
x+
5x
c− x5
]
=
25x5
(c− x5)2
+ 1 +
5 (c− x5)
(c− x5)2
= 1 +
5c+ 20x5
(c− x5)2
Las dos expresiones coinciden, luego y = x+ 5x
c−x5 es solución de la ecuación de Riccati
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