T02P03 - Optimo del Consumidor [Solucionario]

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Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
Universidad Nacional de Rosario 
Facultad de Ciencias Económicas y Estadística 
Microeconomía II 
 
Prof. Titular: Claudia Brun 
JTP: Agustina Leonardi 
JTP: Germán Tessmer 
Año 2018 
 
 
 PRÁCTICO TEMA II 
 TERCERA PARTE 
ÓPTIMO DEL CONSUMIDOR 
 
Un repaso matemático antes de empezar 
En la guía del Tema II – Primera Parte correspondiente a la Teoría de la Demanda del 
Consumo, se realizaron aclaraciones sobre los conceptos de conjuntos convexos, y de 
funciones convexas, cóncavas y cuasicóncavas, tanto en la forma estricta y no estricta. Todas 
estas definiciones permiten determinar el tipo de curvatura que tiene una función y, por tanto, 
en términos económicos, permiten evaluar si se está en presencia de una solución de óptimo 
ante un problema determinado, ya sea de maximización o de minimización. 
Ahora bien, las definiciones anteriores no llegan a captar que sucede cuando en el cálculo del 
óptimo se comienzan a involucrar n variables. Cuando esto ocurre, no solo se está 
aumentando la escala, sino también la complejidad del problema. Por ejemplo, si la canasta 
inicial de un consumidor tiene tan solo dos bienes, y en un segundo momento se le agregan 
dos bienes más, el total de cuatro bienes van a tener interacciones entre ellos que van a ser 
determinantes para el cálculo de utilidad. Sencillamente, no va a ser lo mismo si son 
sustitutos, independientes o complementarios. 
La herramienta matemática que se va a utilizar para redefinir los conceptos de convexidad, 
concavidad y sus derivados, va a ser el cálculo matricial. En este resumen, se abordarán esos 
conceptos, partiendo primero de problemas de optimización de dos variables, para luego ir 
hacia problemas de optimización restringida de n variables. 
 
Función estrictamente convexa | Sea una función ( )1 2,y f x x= definida en 2 continua y 
doblemente diferenciable y 2 2 211 1 12 1 2 22 22 0d y f dx f dx dx f dx= + + > cuando cualquiera de al 
menos 1dx o 2dx sean distintas de cero, entonces ( )1 2,y f x x= es una función estrictamente 
convexa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
Función estrictamente cóncava | Sea una función ( )1 2,y f x x= definida en 2 continua y 
doblemente diferenciable y 2 2 211 1 12 1 2 22 22 0d y f dx f dx dx f dx= + + < cuando cualquiera de al 
menos 1dx o 2dx sean distintas de cero, entonces ( )1 2,y f x x= es una función estrictamente 
cóncava. 
 
Las condiciones de convexidad y concavidad estricta para la función ( )1 2,y f x x= son 
suficientes pero no necesarias para caracterizar la curvatura de la función, dado que pueden 
aparecer soluciones donde 2 0d y = . Por tanto, si se relajan algunos aspectos de las 
definiciones anteriores, se obtiene: 
 
Función convexa | Sea una función ( )1 2,y f x x= definida en 2 continua y doblemente 
diferenciable, entonces es convexa si 
2 2 2
11 1 12 1 2 22 22 0d y f dx f dx dx f dx= + + ≥ 
 
Función cóncava | Sea una función ( )1 2,y f x x= definida en 2 continua y doblemente 
diferenciable, entonces es cóncava si 
2 2 2
11 1 12 1 2 22 22 0d y f dx f dx dx f dx= + + ≤ 
 
¿Qué sucede cuando se tiene más de dos variables? En ese caso es necesario recurrir a 
matrices. Supóngase la función ( )1 2, ,.... ny f x x x= entonces la primera y la segunda 
derivadas totales de y, quedan definidas como: 
• 1 1 2 2
1
....
n
n n i i
i
dy f dx f dx f dx f dx
=
= + + + =∑ 
• [ ] [ ] [ ]2 1 2
1 11 2
....
n n
n ij i j
j in
dy dy dy
d y dx dx dx f dx dx
x x x = =
∂ ∂ ∂
= + + + =
∂ ∂ ∂ ∑∑ 
Si se traduce 2d y en términos matriciales, se tiene: 
2
2d y F= ∇
Tdx dx 
Donde [ ]1 2 ... ndx dx dx=Tdx es el vector de cambios en idx y 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
11 12 1
21 22 2
2
1 2
...
...
n
n
n n nn
f f f
f f f
F H
f f f
 
 
 ∇ = ≡
 
 
 
   

 
 
Una vez determinada la matriz hessiana (H) se pueden obtener las reglas para determinar la 
convexidad/concavidad de una función. 
 
Definiciones | Para cualquier ( ) , ny f x x= ∈ que es continua y doblemente diferenciable, 
con un hessiano H, se sigue que: 
1. La función f es estrictamente convexa en n si H es definida positiva para cada 
nx∈ . En notación: 2 2 0d y F= ∇ >
Tdx dx 
2. La función f es estrictamente cóncava en n si H es definida negativa para cada 
nx∈ . En notación: 2 2 0d y F= ∇ <
Tdx dx 
3. La función f es convexa en n si H es positiva semi-definida para cada nx∈ . 
En notación: 2 2 0d y F= ∇ ≥
Tdx dx 
4. La función f es cóncava en n si H es negativa semi-definida para cada nx∈ . 
En notación: 2 2 0d y F= ∇ ≤
Tdx dx 
 
Nótese que las reglas anteriores sobre H solo son suficientes en caso de estricta 
convexidad/concavidad, mientras que las condiciones son necesarias y suficientes en el caso 
de convexidad/concavidad débil. 
Debe recordarse que las condiciones para que una matriz sea positiva o negativa depende del 
signo de los menores principales de la matriz. Sea kH el menor principal de orden k, y se 
denota *kH a cualquier menor principal de orden k, siendo que 
*
kH se refiere a más de un 
menor. Entonces los menores principales serán: 
 
11 12 1
21 22 211 12
1 11 2
21 22
1 2
n
n
n
n n nn
f f f
f f ff f
H f H H H
f f
f f f
= = = =



   

 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
Mientras los menores de orden k, se expresan como: 
 
11 1311 12 11 12* *
1 11 22 33 2
31 3321 22 21 22
, , , ,
f ff f f f
H f f f H
f ff f f f
= =  
 
Definiciones | Sea H una matriz hessiana asociada una función continua y doblemente 
diferenciable, tal que ( ) , ny f x x= ∈ . De lo anterior, se sigue que: 
1. H es definida positiva en n sí y solo si los menores principales son positivos; 
1 0H > , 2 0H > , 3 0H > , … 0nH H= > , para 
nx∈ . En este caso 2 0d y > por 
lo tanto f es estrictamente convexa. 
 
2. H es definida negativa en n sí y solo si los menores principales alternan de signo, 
comenzando con uno de valor negativo cuando 1k = ; 
1 0H < , 2 0H > , 3 0H < , … 
0 si n es par
0 si n es imparn
H H
>
=  <
, 
para nx∈ . En este caso 2 0d y < por lo tanto f es estrictamente cóncava. 
 
3. H es semi-definida positiva en n sí y solo si todos los menores son positivos o cero; 
*
1 0H ≥ , 
*
2 0H ≥ , 
*
3 0H ≥ , … 
* 0nH H= ≥ , para 
nx∈ . En este caso 2 0d y ≥ por 
lo tanto f es convexa. Además, si f es convexa, este conjunto de condiciones se 
deben sostener. 
 
4. H es semi-definida negativa en n sí y solo si los menores principales alternan de 
signo, comenzando con uno de valor negativo cuando 1k = ; 
1 0H ≤ , 2 0H ≥ , 3 0H ≤ , … 
0 si n es par
0 si n es imparn
H H
≥
=  ≤
, 
para nx∈ . En este caso 2 0d y ≤ por lo tanto f es cóncava. Además, si f es 
cóncava, este conjunto de condiciones se deben sostener. 
 
Resta entonces disponer de las definiciones de cuasiconcavidad y cuasiconvexidad para 
funciones de más de dos variables. Pero para eso es necesario definir la matriz hessiano 
orlada H para la función f . 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
Matriz hessiano orlada | Supóngase que la función f definida en n tiene derivadas 
parciales continuas de primer y segundo orden. Entonces, la matriz hessiana orlada de la 
función f es: 
1 2
1 11 12 1
2 21 22 2
1 2
0 n
n
n
n n n nn
f f f
f f f f
H f f f f
f f f f=



   

 
 
Por tanto, si se toma la matriz hessiana orlada de componentes principales 
 
1 2
1 11 12 1
2 21 22 2
1 2
0 k
k
k k
k k k kk
f f f
f f f f
H f f f f
f f f f
=



   

 
va a implicar que: 
1 2 2
1 2
1 11 12 131
1 2 1 11 12 3
2 21 22 231 11
2 21 22
2 31 32 33
0
0
0
, ,
f f f
f f
f f f ff
H H f f f H
f f f ff f
f f f
f f f f
= = = 
 
Teorema | Supóngase que f es una función definida en n y que f tiene derivadas parciales 
continuas de primer y segundo orden. Sea que H representa la matriz hessiana orlada de f 
1. Si 2 0H > , 3 0H < , … 
0 si n es par
0 si n es imparn
H H
>
=  <
, 
para toda nx +∈ , entonces f es quasicóncava. 
 
2. Si 2 0H < , 3 0H < ,… 0nH H= < , para toda nx +∈ , entonces f es cuasiconvexa. 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
Ahora bien, las demostraciones anteriores se realizaron para funciones sin ningún tipo de 
restricción. Para los fines del análisis de optimización es útil contar con condiciones de 
segundo orden de forma local, es decir, en términos de desviaciones alrededor de un punto 
óptimo. 
Observemos entonces la derivación de las condiciones de primer y segundo orden, a partir 
de una función de Lagrange, para un problema de maximización de una función con dos 
variables: 
( )1 2 1 2max , . . ( , )f x x s a g x x 
Por lo que la función de lagrange se define como: 
( )1 2 1 2 1 2( , , ) , ( , )L x x f x x g x xλ λ= + 
Supóngase que el punto * * *1 2( , , )x x λ brinda un valor estacionario de la función de lagrange. 
Entonces se tiene que: 
 
( ) ( )* * * *1 1 2 1 1 2
1
, , 0L f x x g x x
x
λ∂ = + =
∂
 
( ) ( )* * * *2 1 2 2 1 2
2
, , 0L f x x g x x
x
λ∂ = + =
∂
 
( )* *1 2, 0L g x xλ
∂
= =
∂
 
Por tanto, ahora se puede derivar la matriz hessiana, asociada a la función de Lagrange: 
 
* *
11 11 12 12 1
* * *
21 21 22 22 2
1 2 0
f g f g g
H f g f g g
g g
λ λ
λ λ
+ +
= + + 
 
De esta forma, se puede formular el siguiente teorema: 
 
Teorema | Si ( )* * *1 2, ,x x λ provee un valor estacionario a la función de Lagrange 
( )* * *1 2 1 2 1 2, , ( , ) ( , )L x x f x x g x xλ λ= + , entonces: 
• Produce un máximo si el determinante de la matriz hessiana orlada * 0H > 
 
 
 
 
 
 
 
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Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
• Produce un mínimo si el determinante de la matriz hessiana orlada * 0H < 
 
Finalmente, resta considerar que sucede con estas definiciones, una vez que se amplía 
el número de variables. Sea: 
( )1 1max , , . . ( , , )n nf x x s a g x x  
Por lo que la función de lagrange se define como: 
( )1 1 1( , , , ) , , ( , , )n n nL x x f x x g x xλ λ= +   
Por tanto, la matriz hessiana orlada es ahora el deerminante (n+1) x (n+1): 
 
11 1 1
*
1
1 0
n
n nn n
n
L L g
H
L L g
g g
=

   


 
 
De esta forma, se puede formular el siguiente teorema: 
Teorema | Si ( )* * *1 , , ,nx x λ provee un valor estacionario a la función de Lagrange 
1 1( , , ) ( , , )n nf x x g x xλ+  , entonces ( )* *1 , , nx x resuelve: 
• La maximización de 1 1( , , ) ( , , )n nf x x g x xλ+  si los menores principales 
sucesivos de *H alternan el signo de la siguiente manera: 
11 12 13 1
11 12 1
21 22 23 2
21 22 2
31 32 33 3
1 2
1 2 3
0 , 0 ,
0
0
L L L g
L L g
L L L g
L L g
L L L g
g g
g g g
> <  
con *H tomando el mismo signo de ( )1 n− 
 
• La minimización de 1 1( , , ) ( , , )n nf x x g x xλ+  si todos los menores 
principales de *H son estrictamente negativos. 
 
 
 
 
 
 
 
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Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
1. Suponga un consumidor en un mundo donde solamente se producen dos bienes A y B, y 
el cumplimiento de todos los axiomas usuales sobre las preferencias. Los precios de 
ambos bienes son exógenos para esta persona, y su ingreso monetario es fijo. Si el 
objetivo consiste en maximizar su utilidad, se pide: 
1.1. Hallar las condiciones de primer y segundo orden consistentes con el objetivo citado y 
explicar su significado. 
 
( ) ( )Sea el Lagrangiano: , A BL U A B I Ap Bpλ= + − − 
Las condiciones de primer orden (CPO), se deducen de las ecuaciones estructurales: 
 
0
0
0
A
A A
A A A
B B B
B B
B
A B
UL U p
A p U p CPO
UL U pU p
B p
L I Ap Bp
λ λ
λ λ
λ
∂ = − = ⇒ = ∂  − = −∂ = − = ⇒ =
∂ 
∂
= − − =
∂
 
 
Las condiciones de primer orden indican que, en el óptimo, la TmgS entre los bienes coincide 
con el cociente de sus respectivos precios. En otros términos, en el óptimo se igualan las 
pendientes de las curvas de indiferencia y de la restricción presupuestaria. 
Por otra parte, las condiciones de segundo orden tienen dos significados. En términos 
matemáticos, hace referencia a la convexidad de la curva de indiferencia. Por otra parte, en 
términos del modelo, a la necesidad de demostrar que la cesta de equilibrio es una tal que -
en este caso- el consumidor maximiza su utilidad. Una forma de expresar las condiciones de 
segundo orden (CSO) es mediante el determinante de la matriz del hessiano orlado. 
Cuando la determinación de las condiciones de segundo orden se refiere a un problema de 
óptimo del consumidor, con una función de utilidad determinada y una restricción lineal, el 
hessiano orlado se puede simplificar a la forma equivalente: 
 
* 2 22 0
0
AA AB A
BA BB B B AA A B AB A BB
A B
U U p
H U U p p U p p U p U CSO
p p
−
= − = − + − >
− − 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
Nótese que cada fila de la matriz es resultado de volver a derivar por la variable de referencia 
de cada columna, las filas del sistema de ecuaciones estructurales correspondientes a las 
CPO. 
Retomando la demostración, por las condiciones de primer orden se sabe que: ( )A Ap U λ= 
y que ( )B Bp U λ= . Por tanto, sustituyendo lo anterior en *H se tiene que: 
2 2
* 2 2
2
2 0 2 0B AA A B AB A BB B AA A B AB A BB
U U U U U U UH U U U U U U U
λ
− +
= − > ⇒ − + < 
Como queda expresada, esta condición es justamente la condición de que la función de 
utilidad es estrictamente cuasi-cóncava. Así, el punto de tangencia entre la curva de 
indiferencia y la recta presupuestaria es un máximo local cuando la curva de indiferencia es 
estrictamente convexa; y eso ocurre cuando la función de utilidad es estrictamente cuasi-
cóncava. 
 
 
 
1.2. Demostrar que no es lo mismo la convexidad de las curvas de indiferencia que las 
utilidades marginales decrecientes. 
NOTA: En este ejercicio, se buscará demostrar prácticamente lo mismo que en el anterior, 
pero utilizando el método de sustitución. De esta forma, en la guía quedan cubiertos ambos 
enfoques. 
Sea ( )1 2,U f x x= la función de utilidad de un individuo. Suponga que a lo largo de la curva 
de indiferencia, a medida que cambia el consumo de x1, el consumo de x2 se ajusta de modo 
de mantener constante el nivel de utilidad. En otras palabras, suponga que x2 es función de 
x1, x2(x1). La pendiente de la curva de indiferencia sería: 
 
( )( )
( )( )
1 1 2 12
1 2 1 2 1
,
,
f x x xdx
dx f x x x
= − 
 
La condición de convexidad significa que la pendiente de la curva decrece a medida que 
aumenta x1. En otros términos, que la derivada segunda de x2 respecto de x1 es positiva: 
 
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
2
1 1 2 1 2 1 2 12 2 1 1 2 12 2
1 1 1 2 1 2 1
, , 1,
,
df x x x df x x xd x f f x x x
dx dx dx f x x x
 
= − − 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte( )( )
2
2 22 1 1 1 2 1 2
2 12 2
1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1
1
,
d x f dx f dx dx dxf ff f
dx x dx x dx x dx x dx f x x x
    ∂ ∂ ∂ ∂
= − + − +    ∂ ∂ ∂ ∂    
 
 
( )( )
2
2 2 2
2 11 12 1 21 222 2
1 1 1 2 1 2 1
1
,
d x dx dxf f f f f f
dx dx dx f x x x
    
= − + − +    
    
 
 
 
Por condiciones de primer orden, se sabe que: 2 1
1 2
dx f
dx f
= − (es el equivalente a la 
sustitución por ( )A Ap U λ= y ( )B Bp U λ= del punto anterior) 
 
( )( )
2 2
2 1 22
2 11 1 122 2
1 2 2 1 2 1
12
,
d x f ff f f f
dx f f x x x
 
= − + − 
 
 
 
( ) ( )( )
2
2 22
2 11 1 2 12 1 222 3
1 2 1 2 1
12 0
,
d x f f f f f f f
dx f x x x
= − + − > 
 
Como f2 es positiva, la condición necesaria para convexidad de la curva sería: 
 
( )2 22 11 1 2 12 1 222 0f f f f f f f− + − > 
 
Nótese que el término anterior podría no resultar positivo aunque las utilidades marginales 
en el consumo de ambos bienes fueran negativas. 
De lo anterior se deriva que la convexidad de la curva de indiferencia no implica, ni está 
implicada, por la utilidad marginal decreciente en el consumo de los bienes. La convexidad 
se refiere al decaimiento en la Tasa Marginal de Sustitución a medida que aumenta x1. 
La convexidad de la curva no es una derivación de la teoría económica, se relaciona con el 
comportamiento observado de las personas. Es el único supuesto compatible con la 
diversificación en el consumo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
2. Encuentre los valores máximos (o mínimos) de las siguientes funciones restringidas por 
el método de sustitución y por los multiplicadores de Lagrange: 
2.1. 
 
 
 
 
Por Sustitución: 
 
( ) 2
2
( , ) 6
( , ) 6 12 72 6
12 12
( , ) 72 6
(́ , ) 72 12 0 72 12 6 6
´́ ( , ) 12 0
f x y xy
f x y x x x x
x y y x
f x y x x
f x y x x x y
f x y
= 
= − = −+ = ⇒ = − 
• = −
• = − = ⇒ = ⇒ = =
• = − <
 
 
Si la segunda derivada es menor a cero implica que hay un máximo. Recuérdese que una 
segunda derivada negativa significa que la pendiente de la curva tiende a disminuir. Por otra 
parte, dado que estamos buscando valores óptimos, bajo este método tendremos que igualar 
la primer derivada de la función a cero. Así, el punto (6, 6) es un máximo. 
 
 
Por Lagrange: ( )6 12L xy x yλ= + − − 
 
6 0 6
0 6 1
6
6 0 6 12 2 6 0 1 12 0
6
1 1 0
12 0 12
L y y
x y x xL x x x H
y y
L x y x y
λ λ
λ λ
λ
∂ = − = ⇒ = ∂   −= =∂ = − = ⇒ = = ⇒ = − = >∂  =  − −∂
= − − = ⇒ = + 
∂ 
 
De nuevo se comprueba que el punto (6, 6) es un máximo. 
 
2.2. ( ), 2 3 . . 24f x y x y s a xy= + = 
 
Por Sustitución: 
( ), 6 . . 12f x y xy s a x y= + =
 
 
 
 
 
 
 
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Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
1
1
2 2
3
, 2 3
, 2 72
24 24
, 2 72
´ , 2 72 0 36 6 4
´́ , 144 0
f x y x y
f x y x x
xy y x
f x y x x
f x y x x x y
f x y x
−
−
−
−
= +  = +
= ⇒ = 
• = +
• = − = ⇒ = ⇒ = =
• = >
 
 
Si la segunda derivada es mayor a cero, entonces existe un mínimo. Luego, el punto (6, 4) es 
un mínimo. 
 
Por Lagrange: ( )2 3 24L x y xyλ= + + − 
 
 De nuevo se comprueba que el punto (6, 4) es un mínimo. 
¿Qué diferencia básica existe entre las dos funciones objetivo? ¿Qué implica esto en la 
condición de segundo orden para un máximo? 
 
• La primera función objetivo es cóncava y el punto extremo encontrado es un valor 
máximo. 
• La segunda función objetivo es convexa y el valor extremo un mínimo. 
 
3. Dada la función objetivo: ( ) 2 23 - 2 20R xy x y xy= − + ; sujeta a la restricción 100x y+ = . 
Obtenga los valores de x e y que maximizan R (xy), sujeta a la restricción utilizando: 
• Método de sustitución 
• Método de Lagrange. 
 
Por sustitución: 
 
2
2 0 2
2 0
6233 0 3 24 0 2 0
43
0
24 0 24
L y y
xx yy xL xx x H x xy
y y
y x
L xy xy
λ λ
λ
λ λ λ λ
λ
∂ = − = ⇒ = ∂   − −= =∂ = − = ⇒ = = ⇒ = − − = − <∂  =  − −∂
= − = ⇒ = 
∂ 
 
 
 
 
 
 
 
13 
Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
( ) ( )
2 2
2 2
2
3 - 2 20
3 100 - 2 20 100
100 100
30000 2600 25
´ 2600 50 0 260 / 5 48 52
´́ 50 0
R x y xy
R y y y y
x y x y
R y y
R y y x y
R
= − +
= − − + −
+ = ⇒ = − 
• = − + −
• = − = ⇒ = ⇒ = =
• = − >
 
 
 
Por tanto, el punto (48, 52) es un máximo. 
 
Por Lagrange: ( )2 23 2 20 100L x y xy x yλ= − − + + − − 
 
6 20 0 6 20
13 6 20 1
4825124 20 0 4 20 100 20 4 1 50 0
5212
1 1 0
100 0 100
L x y x y
x y x xL y x y x x H
y y
L x y x y
λ λ
λ λ
λ
∂ = − + − = ⇒ = − + ∂   − −= =∂ = − + − = ⇒ = − + = ⇒ = − − = >∂  =  − −∂
= − − = ⇒ = + 
∂ 
 
 
 
4. Suponga un consumidor cuyo mapa de indiferencia sea tal que la pendiente de las curvas 
de indiferencia sea siempre igual a –(y/x) donde y es la cantidad del bien Y, y x es la 
cantidad del bien X. Por su parte, la restricción presupuestaria viene dada por M = xPx + 
yPy 
 
4.1. Demuestre que la demanda de X es independiente del precio de Y. 
 
Según los datos, se sabe que: X X Y
Y
pyTmgS xp yp
x p
= − = − ⇒ = 
Además, para dos bienes, se tiene que: ingresoX Yxp yp m m+ = ⇔ = 
Por tanto:
2
X Y
X X
X Y X
xp yp mxp xp m x
xp yp m p
= 
+ = ⇒ =+ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
 
De lo anterior, queda demostrado que las cantidades demandadas del bien X, no dependen 
(no están en función) de las cantidades demandadas del bien Y. 
 
4.2. Explique con precisión el significado de tasa marginal de sustitución. ¿Cuál es el 
valor de la tasa marginal de sustitución de equilibrio para este individuo suponiendo 
que Px = $1 y Py= $3? ¿Cuáles son los valores de x e y con un ingreso de $120? 
 
La TmgS con Px = $1 y Py = $3 es 1/3. En este punto, con un nivel de ingresos de $120 el 
consumo de x e y, sería de 60 y 20 unidades respectivamente. Una TmgS = 1/3 significa que 
esta persona está dispuesta a aceptar como mínimo una unidad de y a cambio de tres unidades 
de x, bajo la restricción de mantener constante su nivel de utilidad. 
 
Demo: 
 
1 1 3
3 3
X
Y
pdyTmgS TmgS dx dy
dx p
= − = − = − ⇒ = − ∧ = 
 
Además, se sabe que: 
 
* *120 60 60 además 3 20
2 2(1)X
mx x dx dy y
p
= = = ⇒ = = ⇒ = 
 
4.3. ¿Cómo es la curva de Engel para X? ¿Cuáles son los parámetros y cuáles las variables 
para esta curva? ¿Y para la curva de demanda usual? 
 
La Curva de Engel de X es: x = m/2 Px. Las variables son x y m y el parámetro Px. En una 
curva de demanda usual el precio es la variable de y los demás factores que inciden en la 
demanda del bien se convierten en parámetros. 
 
5. Pruebe que la condición del determinante: 
 
 
 
 
 
 
 
15 
Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
 
Es equivalente a la condición de convexidad de la curva de indiferencia, es decir que: 
 
 
 
En el ejercicio 1 se llegó a la conclusión que la curva de indiferencia era convexa siempre 
que: 
 
( )2 22 11 1 2 12 1 222 0f f f f f f f− + − > 
Si multiplico y divido ambos términos por 
2
1
4
2
f
f
, obtengo: 
2 3 4
1 1 1
11 12 222 3 4
2 2 2
2 0f f ff f f
f f f
 
− + − > 
 
 
 
Sin embargo, en el óptimo 1 1
2 2
f p
f p
= , reemplazando: 
 
2 3 4
1 1 1
11 12 222 3 4
2 2 2
2 0p p pf f f
p p p
 
− + − > 
 
 
 
( )
2
2 21
2 11 1 2 12 1 224
2
2 0p p f p p f p f
p
− + − > 
 
Pero 
2
1
4
2
0p
p
> , luego, la condición anterior se satisface si y sólo si: 
 
( )2 22 11 1 2 12 1 222 0p f p p f pf− + − > 
 
Y esta expresión es exactamente igual al desarrollo del determinante planteado. 
 
11 12 1
21 22 2
1 2
0
0
U U p
U U p
p p
− 
 − > 
 − − 
2
2 2 1
2
1 1 2
0 sujeto a d x dx U
dx dx U
> = −
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