Trabajo 2_Asqui

Vista previa del material en texto

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRIMER SEMESTRE 
PARALELO ¨B¨ 
ANÁLISIS MATEMÁTICO I 
 
BORIS JOSUE ASQUI VACA 
2020-2021
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠 2.3 
𝐸𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 1 𝑎𝑙 14, 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐷𝑥𝑦 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 
2. 𝑦 = 3𝑥3 
→ 𝐷𝑥(3𝑥
3) = 3𝐷𝑥(𝑥
3) = 3 ∗ 3𝑥2 = 9𝑥2 
4. 𝑦 = 𝜋𝑥3 
→ 𝐷𝑥(𝜋𝑥
3) = 𝜋𝐷𝑥(𝑥
3) = 𝜋 ∗ 3𝑥2 = 3𝜋𝑥2 
6. 𝑦 = −3𝑥−4 
→ 𝐷𝑥(−3𝑥
−4) = −3𝐷𝑥(𝑥
−4) = −3 ∗ −4𝑥−5 = 12𝑥−5 
8. 𝑦 =
𝛼
𝑥3
 
→ 𝐷𝑥 (
𝛼
𝑥3
) = 𝛼𝐷𝑥 (
1
𝑥3
) = 𝛼𝐷𝑥(𝑥
−3) = 𝛼 ∗ −3𝑥−4 = −3𝛼𝑥−4 =
−3𝛼
𝑥4
 
10. 𝑦 =
3𝛼
4𝑥5
 
→ 𝐷𝑥 (
3𝛼
4𝑥5
) =
3
4
𝛼𝐷𝑥 (
1
𝑥5
) =
3
4
𝛼𝐷𝑥(𝑥
−5) =
3
4
𝛼 ∗ −5𝑥−6 = −
15
4
𝛼𝑥−6 =
−15𝛼
4𝑥6
 
12. 𝑦 = 3𝑥4 + 𝑥3 
→ 𝐷𝑥(3𝑥
4 + 𝑥3) = 3𝐷𝑥(𝑥
4) + 𝐷𝑥(𝑥
3) = 3 ∗ 4𝑥3 + 3𝑥2 = 12𝑥3 + 3𝑥2 
14. 𝑦 = 3𝑥4 − 2𝑥3 − 5𝑥2 + 𝜋𝑥 + 𝜋2 
→ 𝐷𝑥(3𝑥
4 − 2𝑥3 − 5𝑥2 + 𝜋𝑥 + 𝜋2) = 3𝐷𝑥(𝑥
4) − 2𝐷𝑥(𝑥
3) − 5𝐷𝑥(𝑥
2) + 𝜋𝐷𝑥(𝑥) + 𝐷𝑥(𝜋
2) 
= 3 ∗ 4𝑥3 − 2 ∗ 3𝑥2 − 5 ∗ 2𝑥 + 𝜋 ∗ 1 + 0 = 12𝑥3 − 6𝑥2 − 10𝑥 + 𝜋 
16. 𝑦 = 𝑥12 + 5𝑥−2 − 𝜋𝑥−10 
→ 𝐷𝑥(𝑥
12 + 5𝑥−2 − 𝜋𝑥−10) = 𝐷𝑥(𝑥
12) + 5𝐷𝑥(𝑥
−2) − 𝜋𝐷𝑥(𝑥
−10) = 12𝑥11 − 10𝑥−3 + 10𝜋𝑥−11 
18. 𝑦 = 2𝑥−6 + 𝑥−1 
→ 𝐷𝑥(2𝑥
−6 + 𝑥−1) = 2𝐷𝑥(𝑥
−6) + 𝐷𝑥(𝑥
−1) = 2 ∗ −6𝑥−7 − 𝑥−2 = −12𝑥−7 − 𝑥−2 
20. 𝑦 =
3
𝑥3
−
1
𝑥4
 
→ 𝐷𝑥 (
3
𝑥3
−
1
𝑥4
) = 3𝐷𝑥 (
1
𝑥3
) − 𝐷𝑥 (
1
𝑥4
) = 3𝐷𝑥(𝑥
−3) − 𝐷𝑥(𝑥
−4) = 3 ∗ −3𝑥−4 − 1 ∗ −4𝑥−5 
= −9𝑥−4 + 4𝑥−5 = −
9
𝑥4
+
4
𝑥5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22. 𝑦 =
2
3𝑥
−
2
3
 
→ 𝐷𝑥 (
2
3𝑥
−
2
3
) =
2
3
𝐷𝑥 (
1
𝑥
) − 𝐷𝑥 (
2
3
) =
2
3
𝐷𝑥(𝑥
−1) − 𝐷𝑥 (
2
3
) =
2
3
∗ −𝑥−2 − 0 = −
2
3
𝑥−2 = −
2
3𝑥2
 
24. 𝑦 = 3𝑥(𝑥3 − 1) 
→ 𝐷𝑥 (
2
3𝑥
−
2
3
) = 3𝑥𝐷𝑥(𝑥
3 − 1) + (𝑥3 − 1)𝐷𝑥(3𝑥) = 3𝑥(3𝑥
2) + (𝑥3 − 1) ∗ 3 = 9𝑥3 + 3𝑥3 − 3 = 12𝑥3 − 3 
26. 𝑦 = (−3𝑥 + 2)2 
→ 𝐷𝑥((−3𝑥 + 2)
2) = (−3𝑥 + 2)𝐷𝑥(−3𝑥 + 2) + (−3𝑥 + 2)𝐷𝑥(−3𝑥 + 2) = (−3𝑥 + 2)(−3) + (−3𝑥 + 2)(−3) 
= 9𝑥 − 6 + 9𝑥 − 6 = 18𝑥 − 12 
28. 𝑦 = (𝑥4 − 1)(𝑥2 + 1) 
→ 𝐷𝑥((𝑥
4 − 1)(𝑥2 + 1)) = (𝑥4 − 1)𝐷𝑥(𝑥
2 + 1) + (𝑥2 + 1)𝐷𝑥(𝑥
4 − 1) = (𝑥4 − 1)(2𝑥) + (𝑥2 + 1)(4𝑥3) 
= 2𝑥5 − 2𝑥 + 4𝑥5 + 4𝑥3 = 6𝑥5 + 4𝑥3 − 2𝑥 
30. 𝑦 = (𝑥4 + 2𝑥)(𝑥3 + 2𝑥2 + 1) 
→ 𝐷𝑥(𝑥
4 + 2𝑥)(𝑥3 + 2𝑥2 + 1) = (𝑥4 + 2𝑥)𝐷𝑥(𝑥
3 + 2𝑥2 + 1) + (𝑥3 + 2𝑥2 + 1)𝐷𝑥(𝑥
4 + 2𝑥) 
= (𝑥4 + 2𝑥)(3𝑥2 + 4𝑥) + (𝑥3 + 2𝑥2 + 1)(4𝑥3 + 2) = 7𝑥6 + 12𝑥5 + 12𝑥3 + 12𝑥2 + 2 
32. 𝑦 = (3𝑥2 + 2𝑥)(𝑥4 − 3𝑥 + 1) 
→ 𝐷𝑥(𝑥
4 + 2𝑥)(𝑥3 + 2𝑥2 + 1) = (3𝑥2 + 2𝑥)𝐷𝑥(𝑥
4 − 3𝑥 + 1) + (𝑥4 − 3𝑥 + 1)𝐷𝑥(3𝑥
2 + 2𝑥) 
= (3𝑥2 + 2𝑥)(4𝑥3 − 3) + (𝑥4 − 3𝑥 + 1)(6𝑥 + 2) = 18𝑥5 + 10𝑥4 − 27𝑥2 − 6𝑥 + 2 
34. 𝑦 =
2
5𝑥2 − 1
 
→ 𝐷𝑥 (
2
5𝑥2 − 1
) =
(5𝑥2 − 1)𝐷𝑥(2) − (2)𝐷𝑥(5𝑥
2 − 1)
(5𝑥2 − 1)2
=
(5𝑥2 − 1)(0) − (2)(10𝑥)
(5𝑥2 − 1)2
=
−20𝑥
(5𝑥2 − 1)2
 
36. 𝑦 =
4
2𝑥3 − 3𝑥
 
→ 𝐷𝑥 (
4
2𝑥3 − 3𝑥
) =
(2𝑥3 − 3𝑥)𝐷𝑥(4) − (4)𝐷𝑥(2𝑥
3 − 3𝑥)
(2𝑥3 − 3𝑥)2
=
(2𝑥3 − 3𝑥)(0) − (4)(6𝑥2 − 3)
(2𝑥3 − 3𝑥)2
=
−24𝑥2 + 12
(2𝑥3 − 3𝑥)2
 
38. 𝑦 =
2𝑥 − 1
𝑥 − 1
 
→ 𝐷𝑥 (
2𝑥 − 1
𝑥 − 1
) =
(𝑥 − 1)𝐷𝑥(2𝑥 − 1) − (2𝑥 − 1)𝐷𝑥(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)2
=
(𝑥 − 1)(2) − (2𝑥 − 1)(1)
(𝑥 − 1)2
=
−1
(𝑥 − 1)2
 
40. 𝑦 =
5𝑥 − 4
3𝑥2 + 1
 
→ 𝐷𝑥 (
5𝑥 − 4
3𝑥2 + 1
) =
(3𝑥2 + 1)𝐷𝑥(5𝑥 − 4) − (5𝑥 − 4)𝐷𝑥(3𝑥
2 + 1)
(3𝑥2 + 1)2
=
(3𝑥2 + 1)(5) − (5𝑥 − 4)(6𝑥)
(3𝑥2 + 1)2
 
 
 
 
 
 
 
=
−15𝑥2+24𝑥+5
(3𝑥2+1)2
 
42. 𝑦 =
5𝑥2 + 2𝑥 − 6
3𝑥 − 1
 
→ 𝐷𝑥 (
5𝑥2 + 2𝑥 − 6
3𝑥 − 1
) =
(3𝑥 − 1)𝐷𝑥(5𝑥
2 + 2𝑥 − 6) − (5𝑥2 + 2𝑥 − 6)𝐷𝑥(3𝑥 − 1)
(3𝑥 − 1)2
 
=
(3𝑥 − 1)(10𝑥 + 2) − (5𝑥2 + 2𝑥 − 6)(3)
(3𝑥 − 1)2
=
15𝑥2 − 10𝑥 + 16
(3𝑥 − 1)2
 
44. 𝑦 =
𝑥2 − 2𝑥 + 5
𝑥2 + 2𝑥 − 3
 
→ 𝐷𝑥 (
𝑥2 − 2𝑥 + 5
𝑥2 + 2𝑥 − 3
) =
(𝑥2 + 2𝑥 − 3)𝐷𝑥(𝑥
2 − 2𝑥 + 5) − (𝑥2 − 2𝑥 + 5)𝐷𝑥(𝑥
2 + 2𝑥 − 3)
(𝑥2 + 2𝑥 − 3)2
 
=
(𝑥2 + 2𝑥 − 3)𝐷𝑥(𝑥
2 − 2𝑥 + 5) − (𝑥2 − 2𝑥 + 5)𝐷𝑥(𝑥
2 + 2𝑥 − 3)
(𝑥2 + 2𝑥 − 3)2
 
=
(𝑥2 + 2𝑥 − 3)(2𝑥 − 2) − (𝑥2 − 2𝑥 + 5)(2𝑥 + 2)
(𝑥2 + 2𝑥 − 3)2
=
4𝑥2 − 16𝑥 − 4
(𝑥2 + 2𝑥 − 3)2
 
46. 𝑆𝑖 𝑓(3) = 7, 𝑓′(3) = 2; 𝑔(3) = 6, 𝑔′(3) = −10 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒: 
𝑎)(𝑓 − 𝑔)´(3) = 𝑓′(3) − 𝑔′(3) = 2 − (−10) = 12 
𝑏)(𝑓 ∗ 𝑔)′(3) = 𝑓′(3) ∗ 𝑔(3) + 𝑔′(3) ∗ 𝑓(3) = 2 ∗ 6 + (−10) ∗ 70 = −58 
𝑐) (
𝑔
𝑓
)
′
(3) =
𝑔′(3) ∗ 𝑓(3) − 𝑓′(3) ∗ 𝑔(3)
(𝑓(3))
2 =
−10 ∗ 7 − (2) ∗ 6
49
= −
82
49
 
48. 𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐷𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)] 
→ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝐷𝑥ℎ(𝑥) + ℎ(𝑥)𝐷𝑥𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) → 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝐷𝑥ℎ(𝑥) + ℎ(𝑥)(𝑓(𝑥)𝐷𝑥𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝐷𝑥𝑓(𝑥)) 
→ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝐷𝑥ℎ(𝑥) + ℎ(𝑥)𝑓(𝑥)𝐷𝑥𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)𝑔(𝑥)𝐷𝑥𝑓(𝑥) 
50. 𝐸𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑦 =
1
(𝑥2 + 4)
𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 [1,
1
5
] 
→ 𝑦 =
1
(𝑥2 + 4)
 
→ 𝐷𝑥 (
1
(𝑥2 + 4)
) =
(𝑥2 + 4)𝐷𝑥(1) − (1)𝐷𝑥(𝑥
2 + 4)
(𝑥2 + 4)2
→
(𝑥2 + 4)(0) − (1)(2𝑥)
(𝑥2 + 4)2
→
−2𝑥
(𝑥2 + 4)2
 
→ 𝑅𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑦 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒. 
𝑦′ =
−2(1)
((1)2 + 4)2
→ −
2
25
 
→ 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑦 −
1
5
= −
2
25
(𝑥 − 1) → 𝑦 = −
2
25
𝑥 +
7
25
 
 
 
 
 
52. 𝐸𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑦 =
1
3
𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 1 
→ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑖𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜, 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑎 1 
 𝑦 =
1
3
𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 
𝑦′ =
1
3
𝐷𝑥(𝑥
3) − 𝐷𝑥(𝑥
2) − 𝐷𝑥(𝑥) → 𝑦
′ =
1
3
∗ 3𝑥2 − 2𝑥 − 1 
→ 𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 1 → 𝑥2 − 2𝑥 − 2 = 0 
𝑥2 − 2𝑥 − 2 = 0; (𝑥 − 1 + √3)(𝑥 − 1 − √3); 𝑥 = −1 ± √3 
→ 𝑦 = (−1 + √3)2 − 2(−1 + √3) − 2; [−1 + √3,
5
3
− √3] ; [−1 − √3,
5
3
+ √3] 
 
 
 
 
 
54. Demuestre el teorema de F de dos formas 
 
𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴 1 
𝐷𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] → lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
ℎ
 
→ lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
− lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
→ 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) 
𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴 2 
→ 𝐷𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝑓
′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) 
56. . Una pelota rueda hacia abajo a lo largo de un plano inclinado, de modo que su distancia 
s desde su punto de inicio después de t segundos es; s = 4.5t2 + 2t pies. 
 ¿ Cuándo su velocidad instantánea será de 30 pies por segundo? 
→ Para el respectivo calculo de esta pregunta deberemos derivar la funcion de inclinación dada e igualar a 30 pies 
s′(t) = 9t + 2; 9t + 2 = 30 → t =
28
9
s 
58. Una viajera espacial se mueve de izquierda a derecha a lo largo de la curva y = 𝑥2. 
Cuando apague los motores, continuará viajando a lo largo de la recta tangente en el punto 
en que ella esté en ese momento. 
 ¿ En qué momento debe apagar los motores para que alcance el punto (4, 15)? 
→ 𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑟 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 
𝑦 − 15 = 𝑚(𝑥 − 4) 
→ 𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑚 =
𝑦 − 15
𝑥 − 4
 
→ 𝐵𝑢𝑠𝑐𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑠𝑜𝑛 (𝑢, 𝑣) 
𝑚 =
15 − 𝑣
4 − 𝑢
 
 
→ 𝑆𝑖 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠: 
𝑦′ = 2𝑢 
→ 𝑅𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 
2𝑢 =
15 − 𝑢2
4 − 𝑢
 
8𝑢 − 2𝑢2 = 15 − 𝑣 
𝑢2 − 8𝑢 + 15 = 0 
→ (𝑢 − 3)(𝑢 − 5) 
→ 𝑄𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠: 
1. 𝑁𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑎𝑝𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 3; 𝑣 = 9 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 6 
2. 𝐿𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 
→ 𝑦 − 15 = 6(𝑥 − 4) → 𝑦 = 6𝑥 − 9 
 
 
 60. Sea P(a, b)un punto en la parte del primer cuadrante de la curva y =
1
x
 
suponga que la recta tangente en P interseca al eje x en A. 
 Demuestre que el triángulo AOP es isósceles y determine su área 
→ Buscamos conocer los puntos en Funcion de a por ello realizamos los siguientes despejes 
𝑦 =
1
𝑎
; (𝑎;
1
𝑎
) 
→ 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑒𝑚𝑝𝑒𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜. 
𝑦′ =
1
𝑥2
→
1
𝑎2
 
→ 𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 
𝑦 −
1
𝑎
=
1
𝑎2
(𝑥 − 𝑎) 
𝑎𝑦 − 1
𝑎
=
𝑥 − 𝑎
𝑎2
 
𝑦 = −
1
𝑎2
(𝑥 − 2𝑎) 
→ 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑠 𝑒𝑛 (2𝑎; 0) 
→ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 
1. 𝑑(𝑂𝐴) = √(𝑎 − 2𝑎)2 +
1
𝑎2
= √𝑎2 +
1
𝑎2
 
2. 𝑑(𝑂𝑃) = √𝑎2 +
1
𝑎2
 
→ 𝐴𝑙 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑔𝑢𝑙𝑜 
𝐼𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠 
→ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑙𝑜 
𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒: 
𝐴 =
2𝑎 ∗ 𝑎
2
= 𝑎2 
 
 
 
 
 62. Vuelva a resolver los problemas del 29 al 44 en una computadora y compare sus respuestas 
con las obtenidas de forma manual