Solucionario de calculo diferencial

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Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de Ingeniería Química y Textil
Departamento Académico de Ciencias Básicas Ciclo 2019-1
[Cod: BMA01] [Curso: Cálculo Diferencial]
[Sección: C] [Profesor: Juan Cribillero]
Solcionario de la Práctica Cali�cada N o 3
1. Determine si cada proposición es verdadera o falsa. Justi�que su respuesta.
I. Si f es una función derivable en x = a, entonces |f | también lo es en x = a. (1 punto)
II. La ecuación ex − 2x2 = 0 tiene una raíz real negativa. (1 punto)
III. Si f : ]− 1, 1[→ R es una función tal que |f(x)− f(y)| ≤ |x− y|3, para todo x, y ∈]− 1, 1[,
entonces f ′(a) = 0, para todo a ∈]− 1, 1[. (1 punto)
IV. Si f(x) = enx, entonces f (n)(x) = n! enx. (1 punto)
Resolución:
I. FALSO. La función f(x) = x − a es diferenciable en x = a, sin embargo |f(x)| = |x − a|
no es diferenciable en x = a
II. VERDAD. La función f(x) = ex − 2x2 es continua en [−1, 0], f(0) = 1 > 0 y
f(−1) = e−1 − 2 < 0. Luego f(−1)f(0) < 0, por el teorema del valor intermedio existe
r ∈] − 1, 0[ tal que f(r) = 0. Por lo tanto, la ecuación ex2 − x2 = 0 tiene una raíz real
negativa.
III. VERDAD. Sea f : ]− 1, 1[→ R es una función tal que |f(x)− f(y)| ≤ |x− y|3, para todo
x, y ∈]− 1, 1[. Sean a ∈]− 1, 1[ y a+ h ∈]− 1, 1[, luego
0 ≤ |f(a+ h)− f(a)| ≤ |a+ h− a|3
0 ≤ |f(a+ h)− f(a)| ≤ |h|3
0 ≤
∣
∣
∣
∣
f(a+ h)− f(a)
h
∣
∣
∣
∣
≤ h2
0 ≤
∣
∣
∣
∣
f(a+ h)− f(a)
h
∣
∣
∣
∣
≤ h2
ĺım
h→0
0 ≤
∣
∣
∣
∣
ĺım
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
∣
∣
∣
∣
≤ ĺım
h→0
h2
ĺım
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= 0
Por lo tanto, f ′(a) = 0 para todo a ∈]− 1, 1[.
Práctica Cali�cada N o 3 2 Cálculo Diferencial
IV. FALSO. Sea f(x) = (ex)n, luego
f ′(x) = n(ex)n−1(ex) = n(ex)n
f ′′(x) = n2(ex)n−1(ex) = n2(ex)n
f ′′′(x) = n3(ex)n−1(ex) = n3(ex)n
f4(x) = n4(ex)n−1(ex) = n4(ex)n
... =
...
fn(x) = nn(ex)n−1(ex) = nnenx
Por lo tanto, fn(x) = nnenx
2. La función C(t) = K(e−at − e−bt), donde a, b y K son constantes positivas y b > a, se usa
para modelar la concentración en el instante t de un medicamento que se inyecta en el torrente
sanguíneo.
a) Encuentre la rapidez, con que el medicamento se disipa durante la circulación. (2 puntos)
b) ¾Cuándo esta rapidez es igual a 0? (2 puntos)
Resolución:
a) Sea C(t) = K(e−at − e−bt) donde a, b y K son constantes positivas y b > a que modela la
concentración en el instante t de un medicamento que se inyecta en el torrente sanguíneo.
La rapidez C ′(t) con que el medicamento se disipa durante la circulación en el tiempo t es
C ′(t) =
dC(t)
dt
C ′(t) = k
(
d(e−at)
dt
− d(e
−bt)
dt
)
C ′(t) = k(e−at(−a)− e−bt(−b))
C ′(t) = k(be−bt − ae−at)
b) Igualando la rapidez C ′(t) a 0.
C ′(t) = 0
k(be−bt − ae−at) = 0
ae−at = be−bt
e(b−a)t =
b
a
(b− a)t = ln
(
b
a
)
t =
1
b− a ln
(
b
a
)
Por lo tanto, en t =
1
b− a ln
(
b
a
)
la rapidez es igual a 0.
Práctica Cali�cada N o 3 3 Cálculo Diferencial
3. Sea f una función de�nida por
f(x) =



senx+ b, si x < 0
a
x2 + 4
, si 0 ≤ x ≤ 2
c− x
√
x− 1, si x > 2
a) Calcule los valores de a, b y c para que f sea continua en x = 0 y diferenciable en x = 2.
(3 puntos)
b) Considerando los valores de a, b y c hallados en el item a), ¾es f diferenciable en x = 0?
(1 punto)
Resolución: Sea f una función de�nida por
f(x) =



senx+ b, si x < 0
a
x2 + 4
, si 0 ≤ x ≤ 2
c− x
√
x− 1, si x > 2
a) Calculando los valores de a, b y c que hacen que f sea continua en x = 0 y diferenciable en
x = 2.
f es continua en x = 0.
ĺım
x→0−
f(x) = f(0)
ĺım
x→0−
(senx+ b) =
a
02 + 4
a = 4b (1)
f es diferenciable en x = 2
f ′+(2) = f
′
−(2) (2)
• La función f es continua en x = 2:
ĺım
x→2
f(x) = f(2)
ĺım
x→2
(c− 2
√
x− 1) = a
22 + 4
c− 2 = a
8
(3)
• Calculo de f ′−(2).
f ′−(2) = ĺım
x→2−
f(x)− f(2)
x− 2
f ′−(2) = ĺım
x→2−
a
x2+4
a
8
f ′−(2) = ĺım
x→2−
a(8− x2 − 4)
8(x− 2)(x2 + 4)
f ′−(2) = ĺım
x→2−
a(2− x)(2 + x)
8(x− 2)(x2 + 4)
f ′(−2) = ĺım
x→2−
−a(2 + x)
8(x2 + 4)
f ′−(2) = −
a
16
Práctica Cali�cada N o 3 4 Cálculo Diferencial
• Calculo de f ′(2)+.
f ′+(2) = ĺım
x→2+
f(x)− f(2)
x− 2
f ′+(2) = ĺım
x→2+
(c− 2
√
x− 1)− a
8
x− 2
f ′+(2) = ĺım
x→2+
(c− 2
√
x− 1)− (c− 2)
x− 2
f ′+(2) = ĺım
x→2+
2(1−
√
x− 1)
x− 2
f ′+(2) = ĺım
x→2+
2(2− x)
(x− 2)(1 +
√
x− 1)
f ′+(2) = ĺım
x→2+
−2
1 +
√
x− 1
f ′+(2) = −1
Reemplazando en la ecuación (2)
− a
16
= −1
a = 16
Finalmente, reemplazando en las ecuaciones (1) y (3), se tiene
16 = 4b
b = 4
c− 2 = 16
8
c = 4
b) Considerando los valores a = 16, b = 4 y c = 4, la función f está de�nida como sigue
f(x) =



senx+ 4, si x < 0
16
x2 + 4
, si 0 ≤ x ≤ 2
4− x
√
x− 1, si x > 2
Calculando las derivadas laterales en x = 0
Calculo de f ′−(0).
f ′−(0) = ĺım
x→0−
f(x)− f(2)
x− 2
f ′−(0) = ĺım
x→0−
senx+ 4− 4
x− 0
f ′−(0) = ĺım
x→0−
senx
x
f ′−(0) = 1
Calculo de f ′(0)+.
f ′+(0) = ĺım
x→0+
f(x)− f(2)
x− 2
f ′+(0) = ĺım
x→2+
16
x2 + 4
− 4
x− 0
f ′+(0) = ĺım
x→2−2
16− 4x2 − 16
x− 2
f ′+(0) = ĺım
x→2−2
−4x
x2 + 4
f ′+(0) = 0
Luego, f ′−(0) 6= f ′+(0).
Por lo tanto, f no es diferenciable en x = 0.
Práctica Cali�cada N o 3 5 Cálculo Diferencial
4. a) Suponiendo que f(2) = 1 y f ′(2) = 3, calcule el siguiente límite
ĺım
x→2
25f(x)− x5f(2)
x− 2
(2 puntos)
b) Sea f una función de�nida por f(x) = x3+mx+n,m 6= n. Sabiendo que las rectas tangentes
a la grá�ca de f en los puntos de abscisas x = m y x = n son paralelas, determine el valor
de f(1).
(2 puntos)
Resolución:
a) Sea L = ĺım
x→2
25f(x)− x5f(2)
x− 2 . Si f(2) = 1 y f
′(2) = 3, entonces
L = ĺım
x→2
25f(x)− x5f(2)
x− 2
L = ĺım
x→2
25f(x)− 25f(2) + 25f(2)− x5f(2)
x− 2
L = ĺım
x→2
[
25
(
f(x)− f(2)
x− 2
)
− f(2)
(
x5 − 25
x− 2
)]
L = 25 ĺım
x→2
f(x)− f(2)
x− 2 − f(2) ĺımx→2(x
4 + 2x3 + 4x2 + 8x+ 16)
L = 25f ′(2)− f(2)(80)
L = 32(3)− (1)(80)
L = 16
b) Sea f una función de�nida por f(x) = x3 + mx + n, m 6= n, entonces f ′(x) = 3x2 + m.
Como las rectas tangentes a la grá�ca de f en los puntos de abscisas x = m y x = n son
paralelas, se tiene
f ′(m) = f ′(n)
3m2 +m = 3n2 +m
(m− n)
︸ ︷︷ ︸
6=0
(m+ n) = 0
m = −n
Así, la regla de correspondencia de f está dado por f(x) = x3 − nx+ n.
Finalmente, para x = 1, se tiene
f(1) = 13 − n(1) + n
f(1) = 1
Práctica Cali�cada N o 3 6 Cálculo Diferencial
5. a) Sea f(x) = tan
(x senx
2
)
+ sen2 x cos 2x. Calcule f ′
(π
2
)
. (2 puntos)
b) Sean las funciones f(x) = cos (3x+ 2) y g(x) = x|x|. Determine (f ◦ g)′(|x|). (2 puntos)
Resolución:
a) Sea f(x) = tan
(x senx
2
)
+ sen2 x cos 2x, entonces
f ′(x) = sec2
(x senx
2
)[1
2
senx+
x
2
cosx
]
+ 2 senx cosx cos 2x+ sen2 x(−2 sen 2x)
f ′(x) =
1
2
sec2
(x senx
2
)
(senx+ x cosx) + sen 2x(cos 2x− 2 sen2 x)
Evaluando f ′(x) en x =
π
2
, tenemos
f ′
(π
2
)
=
1
2
(1) + 0
f ′
(π
2
)
=
1
2
b) Sean las funciones f(x) = cos (3x+ 2) y g(x) = x|x|, entonces f ′(x) = −3 sen (3x+ 2).
Rede�niendo la función g, se tiene
g(x) =



−x2, si x < 0
x2, si x ≥ 0
La función g es diferenciable por tramos, luego
g′(x) =



−2x, si x < 0
2x, si x ≥ 0
Finalmente,
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x)
(f ◦ g)′(|x|) = −3(sen(3|x|+ 2))(2|x|)
(f ◦ g)′(|x|) = −6|x| sen(3|x|+ 2)
UNI, 31 de mayo del 2019*