Quinta practica calificada Calculo diferencial

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Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de Ingeniería Química y Textil
Departamento Académico de Ciencias Básicas Ciclo 2019-1
[Cod: BMA01] [Curso: Cálculo Diferencial]
[Sección: C] [Profesor: Juan Cribillero]
Solucionario de la Práctica Calificada N o 5
1. Determine si cada proposición es verdadera o falsa. Justifique su respuesta.
I. La función tanhx es una función impar creciente. (1 punto)
II. Si f(c) es un mínimo local, entonces f ′′ puede ser positivo. (1 punto)
III. Si f ′′ cambia de + a − en x = c, entonces f tiene un punto de inflexión en x = c.
(1 punto)
IV. El polinomio de Taylor o Maclaurin de la función exponencial f(x) = ex es
Tn(x) = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ . . .+
xn
n!
(1 punto)
Resolución:
I. VERDAD. La función f(x) = tanhx se define como f(x) =
ex − e−x
ex + e−x
.
f es una función impar,
f(−x) =
e−x − e−(−x)
e−x + e−(−x)
f(−x) =
e−x − ex
e−x + ex
f(−x) = −f(x)
f es una función creciente, ya que
f ′(x) = sech2 x
f ′(x) ≥ 0
II. FALSO.
III. FALSO.
IV. VERDAD.
Práctica Calificada N o 5 2 Cálculo Diferencial
2. Un cable de teléfono cuelga entre dos postes separados entre sí 14 m y forma la catenaria
y = 20 cosh
( x
20
)
− 15, donde x y y se miden en metros.
a) Encuentre la pendiente de esta curva donde se encuentra con el poste derecho. (2.5 puntos)
b) Calcule la medida θ del ángulo entre el cable y el poste. (1.5 puntos)
Resolución: Sea la catenaria f(x) = 20 cosh
( x
20
)
− 15.
a) La función f es diferenciable en x = −7 y en x = 7, teniendo en cuenta el diagrama, que el
cable no se dobla bruscamente. Luego
f ′(x) = 20 senh
( x
20
)
(
1
20
)
f ′(x) = senh
( x
20
)
Evaluando en x = 7, tenemos
f ′(7) = senh
(
7
20
)
f ′(7) ≈ 0.3572
b) De la parte (a), se tiene
tan (90◦ − θ) = f ′(7)
cot θ = senh
(
7
20
)
θ = arccot
[
senh
(
7
20
)]
θ ≈ 70.34◦
3. Demuestre que los puntos de inflexión de la curva y = x senx están sobre la curva y2(x2+4) = 4x2.
(4 puntos)
Resolución: Determinando los puntos de inflexión de y = senx.
f ′′(x) = 0
2 cosx− x senx = 0
Práctica Calificada N o 5 3 Cálculo Diferencial
Transformando la ecuación,
2 cosx = x senx
(2 cosx)2 = (x senx)2
4 cos2 x = x2 senx
4 cos2 x = x2(1− cos2 x)
(x2 + 4) cos2 x = x2
(4 cos2 x)(x2 + 4) = 4x2
(2 cosx)2(x2 + 4) = 4x2
(x senx)2(x2 + 4) = 4x2
y2(x2 + 4) = 4x2
Por lo tanto, los puntos de inflexión de y = x senx están sobre la curva C : y2(x2 + 4) = 4x2.
4. Bosqueje la gráfica de la función
f(x) =
x2/3
(x− 6)2/3
señalando, si fuera el caso, los puntos de intersección de la gráfica con los ejes de coordenadas,
asíntotas de la gráfica, intervalos de monotonía, extremos relativos, intervalos de concavidad y
puntos de inflexión. (4 puntos)
Resolución: Sea la función
f(x) =
x2/3
(x− 6)2/3
Intersecciones con los ejes de coordenadas.
f(x) = 0
x2/3
(x− 6)2/3
= 0
x = 0
Por lo tanto, la gráfica de f interseca a los ejes coordenados en el punto (0, 0)
Asíntotas de la gráfica de f
• Asíntotas verticales.
ĺım
x→6
f(x) = ĺım
x→+∞
x2/3
(x− 6)2/3
ĺım
x→6
f(x) = +∞
Luego, la recta x = 6 es una asíntota vertical de f .
• Asíntotas horizontales.
ĺım
x→+∞
f(x) = ĺım
x→+∞
x2/3
(x− 6)2/3
ĺım
x→+∞
f(x) = ĺım
x→+∞
1
(1−
6
x
)2/3
ĺım
x→+∞
f(x) = 1
Práctica Calificada N o 5 4 Cálculo Diferencial
ĺım
x→−∞
f(x) = ĺım
x→−∞
x2/3
(x− 6)2/3
ĺım
x→−∞
f(x) = ĺım
x→−∞
1
(
1−
6
x
)2/3
ĺım
x→−∞
f(x) = 1
Luego, la recta y = 1 es una asíntota ho-
rizontal de f .
• No tiene asíntotas oblicuas.
Intervalos de monotonía.
f(x) = (1−
6
x
)−2/3
f ′(x) = −
2
3
(
1−
6
x
)
−5/3( 6
x2
)
f ′(x) = −
4
x1/3(x− 6)5/3
• Determinando los valores de x donde f ′(x) = 0.
f ′(x) = 0
−
4
x1/3(x− 6)5/3
= 0
Sin solución para x ∈ R.
• Determinando los valores de x donde f ′(x) no existe.
f ′(x) = −
4
x1/3(x− 6)5/3
Luego, f ′ no existe en x = 0 y x = 6 /∈ Dom(f).
Así, x = 0 es un número critico de f .
Por lo tanto, los intervalos de monotonía son
x ∈]−∞, 0[ : f ′(x) < 0 f es decreciente
x ∈]0, 6[ : f ′(x) > 0 f es creciente
x ∈]6,+∞[ : f ′(x) < 0 f es decreciente
Extremos relativos. De lo anterior se concluye que x = 0 es un extremo local, ya que
f ′(0) < 0 y f ′(0) > 0 y también es absoluto.
Intervalos de concavidad.
f ′(x) = −4
(
1−
6
x
)
−5/3
x−2
f ′′(x) = −4
[
−
5
3
(
1−
6
x
)
−8/3( 6
x2
)
x−2 +
(
1−
6
x
)
−5/3
(−2x−3)
]
f ′′(x) =
8(x− 1)
(
1−
6
x
)8/3
x4
Práctica Calificada N o 5 5 Cálculo Diferencial
La gráfica de la función f es
5. Encuentre un valor aproximado de f(x) = x lnx mediante un polinomio de Taylor con grado
n = 3 en el número a = 1 para todo x en el intervalo cerrado
[
1
2
,
3
2
]
.
(4 puntos)
Resolución: El polinomio de Taylor de grado n = 3 para f(x) = x lnx centrado en x = 1 esta
dado por
T3(x) = f(1) +
f ′(1)
1!
(x− 1) +
f ′′(1)
2!
(x− 1)2 +
f ′′′(1)
3!
(x− 1)3 (1)
Determinado las derivadas de orden 1, 2, 3 de f y evaluando en x = 1, tenemos
f(x) =x lnx f(1) =0
f ′(x) = lnx+ 1 f ′(1) =1
f ′′(x) =
1
x
f ′′(1) =1
f ′′′(x) =−
1
x2
f ′′′(1)=− 1
Reemplazando en (1)
T3(x) = (x− 1) +
1
2
(x− 1)2 −
1
6
(x− 1)3
UNI, 14 de junio del 2019*
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