ALGEBRA SEM 03 - 2022 II

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 3  2  1 grado t2  - grado t3 
ÁLGEBRA 
 
 CICLO 2022-II
POLINOMIOS ESPECIALES Semana N° 03 
 
POLINOMIOS ESPECIALES 
 
Son aquellas expresiones enteras cuyas 
características (grado, coeficientes y variables) 
y por la forma como se presentan, guardan 
ciertas propiedades implícitas que las hacen 
notables. En este nivel, por sus aplicaciones 
usuales, nos interesa el estudio de los 
siguientes polinomios: 
 
1. Polinomio ordenado 
Con respecto a una variable, es aquel 
polinomio en la cual los valores de los 
exponentes de dicha variable, sólo 
aumentan o disminuyen según que la 
ordenación sea creciente o decreciente. 
La variable que presenta esta característica 
se denomina variable ordenatriz. 
 
Corolario 1 
En todo polinomio completo de una 
variable, el número de términos es igual al 
grado de la expresión aumentado en la 
unidad. Es decir: 
 
 
 
Corolario 2 
En todo polinomio completo y ordenado de 
una variable, la diferencia de grados (en 
valor absoluto) de dos términos 
consecutivos, es igual a la unidad. 
 
 
 
Ejemplo: En el polinomio 
P = a x
4 
 a x
3 
 a x
2 
 a x  a 
x 0 1 2 3 4 
Ejemplo: En el polinomio T1 T2 T3 T4 T5 
P
( x; y ) 
 6x
7 
y 
2 
 5x
5 
y 
4 
 8x
3 
y
6 
 4 y
9
 
La variable “x” es ordenatriz decreciente 
de P. 
La variable “y” es ordenatriz creciente de P 
 
2. Polinomio completo 
Con respecto a una variable, es aquel 
polinomio en la cual, los valores de los 
exponentes de dicha variable aparecen de 
manera consecutiva desde el mayor hasta 
el cero inclusive, sin interesar la 
ordenación presentada. 
 
Ejemplo: El polinomio mostrado 
3. Polinomio homogéneo 
Un polinomio de dos o más términos y más 
de una variable es homogéneo, si dichos 
términos presentan el mismo grado 
absoluto, denominado grado de 
homogeneidad. 
Ejemplo: En el polinomio 
 
P(x,y) = x 9 + 2 x 4 y 5 + y 9 
 
9º 9º 9º 
G.A. = 9º 
F
 x; y
 xy4  5x3y2  x2y  x4y5  2 y6 
GA(T1) = GA(T2) = GA(T3) = 09 
Es decir: Grado de homogeneidad (P) = 09 
Es completo respecto de “x”, pero 
incompleto respecto a “y”. 
grado tk  - grado tk 1   1 
Número de términos  grado 1 
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x; y 
x; y 0 1 2 
x; y 0 1 2 
a0  b0 ; a1  b1 ; a2  b2 
P(x,y)  0  P(a,b)  0; {a,b}  R 
Corolario 3 
Todo polinomio homogéneo P (x; y) de 
grado “n” verifica la siguiente relación: 
 
 
 
Donde “n” es el grado de homogeneidad y 
la constante “m” es un escalar real. 
POLINOMIO ENTERO EN X. 
Un polinomio en x es cualquier suma finita de 
monomios en x. Es necesario ser reiterativo 
que un polinomio en “x” es una expresión 
algebraica Racional Entera. 
Forma general de un polinomio de enésimo 
grado: 
P  a xn  a xn1  a xn2  L  a x  a 
4. Polinomios idénticos ( x) 0 1 2 n 1 n 
Dos o más polinomios del mismo grado y 
en las mismas variables son idénticos, si 
los valores numéricos resultantes de dichas 
expresiones son iguales, para cualquier 
sistema de valores asignados a sus 
variables. Es decir: 
 
P
(x,y) 
 Q
(x,y) 
 P
(a,b) 
 Q
(a,b)
;{a,b}  R 
Dos polinomios de las mismas características, 
tales como: 
P   a x
m  a xn y p  a xq yr 
Q   b x
m  b xn y p  b xq yr 
Son idénticos, si los coeficientes de sus 
respectivos términos semejantes, son iguales. Es 
decir: 
 
 
5. Polinomio idénticamente nulo 
Es aquel polinomio de grado no definido, 
cuyo valor numérico resultante siempre es 
igual a cero, para cualquier sistema de 
valores que asumen sus variables. Es decir: 
 
 
Un polinomio de la forma: 
En donde n es un entero no negativo y los 
coeficientes ai son números reales, n es el 
grado de P x 
a0  0 Es el coeficiente principal. 
an Es el término independiente 
a0  1  P(x) es Mónico. 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
1. Indicar si las afirmaciones son 
verdaderas (V) o falsas (F) 
I. Un polinomio completo siempre es 
ordenado. 
II. Un polinomio completo de grado n 
posee n+1 términos. 
III. Un polinomio puede tener grado 
negativo. 
IV. El grado de toda constante siempre 
es cero. 
a) VVVV b) FVVV c) VFVF d) FFVV e) FVFV 
 
2. Dado el polinomio 
Px  x2  x  1y y  1x  1  y 
con término independiente 17, halle la 
suma de sus coeficientes. 
a) 22 b) 25 c) 27 d) 30 e) 33 
P  a xn  a xn1  a xn2 L  a x  a 
( x ) 0 1 2 n1 n 
Es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes 
son iguales a cero. Es decir: 
 
 
3. Sume los coeficientes del polinomio 
homogéneo: 
P   8ax 
n
2 
2 
y 
4 
 6a  bx a b  20b  5x n
2 
.y 
2n6
 
a) 22 b) 25 c) 27 d) 30 e) 33 a0  a1  a2  ...  a n1  an  0 
P(mx,my)  m
n 
 P(x, y) ; m  R 
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Rectángulo
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247
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2 
4. Determine el término cuadrático del 
polinomio: 
10. Si los polinomios 
Px; y;z   a  b
2 
x
m 
 b  c2 yn  c  a2 z p 
F x  a  b  2xab  b  axa
2 
 2b 
 7xab Qx; y;z   abx
m
  3bcy
n
 5acz 
p
 son 
si este está ordenado y completo. 
a) 5x2 b) x2 c) 6x2 d) 2x2 e) –x2 
 
5. Si el polinomio ordenado decreciente y 
completo: 
Px   2 x2a1  2 xb3  3xc2  ....... 
idénticos , evalúe: 
M  
a  b 
 
b  c 
 
a  c 
c a b 
a) 8 b) 11 c) 13 d) 14 e) 15 
 
11. 
Posee 2c términos. Hallar “a+b+c” 
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 
 
6. Sabiendo que el polinomio 
Px  12xm p  8x pq2  4xqr 5  2xr 2 es 
completo y ordenado en forma 
decreciente, calcule E  m  p  q  r a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 
Px  ax  bx  1  cx 2  x  1 es 
idéntico a 
“a+b-c” 
Qx  2x 2  5x  1, calcule 12. ¿Cuántos términos posee el 
polinomio homogéneo? 
a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) 3 
 
7. Si el polinomio Mónico 
Px; y  x m  x m2 y 2  x m4 y 4  ... para que sea 
de grado 60 respecto a la variable “y”. 
a) 32 b) 31 c) 33 d) 29 e) 30 
Px  
 
a 
a 
 
1  
x 
2 
 b b1  7x  5 es  
 4 
13. Si el polinomio: 
lineal, calcule “a+b” 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 0 
Px  ab  ac x n1  ab  bc x n  mx n 2x  3  ac  bc  6
es idénticamente nulo, entonces el 
valor de “m” es: 
8. Si QPx 2  x , además P es un 
a) -4 b) 3 c) -3 d) 6 e) -6 
polinomio lineal y Mónico, calcule el 
término independiente de P si Q1  2 . 
a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1 
 
9. Si el polinomio no constante 
14. Si: 
Px  a  1x 2 a  3x 3  1 a  3xx 3  1 a  x es 
una expresión que se puede expresar 
como un polinomio completo. Calcule: 
P(a). 
Px  a  1x
3 
 b  3x2  2  b posee a) 18 b) 24 c) 12 d) 15 e) 21 
coeficiente principal uno, determine la 
suma de coeficientes y dé como 
respuesta la menor posibilidad. 
a) 0 b) -1 c) -2 d) -3 e) -4 
15. Si el polinomio es homogéneo: 
Px; y  a 3  bx b ya5  b  ax 2b1ya3 b 2  ax 2a3 yb 3 
entonces, la suma de sus coeficientes 
es: 
a) 14 b) 10 c) 17 d) 24 e) 20 
Sabiendo que el polinomio 
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a=-2
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k yb 
16. Si el grado del producto de 3 21. Halle la suma de coeficientes del 
polinomios completos P( x ) , F( x ) y siguiente polinomio, sabiendo que es 
Q( x ) de (3n – 4) términos, (8n – 5)completo: 
Px   ax2  1 ax2  2   x 4x3  1  a 
términos y (7n – 2) términos     
respectivamente es 166. Hallar el 
valor de “n” 
a) 11 b) 10 c) 9 d) 12 e) 8 
 17. 
a) -5 b) 5 c) 7 d) -6 e) 6 
 
22. Dado el polinomio: 
Px; y; z   acxa yc  abxazb  bcybzc Si 
Px; y   a2  bc x2   b2  ac x3 y   c2  ab  y 
      sabiendo que es homogéneo de grado de 
es idénticamente nulo, además homogeneidad “m” Determinar el valor 
a, b, c  R  0 . Halle a  b  cn 

 a 
2003  b 2003  c 2003 

E  32003 
 
numérico de: M  n1 
an  b
n
  c
n

a  b  c2003 a) 1/3 b) 3 c) 3 
n
 d) 6 n e) 1/6 
a) 3 b) 2003 c) 1/3 d) 32003 e) 1 
 
18. Calcular “abc”, si: 
 
I SUMATIVO 2018 II 
23. En el siguiente polinomio homogéneo 
P(x)=   bk 
b kbkb b
bk 
 
...  x a  c  x 2c b  xc  2a  xa b  c  2 
 
 ... 
P x; y  x  x  y 
es completo y ordenado en forma 
ascendente. 
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 
 
19. Si Px; y  es un polinomio 
Calcular el valor de 9b  24k 
a) 36 b) 40 c) 86 d) 33 e) 48 
 
 
24. Determine el valor de 2B + 3C, si se 
cumple: 
homogéneo de 4 ° grado y P2;1 es 2, 6 
 
Ax  B 
 
C 
calcule P 6;3 (2x2  1)(3x  1) x2  D x  E 
a) 6 b) -6 c) 54 d) -54 e) 162 
 
20. Sea P (x; y; z) un polinomio 
homogéneo de grado 3 que cumple P (1; 
2; –1) = 4. Determine el valor de P(– 4; – 
8; 4). 
a) –256 b) –128 c) –32 d) –16 e) 64 
a) 6/11 b) 18/11 c) 2 d) 3 e) 6 
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