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Introducción al Cálculo
Licenciatura en Biotecnología
Examen Final
10/12/2019
Plan nuevo Plan viejo
Nombre y apellido:.............................................................................. D.N.I. ........................................
Para aprobar el examen final es necesario tener cinco ítems bien resueltos. Los estudiantes del plan
nuevo deben tener bien resueltos, entre ellos, al menos un ítem del Problema 6 y al menos un ítem del Pro-
blema 7. Todas las respuestas deben estar justificadas. Los cálculos deben ir acompañados de explicaciones
escritas que aclaren su significado. Un resultado suelto, no acompañado de explicación, aún siendo correcto,
se considerará como problema no resuelto y no será considerado.
Problema 1.
a) De un pueblo ubicado en el kilómetro 240 de la Ruta Nacional 32F parte un micro hacia la ciudad Linda
Vista, que se encuentra a 550 km de distancia del pueblo sobre la ruta. Se sabe que viaja a velocidad
constante y que a las 3 horas de viaje le faltan 280 km para llegar a destino. Al mismo tiempo, pero de
otro pueblo ubicado en el kilómetro 60 de la misma ruta y con el objetivo de alcanzar al micro, parte
hacia Linda Vista, transitando por la Ruta Nacional 32F, un automóvil que viaja a velocidad constante
de 110 km/h.
i) Hallá las ecuaciones que describen los kilómetros recorridos en función del tiempo para cada vehículo.
ii) ¿Logra alcanzar el automóvil al micro antes que llegue éste a destino? Si la respuesta es afirmativa
¿en qué horario y a qué distancia de Linda Vista? Si es negativa justificá.
b) Dadas las siguientes rectas:
R1 es perpendicular a la recta de ecuación y = −12x+ 5 y pasa por el punto (2, 7)
R2 tiene pendiente negativa y pasa por el punto (2, 7).
i) Hallá la ecuación de R1.
ii) Hallá la ecuación de R2 sabiendo que el área encerrada acotada por R1, R2 y el eje x es de 84.
Problema 2.
a) El siguiente es el gráfico de una función cuadrática f
i) Hallá una fórmula de f .
ii) Considerá la fórmula hallada en el ítem anterior y re-
solvé analíticamente la inecuación f(x) ≥ −2x+ 8.
b) Encontrá, si es posible, la fórmula de una función cuadrática
f que satisfaga simultáneamente:
C−(f) =
{
x ∈ R : −3x2 + 4x < −2x− 9
}
f(0) = 9.
Figura 1
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Licenciatura en Biotecnología
Problema 3.
a) Da, si es posible, la fórmula de una función polinómica f que cumpla simultáneamente las siguientes
condiciones:
C0(f) =
{
−3, 0, 1, 4
}
El grado del polinomio es 6 Corta al eje y en 12.
En caso de que exista, graficá y da el conjunto de positividad de f . En caso de no exista, explicá por qué
no es posible encontrar tal función.
b) Dado el polinomio P (x) =
(
x3 + x2 − 5x+ 3
)(
−2x+ 4
)
i) Factorizá completamente el polinomio sabiendo que x = 2 y x = 1 son raíces de P .
ii) Hallá todos los x ∈ R tales que P (x) ≥ 0.
Problema 4. Dada la función f : R→ R, f(x) = 2 sen(ax− π).
a) Encontrá un valor de a ∈ R sabiendo que f tiene un máximo en x = π. Para tal valor, hallá analítica-
mente todos los mínimos de la función.
b) Considerá a = 2 y encontrá los x ∈ R tales que f(x) = 1.
Problema 5.
a) En un laboratorio están experimentando con una población de bacterias. Se observa que, al reproducirse,
la cantidad de bacterias aumenta el triple cada dos horas.
i) ¿Cuál debe ser la cantidad inicial de bacterias para que luego de 10 hs haya 1 215?
ii) Para la cantidad encontrada en el ítem anterior, ¿Cuánto tiempo deberá pasar aproximadamente
para que la población sea de 31 000 bacterias?
b) Dado el gráfico de la función f de la Figura 1,
i) Encontrá la ecuación de la f sabiendo
que es una función exponencial y que
corta al eje y en -3.
ii) Hallá analíticamente el intervalo de
positividad.
Figura 2
Problema 6. Dadas f(x) = 3x+ k, g(x) =
x
x+ 2
y h(x) = |x| − 4,
a) Hallá, si es posible, k ∈ R para que Dom(g ◦ f) = R− {5}.
b) Considerá k = 1 y resolvé la inecuación
(
h ◦ f
)
(x) ≥ 0.
Problema 7.
a) Dado el esquema de la Figura 3.
i) Hallá las coordenadas del punto P sabiendo que la distancia
entre P y Q es 10.
ii) Encontrá la distancia entre los puntos P y R.
b) Ubicá los puntos (1,2), (4,1) y (-2,-1) en un sistema de ejes cartesia-
nos, unílos y construí el simétrico de la figura obtenida respecto de
la recta y = −x, describiendo los pasos realizados. Luego, calculá la
distancia máxima de la figura reflejada al origen de coordenadas. Figura 3
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