ICBT Com 08 - Unidad 9 Ecuaciones trigonométricas

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Universidad Nacional de Moreno
Lic. en Biotecnología
Introducción al Cálculo (ICBT)
Ecuaciones trigonométricas
Para resolver ecuaciones trigonométricas, como siempre tenemos que intentar
“despejar a la incógnita”, en este contexto, tenemos que tener en cuenta también a la
circunferencia trigonométrica. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1
Hallar todos los valores de 𝑥 que verifican la ecuación 12 ⋅ sin 3𝑥 + 8 = 2
Para ello despejamos el argumento del seno "3𝑥" :
12 ⋅ sin 3𝑥 + 8 = 2
12 ⋅ sin 3𝑥 = 2 − 8
12 ⋅ sin 3𝑥 = −6
sin 3𝑥 =
−6
12
sin 3𝑥 = −
1
2
Aquí, lo que nos dice la ecuación es
que el seno de “algo” (en este caso,
el seno de 3𝑥) debe darnos −
1
2
, es
decir, debemos averiguar el arco
cuyo seno nos da −
1
2
.
Esto ocurre cuando
el argumento es
7
6
𝜋 + 2𝑘𝜋 (en el
tercer cuadrante,
con 𝑘 ∈ 𝑍)
O también en 
11
6
𝜋 + 2𝑘𝜋 (en el 
cuarto cuadrante, 
con 𝑘 ∈ 𝑍)
𝛼 → 0° = 0 30° =
𝜋
6
45° =
𝜋
4
60° =
𝜋
3
90° =
𝜋
2
sin 𝛼 0
1
2
2
2
3
2
1
3𝑥 = sin−1 −
1
2
En la calculadora:
(¿cuánto nos da?)
De aquí surgen las dos ecuaciones que nos darán las infinitas soluciones:
3𝑥 =
7
6
𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨ 3𝑥 =
11
6
𝜋 + 2𝑘𝜋
Luego despejamos cada una de ellas y quedan las soluciones:
3𝑥 =
11
6
𝜋 + 2𝑘𝜋3𝑥 =
7
6
𝜋 + 2𝑘𝜋
𝑥 =
7
18
𝜋 +
2
3
𝑘𝜋
𝑥 =
7
6𝜋 + 2𝑘𝜋
3
𝑥 =
11
18
𝜋 +
2
3
𝑘𝜋
𝑥 =
11
6 𝜋 + 2𝑘𝜋
3
Y dándole valores a 𝑘 encontramos algunas soluciones particulares:
Si 𝑘 = 1 nos queda
𝑥 =
7
18
𝜋 +
2
3
⋅ 1 ⋅ 𝜋 → 𝑥 =
7
18
𝜋 +
2
3
𝜋 → 𝑥 =
19
18
𝜋
𝑥 =
11
18
𝜋 +
2
3
⋅ 1 ⋅ 𝜋 → 𝑥 =
11
18
𝜋 +
2
3
𝜋 → 𝑥 =
23
18
𝜋
Que ambas verifican la ecuación:
12 ⋅ sin 3 ⋅
19
18
𝜋 + 8 = 2
12 ⋅ sin
19
6
𝜋 + 8 = 2
12 ⋅ −
1
2
+ 8 = 2
−6 + 8 = 2
2 = 2
12 ⋅ sin 3 ⋅
23
18
𝜋 + 8 = 2
12 ⋅ sin
23
6
𝜋 + 8 = 2
12 ⋅ −
1
2
+ 8 = 2
−6 + 8 = 2
2 = 2
𝑥 =
7
18
𝜋 +
2
3
𝑘𝜋 𝑥 =
11
18
𝜋 +
2
3
𝑘𝜋
Si 𝑘 = −1 nos queda
𝑥 =
7
18
𝜋 +
2
3
⋅ −1 ⋅ 𝜋 → 𝑥 =
7
18
𝜋 −
2
3
𝜋 → 𝑥 =
−5
18
𝜋
𝑥 =
11
18
𝜋 +
2
3
⋅ −1 ⋅ 𝜋 → 𝑥 =
11
18
𝜋 −
2
3
𝜋 → 𝑥 =
−1
18
𝜋
Que ambas verifican la ecuación:
12 ⋅ sin 3 ⋅
−5
18
𝜋 + 8 = 2
12 ⋅ sin
−5
6
𝜋 + 8 = 2
12 ⋅ −
1
2
+ 8 = 2
−6 + 8 = 2
2 = 2
12 ⋅ sin 3 ⋅
−1
18
𝜋 + 8 = 2
12 ⋅ sin
−1
6
𝜋 + 8 = 2
12 ⋅ −
1
2
+ 8 = 2
−6 + 8 = 2
2 = 2
Ejemplo 2
Si tenemos que calcular las raíces de 𝑓 𝑥 = −4 ⋅ cos
1
2
⋅ 𝑥 + 4
Queremos saber qué valores de 𝑥 hacen que 𝑓 𝑥 = 0, entonces debemos resolver la ecuación
−4 cos
1
2
𝑥 + 4 = 0
En principio, comenzamos despejando el argumento del coseno "
1
2
𝑥" , nos queda
−4 cos
1
2
𝑥 + 4 = 0
cos
1
2
𝑥 = 1
cos
1
2
𝑥 = −4: −4
−4 cos
1
2
𝑥 = −4
Aquí, lo que nos dice la ecuación es que el
coseno de “algo” (en este caso, el coseno de
1
2
𝑥 ) debe darnos 1 , es decir, debemos
averiguar el arco cuyo coseno nos da 1.
𝛼 → 0° = 0 30° =
𝜋
6
45° =
𝜋
4
60° =
𝜋
3
90° =
𝜋
2
cos 𝛼 1 3
2
2
2
1
2
0
1
2
𝑥 = cos−1 1 = 0
En la calculadora:
Pensando el problema 
en la circunferencia 
trigonométrica:
Esto se produce con un ángulo
de 0°, o bien de 360° o también
como vimos en 720°, lo que en radianes 
nos da 0, 2𝜋, 4𝜋, … y así sucesivamente. 
Concluimos entonces que el argumento tiene que ser igual a 
2𝑘 ⋅ 𝜋 = 2𝑘𝜋 (con 𝑘 ∈ 𝑍), nos queda:
1
2
𝑥 = 2𝑘𝜋 Despejando a 𝑥 𝑥 = 2𝑘𝜋 ⋅ 2
𝑥 = 4𝑘𝜋
Y dándole valores a 𝑘 encontramos algunas soluciones 
particulares:
Si 𝑘 = 0 nos queda 𝑥 = 4 ⋅ 0 ⋅ 𝜋 → 𝑥 = 0 Que verifica −4 cos
1
2
⋅ 0 + 4 = 0
−4 cos 0 + 4 = 0
−4 ⋅ 1 + 4 = 0
0 = 0
Si 𝑘 = 1 nos queda 𝑥 = 4 ⋅ 1 ⋅ 𝜋 → 𝑥 = 4𝜋 Que verifica −4 cos
1
2
⋅ 4𝜋 + 4 = 0
−4 cos 2𝜋 + 4 = 0
−4 ⋅ 1 + 4 = 0
0 = 0
Si 𝑘 = 2 nos queda 𝑥 = 4 ⋅ 2 ⋅ 𝜋 → 𝑥 = 8𝜋 Que verifica −4 cos
1
2
⋅ 8𝜋 + 4 = 0
−4 cos 4𝜋 + 4 = 0
−4 ⋅ 1 + 4 = 0
0 = 0
Si 𝑘 = −1 nos queda 𝑥 = 4 ⋅ −1 ⋅ 𝜋 → 𝑥 = −4𝜋 Que verifica −4 cos
1
2
⋅ −4𝜋 + 4 = 0
−4 cos −2𝜋 + 4 = 0
−4 ⋅ 1 + 4 = 0
0 = 0
Las raíces son efectivamente los múltiplos de 4𝜋
Gráfico de la función en GeoGebra:
Ejemplo 3
Resolver la ecuación
cos
3
4
𝑥 + 5𝜋 = 2
Sabemos que tanto el seno como el coseno (no la tangente) varían en −1; 1 ,
por lo tanto si queremos que el coseno de “algo” nos dé más que 1 o menos que −1 (en nuestro 
caso queremos que el coseno de “algo” nos dé 2) estamos pidiendo algo imposible,
en consecuencia, esta ecuación no tiene solución.
Esperamos que sea de ayuda para 
comprender también el resto de la 
unidad.
Equipo docente de Introducción al Cálculo – Licenciatura en Biotecnología