Introduccion geometrico

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Crecimiento geométrico
• Entender el	crecimiento geométrico es fundamental	para	analizar el	
siguiente nivel de	complejidad en	ecología:	la	interacción entre	
especies.
• Dos	categorias generales de	estas interacciones:
1.	Predación.	(suma de	interacciones predacion-presa conforman la	red	
trófica de	una localidad.
2.	Competencia (por recursos)
El	CRECIMIENTO	GEOMÉTRICO,	EXPONENCIAL	
O	DENSO	INDEPENDIENTE
¿Porqué es importante modelarlo?
La	más grande limitación del	viaje de	la	humanidad es
nuestra inhabilidad de	entender la	función exponencial
Charla	de	Albert	A.	Bartlett	en	
crecimiento	exponencial			
https://youtu.be/sI1C9DyIi_8
Crecimiento	lineal.	y=	a . x +	b							
y	en	función	de	x,	con	las	constantes	a	y	b
a
b
x
y
1	unidad de	x
y		variable	dependiente
x	variable	independiente
a pendiente.	Aumento en y	por cada unidad de	x.	Es
constante.
b valor	de	y	donde x	es 0.	O,	intersección de	la	
función con	el	eje x
Nuestra mente proyecta cosas en forma	lineal	sin	mucho	
problemas.	
Crecimiento	lineal.	Nt =	Ra. t	+	No
Ra
N0
t
N
1	unidad de	t
N :	tamaño de	la	población
t			:	tiempo transcurrido o	número de	generaciones.	Variable	independiente
Ra :	pendiente.	Aumento de	individuos por cada unidad de	tiempo.	
Es constante e	independiene del	tamaño de	la	población.
N0 :	b	valor	de	y	donde x	es 0.	O,	intersección de	la	función con	el	eje x
Ra
¿ES	EL	CRECIMIENTO	LINEAL	REALISTA	PARA	
MODELAR	EL	CRECIMIENTO	DE	UNA	POBLACIÓN?
En el	caso lineal,	la	pendiente es una constante.	No	cambia	y	no	depende del	tamaño de	la	población.	Una	población de	1	individuo,	
produce	la	misma cantidad de	bebitos por unidad de	tiempo que	una población de	1	millón de	individuos.	Sabemos que	es no	es así
en poblaciones que	se	reproducen.	Una	población más grande produce	mas	bebitos.	O	sea	la	pendiente de	la	función aumenta
conforme aumenta la	población.	No	es una recta,	es una curva que	aumenta en pendiente conforme avanza t.	Es una:	
curva geométrica.	
Lo	que	queda constante es el	número de	bebitos que	produce	cada pareja,	o	lo	que	le	corresponde a	cada individuo.	En
una población esto significa que	si cada individuo produce	un	bebito en 100	años,	en ese	mismo periodo 30	individuos
producen 30	bebitos.	O	se	puede decir que	la	población siempre aumenta en la	misma proporción.	Por decir 2	veces,	o	el	
al	doble cada vez,	1.2	veces o	20%	más en cada paso (t)	o	sea	una constante,	por el	número de	individuos del	momento.	
¿Porqué es importante modelarlo?
• Escapa nuestra imaginación.	Para	proyectar se	requiere de	modelar.
El	CRECIMIENTO	GEOMÉTRICO,	EXPONENCIAL	
O	DENSO	INDEPENDIENTE
Que prefieres como pago diario por 3	semanas?
• Te dan $100	como inicio y	es tu aumento de	pago diario.	O	sea	en el	primer	día te
dan $	200,	en el	segundo $300,	en el	tercero $400,	y	así te van	aumentando 100	
soles	cada día hasta	completar las	3	semanas.
• O,	te dan 1	céntimo como inicio.	Siempre te dan el	doble de	lo	que	tenías,	o	sea	
el	primer	día 2	céntimos,		el	segundo día 4	céntimos,	el	tercer día 8	céntimos y	así te
duplican los céntimos cada día,	hasta	completar las	3	semanas.
¿Cuántos	granos	de	trigo	en	el	tablero	de	
ajedrez?
¿Cuántos	en	el	último	
casillero?
EL	CRECIMIENTO	GEOMÉTRICO	DISCRETO	EN	
POBLACIONES	BIOLÓGICAS
• CASO	DE	LAS	POLILLAS	QUE	SE	MUEREN	EN	EL	INVIERNO.
EL	CRECIMIENTO	GEOMÉTRICO	DISCRETO	EN	
POBLACIONES	BIOLÓGICAS
• El	sistema más simple
• Los	individuos adultos de	una población se	reproducen 1	vez al	año
y	mueren
• La	prole	producida constituye la	población del	siguiente año
• La	cantidad de	individuos nuevos producida por individuo adulto es
constante,	así como la	mortalidad por individuo.
• SUPUESTOS:
• No	hay	superposición de	generaciones
• O	sea,	la	población aumenta o	disminuye por la	misma fracción cada año.	A	
esa fracción le	llamamos R0
• si R0	= 2	significa que	en la	siguiente generación la	población que	queda es el	
doble de	la	inicial.	Lo	mismo sucede en cada paso.	La	población se	duplica con	
respecto a	la	anterior.	Se	cuatriplica con	respecto a	dos	pasos atrás.	
• Si	R0	=	0.5	significa que	en la	generación siguiente la	población que	queda es la	
mitad de	la	inicial.	O	sea	está disminuyendo.
• Si	R0	=	1,	significa que	a	la	generación siguiente la	población que	queda es del	
mismo tamaño que	la	inicial y	como es constante,	la	población se	mantendría
así para	siempre.	
EL	CRECIMIENTO	GEOMÉTRICO	DISCRETO
ALGUNA	NOMENCLATURA
• t:	tiempo.	Las	unidades de	tiempo serán inicialmente generaciones,	pero pueden ser años,	días,	etc.
• N:	número de	individuos.	La	unidad es individuos.	
• N0:	número de	individuos en la	condición inicial,	en el	momento cero.	Cuando todavía nada	empieza.	
• N1: número de	individuos en el	primer	paso.	En el	avance de	la	condición inicial a	una unidad de	t.	
• Nt:	número de	individuos en el	momento t.	Cuando han pasado t	unidades de	tiempo.	
• R0:	tasa neta de	reemplazo por generación (o	ƛ ,lambda),	la	proporción de	la	población que	resulta después
de	una unidad de	tiempo.	Como	es constante,	se	puede medir en cualquier momento entre	las	poblaciones
de	dos	unidades de	tiempo contíguas.	
SUPUESTOS:	
Una	población que	comienza con	No individuos y	pasará a	N1,	N2,	N2,	N3,	y	así sucesivamente
en cada paso de	t	(cada generación,	cada año,	cada mes,	según definamos t).
Una	población que	comienza con	No,		en la	siguiente generación N1,	será R0 veces ese	monto:
N1=R0N0
Y	en la	siguiente,	o	sea	en 2	generacion,	el	tamaño de	población,	N2,	
sería nuevamente R0 veces la	población anterior,	que	fue N1
N2=R0		N1 reemplazamos N1=R0N0	
N2=R0	(R0N0 )	
o	sea	en la	segunda generación N2=R0 2N0 ,	en la	tercera N3=R0 3N0,	en la	cuarta N4=R0 4N0	
y	en t	generaciones sería:
Nt=R0tN0