Los-Ángulos-para-Segundo-de-Secundaria

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ÁNGULOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CONCEPTOS 
 
 .............................................................................................. 
 .............................................................................................. 
 .............................................................................................. 
 .............................................................................................. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS : 
 
- Denota los siguientes ángulos y sus respectivas 
medidas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I __________ ; ______________ = _____ 
II. __________ ; ______________ = _____ 
III. __________ ; ______________ = _____ 
IV. __________ ; ______________ = _____ 
 
 ¿QUÉ ES UNA BISECTRIZ? 
 
 .............................................................................................. 
 .............................................................................................. 
 .............................................................................................. 
Sea el ∢AOB : 
 
 
 
 
 
 
 
 ¿Cómo, biseca? 
 
O sea : .............................................................................. 
 ............................................................................................ 
 ............................................................................................ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
R 
P 
º 
O 
Donde: 
 
* “P” : Pertenece a la 
 región . 
* “R” : Pertenece a la 
 región exterior del 
 ángulo 
¿Y cómo se denota? 
 NOTACIÓN : 
 
m∢AOB : …………………… 
 
 
¿Y su medida? 
¿En que unidad se expresa? 
∢AOB : …………………… 
 En la unidad de : 
………………………………………………. 
 
 
O 
A 
B 
M 
N 
O 
45º 
60º 
I II 
O 
P 
Q 
 70º 
150º 
R S 
T III IV 
O 
A 
M 
 B 
º 
º 
Si : 

OM es bisectriz del ∢AOB. 
Se cumple : 
 m∢AOM = m∢MOB = º 
 ¡Recordemos! 
 
“Qué todo ángulo en la geometría 
plana es positivo y menor ó igual a 
una vuelta”. 
 
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 CLASIFICACIÓN DE LOS 
 ÁNGULOS 
 
a) Según sus medidas : 
 
a.1. Ángulo Agudo : 
 
 
 
 
 
a.2. Ángulo Obtuso : 
 
 
 
 
 
 
 
 
a.3. Ángulo Recto : 
 
 
 
 
 
 
a.4. Ángulo Llano : 
 
 
 
 
 
a.5. Ángulo de una vuelta : 
 
 
 
 
 
 
* Veamos algunos ejemplos : 
 
1. Ang. Agudos: 
 
  10º, 30º, 60º, 80º, 89º, etc. 
 
2. Ang. Obtusos : 
 
  100º, 150º, 118º, 179º, 91º, etc 
 
* De los siguientes gráficos indique si el ∢ es 
 agudo, recto, obtuso o llano. 
 
o 20º ↠ .................................................. 
o 36º ↠ ....................................... 
o 72º ↠ ....................................... 
o 100º ↠ ....................................... 
o 18º ↠ ....................................... 
o 90º ↠ ....................................... 
o 170º ↠ ....................................... 
o 115º ↠ ....................................... 
o 360º ↠ ....................................... 
o 180º ↠ ....................................... 
0º < ºGEOMETRICO < 360º 
¿Profe Carlitos y porque algunos ángulos 
son mayores que otros y algunos tienen 
lados comunes? 
 
45º 
40º 
20º 
120º 60º 
54º 
36º 40º 40º 
JÓVENES PARA UN MEJOR ESTUDIO 
 
 Clasifiquemos los ángulos: según sus 
 medidas y según la posición de sus lados: 
 
 º 
 0º  º  90º 
 º 
 90º  º  180º 
º 
  = 180º 
 
 = 360º 
140º 
140º 
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o 162º ↠ ....................................... 
o 180º ↠ ....................................... 
o 162º ↠ ....................................... 
o 90,5º ↠ ....................................... 
o 89,5º ↠ ....................................... 
o 0º ↠ ....................................... 
 
* Utilizando el transportador, mide 
 aproximadamente los siguientes ángulos. 
 
o 
 
 
 
 
o 
 
 
 
 
o 
 
 
 
 
o 
 
 
 
 
o 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
 
1. De los siguientes gráficos. Indique el tipo de 
ángulos: 
 
a) ∢ …………………………….. b) ∢ …………………………….. 
 
 
 
 
 
 
 
c) ∢ …………………………….. d) ∢ …………………………….. 
 
 
 
 
 
 
e) ∢ …………………………….. 
 
 
 
 
 
2. Indique de que tipo de ángulo se trata según su 
medida. 
 
a) 16º ↠ ....................................... 
b) 25º ↠ ....................................... 
c) 145º ↠ ....................................... 
d) 90º ↠ ....................................... 
e) 180º ↠ ....................................... 
 
Usando el transportador medir aproximadamente 
los siguientes ángulos. 
 
3. 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
5. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
º º = …………….. 
º º = …………….. 
 
º = …………….. 
º 
º = …………….. 
 60º 
145º 
20º 
º 
º 
º = …………….. 
º 
º = …………….. 
mº mº = …………….. 
º 
º º = …………….. 
º = …………….. 
º 
 
º 
 
º- º = ……………………….. 
º 
º = …………….. 
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8. Grafique aproximadamente con su 
transportador los siguientes ángulos. 
 
a) º = 25º 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) º = 100º 
 
 
 
 
 
 
c) º = 90º 
 
 
 
 
 
 
d) º = 160º 
 
 
 
 
 
e) º = 150º 
 
 
 
 
 
 
9. Indicar verdadero o falso : 
 
a) El ∢ agudo mide 90º ( ) 
b) el ∢ obtuso mide 180º ( ) 
c) 91º, es un ángulo agudo ( ) 
d) 180º, es un ángulo llano ( ) 
e) El ángulo obtuso puede ser 135º ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Calcular “x” 
Si : OM es bisectriz del ángulo AOB 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sol.- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por ejemplo : 
 
Convertir : 
 
 
a) 
2
'60
º22
2
º1
º22
2
º45
 
 
 '30º22
2
º45
'30º22
2
º45
 
 
 
b) 
4
'60
º4
4
º1
º4
4
º17
 
 
 '15º4'15º4
4
º17
 
 
 
c) 
25
)'60(2
º5
25
º2
º5
25
º127
 
 
 = 5º + 
5
'4
'4º5
5
'24
º5
5
'24
 
 
= 5º + 4’ + ''48'4º5
5
)''60(4
 
= ''48'4º5
25
º127
 
 
O 
20º 
 B 
 M 
 A 
 Sabias que : 
 
↠ 1º  > 60’ 
↠ 1’  > 60’’ 
↠ 1º  > 3600’’ 
60’ 
2(60’) 
4(60’’) 5 
12’ 
12’’ 
1 
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11. Calcular : 
2
º27
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Calcular 
2
º35
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Calcular 
4
º125
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Calcular 
8
º127
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. Calcular 
4
º85
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAREA DOMICILIARIA 
 
1. Indicar verdadero ó falso según corresponda: 
 
a) El ángulo tiene dos lados ( ) 
b) El ángulo tiene dos bisectrices ( ) 
c) El ángulo esta formado por dos 
semirrectas. ( ) 
d) Todos los ángulos están medidos en grados 
sexagesimales ( ) 
e) El ángulo agudo es mayor que 90º ( ) 
 
2. Indicar verdadero ó falso según el ángulo. 
 
a) La unidad del ángulo es el grado 
sexagesimal (1º) ( ) 
b) El minuto sexagesimal es (1’) ( ) 
c) El segundo sexagesimal es (1’’) ( ) 
d) Un grado (1º) ; equivale a 60 minutos 
sexagesimales (60’’) ( ) 
e) Un minuto (1’) equivale a 60 segundos 
sexagesimales (60’’) ( ) 
 
3. Indicar verdadero o falso, según corresponda: 
 
a) El ángulo agudo es menor que 90º; ( ) 
 pero mayor que 0º 
b) El ángulo obtuso es mayor que 90º; ( ) 
 pero menor que 180º 
c) El ángulo recto mide 180º ( ) 
d) El ángulo llano mide 90º ( ) 
e) El ángulo de revolución ó 
 de una vuelta mide 360º ( ) 
 
4. Relacionar las siguientes alternativas: 
a) Ángulo Agudo ( )180º 
b) Ángulo Obtuso ( ) 27º 
c) Ángulo Recto ( ) 360º 
d) Ángulo de una vuelta ( ) 90º 
e) Ángulo Llano ( ) 150º 
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5. Resolver los siguientes ejercicios (medición) 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
6. Medir los siguientes ángulos (use 
transportador) 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
7. Grafique aproximadamente los siguientes 
ángulos : 
 
a) 
 
 º = 60º 
 
b) 
 
º = 90º 
 
 
c) 
 
º = 165º 
 
 
d) 
 
º = 10º 
 
e) 
 
º = 105º 
 
 
8. Indicar verdadero (V) o falso (F). 
 
a) La geometría en Egipto era una ciencia ( ) 
b) Thales nació en Egipto ( ) 
c) Thales es el “Padre de la geometría” ( ) 
d) Thales sostenía que el agua es el origen de las 
cosas ( ) 
e) La geometría aparece en Grecia, gracias a 
Thales. ( ) 
 
9. Si : 

OM es bisectriz : 
Calcular “x”: 
 
 
 
 
 
 
 
 Sol.- 
 
 
 
 
 
 
 
10. Calcular “x” ; (Si 

OB ; es bisectriz ∢ AOC) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sol.- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∢ ……………. 
25º 
∢ ……………. 
º 
º 
º …………. º …………. 
60º 
∢ ……………. 
144º 
∢ ……………. 
O 
x+12 
 B 
 M 
 A 
B 
C O 
A 
Rpta : 12º 
x 
Rpta : 45º 
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11. Calcular “x” . Si : 

OM : Bisectriz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Calcular “” en grados y minutos. 
º = 
4
º37
 
Sol.- 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. º = 
8
º105
 
Sol.- 
 
 
 
 
 
 
 
14. º = 
25
135
 
Sol.- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. º = 
16
º180
 
Sol.- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
O 
M 
B 
3x-10º 
Rpta .- 9º15’ 
Rpta .- 13º7’30’’ 
Rpta .- 5º24’ 
Rpta .- 11º15’ 
Rpta : 35º