Matematicas_II_Matematicas_II

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D.R.© Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 
Eugenio Garza Sada 2501 Sur, Col. Tecnológico, Monterrey, N.L. México. 2010 
 
 
 Matemáticas II
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemáticas II 
Módulo II. Álgebra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Matemáticas II
 Introducción al módulo 
 
 Pedro quiere plantar maíz en un terreno cuadrangular de 49ha (49 hectáreas), que es 
equivalente a 490,000m2, pero para ello lo tiene que cercar. 
Para cercarlo, primero necesita calcular la medida del lado del terreno, y el proceso para esto 
último es obtener la raíz cuadrada del área del cuadrado, es decir, √ . 
En este módulo aprenderás a resolver situaciones como éstas, además de radicales más 
complejos que te ayudarán a comprender conceptos matemáticos en cursos posteriores. 
 
Pedro también tendrá que calcular un presupuesto que le permita comprar la madera, la 
pintura y la herramienta necesaria para poder fabricar la cerca y quizá se formule enunciados 
como éste: “Necesito al menos $90,000 para ponerle la cerca al terreno”. 
¿Sabías que este enunciado, así como otros, lo podemos traducir a una desigualdad 
algebraica?: , . 
En este módulo también conocerás las características de una desigualdad y sus distintas 
notaciones. 
 
Competencias del módulo 
 
Las competencias que desarrollarás en este módulo son las siguientes: 
 
 Resolver correctamente operaciones básicas con expresiones algebraicas que 
contengan exponentes enteros y racionales, para tener los recursos algebraicos que te 
ayudarán a resolver situaciones problemáticas que fueron cambiadas a un modelo 
matemático. 
 
 Conocer las características de una desigualdad, en sus notaciones: algebraica, gráfica o 
de intervalo, para expresar mediante ellas situaciones de la vida real. 
 
Revisa a continuación las unidades que componen este módulo: 
 
Unidad 1. Exponentes 
Unidad 2. Operaciones con radicales 
Unidad 3. Desigualdades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Matemáticas II
 
Unidad 1. Exponentes 
 Introducción a la unidad 
 
Quizá, si haces memoria de tus inicios con los conceptos matemáticos, recordarás que el 
primer concepto que aprendiste fue sumar, después aprendiste a restar, multiplicar y 
dividir, todo esto con los números enteros positivos; claro que en aquel entonces tú no 
sabías que había otros conjuntos de números. 
 
Pero hoy, y especialmente después de haber cursado matemáticas I, te das cuenta que 
existen además de los números enteros positivos, los enteros negativos, el cero y los 
números fraccionarios o racionales. Ya que los exponentes son números también, 
entonces cumplen con estas características, de tal manera que en esta unidad retomarás 
el concepto de exponentes positivos, negativos y cero que aprendiste en tu curso pasado, 
y comprenderás que existen también exponentes fraccionarios o racionales. 
 
A lo largo de esta unidad comprenderás las leyes de los exponentes racionales, y las 
aplicarás para resolver las operaciones básicas con radicales en la siguiente unidad. 
 
Competencias de la unidad 
 
Las competencias que desarrollarás en esta unidad son las siguientes: 
 
 Identificar las leyes de los exponentes racionales o fraccionarios. 
 
 Resolver correctamente las operaciones básicas con expresiones algebraicas aplicando los 
principios y procedimientos de: 
o Las leyes de los exponentes positivos, negativos y cero. 
o La simplificación de resultados. 
 
Revisa a continuación los temas que componen esta unidad: 
 
 
Tema 1. Exponente positivo, cero y negativo 
Tema 2. Exponentes racionales o fraccionarios 
 
 
 
 
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 Matemáticas II
 
Tema 1. Exponente positivo, cero y negativo 
 
En el curso anterior estudiaste la estructura de los números reales, sus propiedades y las 
operaciones más importantes que puedes realizar con ellos. Una de estas operaciones es la 
multiplicación, ya que nos ayuda a realizar sumas de una manera muy rápida y conveniente. 
 
En la vida diaria, el concepto de la multiplicación la utilizamos constantemente, por ejemplo: si 
vamos a la panadería y compramos 5 piezas de pan a 2 pesos cada una, podemos realizar la 
siguiente operación: 2+2+2+2+2 = 10, sin embargo si queremos realizar esta operación más 
rápido, entonces usamos la multiplicación: 5 x 2 = 10. 
 
De manera similar, cuando realizamos varias multiplicaciones juntas con el mismo número, por 
ejemplo: 2 x 2 x 2 =8, lo podemos representar también como 23=8, es decir, multiplicamos el 2 
tres veces: 2 x 2 =4 x 2 = 8. 
 
Como habrás notado, en la representación de este tipo multiplicación usamos un exponente. En 
la página siguiente recordarás las leyes de los exponentes. 
En Matemáticas I aprendiste las leyes de los exponentes. Observa el siguiente gráfico para 
recordarlas, te serán de gran utilidad en este módulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ahora analiza los siguientes ejemplos en los que se aplican las leyes de los exponentes: 
 
1) 
21a a ) a ( 7 x 3
7
3  
2) 
10
110 - t t ) t( ) 2 ( ) 5 - (
2
5 -
t

 
 
 
Leyes de los exponentes 
 
a 
m
 . a 
n
 = a 
m + n 
 = a
 - n a0= 1 
(am) n = a m x n 
 
 = a 
m - n 
 = a
 n = 
 
 
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 Matemáticas II
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
 
8
412
)4)(2(
)4)(1()4)(3(
424
4434
42
434
2
3
16
)1)(1)(1)(1(
)2)(2)(2)(2(
)(p (1)
(n) )(m(-2)
 
 ) p (
 )n 2m - (
 
p
nm 2 -
p
nm
p
nm 



 
 
 
5) 
 = 
 = = = 
 
= 
= 
= = = 
 
 
 
 
6
12
126
)3)(4()3)(2(
34323
34-2
27
27
)3)(3)(3(
)()()3(
) b a 3 - (
a
b
ba
ba
ba







 
Observa que: aunque el número 27 es negativo, es decir -27, 
debido a que (-3)(-3)(-3) = -27, éste no cambia de posición en la 
fracción ya que esta característica sólo sucede con los 
exponentes negativos, no con los números negativos, como lo 
muestra la ley de los exponentes. 
 
Observa que: en el denominador escribimos 
el número 1, ya que cuando una variable 
aparece “sola” se asume que va 
acompañada del número 1. De esta manera: 
2p = 1 2p 
Observa que: en el resultado ya no 
aparece la variable , ya que = , y 
cualquier número multiplicado por 1, es él 
mismo: 3 x 1 = 3; ab x 1 = ab. 
 
 
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Tema 2. Exponentes racionales o fraccionariosHasta este momento hemos trabajado con los exponentes que pertenecen al subconjunto de los 
números reales llamado enteros (Z), el cual es a su vez subconjunto de los números racionales 
(Q) , y éstos son subconjunto de los reales (R) ZQR. Sin embargo, los exponentes también 
pueden ser fraccionarios, es decir, son racionales pero no enteros, y son precisamente los que 
vamos a estudiar en esta sección. 
 
Sean m, n R > 1 y a R > 0, entonces: 
 ⁄ = √ ó √ 
 
donde a es el radicando o base, m el índice del radical y n la potencia. 
 
El proceso para obtener el resultado de una raíz es calcular el número el cual multiplicado por sí 
mismo la cantidad de veces que indica el índice del radical, se obtiene el radicando. Es decir, √ = porque el índice de este radical es 2, entonces debemos de multiplicar dos veces el 
número que proponemos como resultado: 3 x 3 y sí como resultado obtenemos el radicando 9, 
entonces el número es el correcto. 
 
Si el radical hubiera sido √ = , porque 2 x 2 x 2 = 8. 
Y si hubiera sido √ = , porque 2 x 2 x 2 x 2 = 16 ó 24 = 16. 
 
Utilizando estos conceptos y la definición del radical, analicemos algunos ejemplos: 
 
1) = √ ó √ = √ = = 
 
2) = √ = √ = = 
 
3) = √ = √ = = 
 
Esto también se cumple con variables: 
4) = √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Si el denominador de la fracción del exponente es más grande que el denominador, entonces 
podemos simplificar el radical: 
 
5) = √ = = = = √ 
 
 
 
 = = √ = √ √ = = √ 
 = = = = = √ 
 
 
 
Los exponentes racionales o fraccionarios también tienen sus leyes, las cuales se presentan a 
continuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observa que: utilizamos la ley de los 
exponentes en: = = . 
Además, recuerda que la estrategia es cambiar 
los radicales a fracciones para que sea más fácil 
su simplificación. 
Observa que: separamos los 
productos dependiendo del 
índice del radical. 
Leyes de los exponentes racionales o fraccionarios (radicales) 
 
Sean m, n R > 1 y a, b R > 0, entonces: 
 
 √ = √ √ = √√ √ = √ 
 
 
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Analiza los ejemplos de la aplicación de cada una de estas leyes que aparecen en las siguientes 
páginas. 
 
Ley: 
 √ = √ √ 
 
 
Ejemplos: 
 
1. √ = √ √ . x y z = √x y √z = x y z = x yz . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ahora observa este ejemplo en el que se incluyen números además de variables. . = √ √ = = = √ 
 
 
Un ejemplo más con números y variables. . = √ = = = 
 √ √ = √ 
 
 
 
 
 
 
 
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Ley: = √√ 
 
 
Ejemplos: = √√ = √√ = = = √ 
 = = = 
 = = √ 
 
 = √ = 
 
 
 
 
Ley: 
 √ = √ 
 
Ejemplos: 
 
1. √ = √ = √ = = = 
 
 
 
Observa que: simplificamos desde el 
principio y/y = 1 ya que tienen el mismo 
exponente. 
Al final también simplificamos √ por √ , esto se puede hacer porque = . 
 
 
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2. √ = √ = = = = √ 
 . √ = 
= = = = √ 
 
 
 
 
 . √ = √ = 
 = = = √ 
 
 
Observa ahora un ejemplo de cómo podemos utilizar los conocimientos de este tema en la 
resolución de problemas cotidianos. 
 
Juan tiene un terreno cuadrangular cuya área la podemos representar por la expresión 
algebraica: , ¿cuál es la expresión algebraica que representa su lado? 
 
Ya que el terreno es de forma cuadrangular, debemos partir del siguiente concepto: la fórmula 
para calcular el área de un cuadrado es A= L2, por lo que si queremos calcular el valor de L 
tendríamos que obtener la raíz cuadrada del valor del área. 
Si el área fuera 16, tendríamos que: si A= 16, entonces L = 4 porque √ = 
 
De tal forma que en este ejemplo tendríamos: 
Si A = a b c entonces, a b c = L así es que necesitamos despejar L y obtenemos: L =√ a b c , si aplicamos los conocimientos construidos en esta sección y resolvemos esta raíz 
Observa que: como el problema original está 
expresado en radical, tu respuesta final deberá 
estar expresada en radical. 
Observa que: para poder resolver este 
problema, primero debemos de expresar el 
número en sus factores primos, como lo 
aprendiste en tu curso de matemáticas anterior, 
de tal forma que = . 
Observa que: el número 32 lo podemos 
expresar como ya que 2x2x2x2x2 = 
32. Necesitamos transformar el número 
en su expresión como factor primo para 
poder aplicar la raíz correspondiente. 
 
 
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cuadrada tenemos que = √ = = , por lo que su lado se 
puede representar como: 
 = . 
 
 
 
A lo largo de esta unidad reafirmaste tus conocimientos de los exponentes enteros: positivos, 
negativos y cero. Comprendiste la relación que guardan las reglas que rigen a dichos exponentes 
con las reglas que se definen para los exponentes fraccionarios, es decir, racionales. 
Mediante diversos ejemplos consolidaste la aplicación y simplificación de expresiones algebraicas 
que involucraban a exponentes racionales. 
En la próxima unidad serás capaz de aplicar dichos conocimientos para la solución de operaciones 
básicas: suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas que impliquen 
exponentes racionales. 
¡Adelante! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidad 2. Operaciones con radicales 
 Introducción a la unidad 
 
Así como aprendiste las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división con los 
números naturales, es decir, los números enteros positivos, en esta unidad comprenderás los procesos 
para realizar dichas operaciones con el apoyo de las leyes de los exponentes racionales o radicales. 
 
Por ejemplo, cuando redactas un documento para tu trabajo como una circular o un informe, lo 
escribes y lo revisas en varias ocasiones hasta que consideras que estás expresando tu idea de la 
manera más simple y clara. También en matemáticas este proceso de escribir las expresiones de la 
manera más simple y clara es sumamente importante y le llamamos simplificaciónde expresiones 
matemáticas. 
 
Es por ello que en esta unidad comenzamos con el conocimiento del proceso de simplificación de 
expresiones con radicales, ya que lo vas a aplicar en cada una de las operaciones básicas con radicales. 
 
Competencias de la unidad 
 
La competencia que desarrollarás en esta unidad es la siguiente: 
 
Resolver correctamente las operaciones básicas con expresiones algebraicas aplicando los principios y 
procedimientos de las leyes de los exponentes fraccionarios o racionales. 
 
 
Revisa a continuación los temas que componen esta unidad: 
 
Tema 1. Multiplicación con radicales 
Tema 2. División con radicales 
Tema 3. Suma y resta con radicales 
Tema 4. Racionalización del denominador 
 
 
Tema 1. Multiplicación con radicales. 
 
Al igual que con los números enteros existen 4 operaciones básicas, también con los radicales 
podemos realizar dichas operaciones. Vamos a comenzar con la multiplicación. 
Para esto vamos a seguir utilizando las leyes de los exponentes de los radicales: 
 
 
 
 
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Comenzaremos en esta ocasión analizando el proceso de la multiplicación con radicales, ya que éste lo 
necesitaremos para las otras operaciones básicas. 
Observa cómo en los siguientes ejemplos de multiplicación se aplicaron las leyes de los exponentes de 
los radicales para resolverlos. 
 
Ejemplos de multiplicaciones con radicales 
 
6) √ √ = √ = √ = = = 
7) √ √ = √ = √ 
8) √ √ = = √ = 
9) √ √ = = √ = √ = √ 
 
 
En los ejemplos anteriores se usaron números solamente. Los siguientes incluyen variables; es decir, 
son expresiones algebraicas. 
 
Ejemplos de multiplicaciones de expresiones algebraicas con radicales 
 
1) √ √ = √ = √ 
2) √ √ = √ = √ = √ 
3) = = √ = √ 
4) √ √ √ = √ √ = √ = √ 
 
 
 
Sean m, n Z > 1 (enteros mayores a uno) y a, b R > 0 (reales 
mayores a cero), entonces: 
 √ = √ √ = √√ √ = √ 
 
 
Observa que: podemos multiplicar 
solamente aquellos elementos de las 
raíces que tienen el mismo índice. Sin 
embargo, aquellos elementos que ya 
resolvimos del radical, sí se pueden 
multiplicar entre sí, como es el caso de 
(ab)(b) =a b
2. 
Observa que: simplificamos la 
fracción 4/6 que representa el 
exponente por 2/3, dividiendo cada 
término de la fracción entre 2. 
 
 
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Tema 2. División con radicales 
 
¿Cómo se dividen expresiones algebraicas con radicales? Analiza cada uno de los siguientes ejemplos. 
 
1) 
√ √ = = = = 
 
 
 = = = = √ 
 
 
 √ √ = = = = 
 
 
 
 
 
 √ √√ = = = = = = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tema 3. Suma y resta con radicales 
 
Quizá para estos momentos te hayas preguntando por qué iniciamos con la multiplicación y división, 
en lugar de la suma y resta, que son más básicas. La explicación es que, siempre será recomendado 
simplificar primero cualquier expresión antes de realizar una suma o resta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analiza los siguientes grupos de ejemplos. Observa que en este primer grupo el radical es el mismo y 
no se requiere simplificar. 
 
 
Ejemplos con mismo radical 
 
1) √ + √ = √ 
2) √ + √ = √ 
3) √ − √ = √ 
4) √ + √ − √ = √ 
 
 
Ejemplos con mismo radical y que requieren simplificarse primero 
 
1) √ + √ = √ + √ = √ 
2) √ − √ = √ − √ = √ 
3) − = − = − = − = − 
 
 
Sean m, n R > 1 y a, b y c R > 0, entonces: 
 √ + √ = + √ √ + √ = √ + √ 
Mismo radical 
Se pueden sumar o restar los 
coeficientes. 
Radicales diferentes 
No se pueden sumar o restar los 
coeficientes. 
Observa que: el coeficiente de √ 
es 1 aunque no este escrito (de la 
misma manera que x = 1x), por eso 
motivo, al sumarse resulta 2.
 
 
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Ejemplo con radicales diferentes y simplificación 
 
4) √ − √ − √ = √ − √ − √ = √ − √ − √ = √ − √ 
 
 
Tema 4. Racionalización del denominador 
 
El leguaje matemático también tiene sus reglas como cualquier otro lenguaje, es por ello que una de 
esas reglas marca que en un resultado final o expresión final, no se deben de dejar expresados 
radicales en el denominador, al proceso mediante el cual se elimina el radical de un denominador se 
llama racionalización. Analicemos este proceso: 
 
Cuando tenemos una fracción y realizamos la misma operación en el numerador y en el denominador, 
ésta no se altera, por ejemplo: = = ó = = 
 
Estas fracciones son fracciones equivalentes como aprendiste en matemáticas I, por lo tanto la 
cantidad original no se altera. Recuerda que esto se debe a que la cantidad que estamos agregando es = ó = . 
 
 
Enseguida vamos a utilizar con radicales los conceptos de racionalización del denominador que vimos. 
 
 
Ejemplo: √√ 
 
 
Paso 1 
Busca el radical que complemente el radical del denominador para que pueda simplificarse, en este 
caso: √ , necesitamos multiplicarlo por otro √ para obtener así √ , cuyo resultado es: 2, y así 
logramos quitar el radical del denominador. 
 
 
Observa que: al final no 
podemos sumar la raíz 
cúbica con la raíz 
cuadrada de b ya que para 
poder sumar o restar 
radicales los índices 
deben de ser iguales. 
 
 
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Paso 2 
Dicho radical deberá ser multiplicado por el numerador también para no alterar la fracción: 
√√ = √√ = √√ √√ = √√ 
 
 
Paso 3 
Se resuelven ambas multiplicaciones y se simplifica cuando sea necesario. Sin embargo recuerda que la 
simplificación sólo se puede realizar con los números que ya estén afuera del radical. √√ = √√ √√ = √√ = √ 
 
 
Enseguida analizarás ejemplos en los cuales se racionaliza el denominador. 
Iniciaremos con ejemplos en los cuales el radical es el mismo en el numerador y el denominador. 
 
Ejemplos con mismo radical 
 
Ejemplo 1: 
 
√√ = 
 
Paso 1 Busca el radical que complemente el radical del denominador para que pueda 
simplificarse, en este caso: √ . Necesitamos multiplicarlo por √ para obtener así √ , cuyo resultado es: 3, y así logramos quitar el radical del denominador. 
 
Paso 2 Dicho radical deberá ser multiplicado por el numerador también para no alterar la 
fracción: 
√ √ = √√ = √√ √√ = 
 
Paso 3 Se resuelven ambas multiplicaciones y se simplifica cuando sea necesario. Sin embargo 
recuerda que la simplificación sólo se puede realizar con los números que ya estén afuera 
del radical. √√ = √√ √√ = √√ = √18 
 
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Ejemplo 2: 
 
√√ 
Paso 1 Busca el radical que complemente el radical del denominador para que pueda 
simplificarse, en este caso: √ . Necesitamos multiplicarlo por otro √ para obtener así √ , cuyo resultado es: 2, y así logramos quitar el radical del denominador. 
Paso 2 Dicho radical deberá ser multiplicado por el numerador también para no alterar la 
fracción: 
√√ = . √√ = √√ √√ = 
 
Paso 3 Se resuelven ambas multiplicaciones y se simplifica cuando sea necesario. Sin embargo 
recuerda que la simplificación sólo se puede realizar con los números que ya estén afuera 
del radical. √√ = √√ √√ = √√ = √ 
 
 
 
Ejemplo 3: 
 
√√ = 
 
Paso 1 Busca el radical que complemente el radical del denominador para que pueda 
simplificarse, en este caso: √ . Necesitamos multiplicarlo por otro √ para obtener así √ , cuyo resultado es: 7, y así logramos quitar el radical del denominador. 
 
Paso 2 Dicho radical deberá ser multiplicado por el numerador también para no alterar la 
fracción: 
√ √ = √√ = √√ √√ = 
 
Paso 3 Se resuelven ambas multiplicaciones y se simplifica cuando sea necesario. Sin embargo 
recuerda que la simplificación sólo se puede realizar con los números que ya estén afuera 
del radical. √√ = √√ √√ = √√ = √ 
 
 
 
 
 
 
 
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 Matemáticas II
 
 
 
Analiza ahora algunos ejemplos en los cuales el radical es el mismo pero requieren ser simplificados 
antes de resolverse. 
Ejemplos con mismo radical y simplificación 
 
 
Ejemplo 1: 
 
√√ = √√ = 
 
Paso 1 Simplifica los radicales que sea necesario, en este caso el denominador simplificado es √ , como se observa en el ejemplo. Ahora sí, busca el radical que complemente el de 
este denominador para que pueda simplificarse. Necesitamos multiplicarlo por √ para 
obtener así √ , cuyo resultado es: 2, y así logramos quitar el radical del denominador. 
 
Paso 2 Dicho radical deberá ser multiplicado por el numerador también para no alterar la 
fracción: 
√ √ = √√ = √√ √√ = 
 
Paso 3 Se resuelven ambas multiplicaciones y se simplifica cuando sea necesario. Sin embargo 
recuerda que la simplificación sólo se puede realizar con los números que ya estén afuera 
del radical. √√ = √√ √√ = √√ = √ 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2: 
 
√√ = = √ = 
 
Paso 1 Simplifica los radicales que sea necesario, como se observa en el ejemplo. Ahora sí, busca 
el radical que complemente el del denominador, que en este caso es: √ . Necesitamos 
multiplicarlo por √ para obtener así √ , cuyo resultado es: 2, y así logramos quitar 
el radical del denominador. 
 
Paso 2 Dicho radical deberá ser multiplicado por el numerador también para no alterar la 
Observa que: el ejemplo ha sido simplificado antes 
de buscar un radical para multiplicarlo. 
Observa que: el ejemplo ha sido 
simplificado antes de buscar un radical 
para multiplicarlo. 
 
 
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 Matemáticas II
fracción: √√ = √√ = √√ √√ = 
 
Paso 3 Se resuelven ambas multiplicaciones y se simplifica cuando sea necesario. Sin embargo 
recuerda que la simplificación sólo se puede realizar con los números que ya estén afuera 
del radical. √√ = √√ = √√ √√ = √ = √ 
 
 
 
 
Ejemplo 3: 
 
√√ = √√ = 
 
Paso 1 Simplifica los radicales que sea necesario, como se observa en el ejemplo. Ahora sí, busca 
el radical que complemente el del denominador, que en este caso es: √ . Necesitamos 
multiplicarlo por √ para obtener así √ , cuyo resultado es: 5, y así logramos quitar el 
radical del denominador. 
 
Paso 2 Dicho radical deberá ser multiplicado por el numerador también para no alterar la 
fracción: 
√ √ = √√ = √√ = √√ √√ = 
 
Paso 3 Se resuelven ambas multiplicaciones y se simplifica cuando sea necesario. Sin embargo 
recuerda que la simplificación sólo se puede realizar con los números que ya estén afuera 
del radical. √√ = √√ = √√ √√ = √ = √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observa que simplificamos 
el 2 del numerador con el 2 
del denominador. 
Observa que: el ejemplo ha sido simplificado 
antes de buscar un radical para multiplicarlo. 
 
 
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 Matemáticas II
 
 
Ejemplo con radicales diferentes y simplificación 
 
Ejemplo: √√ = √ = 
 
Paso 1 Simplifica los radicales que sea necesario, como se observa en el ejemplo. 
Ahora sí, Busca el radical que complemente el radical del denominador, en 
este caso: √ . Necesitamos multiplicarlo por √ para obtener así √ , 
cuyo resultado es: 3, y así logramos quitar el radical del denominador. 
Paso 2 Dicho radical deberá ser multiplicado por el numerador también para no 
alterar la fracción: 
√√ = √√ = √√ = √√ √√ = 
 
Paso 3 Se resuelven ambas multiplicaciones y se simplifica cuando sea necesario. 
Sin embargo recuerda que la simplificación sólo se puede realizar con los 
números que ya estén afuera del radical. √ √ = = = √ = √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Enseguida verás ejemplos de racionalización del denominador en expresiones algebraicas con 
radicales. 
 
1) √√ = √√ √√ = √ 
 
 
 
2) 
√ = √ = 
= = = 
 
Observa que: para poder multiplicar los 
radicales del numerador tenemos que encontrar 
un radical común en el cual podamos incluir a √ √ , dicho radical es √ , porque el común 
denominador de las fracciones 1/2 y a 1/3 es 6, 
entonces utilicemos sextos. 
Observa que: aplicamos la ley de los 
exponentes que dice que bases iguales los 
exponentes se suman: = = . 
Observa que para cancelar el radical del 
denominador es necesario multiplicar por ℎ para completar ℎ . 
 
 
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 Matemáticas II
 
 √√ = √√ √√ = √ 
 
 √√ = √√ √√ = √ 
 
 √√ = √√ √√ = √ = √ = √ 
 
 √√ = √ = √ √√ = 
√ = √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando hay más de un término en el numerador tenemos que aplicar la propiedad distributiva. Analiza 
los siguientes ejemplos. 
 √√ = √√ √√ = √ √ √ = 
 √ = √ = 
 
Observa que: no multiplicamos el denominador por el complemento de √ ya que ésta se cancela con la √ que se encuentra en el 
numerador, por lo que solo necesitamos cancelar √ , entonces 
hay que multiplicarlo por √ .
Observa que: para cancelar el radical del 
denominador es necesario multiplicar por √ 
para completar √ , y una vez afuera “b”, 
multiplicarla por la otra “b”. 
Aquí, sacamos el factor común “a”. 
Finalmente simplificamos el numerador 
y el denominador. 
Multiplicamos √ por cada término del 
numerador (propiedad distributiva). 
 
1) 
 
 
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 Matemáticas II
√ + = √ + 
 − √√ = − √√ √√ = − 
 
 
En ocasiones el denominador está conformado por un binomio, ante esta situación utilizaremos un 
conocimiento que construiste en el curso de matemáticas I: Binomios conjugados (a + b)(a –b) = a2 – 
b2 y nuevamente aplicaremos la propiedad distributiva. 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
1) √ = √ √√ = √√ = √ = √ 
 
 
2) √ = √ √√ = √√ = √ = √ = √ 
 
 
3) √ = √ √√ = √ 
 
 
4) √ = √ √√ = √ 
 
 
5) √ = √ √√ = √ 
 
 
 
 
 
 
Observa que: simplificamos 
cada término ya que los 
dividimos entre 4. 
 
 
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 Matemáticas II
 
 
 
Hasta aquí has comprendido cada uno de los procesos que se realizan para resolver las cuatro 
operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división con radicales. 
Como te habrás dado cuenta muchos de estos procesos son similares a los que ya conocías con 
números enteros. El proceso definitivamente nuevo para ti fue el correspondiente a la racionalización 
de radicales, mismo que en cursos posteriores de matemáticas continuaremos reafirmando. 
En la próxima unidad serás capaz de comprender el significado de las desigualdades lineales, así como 
su representación algebraica, gráfica y por intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Matemáticas II
 
 
 
Unidad 3. Desigualdades 
 Introducción a la unidad 
 
 “Ve a la tiendita y no te gastes más de $20”, ¿te suena familiar esta afirmación? 
Esta y otras muchas afirmaciones las podemos transcribir en una desigualdad, el ejemplo anterior lo 
podemos expresar así: , donde representa “gasto”, sin embargo pudiéramos utilizar cualquier 
letra o variable. 
Irás aprendiendo lo anterior a lo largo de la presente unidad, entonces sería interesante que busques 
poner atención a las expresiones que utilizas a diario y te pusieras el reto de tratar de escribir algunas 
mediante desigualdades algebraicas, ¿cómo ves? 
 
Competencias de la unidad 
 
Las competencias que desarrollarás en esta unidad son las siguientes: 
 
 Identificar las características de las desigualdades y sus distintas notaciones: algebraica, gráfica 
e intervalos. 
 
 Interpretar y representar correctamente las desigualdades en sus distintas notaciones. 
 
El tema que compone esta unidad es: 
 
 
 
 
Tema 1. Notaciones: algebraica, grafica e intervalos 
 
Hay afirmaciones que podemos expresar a través de una desigualdad y las desigualdades pueden 
expresarse en 3 notaciones diferentes: algebraica, gráfica y de intervalo. 
 
Observa la siguiente imagen en la que se identifican los tres tipos de notación de una desigualdad. 
 
Tema 1. Notaciones: algebraica, gráfica e intervalos 
Notación 
algebraica 
 
 
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 Matemáticas II
 
 
 
Dada la siguiente afirmación: “Connie usa al menos 5 limones cuando hace una limonada”, el valor de 
los limones será de 5 en adelante, por ejemplo: 5, 6, 7,… por lo que pudiéramos escribirla como: . 
Si llamamos a la cantidad de los limones “a”, podemos representar algebraicamente esta expresión 
con la siguiente desigualdad: . 
Ya que los valores que se pueden considerar son: 5,6,7, … el intervalo que esta expresión representa 
es: [ , ∞ ó [ , ∞ . 
Esto en la recta numérica se representaría como: 
 
Es decir, las tres notaciones de esta desigualdad serían como las que se muestran en el recuadro. 
 
 
En el ejemplo anterior, ¿observaste qué representan los símbolos utilizados en cada una de las 
notaciones? 
Enseguida podrás reafirmarlo. 
 
 
 
 
 
1. En la notación algebraica los signos y indican que el número es parte del intervalo, y los 
signos < y >, que no lo es. 
 
2. En la representación gráfica, un punto indica que el número es parte del conjunto, y un hueco, 
que no lo es. 
 
Notación gráfica 
Notación de 
intervalo 
a 5 
4 
1 2 3 
 
 
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 Matemáticas II
3. Si el conjunto de números se prolonga indefinidamente, en la recta numérica se utilizan flechas. 
 
 
4. En la notación de intervalo, el corchete indica que el número es parte del intervalo y el 
paréntesis, que no lo es. Los símbolos -  e  se leen: menos infinito e infinito, e indican que 
los números continúan indefinidamente. 
 
 
 
Utiliza la información anterior para analizar las siguientes notaciones, toma como base las dos de arriba, que son 
las que estudiaste en la página previa. 
 
 
 
 
 
> 
 
Intervalo abierto (a,) 
 
 
Intervalo cerrado [a,) 
 < 
 
Intervalo abierto (-, a) 
 
 
Intervalo cerrado (-, a] 
 
 
¿Qué afirmaciones de la vida cotidiana podríamos representar con notaciones como las anteriores? 
Analiza los ejemplos que aparecen a continuación. 
 
 
1) Todos los días de esta semana la 
temperatura fue mayor a 200C. 
 
 , ∞ 
Desigualdades simples 
a 
a 
a 
a 
 
 
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 Matemáticas II
 
2) Necesitas tomar al menos 1 L de 
agua al día. 
 [ , ∞ 
 
3) Hago ejercicio a lo más 2 horas al 
día. 
 
 
Dada la siguiente afirmación: “Patricio hace ejercicio más de 30min pero menos de 70min al día”, 
identificamos que el valor del tiempo del ejercicio realizado es más de 30min, pero menos de 70min, 
por ejemplo: 31, 32, 33… hasta 67, 68, 69; pero no puede ser ni 30 ni 70. Por lo que pudiéramos 
escribirla como: < < . 
Si llamamos a la cantidad del tiempo “a”(menor) y “b”(mayor), podemos representar algebraicamente 
esta expresión con la siguiente desigualdad: < < . 
Ya que los valores que se pueden considerar son: 31, 32, 33… hasta 67, 68, 69 el intervalo que esta 
expresión representa es: , ó , , observa que son paréntesis y no corchetes, ya que los 
valores de 30 y 70 no están considerados. 
Esto en la recta numérica se representaría como: 
 
 
Es decir, las tres notaciones de esta desigualdad serían como las que se muestran en el recuadro. 
 
 
 
 
Las expresiones que nos sirven para representar afirmaciones como la del ejemplo anterior se llaman 
desigualdades compuestas. En ellas, los signos de < ó siempre deberán estar acomodados en esta dirección y 
nunca de la siguiente manera: > > . 
 
 
 < < 
 
Intervalo abierto (a, b ) 
 
 
Intervalo cerrado [a, b ] 
a b a b 
Desigualdades compuestas 
a b 30 70 
 
 
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 Matemáticas II
< 
 
Intervalo semiabierto (a, b ] 
<
 
Intervalo semiabierto [a, b ) 
 
 
 
Observa cómo se representan las siguientes afirmaciones y expresiones de desigualdad utilizando los 
diferentes tipos de notación. 
 
 
1. El kilo de limón este mes varió su precio 
entre $3.20 a $5.80 
 
 [ . , . ] 
 
2. El pastel se debe de hornear más de 30 
min, pero cuando mucho 40min. 
 , ] 
 
3. A= {aR | − < . }. 
Se lee: “A es el conjunto formado por a 
elementos de los números Reales, tal 
que − < . ”. 
 
 [− , . 
4. Y= {y R | < < √ }. 
Se lee: “Y es el conjunto formado por y 
elementos de los números Reales, tal 
que < < √ }”. 
 
 , √ 
 
 
 
 
 
Dada la siguiente afirmación: “La temperatura en este mes fue de cuando mucho 150C en la mañana o 
por la tarde al menos de 250C”, significa que el valor de la temperatura fue máximo de 150C, o de 250C 
en adelante, por ejemplo: ..12, 13, 14, 15 ó 25, 26,27…. Por lo que pudiéramos escribirla como: ó . 
 
Si llamamos a la cantidad de la temperatura “a”(menor) y “b”(mayor), podemos representar 
algebraicamente esta expresión con la siguiente desigualdad: ó . 
b a b a 
Observa que: este tipo de notación lo aprendiste en tu 
curso de Mate I. 
 
 
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 Matemáticas II
Ya que los valores que se pueden considerar son: ..12, 13, 14, 15 ó 25, 26, 27…. los intervalos que 
representan esta expresión son: −∞, ] ó −∞, ], ó [ , ∞ ó [ , ∞ . 
Esto en la recta numérica se representaría como: 
 
 
Es decir, las tres notaciones de esta desigualdad serían como las que se muestran en el recuadro. 
 
 
 
Las afirmaciones como la del ejemplo anterior se expresan con este otro tipo de desigualdades compuestas. 
 
 
 < ó > 
 
(-,a ) U (b,  ) 
ó 
 
(-,a ] U [b,  ) ó > 
 
(-,a ] U (b,  ) 
< ó 
 
(-,a ) U [b,  ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observa a continuación algunos ejemplos. 
 
 
 
 
El flujo de efectivo de la empresa 
durante este año fue menor a 20,000 ó 
< ó > 
 
b a b a 
b a b a 
Desigualdades compuestas, parte 2
 b a 25 15 
45000 20000 
 
 
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 Matemáticas II
mayor a 45,000. 
(-,20000 ) U (45000,  ) 
 
X= {x R| ó < − }. 
 
 
(-,-3 ) U [1/2,  ) 
 
 
 
Al terminar esta unidad seguramente tendrás claras las diferentes formas de notación que puedes 
utilizar para representar una desigualdad matemática que plasma situaciones cotidianas. 
En el siguiente módulo comenzaremos conociendo las características de una ecuación lineal, así como 
su aplicación para representar situaciones de la vida real. ¡Verás que son muy interesantes! 
 
 
 
 
Conclusión 
A lo largo de este módulo construiste los conocimientos relacionados con el óptimo manejo de los 
exponentes enteros o fraccionarios. Después conociste las características de las desigualdades simples 
y compuestas. 
 
En el siguiente módulo nos enfocaremos para desarrollar los conocimientos referentes a las ecuaciones 
o funciones lineales, para ello necesitamos que sigas mostrando tu esfuerzo. 
 
¡Avanzamos!