Respuestas - PRIMER PARCIAL MATEMATICA 51 CUARTO TURNO TEMA 14 05-05-2023

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MATEMÁTICA (51) Cátedra A: NUÑEZ, MYRIAM 
1° PARCIAL 
 
 
 
05/05/2023 TEMA 14 
 Hoja 1 de 4 
 
 
 
Tabla de uso exclusivo para el docente 
 1 2 3 4 
 
Puntaje de cada 
ejercicio 2,50 2,50 2,50 2,50 
Duración del examen: 1h 40’. Completar los datos personales con letra clara, mayúscula e imprenta. 
No se aceptarán respuestas en lápiz. 
 
1. Hallar la solución de la ecuación racional 
𝒙+𝟑
𝒙𝟐−𝟏
= 𝟏 −
𝟏
𝒙+𝟏
 
 
𝑥 + 3
𝑥2 − 1
= 1 −
1
𝑥 + 1
 
𝑥 + 3
𝑥2 − 1
+
1
𝑥 + 1
= 1 
𝑥 + 3
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
+
1
𝑥 + 1
= 1 
𝑥 + 3
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
+
𝑥 − 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
= 1 
 
𝑥 + 3 + 𝑥 − 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
= 1 
2𝑥 + 2 = 𝑥2 − 1 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 
 
Cuyas raíces son 𝑥 = −1 y 𝑥 = 3. Sin embargo, 𝑥 = −1 no es solución de la ecuación original, pues estaríamos 
dividiendo por 0. Por el contrario, si reemplazamos por 𝑥 = 3, la ecuación original se verifica, por lo que esa es la 
única respuesta. 
 
 
 
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Hoja 2 de 4 
 
2. Dado el siguiente gráfico que representa a la función f , obtener: 
 a. )(
2
xflím
x 
 
 b.
 
)(
2
xflím
x  
 c. )(
2
xflím
x
 
 d. )2(f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir de lo estudiado en la unidad “Estudio de funciones”, límite de funciones, observando atentamente el 
gráfico de la función podemos escribir: 
a. 2)(
2


xflím
x 
Cuando nos aproximamos a 2 por la derecha (x toma valores mayores y próximos a 2), la función se “acerca” a 2. 
b.
 
1)(
2


xflím
x 
Cuando nos aproximamos a 2 por la izquierda (x toma valores menores y próximos a 2), la función se “acerca” a 
1. 
Debe recordarse que no interesa el valor que toma la función en el punto en el que se calcula el límite (puede no 
estar definida en el mismo) 
c. No existe )(
2
xflím
x
 pues 

)(
2
xflím
x
)(
2
xflím
x  
El límite no existe porque los límites laterales son distintos. Efectivamente, los valores que toma la función se 
aproximan a 2 cuando x se acerca a 2 por derecha. Asimismo, la función va tomando valores cercanos a 1 cuando 
x tiende a 2 por izquierda. 
d. 1)2( f
 
El valor que toma la función en x=2 es 1 (téngase en cuenta la forma en que se indica si el punto pertenece o no 
al gráfico de la función) 
 
 
 
 
 
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Hoja 3 de 4 
 
3. Expresar como intervalo o unión de intervalos el conjunto 𝑷 = {𝒙 ∈ ℝ/
𝒙
𝒇(𝒙)
≤ 𝟎}, siendo 𝒇(𝒙) =
𝒙−𝟏
𝒙+𝟏
 . 
Sea 𝑃 = {𝑥 ∈ ℝ/
𝑥
𝑓(𝑥)
≤ 0} 
𝑥
𝑓(𝑥)
≤ 0 
Con 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
𝑥+1
 
𝑥
𝑥 − 1
𝑥 + 1
≤ 0 
Operamos: 
𝑥 ∶
𝑥 − 1
𝑥 + 1
≤ 0 
𝑥 .
𝑥 + 1
𝑥 − 1
≤ 0 
𝑥(𝑥 + 1)
𝑥 − 1
≤ 0 
𝑥2 + 𝑥
𝑥 − 1
≤ 0 
El dominio de 𝑓(𝑥) es ℝ − {−1}. 
Además, como no podemos dividir por cero, los elementos de P serán números reales distintos de 1. 
Luego, para que el producto sea menor o igual a cero, debe ser uno de los factores mayor o igual que cero y el 
otro menor o igual que cero. 
Planteamos: (𝑥2 + 𝑥 ≤ 0 ∧ 𝑥 − 1 ≥ 0) ∨ (𝑥2 + 𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑥 − 1 ≤ 0) 
Solución 1: 
𝑥2 + 𝑥 ≤ 0 ∧ 𝑥 − 1 ≥ 0 
𝑥(𝑥 + 1) ≤ 0 ∧ 𝑥 > 1 
 
Para que 𝑥(𝑥 + 1) ≤ 0, se debe cumplir: 
(𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑥 + 1 ≤ 0) ∨ (𝑥 ≤ 0 ∧ 𝑥 + 1 ≥ 0) 
(𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑥 < −1) ∨ (𝑥 ≤ 0 ∧ 𝑥 > −1) 
𝑆𝐼 = ∅ 𝑆𝐼𝐼 = (−1; 0] 
 
Luego, se deben cumplir ambas condiciones a la vez 𝑥2 + 𝑥 ≤ 0 𝑦 𝑥 − 1 ≥ 0 
𝑆1 = (−1; 0] ∩ (1; +∞) 
Por lo tanto: 𝑆1 = ∅ 
Solución 2: 
𝑥2 + 𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑥 − 1 ≤ 0 
𝑥(𝑥 + 1) ≥ 0 ∧ 𝑥 < 1 
Para que 𝑥(𝑥 + 1) ≥ 0, se debe cumplir: 
(𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑥 + 1 ≥ 0) ∨ (𝑥 ≤ 0 ∧ 𝑥 + 1 ≤ 0) 
(𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑥 > −1) ∨ (𝑥 ≤ 0 ∧ 𝑥 < −1) 
𝑆 = (−∞; −1) ∪ [0; +∞) 
Luego, se deben cumplir ambas condiciones a la vez: 𝑥(𝑥 + 1) ≥ 0 ∧ 𝑥 < 1 
Por lo tanto: 
𝑆2 = (−∞; −1) ∪ [0; 1) 
Finalmente, 
𝑃 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 
𝑃 = (−∞; −1) ∪ [0; 1) 
 
 
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Hoja 4 de 4 
 
4. Hallar 𝒇−𝟏(𝒙) sabiendo que 𝒂 ∈ ℝ; si 𝒇(𝒙) =
𝟖𝒂−𝒙
𝒙−𝟐𝒂
 y se cumple que 𝒇−𝟏(−𝟐) =
𝟏
𝟒
− 𝟑𝒂 
Para la realización de este ejercicio, recomendamos ver apuntes de: Función inversa 
 
Para hallar la función inversa de 𝑓(𝑥), como nos dan de dato que 𝑓−1(−2) =
1
4
− 3𝑎 , basta con encontrar la imagen de 
𝑓(𝑥), ya que la misma será el dominio de 𝑓−1(𝑥). 
 
Al despejar la “𝑥” de la función 𝑓, y realizando un cambio de variables (intercambiamos a cada “y” por “x” y la “x” por “y”), 
lograremos encontrar dicha función inversa: 
𝑦 =
8𝑎 − 𝑥
𝑥 − 2𝑎
 
 
𝑦 . (𝑥 − 2𝑎) =
8𝑎 − 𝑥
𝑥 − 2𝑎
 . (𝑥 − 2𝑎) 
 
Multiplicamos miembro a miembro por (𝑥 − 2𝑎), con 𝑥 ≠ 2𝑎 
 
𝑦 . (𝑥 − 2𝑎) = 8𝑎 − 𝑥 
 
𝑦𝑥 − 2𝑎𝑦 = 8𝑎 − 𝑥 
 
𝑦𝑥 + 𝑥 = 8𝑎 + 2𝑎𝑦 
 
𝑥 . (𝑦 + 1) = 8𝑎 + 2𝑎𝑦 
 
𝑥 =
2𝑎𝑦 + 8𝑎
𝑦 + 1
 
 
Realizando el cambio de variables que mencionamos anteriormente, nos quedará: 
𝑦 =
2𝑎𝑥 + 8𝑎
𝑥 + 1
 
 
Es decir que, la función inversa es: 
𝑓−1(𝑥) =
2𝑎𝑥+8𝑎
𝑥+1
 (Con 𝑥 ≠ −1) 
 
Sabemos que 𝑓−1(−2) =
1
4
− 3𝑎, si reemplazamos -2 en la función inversa hallada obtendremos: 
𝑓−1(−2) =
2𝑎. (−2) + 8𝑎
−2 + 1
 
 
𝑓−1(−2) = −4𝑎 
 
 
 
Como 𝑓−1(−2) =
1
4
− 3𝑎 y a su vez, 𝑓−1(−2) = −4𝑎. Podemos igualar ambas expresiones: 
1
4
− 3𝑎 = −4𝑎 
 
Despejando, obtendremos: 
𝑎 = −
1
4
 
 
 
Finalmente, reemplazamos el valor de a hallado en 𝑓−1(𝑥), obtendremos: 
𝑓−1(𝑥) =
2. (−
1
4) 𝑥 + 8 . (−
1
4)
𝑥 + 1
 
 
 
𝑓−1(𝑥) =
−
1
2 𝑥 − 2
𝑥 + 1
 
 
Que, a su vez, puede expresarse como: 
𝑓−1(𝑥) =
−𝑥 − 4
2𝑥 + 2