Respuestas - PRIMER PARCIAL MATEMATICA 51 SEGUNDO TURNO TEMA 5 05-05-2023

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MATEMÁTICA (51) Cátedra A: NUÑEZ, MYRIAM 
1° PARCIAL 
 
 
 
05/05/2023 TEMA 5 
 Hoja 1 de 4 
 
 
 
Tabla de uso exclusivo para el docente 
 1 2 3 4 
 
Puntaje de cada 
ejercicio 2,50 2,50 2,50 2,50 
Duración del examen: 1h 40’. Completar los datos personales con letra clara, mayúscula e imprenta. 
No se aceptarán respuestas en lápiz. 
 
1. Determinar el conjunto de negatividad de la función 𝒈(𝒙) = 𝒌. (𝒙 + 𝟓)𝟐 − 𝟔 si se sabe que una de las 
raíces de la función g es 2. 
 
Para resolver esta actividad se trabajarán los siguientes contenidos abordados durante el cuatrimestre: Números 
Reales- Ecuaciones e inecuaciones- intervalo- Funciones- Funciones cuadráticas- Funciones polinómicas -Estudio de una 
función. 
Se denomina conjunto de negatividad de la función al conjunto de valores del dominio para los cuales la función es negativa. 
Para determinar el conjunto de negatividad de 𝑔(𝑥) previamente, debemos obtener el valor de k. Se sabe que la raíz de la 
función cuadrática es 2, por lo tanto, la gráfica de 𝑔(𝑥) interseca al eje de abscisas (x) en dicho punto, es decir (2; 0) 
Reemplazamos la raíz en la función: 
𝟎 = 𝒌. (𝟐 + 𝟓)𝟐 − 𝟔 (Resolvemos la ecuación aplicando las propiedades correspondientes) 
𝟔 = 𝒌. (𝟕)𝟐 
𝟔 = 𝒌. 𝟒𝟗 
 
 
En consecuencia: 𝒈(𝒙) =
𝟔
𝟒𝟗
. (𝒙 + 𝟓)𝟐 − 𝟔 
Ahora bien, utilizando la definición de C-, sabemos que 
𝟔
𝟒𝟗
. (𝒙 + 𝟓)𝟐 − 𝟔 < 𝟎 (Resolvemos la inecuación aplicando las 
propiedades correspondientes) 
6
49
. (𝑥 + 5)2 < 6 
(𝑥 + 5)2 < 6:
6
49
 
(𝑥 + 5)2 < 6.
49
6
 
(𝑥 + 5)2 < 49 
𝑥 + 5 < √49 
|𝑥 + 5| < 7 
 𝑥 + 5 < 7 ∨ 𝑥 + 5 > −7 
𝑥 < 2 ∨ 𝑥 > −12 
𝑪− = {(−𝟏𝟐; 𝟐)} 
APELLIDO: 
CALIFICACIÓN: NOMBRE: 
DNI (registrado en SIU Guaraní): 
E-MAIL: DOCENTE (nombre y apellido): 
TEL: 
AULA: 
 
𝟔
𝟒𝟗
= 𝒌 
 
 
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APELLIDO Y NOMBRE: DNI: TEMA 5 
Hoja 2 de 4 
 
 
2. Expresar como intervalo o unión de intervalos el conjunto 𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ/
𝒙+𝟑
𝒙+𝟐
≤ 𝟒}. 
 
Sea 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ/
𝑥+3
𝑥+2
≤ 4} 
Como no podemos dividir por cero, los elementos de A serán números reales distintos de -2. 
En primer lugar, reescribimos la inecuación en forma equivalente restando miembro a miembro 4. 
 
𝑥 + 3
𝑥 + 2
≤ 4 
𝑥 + 3
𝑥 + 2
− 4 ≤ 0 
Y operamos: 
𝑥 + 3 − 4 . (𝑥 + 2)
𝑥 + 2
≤ 0 
𝑥 + 3 − 4𝑥 − 8
𝑥 + 2
≤ 0 
−3𝑥 − 5
𝑥 + 2
≤ 0 
De este modo, podemos comparar la inecuación con cero. Para que un cociente sea menor o igual que cero, 
deben ser numerador y denominador de signos distintos. 
Planteamos: 
(−3𝑥 − 5 ≤ 0 ∧ 𝑥 + 2 ≥ 0) ∨ (−3𝑥 − 5 ≥ 0 ∧ 𝑥 + 2 ≤ 0) 
Solución 1: 
−3𝑥 − 5 ≤ 0 ∧ 𝑥 + 2 > 0 
−3𝑥 ≤ 5 ∧ 𝑥 > −2 
𝑥 ≥ −
5
3
 ∧ 𝑥 > −2 
𝑆1 = [−
5
3
; +∞) 
Solución 2: 
−3𝑥 − 5 ≥ 0 ∧ 𝑥 + 2 < 0 
−3𝑥 ≥ 5 ∧ 𝑥 < −2 
𝑥 ≤ −
5
3
 ∧ 𝑥 < −2 
𝑆2 = (−∞; −2) 
Como -2 no pertenece al dominio de A, no pertenece a la solución. 
 
𝐴 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 
𝐴 = (−∞; −2) ∪ [−
5
3
; +∞) 
 
 
 
 
 
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Hoja 3 de 4 
 
 
3. Explicitar la ecuación de la función cuadrática 𝒇(𝒙) que tiene raíces en – 𝟏 y 𝟓 y el punto (𝟎; 𝟏) sea un 
punto perteneciente a la función. 
Como sabemos que las raíces de la función son (−1; 0) y (5; 0), podemos plantear la expresión factorizada de la función 
cuadrática (Tema: función cuadrática) 
𝑓(𝑥) = 𝑎 · (𝑥 + 1) · (𝑥 − 5) 
Donde 𝑎 es el coeficiente principal (𝑎 ≠ 0) 
Además, sabemos que el punto (0; 1) pertenece a la función, por lo tanto, verifica su ecuación. Es decir que la función 
vale 1 cuando x vale 0. 
𝑓(0) = 𝑎 · (0 + 1) · (0 − 5) 
1 = 𝑎 · 1 · (−5) 
−
1
5
= 𝑎 
Una vez que tenemos el valor de a, lo reemplazamos en la expresión factorizada y realizamos las distributivas 
correspondientes para obtener la ecuación de la función pedida. 
𝑓(𝑥) = −
1
5
· (𝑥 + 1) · (𝑥 − 5) 
𝑓(𝑥) = −
1
5
· (𝑥2 − 5𝑥 + 𝑥 − 5) 
𝑓(𝑥) = −
1
5
· (𝑥2 − 4𝑥 − 5) 
𝑓(𝑥) = −
1
5
𝑥2 +
4
5
𝑥 + 1 
 
 
 
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Hoja 4 de 4 
 
4. Dadas las funciones 𝒇(𝒙) = √𝟑𝒙 − 𝟏 𝒚 𝒈(𝒙) = 
𝟑𝒙𝟐−𝟐
𝟐𝒙𝟒+𝟕
 , hallar 𝒈 ∘ 𝒇 
Para realizar la composición 𝑔 ∘ 𝑓 , reemplazamos, en la fórmula de 𝑔(𝑥), la variable 𝑥 por la expresión de 𝑓(𝑥): 
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) =
3(√3𝑥 − 1)
2
− 2
2(√3𝑥 − 1)
4
+ 7
 
Podemos operar para obtener una expresión más sencilla de la función. Observamos que (√3𝑥 − 1)
2
= 3𝑥 − 1 y 
por otro lado que (√3𝑥 − 1)
4
= (3𝑥 − 1)2 = 9𝑥2 − 6𝑥 + 1, de manera que resulta: 
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) =
3(√3𝑥 − 1)
2
− 2
2(√3𝑥 − 1)
4
+ 7
=
3(3𝑥 − 1) − 2
2(9𝑥2 − 6𝑥 + 1) + 7
=
9𝑥 − 5
18𝑥2 − 12𝑥 + 9
 
Podés repasar el tema de Composición de Funciones en el apunte teórico de la Unidad 3 llamado Composición de 
Funciones y en los ejercicios del TP.3.