SINTITUL-20

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TRILCE
229
Capítulo
ÁREAS DE REGIONES SOMBREADAS20
Ejemplo Nº 1
Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado y "O" es centro, entonces el área de la región sombreada es:
A
B
D
C
O
Resolución :
A
B
D
C
O
Por traslado 
de regiones
sombreadas
4m
4m
R
R
S S
Así tenemos que el área de la región sombreada es un triángulo, que es igual a la cuarta parte del cuadrado.
22
somb m44
4
4
S 
Ejemplo Nº 2
Si ABCD es un cuadrado de 6m de lado y además "M" es punto medio, calcular el área de la región sombreada.
A
B
D
C
M
Resolución: No olvidar:
S S
A
B
CM
BM : Mediana relativa 
 a AC
Área ABM = Área BCM 
S S
A
B
C
Área Ssomb = 
SS
S S
Área  ABC
6
G : Baricentro de 
 ABC
G
Del ejemplo tenemos:
A
B
D
C
M
S S
S
SS
S
3S
3S 2
2
somb m312
6
12
S 
Raz. Matemático
230
Ejemplo Nº 3
ABC es un triángulo de 24 m2 de área. Calcular el área de la región sombreada.
A
B
C
M3a a
2b
b
P
N
Resolución: No olvidar
P
Q
R
T4a a
4S
S
4
S
S PQTQTR

 
Del ejemplo tenemos:
A
B
C
M3a a
2b
b
P
N 2S
3S
S 2S
S2
3
S
S ABMBCM 


2
total m24S8S 
 2m3S 
2
somb m3S 
Ejemplo Nº 4
Sabiendo que ABCD es un rectángulo, calcular el área de la
región sombreada.
A
B C
D
6 m
10 m
Resolución:
A
B C
D
6 m
10 m
M
M P
P
R
RS
S
Área = b h
)MPRS(2Stotal 
MPRSSsomb 
Luego:
2total
somb m302
610
2
S
S 
Ejemplo Nº 5
Sabiendo que el lado del cuadrado ABCD mide 4 m y que
M y N son puntos medios, calcular el área de la región
sombreada.
A
B
D
CM
N
TRILCE
231
Resolución:
A
B
D
CM
N
S R
S
2 m 2 m
2 m
2 m
4 m
4 m
S = Triángulo rectángulo (cuarta parte del cuadrado ABCD)
R = Sector circular (cuarta parte de un círculo)
S = r 2
4
( )2Ssomb 
= 
4
2
2
2 424
22 




 
=  816
= 8
Ejemplo Nº 6
Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un
cuadrado de 8 m de lado.
A
B
D
C
Resolución:
A
B
D
C
60°
60° 60°
30° 30°
8
8
8
8
S S
T
88
S = Sector circular (doceava parte del círculo).
T = Triángulo equilátero.
4
3LS
2
equilátero 
Ssomb= 2S







 
12
82
4
388
222
3
3231664 





 
3
23416
Ejemplo Nº 7
Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un
cuadrado de 10 m de lado, y además M, N, P y R son puntos
medios.
A
B
D
C
M
N
P
R
Resolución:
S
S
S
S
S
S
S
S
Al hacer traslado de regiones, la figura cuadrada de
22 m10010  de área se transforma en una cruz griega,
dividida esta en 5 cuadritos congruentes.
2
2
total
somb m205
m100
5
S
S 
Obs. 1: Cuando se intersecta una diagonal y una mediana
el triángulo más pequeño que se forma es 12
1
 del total.
A
B
D
C
Obs. 2: Cuando se intersecta dos medianas, el triángulo
más pequeño que se forma es un 20
1
 del total.
A
B
D
C
Raz. Matemático
232
Ejemplo Nº 8
Sabiendo que ABCD es un cuadrado de 4 m de lado y "O"
es centro del cuadrado.
Calcular el área de la región sombreada.
A
B
D
C
O
Resolución:
A
B
D
C
R
R
4m
4m
Del gráfico:
24R2 
22R 
S = 2 sombra 2

= 2 
 22 )22(42 
  832
 2m)4(8 
Ejemplo Nº 9
Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un
cuadrado de 4 m de lado y además "O" es centro.
A
B
D
C
O
Resolución:
A
B
D
C
R
R
4 R
2 2
Por Pitágoras:
4 R
2
R
 
222 2R)R4( 
4RR8R16 22 
12 = 8R
R
2
3 
4
9
2
3S
2
somb






Ejemplo Nº 10
Calcular el área de la región sombreada, si el diámetro de la
circunferencia mide 40 m y PD = 24 m.
("O" : centro del círculo)
O
P
A
C
B
D
Resolución:
O
P
A
C
B
D
53°
37°
53°
24
20
20
5 15
20
2
somb m502
205
2
hbS 
TRILCE
233
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Si ABCD es un cuadrado de 6 m de lado, entonces el
área de la parte sombreada mide:
A
B C
D
O
a) 8 m2 b) 12 m2 c) 10 m2
d) 18 m2 e) 20 m2
02. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es
un cuadrado de "a" m de lado.
A
B C
D
a) 
4
a2 2m b) 
4
a3 2 2m
c) 
2
a2 2m d) 
8
a5 2 2m
e) 
5
a2 2 2m
03. Sabiendo que el lado del cuadrado mide 20 m, calcular
el área de la región sombreada.
A
B C
D
O
a) 180 m2 c) 200 m2 c) 100 m2
d) 320 m2 e) 240 m2
04. Si el lado del cuadrado ABCD mide 6 metros, entonces
el área de la región sombreada medirá:
A
B C
D
a) 12 m2 b) 16 m2 c) 21 m2
d) 9 m2 e) 20 m2
05. Calcular el área de la región sombreada, si el lado del
cuadrado ABCD mide 12 m.
A
B C
D
a) 36 m2 b) 30 m2 c) 42 m2
d) 32 m2 e) 48 m2
06. El lado del cuadrado ABCD mide "a" metros, calcular
el área de la región sombreada.
A
B C
D
a) 
22 m
5
a3 b) 
22 m
4
a
c) 
22 m
2
a d) 
22 m
3
a
e) 
22 m
6
a
07. Calcular el área de la parte sombreada, si el lado del
cuadrado es 20 m.
A
B C
D
a) 40 m2 b) 30 m2 c) 36 m2
d) 25 m2 e) 20 m2
08. Si el lado del cuadrado mide m20 , entonces el área
de la región sombreada será:
A
B C
D
a) 3 m2 b) 5 m2 c) 8 m2
d) 10 m2 e) 6 m2
Raz. Matemático
234
09. Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado, entonces el
área de la parte sombreada es:
A
B C
D
a) 2m b) 2m
2

c) 2m
3
 d) 2m
3
2
e) 2m
9
4
10. El área del rectángulo ABCD es 48 m2 y "O" es centro
del círculo. Hallar el área del cuadrilátero sombreado.
A
B C
D
O
a) 10 m2 b) 12 m2 c) 15 m2
d) 24 m2 e) 30 m2
11. Si el lado del cuadrado ABCD mide 4 m, calcular el
área de la región sombreada.
A
B C
D
O
a) 2m)1(  b) 2m)3( 
c) 2m)12(  d) 2m)2( 
e) 2m)4( 
12. En la figura, hallar el área de la región sombreada si
ABCD es un cuadrado de lado "b".
A
B C
D
a) 
2
b2 b) 
7
b3 2 c) 
18
b11 2
d) 
24
b11 2 e) 
24
b13 2
13. Si el área de la región sombreada mide A, entonces el
área del cuadrado ABCD medirá: ("O" es centro del
cuadrado).
A
B C
D
O
a) 2
A3
b) 2A c) 8
A5
d) 3
A8
e) 5
A8
14. El cuadrado ABCD fue dividido en 9 cuadraditos
congruentes. Calcular el área de la región sombreada,
si el lado del cuadrado mide 6m.
A
B C
D
a) 20 m2 b) 24 m2 c) 18 m2
d) 28 m2 e) 26 m2
15. Sabiendo que el área del rectángulo ABCD mide
120 m2, entonces el área de la región sombreada será:
A
B C
D
a) 2m 40 b) 2m 45 c) 2m 57
d) 2m 50 e) 2m 60
16. Si ABCD es un cuadrado de 60 cm de lado, entonces
el área de la región sombreada es :
A
B C
D
a) 2cm 4 b) 2cm 3 c) 2cm 6
d) 2cm 5 e) 2cm 2
TRILCE
235
17. Si la diagonal del cuadrado ABCD mide 8 m, entonces
el área de la región sombreada es:
O
R
A
B
C
D
a)   2m 48  b)   2m 44 
c)   2m 116  d)   2m 36 
e)   2m 216 
18. Sabiendo que ABCD es un cuadrado y "O" es centro
de dicho cuadrado, calcular el área de la región
sombreada.
A
B C
D
O
2m
2m
6m
a) 2m 9 b) 2m ,58 c) 2m ,59
d) 2m 8 e) 2m ,57
19. Si ABCD es un cuadrado de 12m de lado, entonces el
área de la parte sombreada será:
A
B C
D
a) 18 b) 6 c) 12
d) 48 e) 24
20. Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado, entonces el
área de la región sombreada es:
A
B C
D
O
a) )3(4  b) 34 
c) )2(2  d) )4(2 
e) )2(4 
21. Calcular el área de la región sombreada.
Lado del cuadrado : 2m
A
B C
D
O
a) )2(2  b) )4(2 
c) )3(6  d) )2(4 
e) )2(2 
22. Sabiendo que P y Q son puntos medios de los lados
del cuadrante AOB. El área de la región asignada con
S es 16 m2. El área de las regiones sombreadas en el
interior del cuadrante es:
A
BO
P
S
Q
a) 15 m2 b) 32 m2
c) 16 m2 d) 18 m2
e) 12 m2
23. Hallar el área de la región sombreada:
2
2
a) 2u
3
32





  b) 2u3
c) 2u
2
3  d) 2u
2
32 
e) 2u
2
32 
24. ¿Qué parte del área total está sombreada? (ABCD es
un paralelogramo)
A
B C
D
Raz. Matemático
236
a) 4
1
b) 5
2
c) 6
1
d) 8
1
e) 3
1
25. Si el cuadrado ABCD tiene longitudes en metros,
entonces el área de la región sombreada es:
A
B C
D
2 m 2 m 2 m
2 m 2 m 2 m
a) 2 m2 b) 2,5 m2
c) 3,5 m2 d) 3 m2
e) 4 m2
26. Si el cuadrado ABCD tiene longitudes en metros,
entonces el área de laregión sombreada es:
A
B C
D
2m 2m 2m
2m 2m 2m
a) 2 m2 b) 2,5 m2
c) 3,5 m2 d) 3 m2
e) 4 m2
27. En la figura, hallar el área de la región sombreada.
Si: 2ACDABC m100SS 
A B
C
D
M
a) 100 m2 b) 40 m2
c) 70 m2 d) 80 m2
e) 50 m2
28. ABCD es un cuadrado de "a"cm de lado, calcular el
área de la región sombreada.
A
B C
D
a) 
20
a2 b) 
12
a2 c) 
8
a2
d) 
24
a7 2 e) 
12
a7 2
29. ¿Qué parte del área del cuadrado ABCD está
sombreada?
A
B C
D
a) 2
1
b) 5
2
c) 5
3
d) 4
1
e) 4
3
30. Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado, calcular el
área de la región sombreada.
A
B C
D
a)  512 b)  916
c) 
9
2512  d) 714
e) 
9
2516 
31. ¿Qué fracción del área total está sombreada?
a
3a
a) 10
1
b) 20
7
c) 20
5
d) 5
3
e) 21
8
32. Las circunferencias que se muestran a continuación
tienen el mismo radio (r = 4 m). Calcular el área de la
región sombreada. (R, S y T son puntos de tangencia).
r r
r
R
S
T
TRILCE
237
a)  328 b)   238
c)  38 d)  324
e)  342
33. Si el lado del cuadrado ABCD mide "a"metros, entonces
el área de la región sombreada será :
A
B C
D
a) 
22 m 
6
a
b) 
22 m 
8
a
c) 2
2
m 
12
a d) 2
2
m 
15
a
e) 2
2
m 
10
a
34. Calcular el área del círculo sombreado.
A B
R R
O
4m 4m
a) 
2m
25
9
b) 
2m
16
9
c) 
2m
9
16

d) 
2m
25
16
e) 
2m
125
64
35. Hallar la suma de las áreas de los dos cuadrados
sombreados.
Si: cm6AB 
A B
C
D
N
P
a) 6 cm2 b) 9 cm2 c) 4 cm2
d) 16 cm2 e) 13 cm2
36. Calcular el área de la región sombreada, si es un
cuadrado.
2
5
a) 20 m2 b) 40 m2 c) 36 m2
d) 64 m2 e) 50 m2
37. En la figura DA y CB son tangentes a la
semicircunferencia de centro "O".
Si: m4DA  y m1CB  , calcular el área de la región
sombreada.
A B
C
D
E
O
a) )35(2  2m b) )4(2  2m
c) )5(2  2m d) )4(2  2m
e) )5(2  2m
38. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un
cuadrado de lado m2a
A
B C
D
a)   22 m2
2
a  b)   22 m2
4
a 
c) 22 m2a  d)   22 m2
8
a 
e)  2
6
a2 
39. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un
rectángulo. ("O" es centro del rectángulo).
A
B C
D
O
P
2
8
6
M 2
Raz. Matemático
238
a) 11 m2 b) 8 m2 c) 12 m2
d) 6 m2 e) 10 m2
40. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un
cuadrado cuyo lado mide 12 m.
A
B C
D
a)  3653  b)  3252 
c)  3853  d)  353 
e)  343 
41. Calcular el área de la región sombreada.
4
6 16
a)  13644 b)  832
c)  43256 d)   20642
e) )1372(4 
42. Sabiendo que P es punto medio del arco AB, hallar el
área de la región sombreada. ( AB : diámetro)
A B
P
8m
a) 2m  b) 2m 3 c) 2m 
3
2
d) 2m 2 e) 2m 
2

43. En la figura, "O" es centro del cuadrante y OB es
diámetro de la circunferencia. Si: m8OB  , hallar el
área de la región sombreada.
60°
A
BO
a) 3
3
8  b) 33
3
8 
c) 3
3
16  d) 32
3
16 
e) 34
3
16 
44. ABCD es un paralelogramo. El área de la región
sombreada es 12 m2. Hallar el área del triángulo ABM.
Si: BN = 3NM
A
B C
DM
N
a) 40 m2 b) 16 m2 c) 24 m2
d) 36 m2 e) 28 m2
45. Hallar el área del paralelogramo ABCD, si la diferencia
de las áreas de las 2 regiones sombreadas es "k".
A
B C
D
a) 4k b) 5k c) 6k
d) 7k e) 8k
46. Si ABCD es un paralelogramo de "A" 2cm de área.
Calcular el área de la parte sombreada en centímetros.
a) 12
A
b) 30
A
c) 24
A
d) 10
A
e) 36
A
47. Sabiendo que: BE = 3ED; CF = 3FE y AD = 3DF; y
además el área de la región sombreada mide 2m4 .
Calcular el área del triángulo ABC.
TRILCE
239
A
B
C
E
F
D
a) 2m 80 b) 2m 200 c) 2m 100
d) 2m 68 e) 2m 481
48. Sabiendo que ABCD es un cuadrado de 13 m de lado.
Calcular el área de la región sombreada.
A
B C
D
a
a
a
a
2a
2a
2a
2a
a) 2m 26 b) 2m 9 c) 2m 11
d) 2m 13 e) 2m 
13
25
49. Según la figura: 2
21 m16SS  , calcular : "r"
A
B
C
O
S1
S2r
a) 8 m b 2 m c) 16 m
d) 4 m e) 6 m
50. Hallar el área del triángulo equilátero sombreado.
Si: m8BP  .
M
N
PA
B
C
a) 2m 33 b) 2m 32
c) 
2m 
2
3
d) 
2m 
2
33
e) 2m 3
51. Calcular el área de la región sombreada, si el lado del
cuadrado mide 30 m y además M, N y P son puntos
medios.
M P
N
Q
a) 2m 140 b) 2m 90 c) 2m 180
d) 2m 100 e) 2m 120
52. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un
cuadrado de lado 2 cm.
A
B C
D
a) 2cm
2
 b) 2cm
3
 c) 2cm
3
2
d) 2cm
4
 e) 2cm
6

53. Hallar el área de la región sombreada, si el lado del
cuadrado ABCD es 4 m.
A
B C
D
a) 9
64
b) 25
2
c) 9
25
d) 25
64
e) 64
25
Raz. Matemático
240
54. Sabiendo que ABCD es un rectángulo RS//BC, TS//AC,
calcule 
2
1
S
S
 siendo 
1S y 2S las áreas de las regiones
sombreadas.
A
B C
D
S1
S2
R S
T
a) 1 : 1 b) 1 : 2 c) 3 : 4
d) 2 : 3 e) 1 : 3
55. Si el área del triángulo ABC mide 224 m2, entonces el
área de la parte sombreada es:
A
B
C
a
a
a
a
c c c c
b
b
b
b
a) 2m 144 b) 2m 130
c) 2m 164 d) 2m 128
e) 2m 156
56. Calcular el área de la región sombreada, si el ancho del
rectángulo ABCD mide 12 cm y MAD es un sector
circular cuyo ángulo central mide 60º.
A
B C
D
M
12
a) )3(48  b) )3(32 
c) )32(32  d) )3(24 
e)  3216 
57. Si ABCD es un cuadrado y L es su lado, entonces el
área de la región sombreada será :
A
B C
D
a) 
8
L2 b) 
2
L2 c) 
6
L2
d) 
12
L2 e) 
4
L2
58. En la figura mostrada, P, Q, R y T son puntos medios,
además:
2
4221 m12SSSS 
Hallar: "S"
S
S1
S3
S4
S2
P
Q
R
T
a) 10 m2 b) 16 m2 c) 12 m2
d) 24 m2 e) 15 m2
59. Hallar el área de la región sombreada.
30 m
20 m
40 m
30 m
a) 2m 300 b) 2m 600
c) 2m 400 d) 2m 240
e) 2m 200
60. Calcular el área de la región sombreada, si el área
(ABCD) = 42 cm2 y 
1G , 2G son baricentros (ABCD
es paralelogramo).
A
B C
D
G1
G2
a) 2cm 
3
40 b) 2cm 
3
20
c) 2cm 01 d) 2cm 02
e) 2cm 7
TRILCE
241
Claves Claves 
d
c
b
c
b
e
b
a
b
b
d
d
d
a
b
e
e
b
b
e
a
c
d
a
d
b
e
d
d
e
b
a
c
c
b
b
e
a
a
a
e
a
e
b
c
a
e
d
a
e
b
d
d
b
d
e
c
c
a
e
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.