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Tema: ÁREAS Y PERÍMETROS DE 
REGIONES PLANAS
Docente: Edgar Ramírez
RAZ. MATEMÁTICO
Conocer las propiedades y los métodos
para resolver problemas de examen de
admisión sobre perímetros y áreas de
regiones poligonales y circulares.
OBJETIVO
Perímetro 
de regiones 
poligonales 
y circulares
Problemas 
sobre áreas 
PERÍMETRO DE REGIONES POLIGONALES Y CIRCULARES
𝒓
𝒓
A
B
𝛼
El perímetro de una región es la medida de la longitud de
la línea que conforma el borde o contorno de una región.
PRINCIPALES FIGURAS PLANAS
𝑷𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 =
𝑎 𝑏
𝑐
TRIÁNGULO
𝑷𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 =
𝑏
𝑎
𝑷𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 =
RECTÁNGULO
𝑷𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 =
𝑟
CÍRCULO
SECTOR CIRCULAR
CUADRADO
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝟒𝒂 𝟐(𝒂 + 𝒃)
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟐𝝅𝒓
𝒎෢𝑨𝑩 = 𝟐𝝅𝒓
𝜶°
𝟑𝟔𝟎°
Si AB y BC son diámetros de las semicircunferencias se cumple que:
A B C
Longitud del
arco AB + arco BC
=
𝑳
𝟐
𝝅
A B C
Perímetro de la 
región sombreada
=
𝑳
𝟐
𝝅 + 𝐋
𝐿 𝐿
Observación
Resolución:
APLICACIÓN 01 
Calcule el perímetro de la región
sombreada, si las curvas son
semicircunferencias.
6 𝑐𝑚
8 𝑐𝑚
Nos piden el perímetro de la región sombreada.
∴ El perímetro de la región sombreada es 14 + 5π cm.
10
6 𝑐𝑚
8 𝑐𝑚
Perímetro = 6 + 8
2
𝜋 = 5𝜋
+ 5𝜋
A) 6 + 2π cm
B) 24 cm
C) 14 + 10π cm
D) 14 + 5π cm
E) 8 + 5π cm
𝟏𝟎
= 14 + 5𝜋
PROBLEMAS SOBRE ÁREAS
Á𝒓𝒆𝒂 =
𝒓
𝒓
𝛼
El área es la medida de la extensión de una superficie,
expresada en unidades cuadradas.
PRINCIPALES FIGURAS PLANAS
Á𝒓𝒆𝒂 =
TRIÁNGULO
Á𝒓𝒆𝒂 =
𝑏
𝑎
Á𝒓𝒆𝒂 =
RECTÁNGULO Á𝒓𝒆𝒂 =
𝑟
CÍRCULO SECTOR CIRCULAR
CUADRADO
𝑙
𝑙
𝑙
𝑙
𝒍𝟐 𝒂 × 𝒃
𝒃 × 𝒉
𝟐
𝝅𝒓𝟐 𝝅𝒓𝟐
𝜶°
𝟑𝟔𝟎°
𝑏
ℎ
ROMBO
𝑎
𝑏
TRAPECIO
𝑎
𝑏
ℎ
Á𝒓𝒆𝒂 =
𝒂 × 𝒃
𝟐
Á𝒓𝒆𝒂 =
𝒂 + 𝒃
𝟐
× 𝒉
RELACIÓN DE ÁREAS EN REGIONES TRIANGULARES
𝑺𝟏
𝑺𝟐
=
𝒎
𝒏
n n
S1 S2
m n
S1 S2
𝑺𝟏 = 𝑺𝟐
𝑺 =
βα
S1
m
α β
S2
n
~
𝑺𝟏
𝑺𝟐
=
S
S
S
S
A
B
C
S1 S2
m n
Para dos triángulos semejantes, se tiene:
𝑺𝟏
𝑺𝟐
=
𝑺 =
Á𝒓𝒆𝒂 ∆ 𝑨𝑩𝑪
𝟔
Á𝒓𝒆𝒂 ∆ 𝑨𝑩𝑪
𝟒
𝒎
𝒏
𝒎𝟐
𝒏𝟐
𝑺 =
Á𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝟐
𝑺 =
Á𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝟏𝟐
𝑺 =
Á𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝟐𝟎
En todo paralelogramo, rectángulo o cuadrado se cumple:
S
S
S
S
SS
𝑺 =
Á𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝟒
𝑺 =
Á𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝟐
𝑺 =
Á𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝟒
Para trapecios se cumple:
𝑺 = 𝑺𝟏 + 𝑺𝟐
𝑺𝟏 = 𝑺𝟐𝑺 =
Á𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝟐
S S
S S
S
S1 S2
S1
S2
RELACIÓN DE ÁREAS EN REGIONES CUADRANGULARES
Resolución:
APLICACIÓN 02 
En el gráfico, ABCD es un rectángulo cuya
área es 32 m2 y OC=PD=1/4CD. Halle el
área sombreada.
A) 20 m2 
B) 30 m2
C) 28 m2
D) 26 m2
E) 24 m2
a
a
Área total = 32
X
X
Nos piden: El área sombreada
Del enunciado:
Luego se observa
El área sombreada es 6X
8X = 32
X = 4
2a
2X
4X
= 24
El área de la región sombreada es 24 m2
OC = PD =
1
4
CD
APLICAREMOS 
PROPORCIÓN DE ÁREAS
∴
Resolución:
APLICACIÓN 03 
A) 4(π - 3) u2
B) 6(π - 4) u2
C) 8(π - 2) u2
D) 6(π - 6) u2
E) 8(π - 1) u2
Halle el área de la región sombreada si
el cuadrante tiene radio 8 u.
Nos piden: el área de la región sombreada.
De los datos:
Sea S la región sombreada pedida:
𝑺
44
4
4
Del gráfico:
S = - -
S = π.8
2
4
- 2( )π.4
2
4
- 42
S = 16π - 8π - 16
S = 8π - 16
Área de la región sombreada es 8(π - 2) u2
-
APLICAREMOS 
DIFERENCIAS DE ÁREAS
Resolución:
APLICACIÓN 04 
Se tiene el siguiente cuadrado ABCD.
Determine el área de la región sombreada
Nos piden el área de la región sombreada.
De los datos:
𝑨
𝑨
𝑩
𝑩
Trasladando las 
regiones 
sombreadas
A
B C
D
𝑩
𝑩
𝑨
𝑨
𝟔 𝒖
Luego: Área sombreada = 34
62( ) = 27
Área de la región sombreada es 27 u2
A) 16 u2
B) 27 u2
C) 24 u2
D) 20 u2
E) 18 u2
APLICAREMOS 
TRASLADO DE ÁREAS
Resolución:PROBLEMA 1 
Determine el perímetro de la región
sombreada si cuando las cinco
circunferencias se ubican
tangencialmente una al costado de la
otra y sus centros son colineales, sus
diámetros cubren una longitud de 10 m.
A) 10π m
B) 20π m
C) 5π m
D) 15π m
E) 12π m
Nos piden: El perímetro de la región sombreada.
𝑟1
2π(𝑟1)
𝑟2
2π(𝑟2)
𝑟3
2π(𝑟3)
𝑟4
2π(𝑟4)
𝑟5
2π(𝑟5)
Perímetro = 2π (𝑟1+ 𝑟2 + 𝑟3 + 𝑟4 )+ 𝑟5
Se necesita conocer
la suma de los radios.
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝑟5
2𝒓𝟏
2𝒓𝟐
2𝒓𝟑
2𝒓𝟒
2𝒓𝟓
2 (𝑟1+ 𝑟2 + 𝑟3 + 𝑟4 )+ 𝑟5 = 10
𝑟1+ 𝑟2 + 𝑟3 + 𝑟4+ 𝑟5= 5
Perímetro = 2π( )5 = 10π
Resolución:PROBLEMA 2 
En la figura se muestra un polígono
formado por cuadrados de 2 cm de
lado. Manuel tiene 100 piezas de
madera congruentes a este polígono. Si
con ellas se desea formar un cuadrado,
adosándolas y sin superponerlas, ¿cuál
es el perímetro del cuadrado más
grande que se puede construir con la
mayor cantidad de estas piezas?
A) 192 cm
B) 96 cm
C) 144 cm
D) 240 cm
E) 156 cm
Nos piden: el perímetro del cuadrado más grande que se puede construir con
la mayor cantidad de estas piezas.
8cm
12cm
24cm
24cm
Evaluando el numero de piezas para formar
un cuadrado
24
piezas
24 piezas 24 piezas
24 piezas 24 piezas
96 
piezas
48cm
48 cm
El perímetro del cuadrado más grande es: 192 cm
Resolución:PROBLEMA 3 
En la figura ABCD es un cuadrado cuyo
lado mide 6 cm, se trazan arcos de
circunferencia de centros A y D. Calcule la
suma de las áreas de las regiones
sombreadas.
A) 6π cm2
B) 5π cm2
C) 9π cm2
D) 3π cm2
B) 7π cm2
Nos piden: la suma de las áreas de las regiones sombreadas.
De los datos se tiene:
6
6
6
6
60°
60°
60°
𝔸
𝔸
𝔹30°
𝔸+ 𝔹 =π ( )62 ×
30°
360°
= 3π cm2
El área sombreada es: 3π cm2
Resolución:PROBLEMA 4
En la figura, la región sombreada
representa el plano de un terreno que ha
sido dibujado en un papel cuadriculado
cuyos cuadraditos miden 1 cm de lado. Si
la escala empleada es de 1 cm a 1000 cm,
calcule el área real del terreno.
A) 2 250 m2
B) 2 500 m2
C) 3 150 m2
D) 3 450 m2
E) 3 250 m2
Nos piden: el área real del terreno. Del dato:
En la figura En lo real
1 cm 1 000 cm <> 10 m10 m
10 m 50 m
30 m
(50)(30)
2
20 m
20 m
20 m
20 m
20 m
30 m
( )20+30
2
20
20 m
30 m
(20)(30)
2
𝑺
Sea S la región sombreada pedida:
Del grafico:
S = 60 m
70 m
-
750 + 200 + 200
+ 500 + 300
S = (70)(60) - 1 950
S = 4 200 - 1 950
S = 2 250 m2
El área sombreada es: 2 250 m2
PROBLEMA 5 Resolución:
Joshua dibuja el plano de su casa tal
como se muestra en la figura cuya área
total es de 120 m2. Si la región
sombreada representa el jardín en el cual
desea sembrar grass, siendo su costo por
metro cuadrado de S/ 10, ¿cuál es el
costo del grass a sembrar?
A) S/ 450 
B) S/ 500 
C) S/ 340 
D) S/ 440
E) S/ 240 
Nos piden: el costo del grass a sembrar
Área Total = 120 m2
¡Recuerde que…!
12
1 (120)
𝟏𝟎
𝟏𝟎
12
1 (120)
𝟏𝟎
20
1 (120)
𝟔
120
2
= 60
120
4
= 30
Área sombreada = 4 + 40 = 44 m2
Costo = 44 (10) = S/ 440
Resolución:PROBLEMA 6 
En un terreno de forma triangular se
triseca uno de sus ángulos, como se
muestra en la figura, y se decide
plantar césped en la región
sombreada. Halle el área de la región
mencionada.
A) 12𝑚2
B) 15𝑚2
C) 16𝑚2
D) 10𝑚2
E) 18𝑚2
Nos piden: el área de la región mencionada.
3m
34
37°
53°
53°
2
6
Τ𝟓𝟑° 𝟐
𝟓𝒌
𝒌
𝟐𝒌
RECORDAR
𝒌
𝟐𝒌𝛼𝛼𝛼
El área sombreada es: BASE × ALTURA
2
5 × 6
2
= = 15 m2
¡¡Ahora a aplicar lo 
aprendido con el test!!
Duración:10 minutos
PROBLEMA 1 Resolución:
Halle el perímetro de la región
sombreada, si se sabe que ABCD es
un rectángulo.
A) 190 cm
B) 180 cm
C) 200 cm
D) 210 cm
E) 160 cm
Nos piden: el perímetro de laregión sombreada.
Perímetro de la 
región sombreada.
= 50 + 50 + 40 + 40 = 180
El perímetro es: 180 cm
PROBLEMA 2 Resolución:
Halle el área de la región sombreada, si
se sabe que el área de la región
rectangular ABCD es 120 𝑚2
.
A) 12𝑚2
B) 20𝑚2
C) 16𝑚2
D) 18𝑚2
E) 15𝑚2
A B
CD
M
N
Nos piden: el área de la región sombreada.
Por dato el área total = 120 𝑚2
12
1 (120)
20
1 (120)
10
6
El área sombreada es: 16m2
PROBLEMA 3 Resolución:
Halle el área de la región sombreada, si 
se sabe que ABCD es un cuadrado cuyo 
lado mide 4 m.
A) 2π𝑚2
B) 3π𝑚2
C) 4π𝑚2
D) 5π𝑚2
E) 6π𝑚2
Nos piden: el área de la región sombreada.
4 m
Por traslado de áreas
45°
El área sombreada es:
𝜋 4 2
8
= 2π𝑚2