Semana_12 Calculo vectorial

Vista previa del material en texto

William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Departamento de Ciencias Naturales y Exactas
Notas de clase: Cálculo Vectorial
Notas de clase: Cálculo Vectorial
William Raḿırez
Mileydis De La Hoz
Ronal Barrios
Universidad de la Costa C.U.C
Julio 2020
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
integrales Triples:
La integral triple de f sobre una caja B es∫ ∫ ∫
B
f (x , y , z)dV = lim
l ,m,n→∞
l∑
i=1
m∑
j=1
n∑
k=1
f (x∗ijk,, y
∗
ijkz
∗
ijk)4V .
(1)
Si el ĺımite en (1) existe, afirmamos que f es integrable sobre B
y que B es la región de integrations.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
integrales Triples:
La integral triple de f sobre una caja B es
∫ ∫ ∫
B
f (x , y , z)dV = lim
l ,m,n→∞
l∑
i=1
m∑
j=1
n∑
k=1
f (x∗ijk,, y
∗
ijkz
∗
ijk)4V .
(1)
Si el ĺımite en (1) existe, afirmamos que f es integrable sobre B
y que B es la región de integrations.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
integrales Triples:
La integral triple de f sobre una caja B es∫ ∫ ∫
B
f (x , y , z)dV = lim
l ,m,n→∞
l∑
i=1
m∑
j=1
n∑
k=1
f (x∗ijk,, y
∗
ijkz
∗
ijk)4V .
(1)
Si el ĺımite en (1) existe, afirmamos que f es integrable sobre B
y que B es la región de integrations.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
Teorema de Fubini para integrales triples:
Teorema 0.1
Si f es continua sobre la caja rectangular
B = [a, b]× [c , d ]× [r , s], entonces∫ ∫ ∫
B
f (x , y , z)dV =
∫ s
r
∫ d
c
∫ b
a
f (x , y , z)dxdydz .
La integral iterada en el lado derecho del teorema de Fubini
significa que se integra primero respecto a x (manteniendo a y
y z constantes), luego se integra respecto a y (manteniendo a
z constante) y, por último, se integra respecto a z .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
Teorema de Fubini para integrales triples:
Teorema 0.1
Si f es continua sobre la caja rectangular
B = [a, b]× [c , d ]× [r , s], entonces∫ ∫ ∫
B
f (x , y , z)dV =
∫ s
r
∫ d
c
∫ b
a
f (x , y , z)dxdydz .
La integral iterada en el lado derecho del teorema de Fubini
significa que se integra primero respecto a x (manteniendo a y
y z constantes), luego se integra respecto a y (manteniendo a
z constante) y, por último, se integra respecto a z .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
1 Evalúe la integral triple
∫ ∫ ∫
B xyz
2dV , donde B es la caja
rectangular dada por
{(x , y , z) : 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3} .
solución:
=⇒
∫ ∫ ∫
B
xyz2dV =
∫ 3
0
∫ 2
−1
∫ 1
0
xzy2dxdydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
[
x2yz2
2
]1
0
dydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
yz2
2
dydz
=
∫ 3
0
[
y2z2
4
]2
−1
dz
=
∫ 3
0
3z2
4
dz =
[
z3
4
]3
0
=
27
4
.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
1 Evalúe la integral triple
∫ ∫ ∫
B xyz
2dV , donde B es la caja
rectangular dada por
{(x , y , z) : 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3} .
solución:
=⇒
∫ ∫ ∫
B
xyz2dV =
∫ 3
0
∫ 2
−1
∫ 1
0
xzy2dxdydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
[
x2yz2
2
]1
0
dydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
yz2
2
dydz
=
∫ 3
0
[
y2z2
4
]2
−1
dz
=
∫ 3
0
3z2
4
dz =
[
z3
4
]3
0
=
27
4
.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
1 Evalúe la integral triple
∫ ∫ ∫
B xyz
2dV , donde B es la caja
rectangular dada por
{(x , y , z) : 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3} .
solución:
=⇒
∫ ∫ ∫
B
xyz2dV =
∫ 3
0
∫ 2
−1
∫ 1
0
xzy2dxdydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
[
x2yz2
2
]1
0
dydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
yz2
2
dydz
=
∫ 3
0
[
y2z2
4
]2
−1
dz
=
∫ 3
0
3z2
4
dz =
[
z3
4
]3
0
=
27
4
.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
1 Evalúe la integral triple
∫ ∫ ∫
B xyz
2dV , donde B es la caja
rectangular dada por
{(x , y , z) : 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3} .
solución:
=⇒
∫ ∫ ∫
B
xyz2dV =
∫ 3
0
∫ 2
−1
∫ 1
0
xzy2dxdydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
[
x2yz2
2
]1
0
dydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
yz2
2
dydz
=
∫ 3
0
[
y2z2
4
]2
−1
dz
=
∫ 3
0
3z2
4
dz =
[
z3
4
]3
0
=
27
4
.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
1 Evalúe la integral triple
∫ ∫ ∫
B xyz
2dV , donde B es la caja
rectangular dada por
{(x , y , z) : 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3} .
solución:
=⇒
∫ ∫ ∫
B
xyz2dV =
∫ 3
0
∫ 2
−1
∫ 1
0
xzy2dxdydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
[
x2yz2
2
]1
0
dydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
yz2
2
dydz
=
∫ 3
0
[
y2z2
4
]2
−1
dz
=
∫ 3
0
3z2
4
dz =
[
z3
4
]3
0
=
27
4
.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
1 Evalúe la integral triple
∫ ∫ ∫
B xyz
2dV , donde B es la caja
rectangular dada por
{(x , y , z) : 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3} .
solución:
=⇒
∫ ∫ ∫
B
xyz2dV =
∫ 3
0
∫ 2
−1
∫ 1
0
xzy2dxdydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
[
x2yz2
2
]1
0
dydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
yz2
2
dydz
=
∫ 3
0
[
y2z2
4
]2
−1
dz
=
∫ 3
0
3z2
4
dz =
[
z3
4
]3
0
=
27
4
.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
1 Evalúe la integral triple
∫ ∫ ∫
B xyz
2dV , donde B es la caja
rectangular dada por
{(x , y , z) : 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3} .
solución:
=⇒
∫ ∫ ∫
B
xyz2dV =
∫ 3
0
∫ 2
−1
∫ 1
0
xzy2dxdydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
[
x2yz2
2
]1
0
dydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
yz2
2
dydz
=
∫ 3
0
[
y2z2
4
]2
−1
dz
=
∫ 3
0
3z2
4
dz =
[
z3
4
]3
0
=
27
4
.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
1 Evalúe la integral triple
∫ ∫ ∫
B xyz
2dV , donde B es la caja
rectangular dada por
{(x , y , z) : 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3} .
solución:
=⇒
∫ ∫ ∫
B
xyz2dV =
∫ 3
0
∫ 2
−1
∫ 1
0
xzy2dxdydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
[
x2yz2
2
]1
0
dydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
yz2
2
dydz
=
∫ 3
0
[
y2z2
4
]2
−1
dz
=
∫ 3
0
3z2
4
dz =
[
z3
4
]3
0
=
27
4
.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
Ejemplos: Evalúe la integral iterada que se indica.
1
∫ 4
2
∫ 2
−2
∫ 1
−1
(x + y + z)dxdydz .
2
∫ 2
0
∫ 1
0
∫ 3
0
(xy + z2)dxdydz .
3
∫ 4
2
∫ 1
−2
∫ 4
0
(x2
y2
3
+ 4z2)dzdydx .
4
∫ 4
1
∫ 3
−1
∫ 5
1
(x3 +
y
2
)4z2dydzdx .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
Ejemplos: Evalúe la integral iterada que se indica.
1
∫ 4
2
∫ 2
−2
∫ 1
−1
(x + y + z)dxdydz .
2
∫ 2
0
∫ 1
0
∫ 3
0
(xy + z2)dxdydz .
3
∫ 4
2
∫ 1
−2
∫ 4
0
(x2
y2
3
+ 4z2)dzdydx .
4
∫ 4
1
∫ 3
−1
∫ 5
1
(x3 +
y
2
)4z2dydzdx .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
Ejemplos: Evalúe la integral iterada que se indica.
1
∫ 4
2
∫ 2
−2
∫ 1
−1
(x + y + z)dxdydz .
2
∫ 2
0
∫ 1
0
∫ 3
0
(xy + z2)dxdydz .
3
∫ 4
2
∫ 1
−2
∫ 4
0
(x2
y2
3
+ 4z2)dzdydx .
4
∫ 4
1
∫ 3
−1
∫ 5
1
(x3 +
y
2
)4z2dydzdx .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
Ejemplos: Evalúe la integral iterada que se indica.
1
∫ 4
2
∫ 2
−2
∫ 1
−1
(x + y + z)dxdydz .
2
∫ 2
0
∫ 1
0
∫ 3
0
(xy + z2)dxdydz .
3
∫ 4
2
∫ 1
−2
∫ 4
0
(x2
y2
3
+ 4z2)dzdydx .
4
∫ 4
1
∫ 3
−1
∫ 5
1
(x3 +
y
2
)4z2dydzdx .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
Ejemplos: Evalúe la integral iterada que se indica.
1
∫ 4
2
∫ 2
−2
∫ 1
−1
(x + y + z)dxdydz .
2
∫ 2
0
∫ 1
0
∫ 3
0
(xy + z2)dxdydz .
3
∫ 4
2
∫ 1
−2
∫ 4
0
(x2
y2
3
+ 4z2)dzdydx .
4
∫ 4
1
∫ 3
−1
∫ 5
1
(x3 +
y
2
)4z2dydzdx .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
Ejemplos: Evalúe la integral iterada que se indica.
1
∫ 4
2
∫ 2
−2
∫ 1
−1
(x + y + z)dxdydz .
2
∫ 2
0
∫ 1
0
∫ 3
0
(xy + z2)dxdydz .
3
∫ 4
2
∫ 1
−2
∫ 4
0
(x2
y2
3
+ 4z2)dzdydx .
4
∫ 4
1
∫ 3
−1
∫ 5
1
(x3 +
y
2
)4z2dydzdx .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales triples sobre regiones generales
Región tipo I.
Si el volumen V está limitado entre dos superficies
z = z1(x , y), z = z2(x , y) conz1(x , y) ≤ z2(x , y) y S es la
proyección de dicho volumen al plano xy . Entonces la integral
se calcula en la forma∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dxdydz =
∫ ∫
S
(∫ z2(x ,y)
z1(x ,y)
f (x , y , z)dz
)
dA.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales triples sobre regiones generales
Región tipo I.
Si el volumen V está limitado entre dos superficies
z = z1(x , y), z = z2(x , y) con z1(x , y) ≤ z2(x , y) y S es la
proyección de dicho volumen al plano xy . Entonces la integral
se calcula en la forma∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dxdydz =
∫ ∫
S
(∫ z2(x ,y)
z1(x ,y)
f (x , y , z)dz
)
dA.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales triples sobre regiones generales
Región tipo I.
Si el volumen V está limitado entre dos superficies
z = z1(x , y), z = z2(x , y) con z1(x , y) ≤ z2(x , y) y S es la
proyección de dicho volumen al plano xy . Entonces la integral
se calcula en la forma∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dxdydz =
∫ ∫
S
(∫ z2(x ,y)
z1(x ,y)
f (x , y , z)dz
)
dA.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales triples sobre regiones generales
Región tipo II.
Si el volumen V está limitado entre dos superficies
y = y1(x , z), y = y2(x , z) con y1(x , z) ≤ y2(x , z) y S es la
proyección de dicho volumen al plano xz . Entonces la integral
se calcula en la forma∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dxdydz =
∫ ∫
S
(∫ y2(x ,z)
y1(x ,z))
f (x , y , z)dy
)
dA.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales triples sobre regiones generales
Región tipo II.
Si el volumen V está limitado entre dos superficies
y = y1(x , z), y = y2(x , z) con y1(x , z) ≤ y2(x , z) y S es la
proyección de dicho volumen al plano xz . Entonces la integral
se calcula en la forma∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dxdydz =
∫ ∫
S
(∫ y2(x ,z)
y1(x ,z))
f (x , y , z)dy
)
dA.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales triples sobre regiones generales
Región tipo II.
Si el volumen V está limitado entre dos superficies
y = y1(x , z), y = y2(x , z) con y1(x , z) ≤ y2(x , z) y S es la
proyección de dicho volumen al plano xz . Entonces la integral
se calcula en la forma∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dxdydz =
∫ ∫
S
(∫ y2(x ,z)
y1(x ,z))
f (x , y , z)dy
)
dA.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales triples sobre regiones generales
Región tipo III.
Si el volumen V está limitado entre dos superficies
x = x1(y , z), x = x2(y , z) con x1(y , z) ≤ x2(y , z) y S es la
proyección de dicho volumen al plano yz . Entonces la integral
se calcula en la forma∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dxdydz =
∫ ∫
S
(∫ x2(y ,z)
x1(y ,z)
f (x , y , z)dx
)
dA.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales triples sobre regiones generales
Región tipo III.
Si el volumen V está limitado entre dos superficies
x = x1(y , z), x = x2(y , z) con x1(y , z) ≤ x2(y , z) y S es la
proyección de dicho volumen al plano yz . Entonces la integral
se calcula en la forma∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dxdydz =
∫ ∫
S
(∫ x2(y ,z)
x1(y ,z)
f (x , y , z)dx
)
dA.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales triples sobre regiones generales
Región tipo III.
Si el volumen V está limitado entre dos superficies
x = x1(y , z), x = x2(y , z) con x1(y , z) ≤ x2(y , z) y S es la
proyección de dicho volumen al plano yz . Entonces la integral
se calcula en la forma∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dxdydz =
∫ ∫
S
(∫ x2(y ,z)
x1(y ,z)
f (x , y , z)dx
)
dA.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales triples sobre regiones generales
Nota–1.
El volumen de la región V está dado por
Volumen(V ) =
∫ ∫ ∫
V
dV =
∫ ∫ ∫
V
dxdydz
Nota–2.
La integral doble sobre S que aparece en el cálculo de la
integral triple, se calcula como vimos anteriormente, viendo si
S es de tipo I ó tipo II. Por ejemplo, si V es de tipo I y S es
también de tipo I , se tendŕıa la integral iterada
∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dxdydz =
∫ b
a
∫ y2(x)
y1(x)
∫ z2(x ,y)
z1(x ,y)
f (x , y , z)dzdydx .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales triples sobre regiones generales
Nota–1.
El volumen de la región V está dado por
Volumen(V ) =
∫ ∫ ∫
V
dV =
∫ ∫ ∫
V
dxdydz
Nota–2.
La integral doble sobre S que aparece en el cálculo de la
integral triple, se calcula como vimos anteriormente, viendo si
S es de tipo I ó tipo II. Por ejemplo, si V es de tipo I y S es
también de tipo I , se tendŕıa la integral iterada
∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dxdydz =
∫ b
a
∫ y2(x)
y1(x)
∫ z2(x ,y)
z1(x ,y)
f (x , y , z)dzdydx .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales triples sobre regiones generales
Nota–1.
El volumen de la región V está dado por
Volumen(V ) =
∫ ∫ ∫
V
dV =
∫ ∫ ∫
V
dxdydz
Nota–2.
La integral doble sobre S que aparece en el cálculo de la
integral triple, se calcula como vimos anteriormente, viendo si
S es de tipo I ó tipo II. Por ejemplo, si V es de tipo I y S es
también de tipo I , se tendŕıa la integral iterada
∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dxdydz =
∫ b
a
∫ y2(x)
y1(x)
∫ z2(x ,y)
z1(x ,y)
f (x , y , z)dzdydx .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales triples sobre regiones generales
Nota–1.
El volumen de la región V está dado por
Volumen(V ) =
∫ ∫ ∫
V
dV =
∫ ∫ ∫
V
dxdydz
Nota–2.
La integral doble sobre S que aparece en el cálculo de la
integral triple, se calcula como vimos anteriormente, viendo si
S es de tipo I ó tipo II. Por ejemplo, si V es de tipo I y S es
también de tipo I , se tendŕıa la integral iterada
∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dxdydz =
∫ b
a
∫ y2(x)
y1(x)
∫ z2(x ,y)
z1(x ,y)
f (x , y , z)dzdydx .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
Ejemplos: Evalúe la integral iterada que se indica.
1 Hallar la integral ∫ ∫ ∫
V
xydv
donde V es el dominio limitado por los planos
x + y + z = 1, el plano xy , y el plano xz . Consideremos
un bosquejo de este volumen y su proyección sobre el
plano xy .
2
∫ 1
−1
∫ 1−x2
0
∫ 1−z
x2
dydzdx .
3
∫ 3
0
∫ x
0
∫ x+y
0
ex(y + 2z)dzdydx .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples
Ejemplos: Evalúe la integral iterada que se indica.
1 Hallar la integral ∫ ∫ ∫
V
xydv
donde V es el dominio limitado por los planos
x + y + z = 1, el plano xy , y el plano xz . Consideremos
un bosquejo de este volumen y su proyección sobre el
plano xy .
2
∫ 1
−1
∫ 1−x2
0
∫ 1−z
x2
dydzdx .
3
∫ 3
0
∫ x
0
∫ x+y
0
ex(y + 2z)dzdydx .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples: Coordenadas ciĺındricas
El sistema de coordenadas ciĺındricas combina la descripción
polar de un punto en el plano con la descripción rectangular de
la componente z de un punto en el espacio. Las coordenadas
ciĺındricas de un punto P se denotan mediante la triada
ordenada (r , θ, z), la palabra ciĺındricas surge del hecho de que
un punto P en el espacio está determinado por la intersección
de los planos z = constante, θ = constante, con un cilindro
r = constante. Vea la figura 14.8.1b.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples: Coordenadas ciĺındricas
El sistema de coordenadas ciĺındricas combina la descripción
polar de un punto en el plano con la descripción rectangular de
la componente z de un punto en el espacio. Las coordenadas
ciĺındricas de un punto P se denotan mediante la triada
ordenada (r , θ, z), la palabra ciĺındricas surge del hecho de que
un punto P en el espacio está determinado por la intersección
de los planos z = constante, θ = constante, con un cilindro
r = constante. Vea la figura 14.8.1b.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples: Coordenadas ciĺındricas
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples: Coordenadas ciĺındricas
Consideremos el sistema de coordenadas (r , θ, z) como se
muestra en la figura
Estas coordenadas están ligadas a las coordenadas (x , y , z)
mediante las ecuaciones dadas por:
x = r cos θ,y = r sin θ z = z .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples: Coordenadas ciĺındricas
Consideremos el sistema de coordenadas (r , θ, z) como se
muestra en la figura
Estas coordenadas están ligadas a las coordenadas (x , y , z)
mediante las ecuaciones dadas por:
x = r cos θ, y = r sin θ z = z .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples: Coordenadas ciĺındricas
Consideremos el sistema de coordenadas (r , θ, z) como se
muestra en la figura
Estas coordenadas están ligadas a las coordenadas (x , y , z)
mediante las ecuaciones dadas por:
x = r cos θ, y = r sin θ z = z .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples: Coordenadas ciĺındricas
Consideremos el sistema de coordenadas (r , θ, z) como se
muestra en la figura
Estas coordenadas están ligadas a las coordenadas (x , y , z)
mediante las ecuaciones dadas por:
x = r cos θ, y = r sin θ z = z .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples: Coordenadas ciĺındricas
Las coordenadas (r , θ, z) se llaman coordenadas ciĺındricas del
punto P ya que:
x2 + y2 = r2.
Y la fórmula del cambio de variable se expresa en la forma∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dv =
∫ ∫ ∫
T
f (r cos θ, r sin θ, z)rdrdθdz .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples: Coordenadas ciĺındricas
Las coordenadas (r , θ, z) se llaman coordenadas ciĺındricas del
punto P ya que:
x2 + y2 = r2.
Y la fórmula del cambio de variable se expresa en la forma∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dv =
∫ ∫ ∫
T
f (r cos θ, r sin θ, z)rdrdθdz .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples: Coordenadas ciĺındricas
Las coordenadas (r , θ, z) se llaman coordenadas ciĺındricas del
punto P ya que:
x2 + y2 = r2.
Y la fórmula del cambio de variable se expresa en la forma∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dv =
∫ ∫ ∫
T
f (r cos θ, r sin θ, z)rdrdθdz .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples: Coordenadas ciĺındricas
Las coordenadas (r , θ, z) se llaman coordenadas ciĺındricas del
punto P ya que:
x2 + y2 = r2.
Y la fórmula del cambio de variable se expresa en la forma∫ ∫ ∫
V
f (x , y , z)dv =
∫ ∫ ∫
T
f (r cos θ, r sin θ, z)rdrdθdz .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples: Coordenadas ciĺındricas
Ejemplos: Calcule la integral
∫ ∫ ∫
(x2 + y2)dxdydz .
donde V es el volumen limitado por el casquete superior de la
esfera
x2 + y2 + z2 = 4
y cortada por el cilindro x2 + y2 = 1.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples: Coordenadas ciĺındricas
Ejemplos: Calcule la integral∫ ∫ ∫
(x2 + y2)dxdydz .
donde V es el volumen limitado por el casquete superior de la
esfera
x2 + y2 + z2 = 4
y cortada por el cilindro x2 + y2 = 1.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Integrales múltiples: Coordenadas ciĺındricas
Ejemplos: Calcule la integral∫ ∫ ∫
(x2 + y2)dxdydz .
donde V es el volumen limitado por el casquete superior de la
esfera
x2 + y2 + z2 = 4
y cortada por el cilindro x2 + y2 = 1.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
¡Gracias por su Atención!