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Actividad Cálculo Vectorial - Integrales Múltiples Carlos Alfredo Perez Cassiani 1) Demostrar que : 1 2 ∫( 0 3 ∫ 𝑥2𝑦𝑑𝑥)𝑑𝑦 = 272 Sol: a. Resolvemos la integral en dx: ● 1 2 ∫( 0 3 ∫ 𝑥2𝑦𝑑𝑥)𝑑𝑦 = 1 2 ∫ ( 𝑥 3 3 𝑦|0 3)𝑑𝑦 b. Resolvemos la integral en dy: ● 1 2 ∫ ( 𝑥 3 3 𝑦|0 3)𝑑𝑦 = 1 2 ∫ 9𝑦𝑑𝑦 ● = 1 2 ∫ 9𝑦𝑑𝑦 = 9. 𝑦 2 2 |1 2 9( 42 − 1 2 ) c. Resolvemos la operación:: ● ✅9( 42 − 1 2 ) ] = 9. 3 2 = 27 2 2) Demostrar que: 0 4 ∫( 1 4 ∫ 6𝑥2𝑦 − 2𝑥 𝑑𝑥)𝑑𝑦 = 948 Sol: d. Resolvemos la integral en dx: ● 0 4 ∫( 6𝑥 3 3 − 2𝑥2 2 )|1 4 𝑑𝑦 = 0 4 ∫((2. 64𝑦 − 16) − (2𝑦 − 1 )) 𝑑𝑦 = 0 4 ∫[ 126𝑦 − 15]𝑑𝑦 e. Resolvemos la integral en dy: ○ 0 4 ∫(126𝑦 − 15)𝑑𝑦 = (126 𝑦 2 2 − 15𝑦)|0 4 = 1008 − 60 = 948 ✅ 3) Resolver Integral Doble sobre región tipo II y demostrar que: 0 8 ∫( 0 3 𝑦 ∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥)𝑑𝑦 = 96 Sol: ● 0 8 ∫( 0 3 𝑦 ∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥)𝑑𝑦 = 0 8 ∫( 2𝑥 2 2 |0 3 𝑦𝑦)𝑑𝑦 ● = .y dy => .y dy => dy 0 8 ∫( 2𝑥 2 2 |0 3 𝑦𝑦)𝑑𝑦 0 8 ∫ ( 3 𝑦) 2 0 8 ∫ 𝑦 2 3 0 8 ∫ 𝑦 5 3 ● dy = ⇒ ✅ 0 8 ∫ 𝑦 5 3 3 8 𝑦 8 3 | 0 8 38 (8) 8 3 = 96 4) Evalúe , donde R es la región acotada por las parábolas∫ 𝑅 ∫(𝑥 + 2𝑦)𝑑𝐴 .𝑦 = 2𝑥2 ∧ 𝑦 = 1 + 𝑥2 Sol: ● Calcular las regiones: ○ Igualamos: 2𝑥2 = 1 + 𝑥2 2𝑥2 − 𝑥2 = 1 + 𝑥2 − 𝑥2 𝑥2 = 1 𝑥 = 1 , 𝑥 = − 1 𝑥 = 1 , 𝑥 = − 1 ● Graficamos para obtener la intersección: Obtenemos los puntos cuando :𝑦 = 2𝑥2 x y -1 2 0 0 1 2 Obtenemos los puntos cuando :𝑦 = 1 + 𝑥2 x y -1 2 0 1 1 2 Resolvemos: −1 1 ∫ 2𝑥2 1+𝑥2 ∫ (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥 ● −1 1 ∫ 2𝑥2 1+𝑥2 ∫ (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥 = −1 1 ∫ (𝑥𝑦 + 2 𝑦 2 2 )|2𝑥2 1+𝑥2 𝑑𝑥 ● −1 1 ∫ [(𝑥(1 + 𝑥2) + (1 + 𝑥2) 2 ) − (𝑥(2𝑥2) + (2𝑥2) 2 ) ] 𝑑𝑥 ● −1 1 ∫ (− 3𝑥4 − 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 1) 𝑑𝑥 ● ( −3𝑥 5 5 − 𝑥4 4 + 2𝑥3 3 + 𝑥2 2 + 𝑥) |−1 1 ● -(− 3.1 5 5 − 14 4 + 2.13 3 + 12 2 + 1) (− 3(−1)5 5 − (−1)4 4 + 2(−1)3 3 + (−1)2 2 ) + (− 1)) ● ✅3215 5) Evalúe la integral doble , sobre la región R acotada por las gráficas de y = 1, y∫ 𝑅 ∫ 𝑒𝑥+3𝑦𝑑𝐴 = 2, y = x∧ y = −x + 5 Sol: ● Calcular las regiones: ○ Igualamos: 𝑥 = − 𝑥 + 5 2𝑥 = 5 𝑥 = 52 ● Graficamos para obtener la intersección: Obtenemos los puntos cuando :𝑦 = 𝑥 x y 0 0 1 1 2.5 2.5 Obtenemos los puntos cuando :𝑦 =− 𝑥 + 5 x y 0 5 1 -4 2.5 2 Según la gráfica los límites de integración que podemos observar son: x(0,2) y y(1,2). Resolvemos: 0 2 ∫ 1 2 ∫ 𝑒𝑥+3𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥 ● 0 2 ∫ 1 2 ∫ 𝑒𝑥+3𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 2 ∫ 𝑒 𝑥+6−𝑒𝑥+3 3 𝑑𝑥 ● = -𝑒 𝑥+6−𝑒𝑥+3 3 |0 2 𝑒2+6−𝑒2+3 3 𝑒0+6−𝑒0+3 3 ● = ✅𝑒 8−𝑒5−𝑒6+𝑒3 3 2449 3 6) Emplee la integral doble para determinar el área de la región acotada por las gráficas de .𝑦 = 𝑥2 ∧ 𝑦 = 8 − 𝑥2 Sol: ● Para calcular el área usamos integral doble de la función constante igual a 1 sobre la región R. 𝐴 = ∫∫𝑅 𝑑𝐴 ● Buscamos los límites de integración: En la gráfica podemos ver que las curvas son simetricas sobre el𝑦 = 𝑥2 ∧ 𝑦 = 8 − 𝑥2 eje Y y se interceptan en el punto .± 2 Por lo tanto la integral doble es: ● 𝐴 = ∫∫𝑅 𝑑𝐴 = −√2 √2 ∫ 𝑥2 8 −𝑥2 ∫ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ● dx =𝐴 = −√2 √2 ∫ [(8 − 𝑥2) − 𝑥2] −√2 √2 ∫ (8 − 2𝑥2) ● = = 6.514✅𝐴 = (8√2 − 23 ( 3) 3 ) (8√2 − 4 23 )
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