Taller semana 11

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UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
TALLER - CÁLCULO I (DIFERENCIAL)
Semana: 11
Notación: D{f(x)} = f ′(x).
1. Responda F si la afirmación es falsa y V si es correcta. Justifique.
a) ( ) La derivada del cociente es el cociente de las de-
rivadas.
b) ( ) Existe una función cuya derivada de cualquier
orden es la misma función inicial.
c) ( ) Existe una función cuya derivada de cualquier
orden es la misma.
d) ( ) Si n ≥ 1, entonces Dn+1{xn} = 0.
e) ( ) D
{
sen(x2)
}
= cos(2x).
f ) ( ) La regla de la cadena se usa para calcular la de-
rivada de un producto de funciones.
g) ( ) La regla de la cadena se usa para calcular la de-
rivada de una composición de funciones.
h) ( ) Si f es una función par y no nula, entonces f ′ es
par.
2. Explique con sus propias palabras la regla del cociente y la regla de la cadena.
3. Use la regla del cociente para verificar las siguientes reglas de derivación:
a) D{x−n} = −nx−n−1.
b) D{tan(x)} = sec2(x).
c) D{cot(x)} = − csc2(x).
d) D{sec(x)} = sec(x) tan(x).
e) D{csc(x)} = − csc(x) cot(x).
f ) D
{
1
f(x)
}
= − f
′(x)
[f(x)]2
.
Nota: Recuerde que D{sen(x)} = cos(x) y D{cos(x)} = − sen(x).
4. Aplique la regla del cociente para calcular la derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) =
x + 1
x− 1
.
b) f(x) =
x2 + 1
x2 − 1
.
c) f(x) =
x
ex
.
d) f(x) =
ex
x
.
e) f(x) =
x +
√
x
3
√
x2
.
f ) f(x) =
A
B + Cex
.
g) f(x) =
x
(x− 4)2
.
h) f(x) =
4x
x2 + 1
.
i) f(x) =
x
x + 5x
.
j ) f(x) =
x2 − 1
x2 + x + 1
.
k) f(x) =
2 sen(x)− cos(x)
5 cos(x) + 3 sen(x)
.
l) f(x) = e−x + ex.
5. Aplique la regla de la cadena para calcular la derivada de las siguientes funciones:
a) F (x) = (3x3 − 5)6.
b) F (x) = (2x2 + 1)3.
c) F (x) =
√
2x2 + 8.
d) F (x) = sen(4x).
e) F (x) = sec(3x).
f ) F (x) = cos5(x).
g) F (x) = tan3(x).
h) F (x) = e3x
2
.
i) F (x) = sen3(x)− 2 sen(x) + 2.
j ) f(x) = 3 cos(e−2x).
k) f(x) =
√
1− 3x.
l) F (x) = tan
√
x.
6. Aplique las reglas derivación necesarias para calcular la derivada de las siguientes funciones:
a) F (x) = e−3x + e3x.
b) F (x) = sen(4x2) tan(4x2).
c) F (x) = (3 cos3(x)− 7)4.
d) F (x) = (2e2x + 1)3.
e) F (x) = sen
√
2x2 + 8.
f ) F (x) = sen3(e5x)− esen3(5x).
g) F (x) = 3
√
tan(3x4).
h) F (x) =
√
2 +
4
√
3− 3
√
x + 1.
i) F (x) = etan
√
x2+4.
j ) F (x) =
√
e5 tan2(x) + 1.
k) F (x) = sen
(
1− e2x
1− e2x
)
.
l) F (x) = tan2(cos(x)).
m) F (x) = 54
x5
.
n) F (x) =
[
3x +
(
2x + sen2(x)
)5]7
.
ñ) F (x) =
√
2 + x +
√
1 + x +
√
x.
7. Determine f ′(x), f ′′(x) y f ′′′(x) para cada una de las siguientes funciones:
a) f(x) =
sen(x)
2 + cos(x)
.
b) f(x) = csc(x).
c) f(x) = x cos(x).
d) f(x) = x4ex.
e) f(x) =
x
x2 − 1
.
f ) f(x) =
x2 − 1
x2 + 1
.
g) f(x) = xe−x.
h) f(x) = ex sen(x).
i) f(x) =
a sen(x)
a + cos(x)
.
8. Si F (x) = f(xf(xf(x))), donde f(1) = 2, f(2) = 3, f ′(1) = 4, f ′(2) = 5 y f ′(3) = 6, halle F ′(1).
9. Determine una ecuación de la recta tangente horizontal a la función dada:
a) f(x) = sen(x) + sen2(x).
b) f(x) = sen(sen(x)).
c) f(x) =
cos(x)
1− 2 sen(x)
.
d) f(x) =
r sen(x)
r + cos(x)
.